Les fonctions de Bessel
-
Upload
phungkhuong -
Category
Documents
-
view
222 -
download
3
Transcript of Les fonctions de Bessel
���������
�
�
�������������������� ��
������� ���������������� ������������ ������������������� ������������������� ���� ������������������ ����������������� ����������������� ����������� ��������� ���������������������� ������ ����� ������� �������� ���������������������� ������ ����� ������� ������ ����������!���"������#���������� ��������
$������ �����������% ���&��$������� ���� �!� ���������$�����"������ ����� ������ ��� ��!��������'��� ��$��������% ������������� �$��������% ��������������� ���
(�'�% �����% � �����% ���������)�*����������� ���� ������������)�����+������������������)������� ���� ��������������% % ����������� �� ��
,�-�� ����% ������. � /���,������ ������������% ���������,�����0 ��!��������1� � ��,�����"������ ��� ������� ����% �������. � /�����������������
2��� ���� ������������������ ����% �������������2�����-�� ����% ������������������� ���� ������������2�����'������������% �!������3���� ����� �������������2������ ��������������������% ���% � �������
�
�
�
� ��� � � � �4 � ������� ������
5 �� �% �������� 6���� ��������� . ��% � �. � /���
'����7 ��% � �
�8($��9$,�
�
�
�� �������� ���� ����� ��� ��� ���� �� ����� ��� � #� ���& ���������� '����� ������� ���� ���� ������% � �� � ��������% :% ������ ���% % � ��������� �������% ������ ������������������ �����&��% ����������� ��� ����������������������� ��#���; ������<����= ��� �������� �����<����= ��� ��������������<���>���� �% ��<���?����������<�����
@ �������������� �<�$AA)� $� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
��
���
��
��
��
��
��
������������������������� �
������ ��� �
; ������ ��� �����#�� ����� ��<����������������������� !������ ����������������������� ����������������� �����B� �C � � ������ ���� ������ ��� ������� �������� ���� ��� ����D� 4 � ���� ��� ������ �� �� ���� ��� ������% �� � � �E($� ����� �� ��� ������� � ���� ����� ������ ��&� �� ���� �� ��� ������<� ����������� �� ���� �� ������% � �� ��������� ���������������������������������� �% ������% � ���������� ��������� ��8$)�
�
1������ ��� ��������� ������� !����� <� �% �!� ������ � ���!���<������ ��#�� ���&���% ������>������������� �����������% � ��F� ���������������% � ��!�������� ��� �G ���� ������% ����� ���� ���������% % � ��������H�7 ���������� ���������������������� ���������������� ���� ����� ������� ����&������������������� ����� ����������; ���������F; �H����&��������������F; �H����&�� ���I� ���<�������!���% � �� ρ ������ �������������
�
��
�� �
��
��
���
��
�
�
�
�+�� � �� ���&� ��� ����� ������ ����� �� ���� ��� ������ ��� ������ �� ���� �!��� ���� ��� ��!% � �� J���K� F�������� ����� !������ ���<�% ����L�� ��� � !����� �#����������H�����������M����� � ���I� ������������� ��� ������������� ��
� � ������ ��� �� #� ��<� � � �� �� �� ��� ����
� � � ��
θ θ ∂= ≈ =∂
� ���N� F O H O� �
� � � � �� �
∂ ∂� �− ∂ = −� �∂ ∂� �� ��� ���
@ �������������� �<�$AA)� (� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
������� ������������ �������������������
� �� �
∂∂ � �= ∂ ∂� ��+����������������� ��� �������% �� �������������% � ��#����
������������������!% � ��J���K������ ��ρ= ����N�$
$
� � �� � � � �
� � � �ρ ρ
� �∂ ∂ ∂∂ � �= = +� �� �∂ ∂ ∂ ∂� � � ��P�����������������������
��� ������ ���I� ��������������!% � ������$
$
�
�ρ ∂
∂����N���������� ����% ����% � ����
F���H�$ $
$ $
� � � ��
� �� �
∂ ∂ ∂= +∂∂ ∂
�
'����� ������� � �� ��� � �Q�� ���� ���� ��� ������� �� ���������<� ������ ��% ��� �� ������&� �� ���� ���� ����������
������� F < H F H � �� � � � � ωϕ= �P� �������� � �������� F H � ��� � �
�ωωϕ∂ =
∂����
$$
$F H � ��� �
�
ωω ϕ∂ = −∂
<����% :% �� � �� ��
� ��ωϕ∂ =
∂����
$ $
$ $� �� ��
� ��
ωϕ∂ =∂
����N���������% ���������� ���������� ���
F��$H�$ $ $ $
$ $
� � �A A
� � � � �� � � �
� �� � �� � � � ��� ��
ω ϕ ϕ ϕ ϕ ωϕ ϕ ′′ ′− = + ⇔ + + = ⇔ + + = �
7 ��������� ��� ������������������� � �% �������������R���� ���% �&�% ���� �S��AAA<���������� ������� �������A������������������������ω ���
�
A<$ω =
A
$AA
)AA
2AA
8AA
�AAA
�$AA
�A<$ �A<� A A<� A<$
�
�
�
A<,ω =
A
$AA
)AA
2AA
8AA
�AAA
�$AA
�A<$ �A<� A A<� A<$
�
�
�
@ �������������� �<�$AA)� )� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
A<Eω =
A
$AA
)AA
2AA
8AA
�AAA
�$AA
�A<$ �A<� A A<� A<$
�
�
�
��!�������������� � �% �������F?&���H�
+���� � ����� ������� ��� ��� �������� � � � ����� �� � �� �� ���� � ������� ��<� % ���� � � ����� ��% ������ �������������� ������ ���������������������� ��������������� ��������� �!� �����C �
; � ����� �������� � ������� �� ��� % �� ������� ��!����� � ���� ���� ������<� ��� ���� ��� ���������% � ���� ���� ���� ���� � �����% � ��<� ��� �� ���� � ��� ������� �������� A<� % ���� ����T�� ���� ��� ������ ��� �������� �� �� ��� ����������������������� �������� ��!� ���������#���������� ������������� ��� ������������������������������ ���������
���������������������� �
'�������������� ��
F���H� �$ $
$ $
�� A
� � ���
� ���� �
ν� �+ + − =
� ��P��
���� ��� � �� �� ���� �� �� ��� �% ����&� ������% ��� ��� � ������<� ������������% � �� ���&� ����� �� �� � ����% ������ ���� ��������� ������% ��� ��� % �% ��� ��<� ���������� �� ��������% �! �������� �� �� � �� ����������� �������F��% % ��� ���������������C H<��������% � ����������� ������������� �= ��� ������ �� �����<�����
7 ���� � ��� � �� �� �� ���� ������� �� F% �� ���� ����� ������������H� ��������% ����� ������� ��������� ��� ���% ��
A
� ��
�
� � � �∞
=
= ��� �
A
� ��
�
���� � �
��
∞−
=
= ����$
$$
A
F �H � ��
�
� �� � � � �
��
∞−
=
= − ����N�� ���% ���L� ���� ����������� ����� �
��� ����� ��������������� �������������� ����
( )
( )
$ $A
$ $�
$ $$
F H A
� A
A� �
� �
� �
� � � �
ν
ν
ν −
− =
� �+ − =� �
� �+ − + =� �
�P�
������% ������������ � ������ �� � ν= ± <�� ������� ��ν �������������������������������������������������������������
�% �!� �����P��A����������������� ����
��!����"�������� � ν= FUAH�� ����������
$� $ A ( � $F$ �H A< F) )H A<F2 9H A < F$ H A� �� � � � � � � � �� � � � −+ = + + = + + = + + = �
�� ��������������� ������������% ������� �� ������������������������ � ��� ��� ���� �����A���
$ A $
F �H
$ VF� HF$ HF H
�
� �� �
� �ν ν ν−=
+ + +�
; ����� ��������� ��� ���"����� �������� � #ν � ������!�$��� ���$"����������ν ����� ���� ��&���� A�
$ F� H�
ν=
à +<��������
���% ��� ��� �� ��� � �� ��������� ��% ������ ��� #ν � !�B��� #� ��� ���������� ��� ����� ��� ��� �� ���� � ��!!����
@ �������������� �<�$AA)� ,� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
F� H F� HF$ HF H F� H� �ν ν ν ν νΓ + + = + + + Γ + � F� � ��� ��������� ���� ��� �� ���� � ��!!�� ���� ��% % �� � ��
�����������C ����� ����33���% � ����% �� �������3�� ���� ����% ���&��W!�% % � �% H�7 ���������� ���� ��
�
F��$H�$
A
F �HF H
$ V F �H $
��
�
� �# �
� �
ν
ν ν
∞
=
−� � � �= Γ + +� � � � �
�
������ν ������ � �% ����� ������<�$
A
F �HF H
$ VF HV $
� ��
�
�
� �# �
� � �
∞
=
−� � � �= +� � � � �
%����$!�� "�������� � ν= − <� ������������� ����������� �� ��������� $ $ $$ F$ � $ H A� �� � � �ν −+ − + = ���� ������������� ���
�% �������������� $ � $ �$ F$ � $ H A� �� � � �ν + −+ − + = �P����ν � ������������������% ��$ �
<$
!!
