DISTRIBUSI PELUANG

NAMA : Syahidul Haq

NIM : 07.5504

KELAS : 3 SE 1

SEKOLAH TINGGI ILMU STATISTIK

JAKARTA

2010

DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT

1. Binomial

X ~ BIN (n,p) , dimana 0 < p < 1 dan q = 1 – p

Peubah acak X menyatakan jumlah kejadian sukses sebanyak n percobaan.

f(x) = (np) px qn− x , x = 0, 1,…, n

2. Bernoulli

X ~ BIN (1,p) , dimana 0 < p < 1 dan q = 1 – p

Untuk kejadian yang bersifat dikotomi, misal sukses dan tidak sukses.

f(x) = pxq1−x , x = 0, 1

Ciri-ciri Distribusi Bernoulli, yaitu:

a. Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang.

b. Tiap percobaan hanya memiliki 2 hasil, sukses atau gagal.

c. Probabilita sukses pada tiap-tiap percobaan haruslah sama dan dinyatakan

dengan p.

d. Setiap percobaan harus bersifat independen.

e. Jumlah percobaan yang merupakan komponen eksperimen binomial harus

tertentu.

3. Negative Binomial

X ~ NB (r,p) , dimana 0 < p < 1 dan r = 1, 2, …

Peubah acak X menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan sampai terjadi r

sukses.

f(x) = (x−1r−1) prqx−r

, x = r, r + 1, …

4. Geometric

X ~ GEO (p) , dimana 0 < p < 1 dan q = 1 – p

Peubah acak X menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan sampai terjadi

sukses yang pertama.

f(x) = pqx−1 , x = 1, 2, …

5. Hypergeometric

X ~ HYP (n, M, N) , dimana n = 1, 2, …, N dan M = 0, 1, …, N

Peubah acak X menyatakan banyaknya sukses diantara n contoh dari populasi N

tanpa pengembalian (WOR).

f(x) = (Mx )(N−Mn−x )(Nn ) , x = 0, 1, …, n

Suatu percobaan Hypergeometric memiliki dua sifat,yaitu:

a. Sampel acak ukuran n diambil tanpa pengembalian dari N benda;

b. Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya, N-k, diberi nama

gagal.

6. Poisson

X ~ POI (µ) , dimana 0 < µ

Peubah acak X menyatakan banyaknya kejadian yang muncul di dalam suatu waktu

tertentu.

f(x) = e−µµx

x ! , x = 0, 1, …

Distribusi Poisson memiliki sifat, antara lain:

a. Banyaknya hasil yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu

tidak terpengaruh oleh (bebas dari) apa yang terjadi pada selang waktu atau

daerah lain yang terpisah.

b. Peluang terjadinya suatu hasil (tunggal) dalam selang waktu yang amat pendek

atau dalam daerah kecil sebanding dengan panjang selang waktu atau besarnya

daerah dan tidak tergantung pada benyaknya hasil yang terjadi di luar selang

waktu atau daerah tersebut.

c. Peluang terjadinya lebih dari satu hasil dalam selang waktu yang pendek atau

daerah yang sempit tersebut dapat diabaikan.

7. Discrete Uniform

X ~ DU (N) , dimana N = 1, 2, …

Bila peubah acak X mendapat nilai x1, x2, …, xn dengan peluang yang sama.

f(x) = 1N , x = 1, 2, … , N.

8. Multinomial

[ x MULT ( p1 , p2 ,… pk ;n ) ]

Percobaan binomial menjadi percobaan multinomial bila tiap usaha dapat

memberikan lebih dari dua hasil yang mungkin.

f (x1 , x2 ,… xk ; p1 , p2 ,… pk , n )=( nx1 , x2 ,… xk

) p1x1 p2

x2…pkxk x= 1,2,…k

Dengan ∑i=1

k

x1=n dan ∑i=1

k

pi=1

9. Hipergeometrik Ganda

xi menyatakan banyaknya kategori ke-i dalam sampel n yang diambil tanpa

pengembalian dari populasi N. Ki menyatakan banyaknya kategori dalam populasi N.

f (x1 , x2 ,… xl )=(K1

x1)(K2

x2)… (K l

x l)

