DRUGI KOLOKVIJUM IZ PREDMETA SIGNALI I SISTEMI odseci OT, IR, OS, OF 19.06.2011.

Ime i prezime:

Broj indeksa: Odsek: Grupa LAB Zbir:

1. Dopuniti sledeće iskaze tako da oni budu tačni:

a) Ako je Fourijerova transformacija signala ( )x t konvergentna, to znači da ,

b) Uslov da Fourierova transformacija signala ( )x t bude konvergentna je , ili, za signale koji ispunjavaju Dirichletove uslove, da je

c) Primer signala koji ne zadovoljava ove uslove je

d) Fourierova transformacija signala ( ) ( )2sin 4x t t= je

e) Fourierova transformacija signala ( ) ( )x t u t= je

f) Fourierova transformacija parnog signala je čisto realna

g) Ako je Fourierova transformacija signala ( ) 3 jX j e ωω −= tada je ( )x t =

h) Ako kompleksna vrednost *s pripada oblasti konvergencije Laplasove transformacije signala ( )x t to znači da

i) Funkcija prenosa kontinualnog LTI sistema je Laplaceova transformacija njegovog impulsnog odziva, ili, ekvivalentno, količnik Laplaceovih transformacija izlaznog i ulaznog signala

j) Ako je ( ) ( ){ }X s L x t= i ( ) ( ){ }Y s L y t= sa oblastima konvergencije xROC A= i yROC B= , tada je

( ) ( ){ }L x t y t+ = , x yROC + = , ( ) ( ){ }L x t y t× = , x yROC × = ne može se odrediti na osnovu i u opštem slučaju

k) Redna veza dva kontinualna LTI sistema sa funkcijama prenosa ( )1H s i ( )2H s ima ekvivalentnu funkciju

prenosa sa odgovarajućim impulsnim odzivom

l) Dvostrana zed transformacija diskretnog signala [ ]x n je ( )X z =

m) Navesti primer diskretnog signala čija je oblast konvergencije zed transformacije

I) prazan skup , II) skup komplesknih brojeva n) Zed transformacija signala [ ]u n je

o) Navesti primer dva različita diskretna signala čije su dvostrane zed transformacije identične i p) Sistem čija je funkcija disketnog prenosa ( ) ( )11/ 1H z z−= − se naziva akumulator

q) Zaokružiti redne brojeve ispred funkcija prenosa kauzalnih kontinualnih LTI sistema koji su stabilni

I) ( ) 2

21

H ss s

=− +

, II) ( ) 2

11

sH ss s

−=

+ +, III) ( )

( ) ( )22

1 2H s

s s−

=+ +

, IV) ( ) ( )210

sH ss s

+=

+

r) Zaokružiti redne brojeve ispred funkcija diskretnog prenosa kauzalnih LTI sistema koji su stabilni

I) ( )0.8

zH zz

=+

, II) ( ) 2

10.81

zH zz

−=

−, III) ( ) 3

11

H zz

=−

IV) ( ) ( )3 2

14

H zz z

−=

−.

18

2. Za sledeće signale izvesti odgovarajuće Fourier-ove transformacione parove: 3. Za signal ( ) ( )atx t e u t−= sračunati Fourier-ovu transformaciju, a zatim na osnovu Parseval-ove teoreme sračunati energiju ovog signala. 4. Formulisati teoremu o odabiranju. Koja je posledica neadekvatnog izbora periode odabiranja?

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

11

1

1 1

1 2sin( )( ) ( 1 1 ) |j j

j t j t j tj j

x t u t u t

e eX j u t u t e dt e dt eω ω

ω ω ωω ω ω

ωω∞ −

− − −−−

−∞ −

= + − −

−= + − − = = = =∫ ∫

( ) ( )

( ) 2

2 2

02 2 2 2

40

4( ) ( )

t

t j t t j t t j t

x t e u t

X j e u t e dt e e dt e e dtω ω ωω

ω

−

∞ ∞− − − − −

+−∞ −∞

= =

= = + ==∫ ∫ ∫

( ) ( )

( ) ( )0 0 01 1 2( ) ,

k

j tk

kT

x t t kT

a t e dt X j kT T T

ω

δ

πδ ω ω δ ω ω ω

∞

=−∞

∞−

=−∞

= −

= = ⇒ = − =

∑

∑∫=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 12 2 2( ) (1 2 )