+ ∈� �������������������� ���
�% �������� �� �������������% :% ��% � ������ ������ ���
�
F��(H�$
A
F �HF H
$ V F �H $
��
�
� �# �
� �
ν
ν ν
∞−
−=
−� � � �= Γ − + +� � � � �
�
4 � ����������N�ν � ���������� ����<������� ���� �� #ν ���� # ν− ��� ���� �����% � ��� ���� �� ����������% � ��� ��
�������� �������������������� ����� ������<� ����� ���� � à � ����� ��������������� �� �������������������������
� ������<��������������� �������� �����������A<� #ν ��� �������A�F#�������������% ��$
�ν
� � � �
H���������������� ���� �
# ν− � �� ������� ��� �� �� F#���������� ���% ��$
�ν−
� � � �
H� ; ����� �� ������% ��!� ����������������� �<��!���% � ��
������������"������"� �����&������
F��)H� F H F H F H' � �# � �# �ν ν ν−= + �
4 � �� ��������N�ν ������ ������!���#���� ��� F �H F �H� � �νΓ − + + = Γ − + <���� F H�Γ = ∞ ����������� �� ����� �!����<�
�� ��������������% ������ �#− ��� �� ����M�����#�� ��� !�����N�������������� ����� ������������������X�( �YA�P�
��������� ����������������
F��,H�$ O $ $ OO O
O A O A
F �H F �HF H F �H F �H F H
$ OVF O HV $ $ OVF O HV $
� � � � �� � �� �
� �
� �
� � � �# � # �
� � � � � �
∞ ∞− ++
−= =
− −� � � � � � � �= = − = − + +� � � � � � � � �
��� ������&��� ���� �� ���� �������� ���� �� ����'�% % ����������� �����������������������$<��������������������� ���������!���% � �<���� ����������� ����������� �����&��% ��������� C �
@ �������������� �<�$AA)� 2� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
�
�
�
��!�$���������� ����� ���������� ���� �AF H# � ��
F� �% ���� ������� F H< ) ,# �ν ν− ≤ ≤ ������ ����33���% � ����% �� �������3������3������6 �% H�
�
@ �������������� �<�$AA)� E� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
"������������������� �������������������
7 �������� ��� ��� ���� ���� ���� � F H) �ν �������������
��� F H F HF H ��� F H �� F H F H
��
# � # �# � # � ) � ) � ν ν
ν ν ν νπνπν πν
πν−
−−
= − ⇔ = �P�
��������������������ν � ���������� ������ �����% �������� ��������� �����������������F���H�P������� �������� ������
�� ���� ν � ����� � � � ����� �<� ��� �� ���� �)� ��� ����� ��� ��% % �� � �� ���% �� � �����% � ��� F ��� F �H��π = − H�P�
�������� �������!������% ������������. �����������
F���H��( ) ( )�� F H ��� F HO F H O � �
F H ��% ��% F HO F �H ��% F H O���
��
� � �
# � # � # �) � # � # �ν ν ν
ν νν ν ν
π πν πνπ πν π π
−−→ → →
− + − � � � �= = − −� � � �� � � �
�
0�� ����������� ������������������������� #ν ���������� ��������������% � ��� ��������
$ $� F H$
A A
F �H F �HF H
$ V F �H $ V F �H $
�� �� �
� �
� � �# � �
� � � �
ν νν ν ν
∞ ∞
= =
− −� � � � � �= = Γ + + Γ + +� � � � � � ���
$ $� $
$A A
$
A
F H F �H F �H OF �H� $ V F �H $ $ $V F �H
F �H OF �H� F H $ V F �H F �H $
� � �� �
� �
��
�
�# � � � � � ��
� � � � �
� � �# �
� � �
ννν
ν
ν
νν ν ν
νν ν
∞ ∞
= =∞ +
=
− − − Γ + +� � � � � �= + Γ + + Γ + +� � � � � �
− Γ + + � �= − Γ + + Γ + + � �
�
����� �� �� ����ν �������<������������ ��!���� % �������� Γ ����� ��� ���"���������!!����OF �H
F �HF �H
��
�
ν ψ νν
Γ + + = + +Γ + +
�
���N��
F��$H� �$
A
F H F �H��% � F H F �H
$ VF HV $
� ��
��
�# � � �# � � �
� � � �ν
ννψ
ν
∞ +
→=
− � �= − + + + � � �P�
����� F H# �ν− � ����������� ��������% ����������% ���% � ������
( )F H F� H F H F� H
�� �� F H �� F H � �� �
� � � �� � �
π π π πν νπ π ν πν π πν
Γ Γ − = � Γ − Γ − + = = =− − −
<�
������ ������� �������% % ���� �#����������Z�<������ ����� ������% % ������% � ������������#�ν ���
� $ $
A
F H �� F �HF H
$ V $ $ V F �H $
� � ��
� � �
� � � � �# �
� � �
ν ν
νν πν
π ν
− ∞− −
−= =
Γ − −� � � � � � � �= + Γ − + +� � � � � � � � �P�
��� ����������#���������������������#�ν ����
� $ $
$A
F H � �� F �H OF �HF H��! OF H F H���
$ V $ $V F �H
� � ��
� � �
�# � � � � �# � � �
� � � �
ν νν
νπν νν ν πν
ν π ν
− ∞− + − +−
−= =
− Γ − + +� � � �� � � �= − + Γ − + Γ − + Γ − + +� � � �� � � � �
������� �������� ����ν �������<�� ����
� $ $
A
F H F H F �H��% F H��! F �H F �H
$ V $ V F �H $
� � � � ���
��
� � �
�# � � � � � �# � � �
� � � � �ν
νψ
ν
− ∞− + − +−
−→= =
Γ − −� � � � � �= − + − + − + + Γ − + +� � � � � � �P�
� ������������������� �������!�������� ������� ���% ���L� ���Z�������<���������� ��� �������� ��F��,H����
F��(H���� $ $
A A
F H F H F �H��% F �H F H��! F �H F �H F �H
$ V $ F HV V $
� � � � ��� � �
��
� �
�# � � � � � �# � �
� � � � �ν
νψ
ν
− ∞− + +−
→= =
Γ − −� � � � � �= − − + − + − + +� � � � � � �
; ���% ������F��$H����F��(H��� ��F���H���
�
@ �������������� �<�$AA)� 8� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
( ) [ ]� �$ $
A A
�$ � F �HV �F H F H��! F H F H
$ V $ VF HV $
� � �� � � �
� �
� �
� � � � �) � # � � � �
� � � �ψ ψ
π π π
− −− +
= =
−− − � � � �= − − + + +� � � � �
�
'����� ��� ������� ������ ���*����F� � ����������������������������% % ��+� ������� ���� ����+��!���H� +������S�A<�������&��% �����% �����������% �������� ���
�
��!�(���������� ����� ���������� ���� � AF H) � �F� �% ���� ������� F H< ) ,) �ν ν− ≤ ≤ ����
����� ����33���% � ����% �� �������3������3������[ �% H�
�
; ����� ����!���% � �������� ���� ������� ������
���� ���� �����������!�����,��������% ���������������
F��)H�$
A
�F H F H
$ V F �H $
�
�
� �- � � # ��
� �
νν
ν νν
∞−
=
� � � �= = Γ + +� � � � <�
���� ���� �����.���� �F�H����F$H������ ���� ���������������������$!����������
F��,H� F�H F H F HF H F H F H
�� F H
�# � � # �. � # � �) � �
πνν ν
ν ν ν πν
−−−
= + = ���� F$H F H F HF H F H F H
�� F H
�# � � # �. � # � �) � �
πνν ν
ν ν ν πν−−
= − = − <�
� ������ ��% ��������&������� �����#����)�� ��� ���� ������� ���� ��.�F� ��������% ��������������#�M��������T���������<�)������������ <�������.F�H����.F$H�M��� �������������&�� � �������C H����
F��2H�� F�H F$H�F H F H F H
$# � . � . �ν ν ν� �= +� �<�
F�H F$H�F H F H F H
$) � . � . �
�ν ν ν� �= −� ��
���� ���� �����������!�����,��������&��% ������������
F��EH� � F�H F H F H�F H F H
$ $ �� F H
- � - �/ � � . ��ν ν ν
ν νππ
νπ+ − −
= = �
������ �� ��������� ����������������������� ���
7 ��� �� F H F H F H' � �# � �) �ν ν ν= + ����������� �!� ������������������ �F���H�
� � �$ $
$ $
�� A
� � ���
� ���� �
ν� �+ + − =
� ���
@ �������������� �<�$AA)� 9� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
? ������ ������ � !�% � �������������� � ��= �� ������ ����� ��
�� � ��= ����
$ $
$ $ $
�� � � �
�� � ��= ����N��
F���H�$ $$ $
$$ $ $ $ $ $
� � � �� A A
� � �� � � ��� � �
�� � �� � ��� �� � � �� �
ν ν� � � �+ + − = ⇔ + + − =
� � � ���
+����������������� ����������� �!� ���������� F H F H F H' �� �# �� �) ��ν ν ν= + �
+�� � ��% �� �� � ����������� ��
F��$H�$
$A
� � �����
� ����+ + = ��
��� ����� �� ��� � � !�% � �� ��� �� ���� ��� �� � �= <� ���� ��� �� ������ �O O� �� �� � � �−= + � ���$ �OO F �H $ O OO� � �� � � � � �� � � �− −= − + + ����N�� ���% ���L� ����
( )$
� $ $$
$OO F$ H O F �H A OO O A� � � � � � � � � ��
� � � � � � � � � ��� �� � � � � �� �
− − − � �+ − ++ + + − + + = ⇔ + + + =
� ��
1��� �� �����������������
$ �$
�� � �
−+ = ⇔ = �� ���$
$
�OO O A
�� � � �
� �
� �+ + − =
� ��P�������������� ��������������� �
( ) ( )�
$
H H��� ' � � ' � �−= = ����N����������� ����F��$H��� ( )�
$�
$
H�
��� � � � ' � �
−
−= = �
����� ����������������!� ���������������������� �����������!� ���������
�
F��(H�$
$ $A�� � ��� "
�� �� ���� �
� �+ + + = � �
�P�
�
� � ��% �� � �� ���� ���&� % �� ����� ������� ���<� #� ������� ������ &� ��= � ����� F H!� � � �= � � � �������� F������
��� � �% � ����������&C H�#����������� �!� �������
$�
$ $$
$
���
� � ' ��
ν
+− � � = +� �
������$F� H )
$
� "
�ν
− −=
+�
? � ������������ ��� � � ��� �� ��S�A<� "�S�A<� �� S�A<� � � �� ��������� �$
$A
� ���
��+ = � ���� �� ����� ������� �
( )�3$� � ' ��= <� ��� ���� % � ���� ���� ���� ��� ��� �� ��� �� �� �� M�% ���� ���� ���� �� ���� �� ��� �������
�����% ������F��� � �� ������������� ������S�Z�C H�
4 � ������������ �������� ���� ����������������% % � ������!������������ �����Z$�� ��������������������������
�������D��������� �F��(H�������% ������������ ����� $� ������ �����������% �� $ OO O A� � ��� ��+ + = �P�� �����������
� ����� �� �� �= ���������� ��$
$F �H A
� � ��� ��
����+ − + = <������� ��������� ��� ���������$ ��������#���������� ���
�� ��� ���
� ���������������������� ����������� ����I������������� ���% ������ � ����������������� ������� �����
\��$
$
�OO O $ O A
�� � � � � �
� � �
ν� �� �− + + + − = � � � ���������������� �!� ��������� $� �≠ � ( )$��� � ' � � �ν
−= − �P�
\���� $� �= �� ����������� Aν ≠ ������������ �����������% �� ( ) ��� �� �� �ν ν− −= + �P���� Aν = ������������ ���� ��
( )��!��� � � � �−= + �
@ �������������� �<�$AA)� �A� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
\�$
$$
� �OO $ F H O � F H OF H F H A� � � � � � � � � � �
� ��
ν� �� �+ − + − + − − =� �� �� � � ������% % ��������� �
F HF H
� � ��� � ' �ν= � �P�
���&�������������������� F H �� � � �= <�������� ��
F H���
� ' ��
ν= ���� F H ���� � � �= <�������� ��
F H��
� ' ��
ν= �
����������������������������������������� ��������
'�% % �� ��������� �������������% % � ��� ������������������� ���������������������� �����������#���������� ������ ������� ������� �������� ������������������� ���������F�������� ����0�"����� �H�
$ $
$ $ $
� �� � ��
�ρ
ρ ρ ρ ρ ϕ∂ ∂ ∂� �∂∆ = + + ∂ ∂ ∂ ∂� � �
���N���������� ������ ������ �����������������$
$ $
� ��
" �
∂∆ =
∂�P����������% :% �������� �������������� �����������
� ���<� -�� ����% ��� ��� �������<� ���� ������� �� �� �� ���M����� ����% ��������� ����� ��� ���% ��
F < < < H F < < H��"�� � � � � �ρ ϕ ρ ϕ= ������������� ������ �� $ $ A� � � � � �∆ = − ⇔ ∆ + = �
' ��� � ���������������������% ����� ������������������� F H F H F H� 1 ' �ρ ϕ= Φ ����
$
$
� 1 1 1 1ρ ρρ ρ ρ ρ ρ ρ
� �∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= � = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂� �<�
������
F���H�� $ $ $$
$ $ $ $
� � � � �A
� 1 1 '�
1 ' 1 1 ' �ρ ρ ρ ρ ϕ∆ ∂ ∂ ∂ Φ ∂= + + + + =Φ ∂ Φ∂ ∂ ∂
�
������&����% ��������% ����� ��� ���� �� �������<�� �������� ��������$
$$
� � '/ &
' ��= = ± ����N������������ ��
�����'��� ��� �� ' � &� � &�+ = + ���� ��� �� ' � &� � &�− = + �? ����������� ������ �������F���H���
F��$H�$ $
$ $$ $ $
� � � �F H A
�1 � 1 �� &
1 � 1 � �ρ ρ ρ ρ ϕΦ+ + + ± =
Φ�
��% :% ������� �% � �������������% % � �� �����% � ��#�������$
$$
� �
�ν
ϕΦ = ±
����N�� �� ������������� ����
������� �� O��� O�� � �νϕ νϕ+Φ = + � F��� ���� �� ��� �� �� ���� ���� ����% � �� �� �� ��� ����������� ��� ���� �
�������� ������ � ������������#��� ���� �������������������� �������:���H���� O��� O�� � �νϕ νϕ−Φ = + ����� ��
��������������������� ���� �����������������������������ν ������� ������
"��� � ��#� ������������ �F��$H���������� ��$ $
$ $$ $
� �A
�1 � 1� &
1 � 1 �
νρ ρ ρ ρ
±+ + + ± = <������� �� �
$ $$ $
$ $
�A
� 1 �11 � &
��
νρ ρρ ρ
� �±+ + + ± = � �
