選修數學 下冊 課外讀物 1. 函數家族

2. 衰退正弦的連續性

3. 導函數的因式性質

函數家族

課本裡所說的函數定義，其實是一種最常見的函數。想要看看其他種類的函數嗎？

單維彰‧2012 年 12 月 22 日

「函數」不僅是課本裡所說的而已。高中教材裡，乃至於絕大多數的科學、工程、管理

文獻中所謂的「函數」，其實只是數學裡常用的一類函數。這一類函數的完整名稱是單一

實變數的實值顯函數 (Real-Valued Explicit Functions with Single Real Variable)。它屬於一大類的函數：連續統函數 (Continuum Functions) 或連續型函數，主要的典範就是以連續變化的時間為自變數的函數關係。

相對於連續型函數，以正整數或整數的一部份為定義域的函數，稱為離散型函數

(Discrete Functions) 或離散函數。例如數學Ⅱ學習的「數列」就是一種離散型函數：數列

na 可以被視為一個以 {1, 2, 3, …} 為定義域的函數關係 ( )na f n 。離散函數的定義域

只要是 { 0n N n ∣ } 這種形式的整數子集合即可；但是，高中數學都習慣以 0 1N 為數列的首項足標，我們也沿用這個習慣。讀者應該明白，任意整數都可以是數列的首項

足標；例如，計算機科學領域習慣以 0 為首項足標。 離散函數是我們每一個人最早學會的數學操作，那就是：「數ㄕㄨˇ數ㄕㄨˋ兒」，

也就是「點數」：將物品一一點過以計算總數。為了解釋點數，我們用一個接著一個的皮

卡丘作為範例。在我們的語言中早就有 1, 2, 3, 4, … 這些自然數，大多數人在很年幼的時候就學會了依序朗誦這些數字（稱為「唱數」或「報數」）。所謂點數的過程就是依序將

一個自然數指派給每一個物件。以下圖為例，我們按照 1, 2, 3, 4 的順序，給每個皮卡丘指派一個自然數，既不能重複也不容許缺漏，如下。

而以下都是錯誤點數的例子：

1. 自然數沒有依序被指派，數成 13 個皮卡丘（定義域錯誤）：

2. 同一個自然數被指派不只一次，數成 10 個皮卡丘（不符合「函數」定義）：

3. 將多於一個自然數指派給同一個皮卡丘，數成 13 個皮卡丘（不符合「一對一」要求）：

4. 某一個皮卡丘沒有被數到，數成 11 個皮卡丘（不符合「映成」要求）：

從以上的例子可見，在點數的過程中，我們不但運用了離散函數（當然，事先還要

學會一件事：「唱數」）還自然而然地建立了一對一且映成的函數對應關係。所謂「一對

一」就是每個皮卡丘只被一個正整數對應，所謂「映成」就是每個皮卡丘都要被映到。

連續型函數的自變數來自於實數或複數，所以又稱為實變函數或實函數 (Real Variable Functions) 或者複變函數 (Complex Variable Functions)。實函數指的是對應域是實數、定義域是實數的子集合，的函數對應關係。通常，實函數的定義域有以下三種情

況： 1. 全部實數： x 2. 「一半」的實數： x a 、 x a 、 x a 、 x a ，其中 a 是某個實數 3. 「區間」：a x b ，其中 a 和 b 是兩個實數，a b ，而且兩個符號分別可以換

成 < 雖然實函數的定義域並不僅限於以上三種情況，但除非特別聲明，讀者可以假設實函數

的定義域視以上三種情況之一。 在連續型函數這一大類中，其實還有許多可以細分的類型，簡述並舉例如下。

單一複變數的實值 (顯) 函數，例如 ( ) | | cos arg( )f z z z ，其中 z，其實 ( )f z就是複數 z 的實部。（「顯」函數的「顯」字通常被省略掉；當我們說「函數」

就是指「顯函數」。）

單一複變數的複數值函數，例如 2( ) 1f z z ， z，這就是代入複數的多項式函數，我們在第一冊討論過一點點，但是其實還有很多性質。

單一實變數的複數值函數，例如 ( ) cos sinf i ，其中 。

單一實變數的實值「隱」函數，例如 2 2 1x y 而考慮 y 是 x 的函數。當然這就

是圓方程式，因為當點 ( , )x y 在單位圓上，則 21y x ，一個 x 對應兩個可

能的 y 值，所以 y 不能寫成 x 的函數。

多個實變數的實值函數，例如「線性規劃」中的目標函數：

( , ) 2 3 100f x y x y ；在物理數學中常被稱為「純量場」(scalar field)。

單一實變數的向量值函數，例如 ( ) ( ,1 )f t t t 是平面上的一條直線；它其實也

就是「參數式」。

多個實變數的向量值函數，例如 ( , ) ( 3 , )f x y x y y ，它其實是平面上的「推移」

線性變換；在物理數學中常被稱為「向量場」(vector field)。

大部分前述類型的函數，都在高中課程中出現過，只是並沒有機會予以統整。而大

部分前述的實變數函數，也會出現在大一微積分課程裡。

衰退正弦的連續性

利用夾擠定理可以計算0

sinlimx

xx

。想要知道答案嗎？

單維彰‧2012 年 12 月 23 日

在這一冊數學課本裡，我們學會了多項式函數的微分作法，也就是會做多項式函數

的導函數了。除了多項式函數，我們在高中至少還學會了指對數函數 xa 和 loga x ，其中1 0a ，還有三角函數 sin x 、 cos x等；這些函數也都有導函數，那是大學微積分的課

