Droites et plans de l’espace : position relative.
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Droites et plans de l’espace :
position relative
![Page 2: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/2.jpg)
Deux droites de l’espace peuvent être :
![Page 3: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/3.jpg)
Deux droites de l’espace peuvent être :
non coplanaires
![Page 4: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/4.jpg)
Deux droites de l’espace peuvent être :
non coplanaires
Leur intersection est vide.
![Page 5: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/5.jpg)
Deux droites de l’espace peuvent être :
non coplanaires
coplanaires
![Page 6: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/6.jpg)
Deux droites de l’espace peuvent être :
non coplanaires
coplanaires
sécantes
![Page 7: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/7.jpg)
Deux droites distinctes de l’espace peuvent être :
non coplanaires
coplanaires
sécantes
Leur intersection est réduite à un point.
![Page 8: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/8.jpg)
Deux droites de l’espace peuvent être :
non coplanaires
coplanaires
sécantes parallèles
![Page 9: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/9.jpg)
Deux droites de l’espace peuvent être :
non coplanaires
coplanaires
sécantes parallèles
Leur intersection est vide.
![Page 10: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/10.jpg)
Deux droites de l’espace peuvent être :
non coplanaires
coplanaires
sécantes parallèles
Deux droites de l’espace sont parallèles si elles sont coplanaires et si leur intersection est vide.
![Page 11: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/11.jpg)
Deux droites de l’espace peuvent être :
non coplanaires
coplanaires
sécantes parallèles
Deux droites de l’espace dont l’intersection est vide ne sont pas nécessairement parallèles.
![Page 12: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/12.jpg)
Deux droites de l’espace peuvent être :
non coplanaires
coplanaires
sécantes parallèles
Pour que deux droites de l’espace soient sécantes, il est nécessaire qu’elles soient coplanaires.
![Page 13: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/13.jpg)
Deux droites de l’espace peuvent être :
non coplanaires
coplanaires
sécantes parallèles
Pour que deux droites de l’espace soient sécantes, il est nécessaire qu’elles soient coplanaires.Si deux droites de l’espace sont sécantes, elles sont nécessairement coplanaires.
![Page 14: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/14.jpg)
Une droite et un plan de l’espace peuvent être :
![Page 15: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/15.jpg)
Une droite et un plan de l’espace peuvent être :
sécants
![Page 16: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/16.jpg)
Une droite et un plan de l’espace peuvent être :
sécants
L’intersection de la droite et du plan est alors réduite à un point.
![Page 17: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/17.jpg)
Une droite et un plan de l’espace peuvent être :
sécants parallèles
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Une droite et un plan de l’espace peuvent être :
sécants parallèles
strictement parallèles
la droite contenue dans le plan
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Une droite et un plan de l’espace peuvent être :
sécants parallèles
strictement parallèles
la droite contenue dans le plan
![Page 20: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/20.jpg)
Une droite et un plan de l’espace peuvent être :
sécants parallèles
strictement parallèles
la droite contenue dans le plan
L’intersection de la droite et du plan est vide.
![Page 21: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/21.jpg)
Une droite et un plan de l’espace peuvent être :
sécants parallèles
strictement parallèles
la droite contenue dans le plan
![Page 22: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/22.jpg)
Une droite et un plan de l’espace peuvent être :
sécants parallèles
strictement parallèles
la droite contenue dans le plan
L’intersection de la droite et du plan est la droite.
![Page 23: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/23.jpg)
Deux plans distincts de l’espace peuvent être :
![Page 24: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/24.jpg)
Deux plans distincts de l’espace peuvent être :
sécants
![Page 25: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/25.jpg)
Deux plans distincts de l’espace peuvent être :
sécants
Leur intersection est une droite.
![Page 26: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/26.jpg)
Deux plans distincts de l’espace peuvent être :
sécants parallèles
![Page 27: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/27.jpg)
Deux plans distincts de l’espace peuvent être :
sécants parallèles
Leur intersection est vide.
![Page 28: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/28.jpg)
Droites et plans de l’espace :
parallélisme
![Page 29: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/29.jpg)
Théorème 1 : Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan.
![Page 30: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/30.jpg)
Exemple
![Page 31: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/31.jpg)
Exemple
La droite (EH) est parallèle à la droite (AD) du plan (ABC), elle est donc parallèle au plan (ABC).