�
; ����� �����������% �� ���� ��������������� ��������������������
$
$ $A�� � ��� "
�� �� ���� �
� �+ + + = � �
����������� �����
$�
$ $$
$
���
� � ' ��
λ
+− � � = +� �
������$F� H )
$
� "
�λ
− −=
+�
@ �������������� �<�$AA)� ��� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
F��(H�$
$ $$
� &νρ
− + − ��� ��S��<� ��S�A<� $ $� � &= − <� $" ν= − � ���N�$
$
νλ ν= = � ��� ( )$ $1 /' � &ν ρ= − � F/�
�� ��� �����% ���&�H�P�
F��)H�$
$ $$
� &νρ
− + + �����S��<���S�A<� $ $� � &= + <� $" ν= − ����N�$
$
νλ ν= = ���� ( )$ $1 /' � &ν ρ= + �P�
F��,H�$
$ $$
� &νρ
+ + �����S��<���S�A<� $ $� � &= + <� $" ν= ����N�$
$
��
νλ ν= = ���� ( )$ $�1 /' � &ν ρ= + �P�
F��2H�$
$ $$
� &νρ
+ − �����S��<���S�A<� $ $� � &= − <� $" ν= ����N�$
$
��
νλ ν= = ���� ( )$ $�1 /' � &ν ρ= − ��
4 � �������L�������������% � �������������� �� � ����������������������� �� �!����������
����� F��(H� ��� $ $ A� &− > � ���� ����� �� ������ $ $ $� & �− = � ���N� ��� ������� � ( ) ( )1 �# � �) �ν νρ ρ= + �P�
������������� ������!���% � ����������������F��)H������ $ $ $� & �+ = �
�����F��(H���� $ $ A� &− < � ��������� �������� $ $ $� & �− = − ����N����������� � ( ) ( )1 �- � �/ �ν νρ ρ= + �P�
�����F��,H����F��2H������! �������� �� ���������� �ν � �������������������#������������� ������� ���
>���� �������������� ���� ���� �� F < < < H F H F H F H��"�� � � � 1 ' �ρ ϕ ρ ϕ= Φ <���������������% �� ���� ������������F� � ��
�� � ��������% ��������������� ���� ����! �������� �� �������������<������������� �����!� � �������� ����������N�� ���� ������������ ��������� !����������� �% ���������% �� ���� ��������� ���H��
����������&��F; �H������������������% �� �����&���� ����������� ���� �F��� ���������������������&�% ������ ������������ ����� ��������&H<� ���������� ������������������ ��������� Aρ = <�����������% � �� ����������� ��)����/�
F������ ��� � ����������������&�� ���!H�
0������� ������� �������% ��������������� ���� ��� ����������!���� ������� ����������������������<�� ���!������
% ���� F H �/�νϕϕΦ = ���� � $F < < < H F H F H��"� �� � � 21 � ' � � 2� �νϕρ ϕ ρ= = ��N� �� ���� $� ��� �����&���% ���&���0�������:����
������ ������������% � �� � ������� �� ��� ������� ���� ���� ������ �� ����� ��� ������% ���&��� ����� �&���% ��� ����������� �����% � ����������!� ������ F% ���������:��������������������������� �������� ��������� ����% �����������+������ �% ��� �������� �����H�
�������������������������������������������������
��������� ������������� ������ ���!���% � �����% �� ���������������� ����������� ��������� ����; ���������� ��T �������% % ���; ��������� ������ �������������� ���������F��������������� �������������� ������% ���������% :% ��% � ����H���
$ $ $$
$ $ $ $ $ $ $
$ � � ��� �A
�� ��
� � � � �� �
θρ ρ θ θρ ρ θ ρ ρ θ ϕ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =∂ ∂∂ ∂ ∂
�
; � � ��� �� � �� ������� � ��� ��� ���% �� F < < H F H F H F H� 1ρ θ ϕ ρ θ ϕ= Θ Φ <� ��� ���� �� �� ������ ��% �����% � �<�
% ������������ ����� $ρ ����������� ����� 1ΘΦ ���
F���H�$ $ $
$ $ $$ $ $ $
� � ��� � �$ A
�� ��
� 1 �1 � � ��
1 � �� � �
θρ ρ ρρ θ θρ θ θ ϕ
� � � �Θ Θ Φ+ + + + + =� � � �Θ Φ� � � ��
������% ���� �1���� ρ ������ ���� ���� ���� ��� ����������� ��θ � ��ϕ � ����������� ������ �����
$$ $ $ $
$
�$
� 1 �1� �
1 ��ρ ρ ρ
ρρ� �
+ + = ±� �� �
<������ [ ]�F H F H F H1 �# � �) �ν νρ ρ ρ
ρ= + ������ $�
)ν ρ= ± �
@ �������������� �<�$AA)� �$� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
��� ������% % � ����� $�A
)ρ− < �� �����% ������������������ ��#�� �������% ���&��4 � ����������N���S�A<� ���
������� ����� ( )�F H1 � �ν νρ ρ ρ
ρ−= + ������������!� ��; ������� �������% �� �����1������������% � �������� ���� �
)��� ������� νρ − <��������� ������S�A�
"��� � ��#�F���H�������������% �� �� � ���
$ $ $$ $
$ $
�� ��� ��� A
��
� � ��
�� �
θ θ θθ θθ ϕ
� �Θ Θ Φ+ ± + =� �Θ Φ� ��P�
% :% �� ����� �% � �� ���� �� �������� ���N� ��� � �����$
$$
� �
�µ
ϕΦ = ±
Φ<� ����� F H ��� �� � �ϕ µϕ µϕ+Φ = + � ���
F H ��� �� � �ϕ µϕ µϕ−Φ = + � '�� ��� ���� ���� ����� � ����� ��� % :% �� ������% �� ���� � ���� �������<� ���
������� � ���� �� �� ����������� �� ������������������ F�� �� ��� �� �� �N� % :% �� ��� µ � ����� ���� � ����<� ���
������� �������������I��������� ��������� ������ µ �� ����H�7 ��� �������� !µ = ��� �����
�����% ������� ������� ��
$ $ $ $$ $ $ $
$ $ $
�� ��� ����� A A
�� �� ��
� � � � !� ! �
� �� �
θ θ θθθ θ θ θθ θ θ
� � � �Θ Θ Θ Θ+ ± ± = ⇔ + + ± ± Θ = � �Θ � � � ��
���������� ���� ����������� ����������&��� ���� ������!� ����F���������� ����M������ ���&������������C H�#�
�� ����� ����� $ F �H� � �= + ��N�������� ���������������� ����������������� �������#�����������
����33] ] ] � �I��% 3������������3% �� 3�����3������3 ���� �% ��
; � ����� % � ������� �� ��� ������� �����% ��� ��� ������ ���� ��% % �� ��� ���� ���� ����������<� ��������� �̂�� ������������ ����� !�<�������������!��� ������� ������������������ ����
������������� ������������ �
1�� � � ��% ����� ��������� � ���� ����
A�
� � �� �
′′ ′+ + = � ����� ��������� � F��(H<� � � ����� ������ ����� ��� ����
��S��<���S��<�"�S�A<���S�Z���
; ���������
�A $
A $� � ' ��� � = � �
<�����������$
��
ω= <� A A AF H $ $ $� � �
� ' �# �)� � �
ϕ ω ω ω� � � � � �
= = + � � � � � �
�F ���I�
��� ������� ���
�ω � ���� �� ����� ��� �� ����C H� +���� ��S�A� � � ����� ���������� ���������� ������� ϕ <� ��� ����
� ����������!������)A<������������% ���% � �� AF H $�
� �#�
ϕ ω� �
= � �
����N���% % ������������ �!� ������������������
���% �� F < H F H � �� � � � � ωϕ= <����������� ��
AF < H $� � �� � � �� #
�ω ω
� �=
� ���
+�������������������S� �� ��������������S�A<���� �% ���� $�
�α ω= ������� ��� �����I��������#A<� ������� ��
�������
$�
�
ω α= ������% % ������I������� ��� ���� ������ �� ������������������ ����������� � �% ����� �� �����
% ���������������� �
@ �������������� �<�$AA)� �(� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
������ �
��!�)���������� �������������� ������������ ���F� �% ���� ��� ����33���% � ����% �� �������3������3������W��� �% H�
�
@ �������������� �<�$AA)� �)� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
������������������! � �"��
3������������#���������
'� ������ ���������&��� ���� �� $
A
F H$ V
� ���
��
�� � � �
�
+∞
=
= = ����
�
$
A
F H �F H
$ V
� ��
� ��
�4 � �
� �
+∞−
=
−= = ��N�������� �����% �����
��% ���&�� �� ���� ���% ��� �� �������� ������ ���� 4� �� � �� �� !�������� ���� ������� � � A� ����� �� ��� ���������F�H�S��F�H4F�H������ \���������% ������� !���������������
$ $
A A A
F �H � F �H F �HF H
$ VF HV$ V $ F HV $ VF HV
� � ��! � ! � ! � ! � !! ! � ! �
� ! � ! � ! �! ! !
� � � �� � � � �
! � !! � ! � ! � !
− − − −− −
− −= = =
− − − −� �= = = −− − � � �
4 �� ��������T��� ��������� ��� ��� �������������% ������������������ ���� F H F H ��
�
� � 5 � �+∞
=−∞
= �� �������� �����
% �� ����������������; ���������
�
$�
�F H
$
��
�� �
��5 � �
� �γπ
� �− � �
+= � ��N� γ ���������������� ����?����� ���������������
����
�
$ $ $ $ $� � �
A A
� � F �H F �H �
V $ V $
� �� � �� ��� �� ��� �
� � � �� �
� �� � � � �
� � �� � �
� � ∞ ∞− − � �
+ + + += =
− −� � � �= = = � � � � �P� ������ ������ �� ���!��
��% ���% � ���� ������������� ��������� ���% ������ ����A������� �� �<�� ������� ��!�������% ��#����% ����
$
�A
F �H �F H
V $ $
����
� � ��
� �5 � ��
� � �γπ
∞
+ +=
− � �= � � � �
��������������� ��!�������������� �������� ��������% �������'��� ���� F H�
V F HF H
$ F H
��
� � 5� � �5
� 5 �γπ +=−� <���������� ��
�����
F H$
$�
A
� � �
$ F HV F HV $
�� � ��� � �
� �
�
� ��� �
� � � � ��γπ
+ +
+ +
=
� � � � = = + + � �� �� �
; ����� ��$
A
F �HF H
VF HV $
� ��
�
�
�5 �
� � �
∞ +
=
− � �= + � � ��N� ������������ �� ����� ���� ����������������� �ν = �P�� ���������
$
A
F �HF H F H
VF HV $
� ��� �
�
� � �
�� � � # � �
� � �
+∞ ∞ +∞+
=−∞ = =−∞
� �− � � = = + � �� � <�
�������% � ������������������� ���� �!� ��������������� ���� ��������������� ������ �����
3���������������������������#�� �����$������
; � ����� ���� �� �� ��� ���� ��� �� ������ ��� ���� �<� ��� � � �� F H ��
�
� � � �+∞
=−∞
= � �� �� ��� ����� ��
{ }� A $3� � � � � �= < − < � � �������
A
F H�
$ F H� �
� �� ��
� � �γπ +=−� � �N� γ � ���� � � � �% � � ���% �� �� �� � �� �A� #�
��� �������������7 ����������� ���� ������������#�����
@ �������������� �<�$AA)� �,� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
F$��H��( )
�
$ $ $F �H �� $
�A A
� � �F H
$ $ $
�� � �� ��� � �
� �� �� �� � ���� �
�# � �� � � �� �� � � ��
� ��
π π
γπ π π
� �− −� � − − + −+= = =� � � �
F� � �� ����� ��% % �� � �% � � γ � ��� ������� � ���<� ���N� < A $��� � � π= ≤ < � ��� ������
��= �P� ������ ���% ���� ���� �����
�% ����� ��H�
; ��������� ������������� � �π π− ≤ < �������� ��� � !����� ������ �� �� �F H
$�� � ���
�# � � � ��π
ππ−
−= � ������ �
� � !�� ����� �Z���� �� �� �� � �F H F H
$ $�� � ��� �� � ���
� �# � � � �� � � �� # �π π
π ππ π− −
−− −
= = = −� � ����������� � !�% � �����
��������������� �Z��
-�������� ��� ���������������������% ���������������
( )
A�� �� �� �� ��
A A A
�� ��
A A
� � � � �F H
$ $ $ $ $
� ���� ��
$
�� � ��� �� � ��� �� � ��� �� � ��� �� � ����
�� � ��� �� � ���
# � � � �� � � �� � � �� � � �� � � ��
� � � � �� � � �� ��
π π π π
π ππ π
π π π π π
π π
− − − − −
− −
− −
= = + = +
= + = −
� � � � �
� ��
���% ������ ��% � ��������� ���� ��8$)�����5 �� ��% �������� �% ����������% ��������� ������������ �� �����
� �� ������ �� ������� ��� ��� �������� ��!����� ��������% ���������������� ������
F$�$H�� ( ) ��
A A
� �� F H ��� �� � � �# � � � � �� � ��
πν
ννπν
π π
+∞− −= − −� � ���������"�F H A� > �
4 ��&���������������������
F$�(H�� ��S�A���$ $
�� ���A
A A
� �F H
$ $�� � �� �# � � �� � ��
π π
π π= =� � �P�
F$�)H�� ��S�����$ $
�� ����
A A
� �F H
$ $�� � �� �� � ��# � � �� � ��
π π
π π− −= =� � �
+����������������� ���� �����
( )( )
�� �
A A �$ $
$� � ���F H$
F H �� F �� H F �H�
�$
� � � �
�
��) � � � � �� � � � �� ��
�
ν
πν ν ν
νν
νπ π π ν
−
∞ ∞− −
+
� �− � �= − − + − =� �Γ − −� �
� � � <�
�
��F H
$
� ��- � � � ��
�ν
νγπ
� �+ − −� �= � <��
��� ���
A A
� �� F HF H ���F H� � � � �- � � � �� � ��
πν
ννπν
π π
∞− −= −� � <���������� �� ���
A
�F H ���F H� ��- � � �� ��
π
π= � ���������ν �����
� �� �����
�A
$ $ $
�F$ H
���$F H
F H
��
/ � ��
� �
ν
νν
ν
π
∞
+
� �Γ + � �=
+� ����������������% � �� A
$A A
���F HF H ���F �� H
�
��/ � � � �� ��
�
∞ ∞= =
+� � �
; ����!���% � ���
��$ $
�
F 3 $HF H F� H
�
$
����# � � � ��
ν νν
π ν
+ −
−= −
� �Γ + � �
� ����N���������"�F H A� > <�
�����������������������������������������������������������
��_����` �7 �5 ���� <���!������"������������ ����<���(2$�
@ �������������� �<�$AA)� �2� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
F$�,H��
�F H $ $
�F 3$H
$F H F �H < �< $
�
$
! ���
2!
