Économie pour les ingénieurs Chapitre 3 Lapplication des formules d'équivalence à des...
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Économie pour les ingénieurs
Chapitre 3L’application des formules d'équivalence à des transactions commerciales concrètes
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Objectifs d’apprentissage
1) Le taux d’intérêt nominal et le taux d’intérêt effectif2) Les calculs d’équivalence : quand les périodes de versement
et les périodes de capitalisation coïncident3) Les calculs d’équivalence : quand les périodes de versement
et les périodes de capitalisation diffèrent4) Les calculs d’équivalence : quand les versements sont
continus X5) Les taux d’intérêt variables6) Les prêts commerciaux7) Les prêts hypothécaires8) Les investissements obligataires9) Les calculs par ordinateur
Économie pour les ingénieursECO1592 2
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1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif
• Le taux d’intérêt nominal (r) est la méthode traditionnelle pour exprimer le taux d’intérêt.
• C’est le produit du taux d’intérêt par période avec le nombre de périodes dans l’année.
• 1 % par mois x 12 mois = 12 % /an… • Le 12 % est le taux d’intérêt nominal et la capitalisation est
mensuelle. • (r) ne considère pas les effets de la capitalisation.
Économie pour les ingénieurs
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1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif
• Le taux d’intérêt effectif (i) est le taux d’intérêt qui est réellement chargé ou reçu pendant l’année (ou autre période).
• Dans l’exemple précédent, 1% représente le taux d’intérêt effectif par mois. Le taux d’intérêt effectif par année (ia, est le taux d’intérêt annuel qui tient compte des effets de la) capitalisation pendant l’année.
• Connaître la distinction entre r et i nous permet de répondre à la question: Lequel des investissements suivant est le plus avantageux ? – i = 12 % / an ou– i = 1%/mois capitalisé (ou composé) par mois pendant 12 mois.
Économie pour les ingénieurs
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• Les compagnies de carte de crédit expriment le taux d’intérêt comme suit :
« 18 % composé par mois »
– 18 % est le taux d’intérêt nominal– Fréquence de capitalisation est par mois (M = 12)– Le taux d’intérêt par période de capitalisation est 18 % / 12 = 1,5 %
par mois.– Chaque mois l’institution te charge 1,5 % d’intérêt sur le solde
impayé.
Économie pour les ingénieurs
1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif
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Économie pour les ingénieurs
Cependant le 18 % par année ne traduit pas fidèlement la réalité. On doit se tourner vers le taux d’intérêt effectifd’intérêt effectif pour évaluer l’effet de la capitalisation plus fréquente.
1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif
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Exemple
Vous obtenez un prêt de la banque avec un taux d’intérêt annuel de 12% capitalisé par mois. r = 12%Le taux d’intérêt par mois est : r/M = 12% /12 = 1 % (taux effectif
mensuel)
Si vous empruntez 1$, alors F = P(1 + i)M = 1$ (1 + 0,01)12 = 1,1268$
I = F - P = 1,1268$ - 1$ = 12,68 cents
(1 + ia) = (1 + i)M = > ia = (1 + i)M - 1
Économie pour les ingénieursECO1592 7
1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif
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Exemple (suite)
On peut exprimer le taux d’intérêt effectif annuel (ia) en terme du pourcentage du principal :
ia = (1 + 0,01)12 - 1 = 0,1268 ou 12,68 %
Si le même prêt est capitalisé trimestriellement, alors …
ia = (1 + 0,03)4 - 1 = 0,1255 ou 12,55 %
Économie pour les ingénieurs
1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif
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Économie pour les ingénieurs
Taux d'intérêt nominal
4%
5%
6%
7%
8%
9%
10%
11%
12%
Annuelle
4.00%
5.00%
6.00%
7.00%
8.00%
9.00%
10.00%
11.00%
12.00%
Semestrielle
4.04%
5.06%
6.09%
7.12%
8.16%
9.20%
10.25%
11.30%
12.36%
Trimestrielle
4.06%
5.09%
6.14%
7.19%
8.24%
9.31%
10.38%
11.46%
12.55%
Mensuelle
4.07%
5.12%
6.17%
7.23%
8.30%
9.38%
10.47%
11.57%
12.68%
Quotidienne
4.08%
5.13%
6.18%
7.25%
8.33%
9.42%
10.52%
11.63%
12.75%
Taux d'intérêt effectif
Capitalisation :
De ce tableau on observe que plus la capitalisation est fréquente, plus De ce tableau on observe que plus la capitalisation est fréquente, plus les intérêts payés ou (reçus) pendant l’année sont élevés et ce pour un les intérêts payés ou (reçus) pendant l’année sont élevés et ce pour un même taux d’intérêt nominal. même taux d’intérêt nominal.
