distribusi acak

E-book Statistika Gratis... STATSDATA Statistical Data Analyst

www.statsdata.my.id

Distribusi Variabel Acak Kontinu

Pada penulisan Keenam tentang Statistika Elementer ini, penulis akan memberikan bahasan

mengenai Distribusi Variabel Acak Kontinu kepada para pembaca untuk menambah

pemahaman dan contoh soal mengenai Variabel Acak kontinu dan fungsi distribusinya. Pada

penulisan ini, Distribusi Variabel Acak Kontinu yang diberikan adalah Distribusi Normal dan

Hampiran Distribusi Normal terhadap Distribusi Binomial. Sebagai tambahan, disisipkan

teori tentang Hampiran Distribusi Poisson terhadap Distribusi Binomial.

Variabel Acak Kontinu.

Variabel Acak adalah suatu fungsi yang memetakan setiap anggota Ruang Sampel S ke

bilangan Real[3]

. Dalam statistika, variabel acak disimbolkan dengan huruf-huruf kapital

misalkan X, Y, Z, dll. Variabel acak yang mampu menjalani bilangan bulat adalah Variabel

Acak Diskrit, sedangkan variabel acak yang mampu menjalani bilangan real adalah Variabel

Acak Kontinu. Misalkan X adalah variabel acak kontinu maka fungsi kepadatan probabilitas

(probability density function, PDF) dapat didefinisikan sebagai

)X(P)(X xxf == .

Dengan kata lain, fungsi fX(x) adalah fungsi distribusi probabilitas dari X untuk variabel acak

kontinu. PDF dari variabel acak kontinu X harus memenuhi sifat-sifat berikut:

1. 1)(0 X ≤≤ xf , PDF bernilai nol sampai satu.

2. 1)(X =∫x

dxxf , luasan dari semua PDF dari variabel acak kontinu X pada ruang sampel

adalah satu.

3. ∫=

=≤≤b

ax

dxxfbXaP )()( X , nilai a dan b adalah dua nilai sembarang dari X yang

memenuhi a < b .

4. )()( xXPxXP <=≤ , tanda (< dan ≤) atau (> dan ≥) dianggap sama saja.

Misalkan X merupakan variabel acak kontinu maka fungsi kepadatan kumulatif (cumulative

density function, CDF) dapat didefinisikan sebagai

bxadkkfxxFx

ak≤≤=≤= ∫ =

;)()X(P)( XX .


www.statsdata.my.id

Dengan kata lain, fungsi FX(x) adalah fungsi distribusi dari X untuk variabel acak kontinu. Jika

fX(x) merupakan PDF dari variabel acak kontinu X, maka terdapat relasi antara PDF dan CDF,

yaitu

[ ].

)()( X

X dx

xFdxf =

Rumusan ini tidak dapat digunakan untuk distribusi variabel acak diskrit. Sebagai tambahan,

mean dan varian dari variabel acak kontinu masing-masing adalah[1]

∫=x

dxxfx )(. Xµ dan .)(.)( X22

∫ −=x

dxxfx µσ

Distribusi Variabel Acak Kontinu.

Pada penulisan ini, diberikan distribusi variabel acak kontinu yang biasa digunakan, yaitu:

1. Distribusi Normal

2. Hampiran Distribusi Normal terhadap Distribusi Binomial

Distribusi Normal.

Distribusi Normal merupakan distribusi probabilitas kontinu yang paling penting dalam

segala bidang Statistika. Distribusi ini memiliki karakteristik dari fungsi kepadatan-nya yang

berbentuk kurva simetris menyerupai suatu lonceng, sehingga kurva Normal ini disebut

sebagai kurva berbentuk lonceng (bell-shaped curve). Disamping itu, distribusi Normal juga

disebut juga sebagai Distribusi Gaussian[2]

yang mana hal ini diberikan sebagai penghargaan

untuk Ahli Matematika Jerman Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855) dalam membentuk fungsi

distribusi Normal. Fungsi kepadatan probabilitas (PDF) dari variabel acak X Normal

dirumuskan sebagai

...718281828,2;7/22

.;0;

2

)(exp

2

1)(

2)X(P)(

),(N~X

2

2

X

2

)(

X

2

2

2

≈≈∞<<∞−>∞<<∞−

−−=

===

−−

e

x

xxf

atau

exxf

x

πσµ

σµ

πσ

πσ

σµ

σµ


www.statsdata.my.id

Variabel acak X berdistribusi Normal dengan parameter mean μ dan varian σ2 yang mana

PDF dari distribusi ini dapat diilustrasikan sebagai berikut.