(Nn )i= 1,2,3,…l

DISTRIBUSI PELUANG KONTINU

1. Uniform

X ~ UNIF (a,b) , dimana a < b

f(x) = 1

b−a , a < x < b

2. Normal

X ~ N (µ, σ 2) dimana σ 2 > 0

f(x) = 1

σ √2π e

−12

¿¿ , - ∞ < x < ∞

3. Gamma

X ~ GAM (θ,κ) , dimana 0 < θ dan 0 < κ

f(x) = 1

θκ Γ (κ) xκ−1 e−x /θ , x > 0

4. Exponential

X ~ EXP (θ) , dimana θ > 0

f(x) = 1θ e− x/θ , x > 0

5. Two-Parameter Exponential

X ~ EXP (θ, η) , dimana θ > 0

f(x) = 1θ e−(x−η)/θ, η < x

6. Double – Exponential

X ~ DE (θ, η) , dimana θ > 0

f(x) = 1

2θ e−¿ x−η∨¿θ

7. Weibull

X ~ WEI (θ, β) , dimana 0 < θ dan 0 < β

f(x) = β

θβ xβ−1e−¿ ¿ , x > 0

8. Lognormal

X ~ LOGN (µ, σ 2) , dimana 0 > σ 2

f(x) = 1

xσ √2 π e

−12

¿¿

9. Chi-Square

X ~ χ2(v) , dimana v = 1, 2, …

f(x) = 1

2v2 Γ ( v

2) x

v2−1

e− x/2 , x > 0

10. Student’s t

X ~ t(v) , dimana v = 1, 2, …

f(x) = Γ ( v+1

2)

Γ (v2)

1

√vπ ( 1 + x2

v¿−(v+1)

2

11. Snedecor’s F

X ~ F (v1, v2) , dimana v1 = 1, 2, … dan v2 = 1, 2, …

f(x) = Γ (

v1+v2

2)

Γ ( v1

2 )Γ (v2

2) (v1

v2

¿v1

2 x(v1

2−1) (1 +

v1

v2

x ¿−(v1−v2 )

2

12. Beta

X ~ BETA (a, b) , dimana a > 0 dan b > 0

f(x) = Γ (a+b)Γ (a ) Γ (b) xa−1 (1−x )b−1

13. Pareto

X ~ PAR (θ, κ) , dimana θ > 0 dan κ > 0

f(x) = κ

θ ¿¿ , x > 0

14. Cauchy

X ~ CAU (θ, η) , dimana θ > 0

f(x) = 1

θπ ¿¿

15. Logistic

X ~ LOG (θ, η) , dimana θ > 0

f(x) = 1θ

exp [ x−ηθ

]

{1+exp [x−ηθ

]}2

16. Extreme Value

X ~ EV (θ, η) , dimana θ > 0

f(x) = 1θ exp {[ x−η

θ ]−exp [ x−ηθ ]} , dimana x > 0

HUBUNGAN ANTARA DISTRIBUSI PELUANG

n = 1

∑ x i a=b=1

p= aa+b

µ = n(1 - p) dan n→∞ a+b→∞ p=MN

,

μ=npdann→∞ ∑ x i

μ=σ2danμ→∞ μ=np n=1

σ 2=np (1−p )dann→∞

ex a=b→∞

log X μ=θκ

X−μσ

μ+σX σ 2=κθ2

Geometric

(p)

Discrete

Uniform

Beta-binomial

(n,a,b)Negative

binomial (n,p)

Poisson

(µ)

Binomial

(n,p)

Hypergeometric

(M,N,n)

Bernoulli

(p)Normal

(µ,σ2)

Lognormal

Normal

(0,1)

Beta

(a,b)

Gamma

(θ,κ)

Uniform

Chi-Square

(v)Cauchy

N→∞

θ→∞

X1

X1+X2

a=b=1

X1

X2

∑ X i2 κ=

v2

θ = 2 κ = 1 ∑ x i

X1/v1

X2/v2

θ = 2 dan v = 2 e−Xθ

v→∞ v1X -θ log X

v=1 v2→∞ X1 /θ X1 – X2

X2 β=1 |X|

Keterangan :

: Transformasi dan kasus spesial

: Limit

Chi-Square

(v)Cauchy