�
. � � � �� !
�
νν
ν
ν
π
−� �Γ − � �= − =� �Γ � �
� �<��
����������� F�3$ H F�3$ H 3���ν ν π νπΓ − Γ + = �
F$�2H��
�F H $ $F 3 $HF H F �H < �< $
� ����
$ $
! ���
2!
�. � � � �� !
�
ν νν
ν νπ
−= − =
� � � �Γ Γ + � � � �
� �
�N��������M����'�����'$��� ��������� �����������������
�
4 ��% :% ��� ������ ���
F$�EH��
( )
�� ��$ ��� $$
�A �
$
F H� � �
�� $$ $ $
��� ��
�
# �
� � �
�
πρ θ
ρθ θ
ρ
−−−
−
� � � �= Γ Γ − � � � �� �
F$�8H�� �A
A �
�F H F H �
$A �
� �
# �� # � �� �
�
ν
ν ν
∞
+
� < <��= =��
>��
� �
3"�������! � ����������
+��� ����S�0�a�5��� ��
�
$F H F H
��
���
�
� � � # � �
� � +∞− � �
=−∞
= = <� �������� � ���
� �
$ $F H F H F H F H F H
0 5� �
� &� �� �� � & � &
� � & � � & �
# 0 5 � � � # 0 � # 5 � # 0 # 5 �
� � � �+∞ +∞ +∞ +∞− − � � � �
=−∞ =−∞ =−∞ =−∞ + =
� � + = = = � �
<�
�����
F H F H F H� � � �
�
# 0 5 # 0 # 5+∞
−=−∞
+ = �
? �������� �� F H F �H F H�� �# � # �− = − �� ������ ���������������� ���������������+����&�% �����������S�A����
A A A
�
F H F H F H F �H F H F H F H F H $ F �H F H F H� �� � � � � �
� � �
# 0 5 # 0 # 5 # 0 # 5 # 0 # 5 # 0 # 5+∞ +∞ +∞
−=−∞ =−∞ =
+ = = − = + − �P�
�������S������
Z�� a��
'��'$�
��� ���
@ �������������� �<�$AA)� �E� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
��
� � � A � �
�
�� A � �
� �
� �
�
F H F H F H F �H F H F H F H F H F �H F H F H
F �H F H F H F H F H F �H F H F H
F �H F H F H F H F H
� �� � � � � �
� � �
� �� � � �
� �
�� � � �
�
# 0 5 # 0 # 5 # 0 # 5 # 0 # 5 # 0 # 5
# 0 # 5 # 0 # 5 # 0 # 5
# 0 # 5 # 0 # 5
+∞ − +∞− −
− − − −=−∞ =−∞ =
+∞ +∞−
+ −= =
+∞
+ +=
+ = = − + + − +
= − + + −
� �= − +� �
�
����
�����% ����!� ����������������
A �
F H F H F H F �H F H F H F H F H�
�� � � � � � � � � �
� �
# 0 5 # 0 # 5 # 0 # 5 # 0 # 5+∞
− + += =
� �+ = + − +� � �
3��������! � �����������������
"���� � �� � �� �������� ����� ����� �� ���� � !� �����������
�
$F < H F H
��
���
�
� � � � # � �
� � +∞− � �
=−∞
= = ��� ������ �� ����
��������#������
( )
�
$$$ $
� � �� � � �
� �F < H � � F H F H F H
$ $ $ $
F H F H F H F H <$ $
��
� � ��� � �
� � �
� � �� � � �
� � �
� � � � �� � � � # � � # � � # � �
�� � �
� �# � � # � � # � # � �
� � +∞ +∞ +∞− −� �
=−∞ =−∞ =−∞+∞ +∞ +∞
− − −− + − +
=−∞ =−∞ =−∞
� � � �= + = + = + � � � �
� �= + = +� �
� �� �
�
�������������� ����
�F < H F H ��
�
�� � � �# � �
��
+∞−
=−∞
= ����N�������� ��������� �������������� ������
( )� � � �
$ F HF H F H F H F H F H
$�
� � � � �
�# ���# � # � # � # � # �
�− + − += + ⇔ = + �
; �����% % � ���% ����� ������� ��������������#����������������
( )
�
$
� �� �
� � � �F < H F H
$ $
� � �F H F H F H F H <
$ $ $
��
���
�
� � �� � � �
� � �
�� � � � � � # � �
�� � �
# � � # � � # � # � �
� � +∞− � �
=−∞+∞ +∞ +∞
+ −− +
=−∞ =−∞ =−∞
� � � �= − = − � � � �
= − = −
�
��� �F < H OF H ��
�
�� � � # � �
��
+∞−
=−∞
= ���N��� ���% � ���
( )� ��
OF H F H F H$
� � �# � # � # �− += − �
? ��M���� ������ ���������� ���������&�������� ������ ���<�� ����
( ) ( )
( ) ( ) ( )
� � �
� � $
�F H F H OF H F H F H O F H
F H F H OF H O F H F H OF H OF H OOF H
� � � � � �
� � � � � � � �
� �# � # � # � # � # � # �
� �� � �
# � # � # � # � # � # � # � # �� ��
− + +
+ +
+� = + ⇔ = +���� = − � = − − + −��
�
@ �������������� �<�$AA)� �8� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
���N� ������ ��������� % � �������� ����$
$
�OOF H OF H � F H A� � �
�# � # � # �
� �
� �+ + − =
� �<� ��� ���� �������� �� �� ��� �����
������� ���������C �
; �������!���% � ������ ��� � � � �
$ F H $F H F H F H F H F H�
� � � � �
�# � �# � # � # � # � # �
� �− + − += + ⇔ = − ����N��
F$��H� � � � �� $
OF H F H F H F H F H F H OF H F H F H$
� � � � � � � � �� � �
# � # � # � # � # � # � # � # � # �� � �
+ + + −� �= − − = − ⇔ = − + � �
�
4 � ����������������������N���S�A�� ������ �� A �OF H F H# � # �= − �
�
'� ������ ��% �� �� � ���������&�������� ��F��(H��������� �� ��#���������% ����������������
( )
( )
$$ $ $ $
$
$$ $ $ $
$
A
A
� � ��� � � � � �
����
� � ��� � � � � �
����
�+ + − =�
��� + + − =��
�P�
% �������� ��������% ����������
�����������&��% ������
�
���������������� ���������&����
( )
( )( )
$$ $ $
$ $$$ $
$ $$$ $ $
$
A
A
� � �� ���� � � � �
� � ��� � ���� ��� � � � � � ��� � ��� ���� ����� � ��
�� � � � ��� ���
�+ + − =� � �� � �
� − + − = − � � �� �� + + − =��
�
? ������������% �������% �����������������������������#���������������� ��
� � ��� ��
� �− � �
<� �������� ���� ��� ��!����
������������� �� ���% ���L� ������������������� ���� ������������������� �<�#�������� F H�# �� ���� F H�# �� ���
[ ]$ $
A
F H F HF H F H F H F H F H OF H F H OF H F H
�� �
� � � � � � � �
�# �� �# ��� � �# �� # �� �� � # �� # �� � �# �� # �� �# �� # ��
�� ��
� �− = − = −� �� �� �
� ������ ���������% ��������� �����������% % � �����
�
OF H F H F H
OF H F H F H
� � �
� � �
�# �� # �� # ��
���
# �� # �� # ����
+
+
� = −���� = −��
<�������� ������ ��
F$�$H� [ ]� �$ $A
F H F H F H F H F H F H�
� � � � � ��
�# �� # �� �� �# �� # �� �# �� # ��� �
+ += −−� <�
���� ������ �������� ����������������� ������#����
F$�(H� [ ]� �$ $A
F H F H F H F H F H F H�
� � � � � ��
�# �� # �� �� �# �� # �� �# �� # ��� �
− −= −−� �
4 � �� ���� ���&� ���� ���� ���&� ���% ����� �� �� � ���������� ��� ��S��� ; � �������� �� �� �������% � �� ����� � �� � !�% � ������������������ ��� ��!����� ���������������
$$ $ $ $
$ $A A A
� �F H F H F H F H OF H
$
� �� ��
� � � � ��
�# �� �� �# � �� # �� � # � # � ��� �
= = −� � � �P�
��� F H�# � �������������������� �F��(H��������S������N� $ $ $OOF H OF H F H F H A� � �� # � �# � � � # �+ + − = <������� �% �������� ��
���� OF H�# � ����� ������ ��������� ����� ���������� [ ]$$ $ $OF H OOF H OF H OF H F H OF H F H� � � � � � �� # � # � � # � � # � # � � # � # �+ − = − �P�
��% ���L� ���� ����� ��!���������� �������
[ ]$$ $ $
A AF H OF H OF H OOF H OF H OF H F H
�� ��
� � � � � � �� # � # � �� � # � # � �� � # � � # � # � ��− = + −� � �
@ �������������� �<�$AA)� �9� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
>� ����� ������������ �� [ ]$$ OF H�� # � ���[ ]( )
[ ]$$
$ $OF H
$ OF H $ OF H OOF H�
� � �
� � # �� # � � # � # �
��= + <� ��� ���� ������ ��
� �����% �������������&����% ��������% �������� �������% ����������� �<���� ������������ ��
[ ] [ ]$
$ $$ $$ $
A
� �F H OF H OF H F H
$
��
� � � ��
� # � # � �� � # �� # ��� �
� �− = −
� �� �
�� ���% � ��� ����
[ ] [ ] [ ] [ ]$ $ $
$ $ $ $$ $ $ $$ $ $
A
� �F H F H OF H F H OF H � F H
$ $ $
�
� � � � � �� � �
�# �� �� # �� � # �� # �� � # �� # ��� � �
� �� � � �= + − = + −
� � � �� �� �
'������������� ��!�������� ������������ ��!���������6�!!� �
@ �������������� �<�$AA)� $A� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
%��$�! ����! ������! ������
+���� �����F$�2H��N� �������� �� �� �5= + <������&�% ������ �� F�H.ν ����
�F H $ $F 3 $HF H F �H < �< $
� ����
$ $
! ���
2!