![Page 32: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/32.jpg)
Théorème 2 : Si deux plans P1 et P2 sont parallèles, alors tout plan P qui coupe l’un coupe l’autre et les droites d’intersection d1 et d2 sont parallèles.
![Page 33: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/33.jpg)
Exemple
![Page 34: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/34.jpg)
Exemple
Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles.
![Page 35: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/35.jpg)
Exemple
Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles. Le plan (ACG) coupe (ABC) suivant la droite (AB).
![Page 36: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/36.jpg)
Exemple
Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles. Le plan (ACG) coupe (ABC) suivant la droite (AB).Le plan (ACG) coupe (EFG) suivant la droite (EG).
![Page 37: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/37.jpg)
Exemple
Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles. Le plan (ACG) coupe (ABC) suivant la droite (AB).Le plan (ACG) coupe (EFG) suivant la droite (EG).On en conclut que les droites (AC) et (EG) sont parallèles.
![Page 38: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/38.jpg)
Théorème 3 : Soit deux plans P1 et P2 sécants suivant une droite D et une droite d parallèle à P1 et à P2, alors d est parallèle à D.
![Page 39: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/39.jpg)
Théorème 4 : Un plan P1 est parallèle à un plan P2 si et seulement si il existe deux droites sécantes de P1 parallèles au plan P2.
![Page 40: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/40.jpg)
Exemple
![Page 41: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/41.jpg)
Exemple
(EF) et (EH) sont deux droites sécantes du plan (EFG).
![Page 42: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/42.jpg)
Exemple
(EF) et (EH) sont deux droites sécantes du plan (EFG).(EF) est parallèle à la droite (AB) du plan (ABC).
![Page 43: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/43.jpg)
Exemple
(EF) et (EH) sont deux droites sécantes du plan (EFG).(EF) est parallèle à la droite (AB) du plan (ABC).(EH) est parallèle à la droite (AD) du plan (ABC).
![Page 44: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/44.jpg)
Exemple
(EF) et (EH) sont deux droites sécantes du plan (EFG).(EF) est parallèle à la droite (AB) du plan (ABC).(EH) est parallèle à la droite (AD) du plan (ABC).On en conclut que les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles.
![Page 45: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/45.jpg)
Théorème 5 (théorème du toit) Soit deux plans P1 et P2 sécants suivant une droite D. Si d1 est une droite du plan P1 et d2 une droite du plan P2 telles que d1 et d2 sont
parallèles, alors D est parallèles à d1 et à d2 .
![Page 46: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/46.jpg)
Exemple : SABCD est une pyramide dont la base ABCD est un parallélogramme.Déterminer l’intersection des plans (SAB) et (SCD).
![Page 47: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/47.jpg)
![Page 48: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/48.jpg)
Ces deux plans possèdent S en commun et ils ne sont pas confondus, ils sont donc sécants suivant une droite D. D passe par S.
![Page 49: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/49.jpg)
Ces deux plans possèdent S en commun et ils ne sont pas confondus, ils sont donc sécants suivant une droite D. D passe par S.(AB) est une droite du plan (SAB).
![Page 50: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/50.jpg)
Ces deux plans possèdent S en commun et ils ne sont pas confondus, ils sont donc sécants suivant une droite D. D passe par S.(AB) est une droite du plan (SAB).(CD) est une droite du plan (SCD).
![Page 51: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/51.jpg)
Ces deux plans possèdent S en commun et ils ne sont pas confondus, ils sont donc sécants suivant une droite D. D passe par S.(AB) est une droite du plan (SAB).(CD) est une droite du plan (SCD).Comme ABCD est un parallélogramme, (AB) et (CD) sont parallèles .
![Page 52: Droites et plans de l’espace : position relative.](https://reader038.fdocument.pub/reader038/viewer/2022102900/551d9ddd497959293b8e911a/html5/thumbnails/52.jpg)
Ces deux plans possèdent S en commun et ils ne sont pas confondus, ils sont donc sécants suivant une droite D. D passe par S.(AB) est une droite du plan (SAB).(CD) est une droite du plan (SCD).Comme ABCD est un parallélogramme, (AB) et (CD) sont parallèles .D’après le théorème du toit, D est la parallèle à (AB) et à (CD) passant par S.