Misalkan diberikan dua sampel data X1 ~ N(μ1 , σ12) dan X2 ~ N(μ2 , σ2

2) dengan:

• kondisi μ1 < μ2 dan σ1 = σ2 , maka kurva Normal diilustrasikan menjadi

• kondisi μ1 = μ2 dan σ1 < σ2 , maka kurva Normal digambarkan mengikuti

• kondisi μ1 < μ2 dan σ1 < σ2 , maka kurva Normal diilustrasikan menjadi

Distribusi Normal memiliki kurva yang simetris membentuk suatu lonceng. Hal ini terjadi

ketika nilai mean, median, dan modus dari data bernilai sama[1]

; namun ketika kondisi ini

tidak terpenuhi, distribusi data yang terbentuk akan miring kanan atau miring kiri.


www.statsdata.my.id

Simetris

Miring Kiri (Skewed-to-Left) Miring Kanan (Skewed-to-Right)

Berdasarkan penyebaran data yang berdistribusi Normal[1]

, penyebaran 68% data

pengamatan berada pada interval μ – σ sampai μ + σ; penyebaran 95% data pengamatan

berada pada interval μ – 2σ sampai μ + 2σ; dan penyebaran 99,7% data pengamatan berada

pada interval μ – 3σ sampai μ + 3σ.

Sedangkan, fungsi kepadatan kumulatif (CDF) dari variabel acak X Normal adalah

∫∫ ∞−∞−

−−==≤=xx

dkk

dkkfxxF2

2

XX2

)(exp

2

1)()X(P)(

σµ

πσ.

Penyelesaian masalah distribusi Normal dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan

Distribusi Normal Standar. Misalkan diberikan variabel acak X berdistribusi Normal dengan

parameter mean μ dan varian σ2, maka variabel acak Z yang berdistribusi Normal Standar


www.statsdata.my.id

dengan parameter mean 0 dan varian 1 akan menghasilkan fungsi kepadatan probabilitas

(PDF) sebagai

∞<<∞−

−=

===

−=

−

z

zzf

atau

ezzf

z

2exp

2

1)(

2)Z(P)(

)1,0(N~Z;X

Z

2

Z

2

Z

2

π

π

σµ

Sedangkan, fungsi kepadatan kumulatif (CDF) dari variabel acak Z Normal Standar adalah

∫∫ ∞−∞−

−==≤=

zzdk

kdkkfzzF

2exp

2

1)()Z(P)(

2

ZZ π.

Sebagai Contoh, Dari hasil survei satu komplek perumahan, biaya pengeluaran untuk

konsumsi listrik rumah tangga adalah 400.000 rupiah perbulan dan standar deviasinya

sebesar 30.000 . Jika biaya pengeluaran tersebut berdistribusi Normal, maka tentukan

probabilitas:

a. biaya pengeluaran untuk konsumsi listrik sebesar 375.000 rupiah. [P(X = 375.000) ?]

b. biaya pengeluaran untuk konsumsi listrik maksimal 450.000 rupiah. [P(X ≤ 450.000) ?]

c. biaya pengeluaran untuk konsumsi listrik diantara 300.000 dan 400.000 rupiah.

[P(300.000 < X < 400.000) ?]

Penyelesaian:

Misalkan X adalah variabel acak yang menyatakan biaya pengeluaran untuk konsumsi listrik

rumah tangga yang memiliki parameter μ = 400.000 rupiah dan σ = 30.000 . Secara teori,

distribusi Normal dapat diselesaikan kedalam bentuk distribusi Normal Standar, sehingga:

a. Untuk x = 375.000, perlu dilakukan transformasi kedalam bentuk Normal Standar.

833,0000.30

000.400000.375 −=−=−=σ

µxz

Jadi, P(X = 375.000) = P(Z = -0,833)


www.statsdata.my.id

2820,02

)833,0(exp

2

1)833,0()833,0(

2exp

2

1)()(

2

Z

2

Z

=

−−=−=−=

−===

π

π

fZP

zzfzZP

Probabilitas biaya pengeluaran untuk konsumsi listrik sebesar 375.000 rupiah adalah

0,2820 .

b. Untuk x = 450.000, perlu dilakukan transformasi kedalam bentuk Normal Standar.

67,1000.30

000.400000.450 =−=−=σ

µxz

Jadi, P(X ≤ 450.000) = P(Z ≤ 1,67)

?)67,1Z(P

2exp

2

1)67,1()67,1Z(P

2exp

2

1)()()Z(P

67,1 2

Z

2

ZZ

=≤

−==≤

−===≤

∫

∫∫

∞−

∞−∞−

MM

dkk

F

dkk

dkkfzFzzz

π

π

Penyelesaian soal (b) diselesaikan dengan bantuan Tabel Normal Standar.

?...)67,1Z(P

67,1;)()Z(P Z

=≤==≤ zzFz

z 0.00 … 0.07 …

: ↓

1.6 ------ → 0.9525

:

.9525,0)67,1Z(P =≤

Jadi, probabilitas biaya pengeluaran untuk konsumsi listrik maksimal 450.000 rupiah

adalah 0,9525 .

c. Untuk x1 = 300.000 dan x2 = 400.000, perlu dilakukan transformasi kedalam bentuk

Normal Standar.