�. � � � �� !
�
ν νν
ν νπ
−= − =
� � � �Γ Γ + � � � �
� �
����� ��
F(��H�� ( )�$ )
F�H $ $F 3 $H
F H $� �
���$ $
� �
�5
2
� �. � � 5 �5 �5
π πνν ν
νν νπ
� �+ −� �� � −−= +� � � �Γ Γ + � � � �
� �
�N�'�������������% ���� ������ �����'�������F �H5 ��
= − <����������� �����'������������
�
���� ���� �#�� ��!��������� ������&���� ��������� � �% � �<�� �5�S�A���� $$
�5 �= − = �+���� "�F H A�5 > ����
"�F H �3$ν > − � ��� ��!������� ��F(��H������� ���!� ������ ��������� ���������% ������� ���������������������
������M���F +∞ <�ε H<���������������F�H������ ����; �������� �ε ��������������M���Fε <� +∞ H�
������� ε ��� �������A<���� ��!���������F�H��� �������% % � �������A���������������&���% ��������������� ��!�������� ����� ���������F&H���! �F�H������; ����������
F(�$H�� ( )�$ )
F�H $ $
A
$F 3$HF H $
� �
$ $
� �
�5� �. � � 5 �5 �5
π πνν ν
νν
� �− −� � +∞� � −−= +� � � �Γ Γ + � � � �
� �
�� ��!����� ���� ��� ��� ����% ��� ��� ������� ��� ( )�
$ $F H $� 5 5 �5ν −
= + � ��� !�B������ ��% % ����� 5 ���� ���� ���
� ���������������� ���� �`�% % �� ��������� ������ ���������������% � �����% ������������.��
4 �������� ���� ��� �������������% ���
( ) ( ) ( )�
� � �$$ $ $ $
A
�
F H $ $ � $ $$ $
�
�
�5 �5� 5 5 �5 5 5
�
νν ν ν ν∞−− − −
=
� �−� � � � = + = + = � � � � � � � �
�
���� ��!�� �����% ��#����% �����
( )�
$A A
A
� ��$ $$
�A
A A $
�
F H $$$
� �� �
$ $$ $$
�5� 5�
�
� ��� 5� �
�� �
�5� � 5 �5 � 5 �5
�
� � 5 �5 � �
� � �
ν
ν νν
ν
ν
ν νν
∞∞ ∞ −− −
=
∞ ∞− − − −∞ − +−
+ += =
� �− � � = � � � �
� � � �− − � � = = Γ − + � � � � � �
� �
�
�
�������������% ���������� ��������������
'�
��� �5�
@ �������������� �<�$AA)� $�� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
F(�(H�� F�H $ )
A
�
$ $F H
� $V
$
�� �
�
��
. � �� �
� �
π πνν
ν
π ν
� � ∞− −� �� �
=
� �à + + � �� �
� �� �Γ − + � �
� �
�� �� ����� � �% ������ "�F H A�5 > � ��� ��� ����� ������ �� ���� � � ��� �� ��� ��� � �% � �� � � $�� �����
( )�
$ $F H $� 5 5 �5ν −
= + � �% � �� #� � ��!���� �����% � �� ���� � � ���� ��� ������� ����� �� ��� ��% ���&�� �% �!� �����
�������<������� ��������������� !���������&��P�� ��������� ���������&�% ����(
��!$ $
5π π− < < ���� "�F H A�5 > <�
��� ���� ���� �������� �� #� ( )��� ��! ��! A ��! ��!$ $
� 5 � 5π π+ > ⇔ − < + < � '������� ������� ��� �� ��� � ��� �
�� �������&�������� ����!F�H������!F5H���
�
�� I� �� �� ����� �������� �� #� ��� �!������ ������� ��� ��� � � ����� ���� ��� � ����� ��� ����������� ���
��!F H $�π π− < < ���% :% ������� �% � �������������#� F$H.ν �� ���% ���L� ��������Z�<���������� ���
F$H $ )
A
�
$ $F H
� $V
$
�� �
�
��
. � �� �
� �
π πνν
ν
π ν
� � ∞− − −� �� �
=
� �Γ + + −� �� �
� �� �Γ − + � �
� ������ $ ��!F H�π π− < < �
'�% % �� ( )F�H F$H�F H F H F H
$# � . � . �ν ν ν= + <�� �����������������% � �������� ��b����% � �������c���
$
π−$
π$ππ−
(
$
π−
$
π
��!F�H�
��!F5H�
@ �������������� �<�$AA)� $$� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
F(�)H���
$
A
$ �
A
�F �H $
$ �$F H ���
�$ ) $F$ HV $
$
(F �H $
$ �$��
�$ ) $F$ �HV $
$
��
�
��
�
�
# � �� �
� �
�
�� �
� �
ν
νπ πν
π ν
νπ πν
π ν
∞
=
∞ +
=
� �− Γ + + � � � �� �− −
� �� � � �Γ − + � �
� �− Γ + + � � � �� �− − −
� �� � � �+ Γ − − � �
�
� �
����� ��!F H�π π− < < �+�����������% � ������ � ��!����������������% ��������% �����
F(�,H�� $$ � $ �F H ��� ��
$ ) $ $ ) )# � � �
� � �ν
π π π πν ν νπ π
� � � �� �− − − − − − � � � �� �
� �
���� �
��!�,���"������ ����� ��������������� ���� ����#A<�#��������������������% � �����% ���������F��S�AH�
�
�� �������� ������� ��% ������� ���� ���� I����� ��� #� �� �� �����% � �� ���� ������� �� ��������� �� ��� ������� � �α= <�������� �������������������% % � ��� �+ �������
+�������� ������% :% �����������������������������% �� ���������� ��<������������������������ �������� $ !π <�!�
� ����<������������������������� � $ $ $ $F H F H F H F H� ! � ! � ! � !# � � � # � # � � # � �π π π πν ν ν ν
−= ⇔ = �����% �����% � �����������
$� !� �π � �� � � !�� ��� � ����� �����$
�π� ���� ����� ��
$
$ $ $F �H� ! !
� !�
� �� �
ππ π ππ
−= = − � ��� �����
��!F H�π π− < < ���������� �� $ ��!F H F � $ H ��!F H F� $ H! � ! � !π π π π π− < + < ⇔ − − < < − �
�� � � !�% � �� ��� ��! �� #� � ����� ����� ���� �� ����� � � ����� � �������� � �� ������ ��� ����� �� ������ �� �� �������������% � ������% �������������������4,��!$������7������P�������������� �����5 ���� ����
b��4�� ��"�� �4��� �4��"��������� ��0� 0��� ��� �4�����!�����"���������������4����� ���"� ���"����� F H# �ν ��������"����������
5������"�0��������7���������8���"4�9:�;<=>������4�����"�0����5����������� ����������4����54�"4�����!��������4������" �"������4��!�������c�
��� ���������� �� � �� F H?.ν � ���% ���� �� ������ ��� ���� ���������% � ��� ���� ������� �� ���� ���� ���� �&�% ����
( )F�H F$H� $F H F H F H ��
$ $ )) � . � . � �
� �ν ν ν
π πνπ
� �= − − − � �
� �
@ �������������� �<�$AA)� $(� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
&��'������������������������� �
@�����(�����������)����
� ������� � �% �������� ����% ������������������ ����������� ��������� ��������������&��% �����������% ���� ������������������������� �������������� �F��(H� ���������������������I�������% �����F������������S�A<�ν U�H�+���������������&�������� �� �� �����% � �� � ���� �� ���� ������� �����������I�������% % � ���������I������� ��� ���������'��������� ��������������� ��!������ ������������������� C �
-��������������������������������������ν ������������� �ν > − �P�� �������������&�������� �I����F�AH�����������% �!� ���������������� �����������
( )$$ $A A A A
A
A A
$A A
A
F �HF �HF H
$ V F �H $ $ V F �H $
�P
$ V F �H $
�� ���
� �
�
�
��� �� �� �# �� �
� � � �
�� �
� �
ν νν
ν
ν
ν ν
ν
∞ ∞
= =∞
=
−−� � � � � � � �= = Γ + + Γ + +� � � � � � � �
� � � �= Γ + +� � � �
�
�������&������� ������ ����% % ��������% �������������������� ����� ������ ������
_������ �� ������� � I���� ����� ��% ���&��P� ������� �� ���� �A� � � ����� � � FI���� ��% ���&�H� ��� ����� � �� ���
���% ����F$�$H��N� ������� � �� A� �= ���� A� �= ������ M�!�������A����
A A A � A A A � A A$ $AA A
F H F H F H F H F H F H� ��# � � # � � �� � # � � # � � � # � � # � �
� �ν ν ν ν ν ν+ +� �= −� �−� �
�����������������<� F H# �ν ��������!���% � ���� ����� AF H A# �ν = ������� AF H A# �ν = �
+�����������% � �� � � ���
A AA
F H F H A�# � � # � � ��ν ν =� <� % ���� A A A A A AF H F H F H F H F H F H A� � � � � �# � � # � � # � � # � � # � � # � �= = > <�
�������� ���% ���������
4 ��&��% �� ��� ���� ���� ������ ��� ���� ���� ��% % �� � � ����� ��� ��������� ��� ��!� )�P� ��% � ��� ������������������������������% �������
F)��H� ( ) �F H F H�
� # � � # ���
ν νν ν −= ���� ( ) �F H F H
�� # � � # �
��ν ν
ν ν− −
+= − �
�����% ������������ ��#�����������F$��H�������� �OF H F H F H�# � # � �# �ν ν νν −= − + �� ���� �% �������� ������ ��ν − ��
��OF H F H F H� # � � # � � # �ν ν ν
ν ν νν −−= − + �P�
������ ����
( ) ( )��F H OF H F H F H F H
� �� # � � # � � # � � # � � # �
�� ��ν ν ν ν ν
ν ν ν ν νν −−= + � = �P�
� ����!���% � ��� �� ��!�� �����
F)�$H� A�
A
F H F H� �
��� # � �� � # �ν ν
ν ν− =� �
? � ����� ���� �������� ���� ������� �������&�I������� ������������ � #νν � ��� �� �� ��� % �� ��� �I������� �� #ν
ν − �
���������������������� �������% �� ��� �������
+����������&��% ���������������� �������� �������������% �����F$��H��� �OF H F H F H�# � # � �# �ν ν νν += − �P�� �� ��������
���� �������&�I������� ������������ �� #νν
−− �����������% �� ��� �I������� � #ν
ν− �P�� �� �� ���% ���� �����������
����I������� ����% �����F��� AF H A# �ν = ������� AOF H A# �ν ≠ H<���� ������������������I������% % � �#� #ν ���� �#ν + �
+���������� �����������������������������I��������������������� ���� �������������� ��� ���������
��������% ��% �� �� � ������������ ������������������ ������������ ���������C �1��� ���������= ������ ���� ���� ���� � U� ���������������� *�� ���� �� �� ��� ������� ��� I���� �% ���� �� ����� �ν = � 0�� ���� �����������
@ �������������� �<�$AA)� $)� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
� ������� �� ��� ��!������ � �� ������� ����� � ���� ���� I����� ����� � � ������ � �% ���� ��� �������� ��� �� F���������% � ��� ����H�
���� �
��!�2���,A����% �����I����������� ���� ������������F���% �����������H����������������� ���<�A ,< � ,A� �≤ ≤ ≤ ≤ �
; ������������% � ������% ���#������������������% ������������������������ ������������� �������
+��% ����� ����% ��������������������������������� �����F��(H������������ν �������������� $ �
)ν > �P����� �� �α ����
��α + ����&�I������� ������������ ��������� �������� F H' � ����F��(H<��������
�$ $
$ $�
�3) �3 )� �
� �
� �
π πα αν ν
α α
+
+
< − <− −− −
�
; ���������������!����������� ����������������� �������π <�����������M���������������� �#������������������ �!������
�� �����% �������N����� �α ��� �� ���������� �� ��
+��� ���
' *�
= <�������
$
$
�
)OO � A* *�
ν� �− + − = � �
�P������A�� ��������� ����
$
$
�
)OO � A�
A Aν
α
� �− + − = � �
�P���% % ��
�α � ���� �� ��� �� � �� ������� � ��� ������ ������� � ����� ��������� F H A�A α = � ���� ���� �&�% ���� ��� ��� ���% ��
( )�� A � � �ω= + � �����$
$
�3)�
�
νωα−= − �P� ����� F H A�A α = � � � �� �� F H A� �� �ωα ωα+ = � = − �P� � � �����
��� ������S��<� ����� ��� ������� � ( )�� �A �ω α= − � >����� �� ��β + � ��� I�������A� ��������� �α � �� �� ��������
������� �<� � � �� ������ � �� � � �πωβ ωα π β αω+ += + � = + � 1�� ���� ������ �� #� % � ����� ���� � �� �α β+ +< � ����
���� ������������������������� �!������
1������ ���� ������� ��������� � �� �α β+ +≥ �������� OF H A�* α > �F���������������� ��������������� �% � ������������
% :% �H���*������������������������ �K P J� �α α + �P�% �� �� � ��������� ����% % �����$������ �% �������������A����
������������ <�
$
$
�
)OO � AA* A*�
ν� �− + − = � �
��������*�������&��% �<�
$
$
�
)OO � A�
*A *Aν
α
� �− + − = � �
<�� �������������
@ �������������� �<�$AA)� $,� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
$$ $
� � �OO OO A
) �
A* A * A*�
να
� �� �− + − − = � �� ������ �� ��!���� ���� �α ���� ��β + ����
( )�$ �
� �$ $
� � �O O F H OF H
)
� �� �
�� �
A*�� A* *A * A�
β βαα
ν β βα
+ ++ +
� �� �− − = − − = � � � �� �
; ��� �������� � �� �α β+ +≥ ��� ��������% ����% �% ����������������F����A�U�A�� ���� �α ���� ��β + <� �OF H A�A β + < ��������
A�Y�A<� �OF H A�A β + < ��� ������� ��������� �% �C H� 0�� �����% �����������������������! ���������� ��<��� ������ �
� �� �α β+ +< �����% ��� �������&����% � �����% :% �����������������!��� �������� �!������� ���� � �� ��α + �#����
��������� �α �
@��������������������� ���! ! ������������
0�� ���� ��������� ���&���% ��� F H# �ν � ��% % �� �������� ] ������������ � ��� ����� ���� ��������� ����������� �����
�������% % � ��; ���������� �� % �� ���� ��������������!� ������N�����I���������� ��:������% ���&��<������
��������ν �������% ���&��; � ���� �? �����I���������������������������������� F H F HB � � # �νν
−= ��� !��������������
�������������� ���F���b������������c����b������!�� ��cH�'�% % �� F H� # �νν
− ����������<���������!���% � ������I�����
�?− �
+�� � ��� ����!������� !���%��� ��������% % ������ ����&���� ��� � ��± ± ��N����b������!�� ��c�I�������� !?− �#�
!��� ����� !? �#��������
'� ������ ��% �� �� � ����� ��!����������������� !����� �F H
F H F H%
# 5��5
5 5 � # 5ν
ν
+
−� ��N������� ��% �������������� ��
� �������� ��� ����� !��� F����� ���� I����H� ��� ν � � � � ����� �!����� ��� ������ �T���� #� ��� �������� ���%� �� ��
�< � < < !? ?± ± �P������������������ ��I����� �F H
F H
# �
# �ν
ν
+ <���������������&���� ��� � < < !? ?± ± ��� ��� �
� �� ? ?±
����������
�F H F H# � # �ν ν +′ = − ��������� �� ?= ± ���������F$��H�; ����� ���
� �
� �
F H F H� � � � �
F H $ F H F H
! !
%� � � �� �
# � # 5��5
# � � ? ? � ? ? � 5 5 � # 5ν ν
ν νπ+ +
= =
� � � �+ + + − = − + −� � � � � �
1��� ���� ��������������% � �����% ������������ F H# �ν <�� �% � �������� �F H
F H
# 5
# 5ν
ν
+ �������� ������������������ ��
������% � ��� �����%<������������� ��!����������������� �������A������������������ �� ���������� �� ��; ����� ���
�
� �
F H � � � �
F H
! !
� � � �� �
# �
# � � ? ? � ? ?ν
ν
+
= =
� � � �− = + + − − +� � � �
�
0 ��!�� ����
�
�
�������������� ����
[ ]�A
A A
F H OF H F H� F H �
F H F H FAH
� ��# � B � B �
�� �� B �# � B � Bν
ν
+− = = =� � �
+������������ FAHB <�� ���������$ $
F H F H FAHF �H F �H
� # � B � Bν ν
νν ν ν
− −− = = + � =
à + à +������ ���% � ��
( ) ( ) ( ) ( )�
A� �
$
$� � �
F H� � � �
F H
� � � � � � P
! !�
� � � �� �� �
� �! !? ?� �
� � �� � �
# � � ��� � ? ? � ? ?
# � ? ?
� � �� �
? ? ?
ν
ν
+
= =
∞−
= = =
� � � �− = − − − + + + − −
� � � �
� � � � � �� �� � � � = − + + = � − � � �� � � � � �� �� � � �
�
∏
@ �������������� �<�$AA)� $2� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
�
$ $
$ $� �
F H �� F H �
F �H $$
F �H� �� �
� # � � � �# �
? ?
ννν
νν νν
∞ ∞−
−= =
� � � �� �= − ⇔ = − Γ + � �� � � �Γ +
∏ ∏ �
@ �������������� �<�$AA)� $E� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
+��,�������! ������- ��*� �
<������ ������ ����! �����) ��
>�� % :% �� ������ ���� ��� ��� ����% ������ �������<� � � ���� ��� � �� ��� ����% ���#� �������� �� ���� ����� ����������% ���� �� ��� ������ � ��� �� �� ���� � '���� ��� ��� � ��� ��� � ��� � �� ��� �� �� �� ��� ��� � � ���� ������ ���� ����� ���� ���� T% ������ �!� ���<� ��&�% :% ���������� ������� ������������������� �!� ������ ? �% �% �������� ��������% ������������������������� ���������������������!,�����.���� ��
; �����������% % ����� �������������������������F$�$H���
[ ]� �$ $A
F H F H F H F H F H F H�
� � � � � ��
�# �� # �� �� �# �� # �� �# �� # ��� �
+ += −−� �
+��� ��A
F < H F H F H F H� �
�. � � �� # �� �� �� # �� � � ��ν ν ν= � � ��� ������� ���������
A AF H F H F H F < H F < H F < H F < AH
�
�� # �� �� �� # �� � � �� . � . � � . � � . �ν ν ν ν ν νδ δ δ δ∞
= ∞ + + + + − + −� � �P�
��!���� �������% �����% � �����.ν ���� ������ ���������� �� ����
A A A AF < AH F H F H F H F H F H F H
� � � �
. � �� # �� �� �� # �� � � �� � �� � �� �# �� # �� ��δ δ
ν ν ν ν νδ− −
− = =� � � � �
����� ������ ��!�����������������������F$�$H���
� �$ $
A
F H F H F H F HF < AH F H
� �# �� # �� �# �� # ��. � � � �� � ��
� �
δν ν ν ν
ν δ−
+ +−− =
−� �
; �� �������� �����������������������������������#��<���� �� �
F H A� � � �
# �� � �
ν− � �= +
� �����N������������� ��
�������� �� �� ( ) ( ) �$ $ $ $
A A
F H F HF < AH A F H A F H
� �# �� �# ��. � � �� � �� � �� � ��
� � � �
δ δν ν
ν δ− −
+− = −− −� � �
�����% ������ ��!������������% ������ ����&������� F��� �� � � � �
�
−� �� �������������A� ���������� �� �������
��� �� �H���
�3
$ $ $ $ $ $A �3 A
F H F H F HF H F H F H
� � �
�
# �� # �� # ���� � �� �� � �� �� � ��
� � � � � �
δ δν ν ν
− −= +
− − −� � � <�
��������� ���
��3 �3 �3$
$ $A A A
�3
�3$A
F HF H A F H F H A F H
�A F H A
� � �
�
# ���� � �� � � � �� �� � � � � ��
� �
�� � ��
��
νν νν
ν
ν
+
+
� �� �� �= =� �− � �� � � �
� � � �= =� � � �� �
� � �
��
���A
F H� � ��∞
� ������� ���!� ���
+���� �������� ���� ��� �� ( )$ $ $ $
�3 �3
F HF H � �F H ���F H �� F H A
� �
� �
�� �# ���� � �� � �� � �� ��
� �� � � �
δ δν
− − � �= + = − − � �� � � ; �
������� ������� ��������
F < AH A A�
. ��
ν δ →∞� �− = → � �
�; ������ �����% :% ������ F < H A�
. �ν δ →∞∞ + → �
�� ������������P������������ ��#���!�����������% �����% � ����� F < H. � �ν δ+ ���� F < H. � �ν δ− ���
1������ ������� �������F P H� �δ δ− + <� �������� ��% � ����������
@ �������������� �<�$AA)� $8� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
A<
�F < H F AH
$�. � � � �ν δδ → →∞+ → + ��������
A<
�F < H F AH
$�. � � � �ν δδ → →∞− → − �
'�% % �� �� ���� ��� ��<� ��� � � ���� ��� % :% �� ����
F H� �� �ν � ���� K P K� � δ+ <� �����
� $� �
F H F AH F H F H� � � � � � � �� � � �ν ν= + + − � �N� ��� ��� �$� �� �� ���&� �� ���� �� ������� ���� ��� �<� ���������� ���
� ����������#�� ��������������ε ����� �� �����δ �; ���% �������� ��.ν ����
�3$ �
A
� �� $
A A
F < H F AH F H F H
F H F H F H F H F H F H
� �
�
� � � �
� �
. � � � � � # �� �� # �� � ��
� �# �� �� # �� � � � �� � �# �� �� # �� � � � ��
δν ν
ν ν ν
δ δν ν
ν ν ν ν
δ+
− − +
+ ++ +
+ = +
+ −
� �
� � � ��
"�������� ��� �� �������������F$�$H��� ��������% �������% ����
� �� �
A
� �� �
A A
F AH F H F HF H F H
F AH F H F H F H F H F H
�
� �
� � � # �� # �� � � # �� � ��
� � � � # �� # �� � �� � # �� # �� ��
ν ν νν ν ν
ν ν νν ν ν ν
δ δ
δ δ
− + ++ +
− + ++ +
� �= + + + −� �
� �= + + + −� �� �
�
� ��
= ���� �������� ������ �A
A �
�F H F H �
$A �
� �
# �� # � �� �
�
ν
ν ν
∞
+
� < <��= =��
>��
� � ��� ������ ���� �������� �� �� ������� ��� �� ����� δ �
�����A<��
� �� �
A A
�F H F H F H F H F H F H
� �� # �� # �� � �� � # � # � �� � �
� � �
νν ν ν ν
ν ν ν νδ δ δ δδ δ δ
∞ ∞+ +
+ +� � � �+ + = + = + → + + +� � � �� � �
�����
� �� �
A A
� �F H F H F H F H
$
�
� # �� # �� �� � # � # � �� ��
ν ν νν ν ν ν
∞+ +
+ +→ =� � �
; ����� ���% � ��#������% �����
�3$ �
A
� �F AH F H F H F AHF H F AH
$ $
� �
�� � � # �� �� # �� � �� � � � � � � �
δν ν ν ν ν
ν ν
+− − + −+ → + − = +� � �
+�����������&��������� ��!�����<����������� ��% � ���������������� �������� ����� �������
� �� �
A AF H F H F H F H F H F H
� � � �
�� �# �� �� # �� � � � �� �� � � �� �# �� # �� ��
δ δν ν
ν ν ν νλ
δ+ +
+ += +� � � � � ����� � �λ δ< < + <� �����
��
A F H F H F H
� �
�� � �# �� �� # �� � ��δ
νν ν
λδ
++= + � � �P� ��� ������ ����� ��!�B���#� F)�$H� ������&��% ��� ��!����<�
( ) �� �� �
�F H F H F H
�
�# �� � �� � # �� � # �
�
δ νν νν ν νδ δ λ λ
+ ++ ++ +� �= + + −
� �� �������������� ���% ���L� ����
( ) � �� � � �
A A F H F H F H F H F H F H
� �
�� � � # �� # �� � �� �� � # �� # � ��ν ν
ν ν ν νδ δ δ δ λ λ+ ++ += + + + − +� � ��
; �����A
A
A
�
$
� �
� �
ν
�� ≥ >�
≥��� ≥ −�
�� ���A
F H F H AF�H�
�# �� # �� ��ν ν + =� �����������������������<����&������� �������� ��������� ��
�������������� �F H� � δ+ <������ε ������ �������A���������δ ��� �������A�
@ �������������� �<�$AA)� $9� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
������� �% � �������&����% � �����% :% ������� F < H. � �ν δ− ���� �������� � ���� ��
[ ]A
A A
�F H F H F H F < H F < H F AH F AH
$
�
�
�� # �� �� �� # �� � � �� . � � . � � � � � �ν ν ν ν δδ δ∞
→→∞
= + + − → + + −� � ��
������� ���������� �������������% � �������
[ ]A A
�F H F H F H F AH F AH
$�� # �� �� �� # �� � � �� � � � �ν ν