1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif
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Économie pour les ingénieurs 10
Généralisation pour toutes les périodes
i = (1 + r/M)C - 1
i = (1 + r/CK)C - 1
M = Périodicité de la capitalisation par année = CK
C = Périodicité de la capitalisation par période de versements
K = Le nombre de périodes de versements par année.
1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif
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Exemple• Vous effectuez des dépôts trimestriels
dans un compte d’épargne qui paye 9 % capitalisé par mois. Quel est le taux d’intérêt effectif par trimestre ? – r = 9 %– C = 3 périodes de capitalisation par trimestre– K = 4 paiements trimestriels par année– M = 12 périodes de capitalisation par année
Économie pour les ingénieurs
1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif
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Exemple (suite)i = (1 + 0,09/12)3 - 1 = 2,27 % par trimestre
Économie pour les ingénieurs
0,75% 0,75% 0,75%
2,27%
0,75% 0,75% 0,75%
2,27%
1er trim. 4ème trim.
iiaa = (1 + 0,0075)= (1 + 0,0075)1212 - 1 = 9,38 % par année - 1 = 9,38 % par année
9 % / 12 = 0,75 % par mois
1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif
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Capitalisation continue
Économie pour les ingénieurs
i = limCK ⏐ →⏐ ∞
(1+r
CK)C -1
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
i = limCK ⏐ →⏐ ∞
(1+r
CK)CK⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
1K
-1
i =(er)1K -1
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– Pour obtenir le taux d’intérêt effectif annuel… K = 1
Économie pour les ingénieurs
ia=er −1
Exemple : 12 % capitalisé continuellement est
ia = e0,12 - 1 = 12,7497 %
1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif 1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif
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Versements et la capitalisation diffèrent
• Dans bon nombre de situations, les intervalles auxquels ont lieu les flux monétaires diffèrent des périodes de capitalisation.
• Règle : Quand les périodes de versements et la période de capitalisation ne coïncident pas, on doit modifier l’une ou l’autre de façon à ce que les deux partagent la même unité de temps.– EX : Paiements trimestriels avec de la capitalisation
mensuelle… trouvez le taux d’intérêt effectif par trimestre.
– EX : Paiements mensuels avec de la capitalisation trimestriel… trouvez le taux d’intérêt équivalent par mois.
Économie pour les ingénieurs
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Démarche :1) Identifiez la périodicité de la capitalisation
par année (M), le nombre de périodes de paiements par année (K), et le nombre de périodes de capitalisation par année (C).
2) Calculez le taux d’intérêt effectif par période3) Trouvez le nombre total de périodes de
paiements N = K x (nombre d’années)4) Utilisez i et N dans la bonne formule
Économie pour les ingénieurs
Capitalisation plus fréquente que les paiementsCapitalisation plus fréquente que les paiements
Versements et la capitalisation diffèrent
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Exemple
Vous déposez à chaque trimestre 1 000 $ dans un fonds qui paye des intérêts à un taux de 12 % / an capitalisé par mois. Quel est le solde du compte à la fin de l’année 2 ?
• A = 1 000 $ par trimestre, r = 12 % par an, M = 12 périodes de capitalisation par année et N = 8 trimestres.
Économie pour les ingénieurs
Versements et la capitalisation diffèrent
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Exemple (suite) Exemple (suite)
1) Identifiez les paramètres M = 12 périodes de cap. par année K = 4 périodes de paiements par année C = 3 périodes de cap. par période de paiements.
2) i = (1 + 0,12/12)3 - 1 = 3,030 % par tr.