0000.30

000.400000.400

33,3000.30

000.400000.300

22

11

=−=−

=

−=−=−

=

σµ

σµ

xz

xz

Jadi, P(300.000 < X < 400.000) = P(-3,33 < Z < 0)


www.statsdata.my.id

)33,3Z(P)0Z(P)Z(P

)Z(P)Z(P)Z(P

21

1221

−≤−≤=≤≤≤−≤=≤≤

zz

zzzz

z 0.00 … 0.03 …

: | ↓

-3.3 ------ → 0.0005

: ↓

0.0 →0.5000

:

4995,00005,05000,0)Z(P

)33,3Z(P)0Z(P)Z(P

21

21

=−=≤≤−≤−≤=≤≤

zz

zz

Probabilitas biaya pengeluaran untuk konsumsi listrik diantara 300.000 dan 400.000

rupiah adalah 0,4995 .

Hampiran Distribusi Normal terhadap Distribusi Binomial.

Ada beberapa kasus dimana data X berdistribusi Binomial hanya dapat diselesaikan dengan

pendekatan distribusi Normal. Jika ukuran sampel n besar dan p tidak dekat dengan 0 atau

1, melainkan nilai p lebih dekat ke nilai 1/2; maka persoalan distribusi Binomial dapat

diselesaikan dengan menggunakan pendekatan distribusi Normal.

Teorema[2]

:

Jika X variabel acak Binomial dengan mean np=µ dan varians npq=2σ ,

maka bentuk limit distribusi npq

npXZ

−= untuk ∞→n

merupakan distribusi Normal Standar.

Sebagai contoh, soal ujian pilihan ganda diberikan biasanya sebanyak 200 dengan

ketentuan probabilitas banyaknya soal yang rumit adalah 40%. Hitung probabilitas terdapat

maksimal 85 soal yang rumit. [P(X ≤ 85) ?]

Penyelesaian:

X = banyaknya soal yang rumit dalam soal ujian pilihan ganda.

Karena nilai n berukuran besar dan p mendekati 1/2, maka distribusi Binomial dapat

dihampiri oleh distribusi Normal dengan µ = np = 200(0,4) = 80 dan σ2 = npq = 200(0,4)(0,6)

= 48. Selanjutnya distribusi Normal diselesaikan kedalam bentuk distribusi Normal Standar,

sehingga P(X ≤ 85) ini perlu ditransformasi kedalam bentuk Normal Standar, berikut.


www.statsdata.my.id

79,048

80)5,085()5,0( =−+=−+=σ

µxz

dengan kondisi +0,5 adalah continuity correction. Hal ini berlaku pada hampiran distribusi

Normal terhadap distribusi Binomial.

Jadi, P(X ≤ 85) = P(Z ≤ 0,79)

z 0.00 … 0.09 …

: ↓

0.7 ------ → 0.7852

:

7852,0)79,0Z(P =≤

Probabilitas probabilitas terdapat maksimal 85 soal yang rumit adalah 0,7852 .

Hampiran Distribusi Poisson terhadap Distribusi Binomial.

Ada beberapa kasus dimana data X berdistribusi Binomial hanya dapat diselesaikan dengan

pendekatan distribusi Poisson. Jika ukuran sampel n besar dan p dekat dengan 0 atau 1;

maka persoalan distribusi Binomial dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan

distribusi Poisson dengan parameter µ = np.

Teorema[2]

:

Misalkan X variabel acak Binomial dengan parameter n dan p.

Ketika ∞→n , 0→p , dan µ∞→

→n

np ,

maka );(),;( µxppnxbn ∞→→ .

Sebagai contoh, Perusaha memiliki klaim bahwa dari 1000 sekrup yang diproduksi terdapat

1 sekrup yang cacat. Hitung probabilitas banyaknya sekrup yang cacat kurang dari 7 pada

sampel acak 5000 sekrup. [P(X < 7) ?]

Penyelesaian:

X = banyaknya sekrup yang cacat.

Karena nilai n berukuran besar dan p mendekati 0, maka distribusi binomial dapat dihampiri

oleh distribusi Poisson dengan n = 5000, p = 1/1000 = 0,001 , dan λ = µ = np = 5000(0,001) =

5. Jadi, P(X < 7)


www.statsdata.my.id

λ

x … 5 …

: ↓

7 → 0.8666

:

8666,0)7X(P =<

Probabilitas banyaknya sekrup yang cacat kurang dari 7 pada sampel acak 5000 sekrup

adalah 0,8666 .

REFERENSI

[1] Bluman, A.G., (2012), Elementary Statistics: A Step By Step Approach, Eighth Edition,

New York: McGraw-Hill.

[2] Walpole, R.E., Myers, R.H., Myers, S.L., and Ye, K., (2012), Probability and Statistics for

Engineers and Scientists, Ninth Edition, Boston: Pearson Education.

[3] Lefebvre, M., (2006), Applied Probability and Statistics, New York: Springer.

distribusi acak

Documents

Transcript of distribusi acak