Distribución

de

Probabilidad

Normal

Sin duda la distribución

continua de probabilidad

más importante, por la

frecuencia con que se

encuentra y por sus

aplicaciones teóricas, es la

distribución normal,

gaussiana o de Laplace-

Gauss. Fue descubierta y

publicada por primera vez en

1733 por De Moivre. A la

misma llegaron, de forma

independiente, Laplace

(1812) y Gauss (1809), en

relación con la teoría de los

errores de observación

astronómica y física .

Distribución de Probabilidad normal

• Esta distribución es frecuentemente utilizada en

las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre

indica su extendida utilización, justificada por la

frecuencia o normalidad con la que ciertos

fenómenos tienden a parecerse en su

comportamiento a esta distribución.

• Muchas variables aleatorias continuas

presentan una función de densidad cuya

gráfica tiene forma de campana.

• En resumen, la importancia de la distribución

normal se debe a que hay muchas variables

asociadas a fenómenos naturales que siguen el

modelo de la normal.

• Caracteres morfológicos de individuos (personas,animales, plantas,...) de una especie, p.ejm. tallas,

pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,...

• Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de unamisma dosis de un fármaco, o de una misma

cantidad de abono.

• Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo decierto producto por un mismo grupo de individuos,

puntuaciones de examen.

• Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente

intelectual, grado de adaptación a un medio,...

• Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.

• Valores estadísticos muestrales, por ejemplo : lamedia.

1. La curva normal tiene un perfil decampana (campaniforme), y presentaun solo pico en el centro exacto de ladistribución. La media (aritmética), lamediana y la moda de la distribuciónson iguales y están en el punto central.De esta forma, la mitad del área bajo lacurva se halla a un lado (o encima delvalor central) de ese punto, y la otramitad, al otro lado (o por debajo).

CARACTERISTICAS DE UNA

DISTRIBUCION PROBABILISTICA

NORMAL

Características de la distribución

de Probabilidad normal

La distribución de probabilidad normal es simétrica con respecto a su media.

La curva normal decrece uniformemente en ambas direcciones a partir del valor central.

Es asintótica, esto significa que la curva se acerca cada vez más al eje x, pero en realidad nunca llega a tocarlo. Esto es, los puntos extremos de la curva se extienden indefinidamente en ambas direcciones.

Características de la distribución

de Probabilidad normal La curva normal es simétrica.

Media, mediana y moda son iguales.

Propiedades de la Distribución

de Probabilidad normal

La forma de la campana de Gauss

depende de los parámetros µ y σ

La media indica la posición de la campana,

de modo que para diferentes valores de µ

la gráfica es desplazada a lo largo del eje

horizontal.

Propiedades de la Distribución

de Probabilidad normal Por otra parte, la desviación

estándar determina el grado

de apuntamiento de la curva.

Cuanto mayor sea el valor de ,

más se dispersarán los datos

en torno a la media y la curva

será más plana.

Un valor pequeño de este

parámetro indica, por tanto,

una gran probabilidad de

obtener datos cercanos al

valor medio de la distribución.

AREAS BAJO LA CURVA

NORMAL

INTERPRETACIÓN PROBABILISTICA

DE LA CURVA NORMAL

• Entre la media y una desviación típica tenemos siempre lamisma probabilidad: aproximadamente el 68.27 %.

• Entre la media y dos desviaciones típicas tenemossiempre la misma probabilidad: aproximadamente el95.45 %.

INTERPRETACIÓN

PROBABILISTICA DE LA CURVA

NORMAL

Entre la media y dos desviaciones típicas tenemos siempre la mismaprobabilidad: aproximadamente el 99.73 % .

INTERPRETACIÓN

PROBABILISTICA DE LA CURVA

NORMAL

Distribución de

Probabilidad normal La distribución normal estándar es una distribución normal con

media cero y desviación estándar de 1.

También es llamada distribución z.

Un valor z es la distancia entre un valor seleccionado llamado

x,

Un puntaje Z lo que hace es decirnos a cuántas unidades de

desviación estándar del promedio está un puntaje determinado,

o sea, no contamos en cantidad de puntos, sino en cantidades

de desviaciones estándar. Para utilizar el puntaje Z requerimos

que la distribución sea normal y Conocer el promedio y la

desviación estándar de los puntajes.

La media de la población µ, dividida entre la desviaciónestándar, σ. La fórmula es:

Z = (x – µ)/σ

¿COMO LEER LAS TABLAS

ESTADISTICAS DE LA

NORMAL?

La tabla consta

de:• Margen izquierdo : Los enteros de z y su

primer decimal.

• Márgen superior : Segundo decimal

• Cuerpo de la Tabla, áreas

correspondientes acumuladas, desde 0

hasta 3.99

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

.0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359

.0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0363 .0675 .0675 .0754

.0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .... ...... ......

.1179 ..... ...... ...... ......

.1554 .... ..... ....

.1915 ....

Ejemplo : Una poblacion normal tiene una media de 80 y una

desviacion estandar de 14.0.

M=80 desv= 14 z= x-m/desv

a) calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0

y 90.0

Z= 90-80/14 = 0.71

Z= 75-80/14= -5/14=0.36

P(75< = x <=90) = 0.7611-0.3594= 0.4017

Ejemplo :

b) calcule la probabilidad de un valor de 75.0 o menor:

Z= 75-80/14= -5/14=0.36

P(x<=75) = 0.3594

c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0

y 70.0

p(55< = x <=70)

Z=70-80/14=0.71 (area: 0.2389)

Z=55-80/14= -25/14= -1.79= (area: 0.0367 )

P(55<=x<=70)= 0.2389-0.0367 =0.2022

Gracias