3) Trouvez N… le nombre total de périodes de paiement … N = 4 x 2 = 8
4) La bonne formule… F = 1000$(F/A, 3,030%, 8) = 8 901,81 $
Économie pour les ingénieursECO1592 18
Versements et la capitalisation diffèrent
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Exemple (suite) Exemple (suite)
Économie pour les ingénieurs
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12
21 22 23 2421 22 23 24
1 000$1 000$ 1 000$1 000$ 1 000$1 000$ 1 000$1 000$ 1 000$1 000$ 1 000$1 000$ 1 000$1 000$ 1 000$1 000$
FF
i i = (1 + 0,12/12)= (1 + 0,12/12)33 = 3,030 % / = 3,030 % / tr. tr.
12 % se composant mensuellement 12 % se composant mensuellement
FF = 1 000 $(F/A, 3,03 %, = 1 000 $(F/A, 3,03 %, 8) = 8 901,81$8) = 8 901,81$
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Capitalisation moins fréquente que les paiements
– Il y a deux hypothèses sous-jacentes aux deux exemples suivants.
• Exemple 1… le dépôt commence à payer des intérêt dès que le dépôt est effectué (au début de la période).
• Exemple 2… les dépôts qui sont effectués à l’intérieur du trimestre commencent à payer des intérêts seulement à la fin de ce trimestre.
Économie pour les ingénieurs
Versements et la capitalisation diffèrent
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Exemple 1
Vous effectuez des dépôts mensuels de 500$ dans un compte qui paye des intérêts à un taux de 10 % capitalisé trimestriellement. Calculez le solde de ce compte à la fin de 10 ans.
Économie pour les ingénieurs
1.1. MM = 4 périodes de capitalisation par année = 4 périodes de capitalisation par année KK = 12 paiements par année = 12 paiements par année CC = 1/3 période de capitalisation = 1/3 période de capitalisation
par période de paiementpar période de paiement
2.2. ii = (1 + 0,10/4) = (1 + 0,10/4)1/31/3 - 1 = 0,826 % par mois - 1 = 0,826 % par mois
3.3. NN = (12)(10) = 120 périodes de paiements = (12)(10) = 120 périodes de paiements
4.4. F F = 500$ (= 500$ (F/AF/A, 0,826%,120) = 101 907,89$ , 0,826%,120) = 101 907,89$
Versements et la capitalisation diffèrent
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Exemple (diagramme) Exemple (diagramme)
Économie pour les ingénieurs
0 1 2 3 0 1 2 3 4 4
12 mois12 mois
Intérêt mensuel équivalentIntérêt mensuel équivalent
i i = (1 + 0,025)= (1 + 0,025)1/31/3 - 1 = 0,826 % par - 1 = 0,826 % par moismois
i i = 10 % / 4 = 2,5 % par = 10 % / 4 = 2,5 % par trimestretrimestre
Versements mensuels Versements mensuels = 500 $= 500 $
Période de capitalisation réelle (trimestrielle)
F F = 500 $(= 500 $(F/AF/A, 0,826%, , 0,826%, 120) = 101 907,89 $120) = 101 907,89 $
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Exemple 2Exemple 2
Même chose que l’exemple 1 mais cette fois les dépôts qui sont effectués dans le trimestre ne payent pas d’intérêt avant la fin du trimestre.
1) i = 10 %/4 = 2,5% par trimestre
2) A = 3 x 500$ = 1 500$ par trimestre
3) N = 4 (10) = 40 périodes de paiements
4) F = 1 500$(F/A, 2,5%, 40) = 101 103,83$
Économie pour les ingénieurs
Versements et la capitalisation diffèrent
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Exemple (diagramme) Exemple (diagramme)
Économie pour les ingénieurs
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12
111 120111 120
A = 500 $ / moisA = 500 $ / mois
FF
A = 1 500 $ / tr.A = 1 500 $ / tr.
0 1 2 3 0 1 2 3 4 4
4040
FF
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Taux d’intérêt variables
• Jusqu’à maintenant…les taux d’intérêt dans les calculs d’équivalence étaient constants.
• Pas toujours réaliste… puisque les taux peuvent varier avec le temps. – Marge de crédit– Prêts à taux variables– Hypothèques
Économie pour les ingénieurs
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Exemple 1– Vous déposez 2 000 $ dans un RÉER qui rapporte des intérêts de 12 %
se composant trimestriellement durant les deux premières années, et des intérêts de 9 % se composant trimestriellement durant les trois années suivantes. Déterminez le solde à la fin de 5 ans.