1( ) 2 ( ) 12

X jj j j

x t u t

ω δ ω δ ω πδ ω πδ ω πδ ω π δ ωω ω ω

π

= + = + + − = + + −

= + −

1( ) , 0X j aj a

ωω

= >+

2 22 2

1 1 1 1 1 1 1 1| ( ) | | | |2 2 2 2 2 2xE X j d d d arctg

j a a a a a aωω ω ω ω π

π π ω π ω π π

∞ ∞ ∞∞−∞

−∞ −∞ −∞

= = = = = =+ +∫ ∫ ∫

Odabiranje kontinualnog signala mora se vršiti u;estanošću ωs koja je bar dva puta veća od maksimalne učestanosti u spektru signala koji se odabira. Posledica je preklapanje, aliasing efekat, gubljenje dela sadržaja originalnog signala

4

4

4

6

4

4

5. Frekvencijski odziv jednog sistema je ( ) ( )( )( )2

1200 10.6 10

jH j

j jω

ωω ω

+=

+ +

a) Skicirati Bodeove karakteristike ovog sistema. b) Ako se na ulaz ovog sistema dovede signal ( ) ( )7sin 8 / 2x t t π= + kakav će biti odziv sistema? 6. Za zadate signale odrediti zahtevane parove dvostrane Laplace-ove transformacije i napisati odgovarajuće oblasti konvergencije.

3

a) 2 sin 4tL e t u t ( )2

4 ,Re{ } 22 16

ss

> −+ +

4

b) 3 3 3 6 2

22 2 | ,t t st t st stL e t e t e dt e e e e s C

4

c)

12

2 ?, : 0.5 Re 0.50.25 1

L ROC ss s

0.5 0.54 8( ) 4 ( ) ( )

3 3t t te u t e u t e u t

5

( ) ( )( )( )2

20 /1 1/ 0.6 1 /10 1

jH j

j jω

ωω ω

+=

+ +, AdB = 20log20 = 26.02dB, BdB = AdB-20log 1

0.6 = 21.58dB = CdB

26.02 dB

21.58 dB

0.6 1 10

-20 dB/dec

-40 dB/dec

A

B C

|H(jw)|

w[rad/s]

arg(H(jw))w[rad/s]

-π/2

-π

y(t)=Ysin(8t+θ) Y=7|H(j8)|=7·1021.58/20=83.96 arg{H(j8)}= -arctg(w/0.6)+ arctg(w/1)- 2arctg(w/10) θ=π/2+arg{H(j8)}=9.84°

4

7

7. Za kauzalni LTI sistem čiji je strukturni blok dijagram prikazan na slici odrediti ekvivalentnu funkciju prenosa. 8. Impulsni odziv kauzalnog diskretnog LTI sistema glasi 0.8nh n u n . a) Odrediti njegovu funkciju diskretnog prenosa. b) Ukoliko se na njegov ulaz dovede signal 1 nx n u n , primenom zed transformacije odrediti odziv.

9. Odrediti nedostajuće parove zed transformacije sa odgovarajućim oblastima konvergencije. 10. Ako su poznati kauzalni signal [ ]x n i njegov unilateralni transformacioni par ( )X z tada je

1H s

3H s

2H s

4H s

32

5 6 1 5 7 8 4 72 3

6

6 8

( )( )( ) , ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( )1 ( ) 1 ( )

( )( )1 ( ) ( )

H sH sH s H s H s H H s H s H s H sH s H sH sH s

H s H s

= = = =+ +

=+

5

1

1( ) , | | 0.81 0.8

H z zz−= >

−

3

1

1( ) , | | 11

X z zz−= >

+

( ) ( ) ( ), | | 1Y z H z X z z= > 5 4[ ] ( ( 1) (0.8) ) [ ]9 9

n ny n u n= − +

3

[ ] [ ] [ ]4

1

14 ( ) , , 01

zx n u n u n X z z C zz

−

−

−= − − ⇒ = ∈ ≠

−

[ ] [ ] [ ]3

1 311 0.5 3 ( ) 0.5 , | | 0.5

1 0.5n zx n n u n X z z z

zδ

−−

−= − − − ⇒ = − >−

( ) 2

1

1 ; 1 [ ] [ 2]1

X z z z x n u nz

−−= > ⇒ = −

−

( ) ( )( )1 12 4 4; 0.5 2 [ ] 0.5 [ 1] ( 2) [ ]

0.5 2 5 5n nX z z x n u n u n

z z− −= < < ⇒ = − + − −

− +

[ ]{ } 22 ( )Z x n z X z−− =

[ ] [ ]{ }1 0.2 ( ) [0] ( )0.2

n zZ x n x n zX z zx X+ + = − +

( )11

1 [ ]1

n

kZ X z x k

z−

−=−∞

= − ∑

[ ] [ ] 1

10 ( ) (1 ) ( )lim lim

z zx X z x z X z−

→∞ →

= ∞ = −

3

3

3

3

3

3

3

3