題。其中，求 sin x 之導函數的一個關鍵步驟，就是計算以下極限：

0

sinlimx

xx

高中數學已經備妥回答上述問題的知識，而且其過程實為複習三角函數性質的絕佳範

例，所以我們將它補充在這篇課外讀物裡。令

sin( ) xf xx

顯然 ( )f x 的定義域是 0x 的實數。其次，注意 ( )f x 是一個偶函數，它的函數圖形對稱

於原點。觀察 ( )f x 在 y 軸附近的函數圖形如下，可以猜測0

lim ( ) 1x

f x

。注意 x 代表弧度

量的角。

因為 ( )f x 是偶函數，我們可以只討論 0x 的情況，而 0x 的情況是相同的。也就是說，只要討論右極限 0x 即可，左極限 0x 必定是相同的。於是可以事先知道

0 0lim ( ) lim ( )x x

f x f x

又因為討論的是 0x 的情況，可以假設0 1x ，亦即 x是一個銳角。參閱下圖，其中的圓弧半徑為 1，故圖中紅色鉛直線段的長度為 sin x ，綠色鉛直線段的長度為 tan x ，而

夾角 x 所對的弧長就是 x。

所以，我們有

sin tanx x x

在0 1x 範圍內， sin x 和 tan x 皆為正數，所以

tan 11sin sin cos

x xx x x

亦即

sincos 1xxx

其夾擠情況如下圖所示。

現在，運用夾擠定理，因為

0lim 1 1x

而且 0

lim cos cos 0 1x

x

所以

0 0

sin sinlim lim 1x x

x xx x

得知了上述極限性質之後，可以定義一個新函數 sinc x 如下。

sin , 0sinc

1, 0

x xx x

x

當

當

此函數讀作 sink，可以理解為會衰退的正弦函數（而非週期性的）。這是一個在電機、電

子、機械、計算機工程方面都很常用的函數。sinc x 在實數上連續，其函數圖形大致如下。

導函數的因式性質

如果 ( )f x 是一個多項式函數，而導函數 ( )f x 是 ( )f x 的因式，則必然( ) ( )nf x a x k 。想要知道為什麼嗎？

單維彰‧2012 年 12 月 22 日

首先，請讀者在讀過了課文 2-2.3『反導函數』之後，再讀此附錄。其次，課文中只講到二階導函數，其實，同學們應可「舉二反三」地了解更高階的導函數。當二階導函

數還是可微時，定義三階導函數為

[ ( )]f f x 0

( ) ( )limx

f x x f xx

依此類推，我們可以定義四階、五階…導函數。如果存在的話，一般的 n 階導函數記做 ( )( )f n x ，其中 n 為正整數或 0： (0) ( ) ( )f x f x , (1) ( ) ( )f x f x 。因為多項式函數的導函數仍然是多項式，所以可以一直再微分得到任意階的導函數。而且，如果

1 21 2 1 0( )

n nn nf x a x a x a x a x a

是一個 n 次多項式函數，則觀察

1 21 2 1( ) ( 1) 2

n nn nf x na x n a x a x a

2 31 2( ) ( 1) ( 1)( 2) 2

n nn nf x n n a x n n a x a

可推論，當 0 k n ， ( ) ( )kf x 是一個 n-k 次多項式函數，而

( ) ( ) !n nf x n a 為常數函數

因為常數的微分為 0，而且[0] 0 ，所以當 m n ， ( ) ( ) 0mf x 。 認識了反導函數和 n 階導數之後，我們現在開始推論導函數的因式性質。令 ( )f x 為一個 n 次多項式函數，而其導函數 ( )f x 是 ( )f x 的因式，亦即 |f f ，我們要證明 ( )f x 必為完全 n 次方的形式，亦即

0( ) ( )nf x a x x ，其中 0a

令 ( )f x 為一個 n 次多項式函數，而其導函數 ( )f x 是 ( )f x 的因式，亦即 |f f ，我們要證明 ( )f x 必為完全 n 次方的形式，亦即

0( ) ( )nf x a x x ，其中 0a

首先，因為 ( )f x 為 1n 次多項式，由除法原理知 ( ) ( ) ( )f x mx k f x ，其中 0m

事實上，若 ( )f x 的首項係數為 na ，則 ( )f x 的首項係數為 nna ，故1mn

。因為 1n 視無

聊的狀況（ ( )f x 為常數多項式，必然為任何多項式函數的因式），所以只討論 2n 的狀況，因此 0 1m 。

由微分的乘法公式，得到 ( ) [( ) ( )] ( ) ( ) ( )f x mx k f x mf x mx k f x

整理得到 1( ) ( ) ( )

1f x mx k f x

m

所以 |f f 。依此類推，則三階導函數是二階導函數的因式： |f f ，…，第 1n 階導函數也就是 2n 階導函數的因式，記作 ( 1) ( 2)|n nf f 。但是， n 次多項式函數的 1n 階導

函數必為一次多項式，所以 ( 1) 0( ) ( )nf x p x x ，其中 p 為非 0 實數。現在，運用反導函

數的計算，得知

( 2) 20( )2

n pf x x C

但是因為 ( 1) ( 2)|n nf f 所以 0C 。同理，每一次做反導函數的常數項 C 都必為 0。所以持續做反導函數得到

0( ) ( )!npf x x x

n

也就是所求的形式，其中 0!

pan

。