Économie pour les ingénieurs
2211 4433 55
9 % cap. trim9 % cap. trim
12 % cap. trim12 % cap. trim
F = ?F = ?
Taux d’intérêt variables
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Exemple 1 (suite)
• On calcule la valeur de F en 2 étapes:
• Étape 1 : Calcul du solde à la fin de 2 ans
• B2 = 2 000 $(F/P, 12 %/4, 8) = 2 000 $(1,2668) = 2 533,60$
• Étape 2 : Calcul du solde final
• F = B2 (F/P, 9 %/4,12) = 2533,60$(1,3060) = 3 309$
Économie pour les ingénieurs
Taux d’intérêt variables
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Exemple 2Exemple 2
A = ?
Économie pour les ingénieurs
0 1
i1 = 5 %100$
2
i2 = 7 %
200$
3
i3 = 9 %
250$
Taux d’intérêt variables
![Page 29: Économie pour les ingénieurs Chapitre 3 Lapplication des formules d'équivalence à des transactions commerciales concrètes.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070309/551d9d90497959293b8c6396/html5/thumbnails/29.jpg)
Exemple 2 (suite)
Économie pour les ingénieurs
A
0 1
i1 = 5 %
A
2
i2 = 7 %
A
3
i3 = 9 %
Taux d’intérêt variables
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Exemple 2 (suite)
P = 100$(P/F, 5%,1) + 200$(P/F, 5%,1)(P/F, 7%,1) + 250$(P/F, 5%,1)(P/F, 7%,1)(P/F, 9%,1) = 477,41 $
Économie pour les ingénieurs
On trouve la valeur présente…
477,41$ = A(P/F, 5%,1) + A(P/F, 5%,1)(P/F, 7%,1) + A(P/F, 5%,1)(P/F, 7%,1)(P/F, 9%,1) = 2,6591A
AA = 179,54$ = 179,54$
Ensuite on trouve A
Taux d’intérêt variables
![Page 31: Économie pour les ingénieurs Chapitre 3 Lapplication des formules d'équivalence à des transactions commerciales concrètes.](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022070309/551d9d90497959293b8c6396/html5/thumbnails/31.jpg)
Prêts commerciaux
• Les plus populaires : Prêts amortis– Prêts qui sont remboursés avec des versements
périodiques égaux• Prêts autos, hypothèques, prêts étudiants, etc...
• Aspect important – Composante intérêt– Composante principal
Économie pour les ingénieurs
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Supposez qu’on emprunte un montant P, au taux d’intérêt i, et qu’on décide de rembourser ce montant P, avec intérêt, sur N périodes.
• La valeur des remboursements est • A = P(A/P, i, N)• Les remboursements sont divisés en 2
composantes– Paiement d’intérêt – Remboursement du principal
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Prêts commerciaux
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Laissons…
Bn = Solde du prêt à la fin de la période n, avec B0 = P
In = Paiement d’intérêt à la période n, avec
In = Bn-1 i
PPn = Paiement du principal à la période n
Alors le paiement est A = PPn + In
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Prêts commerciaux
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Pour calculer PP et I…
L’intérêt de la première période est I1 = B0i = Pi
Le paiement du principal à ce moment sera PP1 = A - Pi
Le solde du prêt après le premier versement sera
B1 = B0 - PP1 = P - PP1
L’intérêt de la deuxième période est I2 = B1i = (P - PP1)i
Le paiement du principal à ce moment est
PP2 = A - (P - PP1)i = (A - Pi) + PP1i = PP1(1 + i)
Le solde du prêt après le deuxième versement est
B2 = B1 - PP2 = P - (PP1 + PP2)
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Prêts commerciaux
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Au nième versement…
Bn = P - (PP1 + PP2 + … + PPn )
Bn = P - [PP1 + PP1 (1 + i) + … + PP1 (1 + i)n-1]
Bn = P - PP1 (F/A, i, n)
Bn = P - (A - Pi) (F/A, i, n)
… In = (Bn-1) i
et… PPn = A - In
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Prêts commerciaux
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Exemple
– Tu as emprunté 5 000$ de la banque pour effectuer des réparations à la maison. La banque te propose la modalité de remboursement suivante :
• Valeur du contrat : 5 000 $• Période du contrat : 24 mois• Taux d’intérêt annuel : 12 %• Paiement mensuel : 235,37$
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Prêts commerciaux
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Exemple (suite)
Économie pour les ingénieurs
6 mois6 mois 24 mois24 mois
1 % par mois1 % par mois
5 000 $5 000 $
Prêts commerciaux
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Hypothèques– Prêts amortis à long terme– Typiquement sur des propriétés– Association canadienne des banquiers
• WWW.CBA.CA– Société canadienne d’hypothèques et de logement
• www.cmhc-schl.gc.ca/hf-fl/fr/acheter_maison/index.html– Montant du prêt = principal– Différence prix de la propriété et le solde = équité
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Prêts hypothécairesPrêts hypothécaires
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Exemple– Maison = 125 000$ avec mise de fonds de 25 000$– Hypothèque conventionnelle de 100 000$ avec un terme de 3 ans et
un taux d’intérêt de 8 % par année de la Banque TD.