∞ ∞= + + −� � �
1�� ���������� ���
AF H F H F H� � �� � # �� ��ν
∞= � �
� ���% ���L� �� F H�� � �������F�H<� �������� � ��F�� ������������ ���� ���� ��� �� ���� ��H��
AF H F H F H�� � # �� �� � �ν
∞=� �
��������������!� ������0���������������� ����% ������. � /��$�
0�= ���"������������ ��� ��9(��� ����% � ������� � �������� ���������� ������������ ���� ��� ���������������������������I��� ��0�7 �1 ���� <�����������������!�<���,��
; ������ �� % �� ���� ��������� ������������������� �����������������
1����������������������ν ����������������#�X��������� ��� F H F H F H&
�� � � � # �� ��νϕ= � ������ A � &≤ < ≤ ∞ ��������
A
F HF H F H
A A ��
� � � &�� � # �� ��
� � & �νϕ∞ < <�
= � < < < < ∞�� �
'�� ��������� ���� � � ����% �� ������� ���� ��� ������� �� ������� ����� ���� �� ����� ���% ��� �<� % ���� ����� ��� � ���� ��!����������� ������� ����
$ $A
�F H F H F H
2
��� � # �� �� �
� �
ν
νξϕ ξ ξ
π ξ ξ
∞ � �= −� �� � <�
����������% ������������������������� ��!����������� !�!�� �������� �������� ��!����� ���������I���% ������������������ ��������������
�
<�����.��#�� �����/�����
'�% % �� �&�% ���� F�% ����� �H� ������������ � ���� �� ������ �� ��� ��!������
A
F H F H� !! �
# �� # ���
�
∞
− −� � ��� ��� � ��
�$ �$
F H F� HF H
� !� ! �� � �
! �ϕ
+ −− −= −
Γ −�P�� �� ��������S�A����&�S������N������ ���� ����� �������������
� � $� �� $ � � $ �
$A A
A
$ $ F �H F HF H F� H F H F� H
F H F H $ V F �H
� ! � ! � � �� ! � � ! �
� � ��
��� � � � # �� �� � � ��
! � ! � � � �
∞+ − + − ++ − − + − −
+=
−= − = −Γ − Γ − Γ + + � � <�
�N� ������� ����% ������ F H�# �� ������� ����������% � ��� �������
�����������������������������������������������������������
$�+����������������� ����� �� ���� ����� ��������� ����% ��������������������� �� ���������������� ����% �������. � /��������� ��������
�� &� ξ
2�
@ �������������� �<�$AA)� (A� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
+��� �������� $0 �= <� �������� ���
$ $��
$ $A
A A
� F �H � F �HF H F� H F H
F H V F �H F �H V$ $
� � � � ! � � !� � ! � � !
!! � ! �� �
� � �� � 0 0 �0 � # �
! � � � � ! � �
∞ ∞+ + −+ − − −
+ += =
− −= − = =Γ − Γ + + Γ + + � �
F���������������������M�������������������������� ���% ���������������� ������������������������� ���� �`�% % �H�
0��������#�������������� ����% ����� ����
AF H F H F H� !
! �� # � � � # �� ��ϕ− = � <�������
$ �
��
A A
F� H��A �F H F H
F H F H $ F H
A �� �
� ! �
� ! ! � ! �! � ! �
� ��# � # ��
� � # � # �� �� �� ! ��
�
− −∞ ∞
− − −− −
� − < <�= = Γ −�� >�
� � �
<"������� �����������������! �������- ��*� �������������
4 � �� ��� ���� #� ���&� ��% � ��� �<� �� ������ �� ��� -�� dF < H� � 0 � ��� �� �� ���� � F < H� � � ���
F H�dF < H F < H$
� �� 0�� � 0 � � � � ����π
+∞ +∞+
−∞ −∞= � � <�% ����� ���� � ������ ���� ������% � ����� $ $� � �= + ����
$ $ F H�dF < H F H$
� �� 0�� � 0 � � � � ����π
+∞ +∞+
−∞ −∞= +� � �
+���� ��� ������� ���������������������� �����F�<��H���������F�<�0H������
��
� �
� �
θθ
=�� =�
�������
��
�
0
ρ ϕρ ϕ
=�� =�
<������� �����
���F H�� 0� �ρ θ ϕ+ = − ���� ���� ����θ= �; ���������
$ $���F H ���F H
A A A A
� �dF < H F H F H$ $
�� ��� � 0 �� � � ��� �� � �� � �π π
ρ θ ϕ ρ θ ϕθ θπ π
+∞ +∞− −= =� � � � �
'�% % �� ϕ �������G���� �� ������&��% ��� ��!�����#� ���% � �������� ��� ���<�������% �� �� ������ ���������� �
����� ��
F,��H��$
���
A A
�dF < H F H$
��� � 0 �� � �� � �π
ρ θ θπ
+∞= � � �
; �� ��� ��� ����� � ��!����� ���� �� ��� F����� F$�(HH� ���N� AA
�d dF < H F H F H F H$
� � 0 � �� � # � ��ρ ρπ
+∞= = � <� ����� ���
��� ����% ������. � /�����������A��
? ������� ������% � ���������������� ����������-��� ���% � ��� ��<���������������� ���
� � �
�dF < < H F < H $
�� �� � �� � � � � � � �� ��
π
+∞ +∞
−∞ −∞= � �
� �
�
����� � �� �
� ��������������������������������� �F < < H�� � �=� ���� �F < < H�� � �=� <��� �<�������������������� �������
�� ���� �������� � �=����
� $ ����
A A�$
�dF H F H �� � � �
$$ $ $
� � ��
�� � � � � �� � �
�
πρ θθ θ
+∞− −
−=
� � � �Γ Γ − � � � �
� ��
<�
�����% % ���
( )
�� ��$ ��� $$
�A �
$
F H� � �
�� $$ $ $
��� ��
�
# �
� � �
�
πρ θ
ρθ θ
ρ
−−−
−
� � � �= Γ Γ − � � � �� <�
� ����������
@ �������������� �<�$AA)� (�� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
� �� �
$ $�
�A$
dF H F H F H� �
�� � � � � # � ��ρ ρ ρ
+∞− −
−
� � = � �
� �
? ����� ��
��
$F H F H�
� � � � �−
= ����
��
$ dF H F H�
� �ρ ρ ρ−
= <�� ����������
AF H F H F H� �� � # � ��νρ ρ
+∞= � ����
AF H F H F H� � � # � �νρ ρ ρ ρ
+∞= � �
!�B���#�������% ������� ������ ���������� ����% ������. � /���
@ �������������� �<�$AA)� ($� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
0������������������ ����������! ��������� ����
1���� � �� �� ���� � �<� ���� ��� ��A
F H F H��� � � � � ��∞
−= �� � ��� ��� ����% ��� ��� ������� F����� �������� ��� ���
�� ���!� ������ ��������� ��!����<����H�
C�����,�������! ��������� ������������������������ �
+���� � � ���� ��� ����� �� ������ ������� ����� �� !� ���&�������� ���� ���� �� ���� �� ��� ������� �� �� ����� ������ ��&��� ���� �� ����!��% ������������������������% � ��#��
( )$ (
$ �F �H F �H F �HF $H F �HF $H
P P P � �V F �H $V F �HF $H (V
�� � � � � � � � � � � � � �� � � " �
" " " " " "
+ + + + + += + + + ++ + +
�
'����� ���� ��� ����������������������������������������� �
F2��H�� $ � $ ��
F P P P H P P P�F� H�
�� � � " � � � " � "
��
� �= − −� �−�
7 ����� ��� � ������#������������ ��!�����A
F < < H F H��# � � � # �� ��ανν α
∞−= � <�������� ������ ���������� ����% ���
������������� F H� # ��αν �1��� ������� F H# ��ν ���������% ����������<� ������� ���
$$
A
F �HF H
V F �H $
���
�
�� # �� �
� �
να ν α
ν ν
∞ ++ +
=
− � �= Γ + + � � �
����
$ $$ $
A AA A
F �H F �HF < < H
V F �H $ V F �H $
� �� ��� ��� �
� �
� �# � � � �� � � ��
� � � �
ν νν α ν αν α
ν ν
∞ ∞+ +∞ ∞− −+ + + +
= =
− −� � � �= = Γ + + Γ + +� � � � � � �
�������� �
AF H � �� � � ��
∞ − −Γ = � <��
$
$ $$ � $ �
A A A
� �F$ �H
�
�� � � � �� �
� ��� � �� � � � �� �
� � � �
ν αν α ν α
ν α ν α ν α+ +∞ ∞ ∞
− + + − − + ++ + + + + +
� �= = = Γ + + +
� �� � � <�
���N�
$ $
$ � � $A A
� F �H F$ �H F$ �HF < < H
V F �H $ V F �H$
���
�� �
� � � � �# �
� � � �� � �
ν ν
ν α ν ν αν α ν αν α
ν ν
∞ ∞+
+ + + + += =
� �− Γ + + + Γ + + +� �= = − Γ + + Γ + +� � � � �P�
� �� �� �������� ��������������������à <�� ������ ��
( )
$
$ �� $
� � � � ��
$ � � � � �$ $ $ $ $F < < H P � P � P
� $ $ $ $ $�
$
� �# � �
� �
α ν
ν α
α ν α νν α α ν α ν ν
ν+ +
� � � �Γ + + Γ + + � �� � � �= + + + + + − � � � �Γ Γ + � �
�
? �������� ��F2��H�� ������ ���������
( )
$
$ �� $ $$ $ $
� � � � ��
$ � � � � �$ $ $ $ $F < < H P P � P
� $ $ $ $ $�F H $
� �# � �
� �� �
α ν
ν α
α ν α νν α α ν ν ν
ν+ +
� � � �Γ + + Γ + + � �� � � �= + + − + � � +� �Γ Γ + + � �
�
?����% % � ������ ���� �� Aα = ������S���� ������ ���
@ �������������� �<�$AA)� ((� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
( )$ �� $
A$ $
� � ��
� � � � � �$ $ $F H F H P P � P
� $ $ $ $ ��F� H $
��# � � # � �� ��
�
ν ν ν
ν νν ν ν
ν
∞−
+
� � � �Γ + Γ + � �� � � �= = + − + � � +� �Γ Γ + + � �
�� �
� ��������% �� ������ ���������������������������% � ���&������������� ��������� ������
( ) F �� H
A
� �F H ��� ��
$� �� � �
�# � � � �� �� � ��π π
ππ π−
−= − =� � <�
����� ��� � ���������
F2�$H�
F �� HF �� H
A A
F �� H
A
� �F H
$ $
� �
$ �� $ ��
�� � �� � � ��� �� � ��
� �� � � �� ���
# � � �� � �� � �� ��
� ��� ��
� � � � � �
π π
π π
π π
π π
π π
π π
+∞ +∞− − −−
− −
+∞− −
− −
� � � �= =� � � �� �� �
� �−= =� �+ +� �
� � � �
� �
�
�
�N� ��� ��������� � ���� � ��!������ ���% ��� ������������ � �� ������� ��� ������� +��� �� % �� �� � �� ��� �= <�
���� �� ��= ����� �
�� $
� �� �
� �= − � �
�P���� ������������� π− �#�π <�������������������������!� �% ����������
$
�F H
$ �
�
�2
�# � ��
� � ��π=
+ −�� �
$ $ �� ��+ − ������&����� ��� $� �� � �= − − + ���� $
$ �� � �= − + + ��� ��������������&��% ������#���� ��������
��� 2�P� �$� ���� � � �T��� ��� ��� �� ���� � #� � ��!���� ��� ��� ��!����� ���� ��� ������� ��� ������� ��� ������ �� ���� ���������% � ������T��<�������
( )$
$ $$ �
�F H $
� �
�
�
�
� � �
� ��
# �� � � �
=− + +
− + +� �� �= =� �+ + + +� �
� ��
1��� ���% ����������������� ��F2�$H<�� ������ ������� ���� �����������% ��������-�<����� ������� F H F H�� �- � � # ��−= �
���!�B���#���������������������% �!����������������
��
� � � �
������ F H�� ��� <�
( )$
$
�F H
�
�
�
� �- �
�
− +=
−� �
? ������������ ���� ��#������-���� ��� ������������������� �������������#�����!�% � ������������������#���� ����<���������������������������� ������������� ��#������ ������ � �� �������
C�����$� �� ���� �! �#������1�������������� �������
�����% ���������������������% ����F$��H�������� ����#�� ���� ������� ����� �
A
� � �F H
�
�� �
� � � � ���� �
−+∞
+ +� �
= � � �� ����
������ ���� ���������������������������� �������������� �����
F2��H�� ( )3$
� �A A
� � �F H F H �N F H $ F H
� ��
�� �
�� � � � �� � � # �� � � ��
� �� �ϕ ϕ
−+∞ +∞
+ +� � � �= = =
� �� � � �� � �
; ������������������������������������� ���������������-���������� F HV
!�� �
!= <��
@ �������������� �<�$AA)� ()� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
�
�A A A
� � �F H
V F �HV
! !�� �� ��
! !