• Question 1 : Quels sont les versements si la personne rembourse l’hypothèque selon la modalité suivante ?
– Paiements mensuelles
• Question 2 : Quel est le solde à la fin du terme ?
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Prêts hypothécairesPrêts hypothécaires
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Question 1
P = 100 000$, r = 8 %, M = 2 périodes de capitalisation par année, amortissement de 25 ans, et le terme est de 3 ans.
Calcul pour paiement mensueli = (1 + 0,08/2)1/6 -1 = 0,6558 % A = 100 000$ (A/P, 0,6558 %, 300) = 763,20$
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Prêts hypothécairesPrêts hypothécaires
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Question 2
Calcul pour paiement mensuel… n = 3 x 12 = 36i = 0,6558 %
B = 100 000$(F/P, 0,6558 % , 36) - 763,20$ (F/A, 0,6558% , 36) = 95 655.54$
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Prêts hypothécairesPrêts hypothécaires
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Les investissements obligataires
Promesses de remboursement selon un échéancier précis, et dont les intérêts sont d’ordinaire capitalisés semestriellement. Elles sont émises par l’emprunteur sur le marché primaire des capitaux. Elles peuvent s’échanger après coup, entre détenteurs, sur le marché secondaire, tout en demeurent en circulation.
Économie pour les ingénieurs
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Terminologie– Débentures - obligations hypothécaires– Valeur nominale – Date à échéance– Taux d’intérêt du coupon– Taux d’intérêt du marché – Cours de l’obligation– Obligation vendue avec escompte d’émission– http://www.finance-net.com/placements/obligations/obligations.pht
ml
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Les investissements obligataires
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Exemple 1… le cours– Une obligation de 10 ans est caractérisée par une valeur nominale de
5 000$ et un taux annuel d’intérêt du coupon de 8 % payable trimestriellement. L’acheteur potentiel exige un rendement de 12 % sur ses investissements. Quel est le cours de cette obligation ?
– P = 5 000$ (P/F, 3, 40) + 100$ (P/A, 3, 40) =
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5000$ (0,08/4) = 100$
3 844$3 844$
Les investissements obligataires
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Exemple 2… Taux exigé du marché– L’intérêt qui assure l’équivalence entre les recettes futures
découlant de l’obligation et le prix du marché de l’obligation. – VN = 1 000$, P = 1 088$, Intérêt du coupon par semestre = 4,625%
x 20 périodes.
– 1 088$ = 46,25$(P/A, i%, 20) + 1 000$(P/F, i%, 20)
Économie pour les ingénieursECO1592 45
Les investissements obligataires
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Exemple 2 … suite
Économie pour les ingénieursECO1592 46
i =3% +1%
1241,76$−1088$1241.76$−1084,94$
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥=3,98%
3%1241,76$
?1088,00$
4%1084,94$
i par semestreVP des recettes
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Exemple 3… rendement courant
Est l’intérêt annuel reçu exprimé en % du cours actuel du marché de l’obligation.
Des données de l’exemple précédent…46,25$/1088$ = 4,25% semestriellement
2 x 4,25% = 8,5% annuellementRendement courant effectif :
ia= (1 + 0,0425)2 - 1 = 8,68 %
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Les investissements obligataires
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Exemple d’une hypothèque
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