� �� � � �� � �� � ��
! � ! � �
−+∞ +∞ +∞− − −
+= = = = =−� � �� �
� ������ ��� ����������� ���0++�7 ���I���������������� ���� ��!� � �� ��������% :% ���% �!� �����������������
������������������#�Z�<�� ��� F HF �H
!�� �
!=
à +������ ��% �!��
�
�F H
!� �
� +=� �
+�� � ������� ���� ������ ��������������� ������ ���������
$
3$ 3$
A A A
$ F �H $ F �H F �HF H F H F$ H F H F H
$ VF HV $ F HV V V F HV
� �� � � � � � � �� � � �
� �
� � �
�� �� � � � �� �� # �� �� �� �
� � � � � � � � �φ
∞ ∞ ∞ +
= = =
� � � �− − −= = = = + + +� � � � <�
������ ���� � �������% �!����������������� ��������% ����
� � �A A
F �H � �F H
V V
��� � � ���
� � � � �� �
� � � �� � �
� � �� � �φ
∞ ∞ −
+ + + += =
� �−= = − = � �
� �
"��� � ��#�F2��H����
� � �A A A
A A A A
� � � � �F H F H F H F H
� �F H F H F H F H
� ��
� ��� � � � �
�� ��� �� �
�� � � � �� � � � �� � � � ��
�� � � � �
� � �� � � �� � � � �� � ��� �
φ
φ φ
− −+∞ +∞ +∞
+ + +
+∞ +∞ +∞ +∞− −
� �= = =
� �
� � � �= =� � � �� � � �
� � �
� � � �
� �
�
���3$
3$
A A A
� �F H F H F H F$ H F H F$ H F H
��
� � �� �
�� � � �� �� # �� � � �� # �� � � ��
�� �φ
+∞ +∞ +∞� �= = � �� � � �
C"����� �� ��������� �����! � �! �������
; ��� ������� �� ����������� ���� �� F% ��������������� JA< J� +∞ H������ ��� ����� ��������� ���� ���������������
�������% �!���; ������������"������������������� ���� �$
A
$F H
��� � ��
π−Θ = � �
��
F H��� - ���
− �$
$ $
� � �
� �
+ −+ +
�
[ ]F H F H$ F H
� � �� - � � �� � �
νν νν − + −−
<� Aν > � ( ) $$ $� � � �
ν−+ + + �
[ ]F HA F H� � �� - � � �− + − � ( ) �
F $ HF $ H� � � �−
+ + �
�F H
$
��� - ���
νν ν− <� �ν > − �
( ) $$
$
� � �
� � �
ν−+ +
+�
AF H- �� <� AF H# �� � $ $
�
� �−<�
$ $
�
� �+�
�3$
�3$F HF H $
�- ��
�
ν
νπν
−
−� � Γ � �
<��3$
�3$F HF H $
�# ��
�
ν
νπν
−
−� � Γ � �
� ( )$ $� �ν−
− <� ( )$ $� �ν−
+ <� Aν > �
F H# ��
��
νν
ν� ( )$ $� � �
ν−+ + <� Aν > �
�F H- ��
�νν <�
�F H# ��
�νν � ( )$ $ $ $
�
� � � � �ν−
− + −<�
( )$ $ $ $
�
� � � � �ν−
+ + +<� Aν > �
@ �������������� �<�$AA)� (,� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
AF$ H# �� �<�
�
$�F$ H
�# ��
�
ν
ν
−
−� � � �
<�
�
$�F$ H
�- ��
�
ν
ν
−
−� � � �
�3� � ��
�− <� 3� � ��
�ν− <� 3� � ��
�ν �
����F$ H���π
<��
�� F$ H���π
�3� � ��
�
− <� 3� � ��� �
− �
���� F$ H���π
<��
�� F$ H���π
�3� � ��
�<� 3� � ��� �
�
$
)
($
�
���
�π
−<��
$
�
�
� �− Θ � �
<�
$
)�
�
���π
−<�
$
)�
$
�
���
−�
� ��− <�� � ��
�
−<�� � ���
− <� AF H/ � � �
$
)�
$
�
���
−<��
F $H� ��
+ <�
$
)�
�
���
−� AF H/ � � <� �
�F H��� / ��
�<� ��
F H/ � ��
<� A� > �
AF H) �� <� AF H/ �� �$ $
$ $
$� � � �
�� �π
+ +−
+<�
$ $
$ $
�� � � �
�� �
+ −
−�
( )3$$ $�� �
� � - � ��
νν
νλ λλ
− −� � − +� �<� � λ> � F $ H
F $ H
F $ H
� � �� � � � �
�� � �
νλ− +
� �+ − +� �
+�
( )3$$ $�
� # � ��
νν
νλ λλ
−� � − +� �<� � λ> �
$ $$ $
$ $
� �� � �
�� �
ν
λ− +� �+ −� �� �
+<� Aν > �
( )3$$ $�
� - � ��
νν
νλ λλ
−� � − +� �<� � λ> �
$ $$ $
$ $
� �� � �
�� �
ν
λ− −� �− −� �� �
−<� Aν > �
( )$ $�
$ $
�# � �
�
λ λλ
−−
<� � λ> � $ $� ��� � λλ − +− − <� Aν > �
( )$ $�
$ $
�- � �
�
λ λλ
−−
<� � λ> � $ $� � �� �λ λ− − −− <� Aν > �
���F$ H� <� ���F$ H� �� ����
� �<�� ���
� ��
�
2���) �#������
?�. �����<�` �5 � ��<�6���� ��������� ���� �4�������<�1��� !��<�$AA��
� -���������� ������� �����,����������D��
7 ��������<����"��������� ���&��<�?�������<��992�
� A�������� �0���������$��,�����!������$��" ���������"� ��E� ���D�1�"�!!���,�������,�����D�
>�> !��<�2�!� ,!�����������4,!���&���<�= ���� ����'��<��9EA�
� ��$��" ���������""��"�>��!� �!��������������?��&�����7�,D���� ������0�������������""�����D�����"�!� ������������� �"����������,����������E� �F �"���"��,D��
. �. �� �����<�6������"��������� ���4���&���!��4,!���&��<�= ���� ����'��<��9E(�
� F����,>�!���� ��$�� ���,��������G� ��� "� "� �� ����� �������� ������!����!,������� ��� ���� ��������D6E� ������ ������ "�!� ��� ��������� >���� �"�������E� �����&��D�
5 �>����<����4,!���&��������� ���4���&������ ����4���"����<�. e f���<�$AA$�
@ �������������� �<�$AA)� (2� +��% � �����% �� �% ��������
�� ���� ������������ � ����33���% � ����% �� ��������
� ������������0������������!� �������"�>�!����������"�!��,4����� �D�
"�`���% � �<���� �������4,!���&��>�0� �--<�1��� !��<�$AA(�
� 2�����!��������"�"������ ��&�����������B�!!��8���0����� ������� E������"�( �3������������ �:D�
5 �"��� <���� �����,� �����"�!� ���<�4 � ��<��998�
� ������!����!���������� ���� ����"�!� ���>���0������"( @D�2�!!���������4������&��������#����%4�!����D�
1�4 �' �����M�<�2���������� ���>�0� �--<�+�������+������ ���������� �����% � ���<��99E�
� A����,�,���"��,"���������������� ����$��" ��������""����� ��G���!��������������4������&���D�
` �4 �% � !��<���������!����������6�� �"�<�?�������<�$AA$�
� �� ��,�������,����������������� ���� �������� ����0�� ��������� �E� "����H���� ���� "�����������&��������D�6����� ���,������������������"�������������� ������������!,�����6�� �"�D�
?�-�5 ����/���e �` �7 �5 ���� <���!������"������������ ����<�'�% ����!��� ���������+����<��9$E�F$AA(H�
� �����&���"������������� ����"�������������"� ��E� ���D�6���,�,���"�����������,�!������������ ��@$!��,����������,�����I3=D�6�� �0������� ��!J!��"������������"�������"4������������������"���������� ���"�������$�����,�������K ������"�$��!���D�
` �7 �5 ���� <����������������4���4������������� ����"�����<�'�% ����!��� ���������+����<��9$$�F�992H�
� �J!��� ��!��&���� &��� ��,",��!!������ �� �,�,���"�� ���� ����"���� ��� ��?���� �,�� ���� �D� ��� ����� � ��� !J!�� ��� "���������&���������������,����,�������0���!������� �D�
0�7 �1 ���� <�����������������!�<�4 ����<�7 �] �[��/<��9,��F�99,H��
� ����"��������� �"�������E�������!������0���,�D�F�� �"�������������" ������!J!����� ���������������0�����������D�
�
? ������������ ���������<������������"�������������� �������&���������<����������� ����<�$AA)�
� 6�����!� ������������ ,���D�%�!!����L�
�
7���-�������>�����!� ����"4����K 0�����������!� ����
� ������������������ ��
����33] ] ] � �����34 ���+ ��3�����3 ���� �% ��
>��������������� ������������� ������
����33] ] ] ���� ���� ��� � �����3� ������3�����3��� ����3�� �����3����& �% �
+����� �����������������% �������������� ��� ��� �������������% % � ����
����33% �� ] ����] �����% ��% 3`�% % ��� ���� �% ��
�
