Distanza con segno da una retta e trasformazioni del piano...

Distanza con segno da una retta e trasformazioni

del piano cartesiano

Antonino Leonardis

1 Rette nel piano cartesiano (ripasso)

Una retta r nel piano cartesiano è associata a un polinomio di primo gradoax + by + c (con almeno uno tra a e b diverso da 0), o equivalentemente aun equazione ax + by + c = 01, in modo che un punto specifico P (xP , yP )appartenga alla retta se e solo se è verificata l’equazione:

axP + byP + c = 0.

Data una retta r = ax+ by + c = 0 e un punto P (xP , yP ), la distanza trala retta e il punto è data dalla formula2:

d(r, P ) =|axP + byP + c|√

a2 + b2

dalla quale possiamo subito vedere che un punto ha distanza 0 da una retta(nel qual caso si deve annullare il numeratore) se e solo se le appartiene, comeci aspetteremmo. Due polinomi ax + by + c e a′x + b′y + c′ rappresentanola stessa retta (ovvero due rette coincidenti) se e solo se si ottengono l’unodall’altro moltiplicando per una costante diversa da 0. Infatti in tal caso leequazioni ax+ by+ c = 0 e a′x+ b′y+ c′ = 0 hanno le stesse soluzioni, comesi può verificare in più modi (supponiamo a′ = ka, b′ = kb, c′ = kc):

- Modo difficile: Il sistema:{ax+ by + c = 0a′x+ b′y + c′ = 0

per trovarne le intersezioni è indeterminato perché i determinanti (Cra-mer) sono tutti nulli:

• a · kb− b · ka = 01la quale, risolta rispetto a y, dà la forma esplicita equivalente y = mx+q (con m = −a

b

e q = − cb) nel caso la retta non sia verticale

2si noti che siccome a e b non sono entrambi nulli a2 + b2 è una quantità strettamentemaggiore di 0

1

• b · kc− c · kb = 0• c · ka− a · kc = 0

- Modo facile: Se ax + by + c è uguale a 0, allora lo è anche moltiplicatoper una costante (0 ·k = 0), e viceversa lo stesso vale per a′x+ b′y+ c.

2 Distanza con segno da una retta

2.1 Normalizzazione

Data una retta r = {ax + by + c = 0} possiamo considerare l’equazioneequivalente a′x+ b′y+ c′ = 0 ottenuta moltiplicando per k = 1√

a2+b2. Come

abbiamo ricordato precedentemente, tale equazione rappresenta la stessaretta, e viene chiamata equazione normalizzata. Un rapido conto:

(a′)2 + (b′)2 =a2

k2+b2

k2=

a2

a2 + b2+

b2

a2 + b2= 1

ci permette di dire che una retta normalizzata soddisfa (a′)2 + (b′)2 = 1.Una seconda normalizzazione, che verifica anch’essa tale proprietà, si ottie-ne moltiplicando per −k, ottenendo la stessa normalizzazione cambiata disegno3. D’ora in poi supporremo che la retta r = {ax+ by + c = 0} sia giànormalizzata, ovvero che a2 + b2 = 1. La distanza di un punto P (xP , yP ) datale retta sarà quindi data dalla formula4:

d(r, P ) = |axP + byP + c|.

2.1.1 Esempi

• La retta 3x+4y+7 = 0 si può normalizzare (√

32 + 42 = 5) ottenendo:

r1 → 35x+45y +

75 = 0.

r2 → −35x−45y −

75 = 0.

Come affermato si ha(±35

)2+

(±45

)2= 925 +

1625 = 1. Tutte e tre le

equazioni, per esempio, hanno la soluzione x = −1, y = −1, ovverotale punto appartiene a tutte e tre le rette (ovviamente, visto che lerette sono tutte uguali!).

3Si osservi che, dato un rapporto a : b, esistono solo due coppie (a′, b′) tali che (a′)2 +(b′)2 = 1 e a : b = a′ : b′ ovvero a′b = ab′ (si intende che 0 : 0 è uguale a qualsiasi rapportoe due rapporti x : 0 sono uguali). Tali coppie si ottengono intersecando la retta xb = ay ela circonferenza x2 + y2 = 1 ottenendo le due soluzioni x = a′, y = b′ e x = −a′, y = −b′.

4Tale formula è semplicemente ottenuta da quella solita notando che il denominatoreè 1.

2

2.2 Semipiano positivo determinato da una retta normaliz-zata

Data una retta normalizzata r = {ax + by + c = 0} possiamo considerareil vettore ~v(a, b). Tale vettore è perpendicolare alla retta, infatti giace sullaretta bx−ay = 0 che si verifica facilmente essere perpendicolare a r (la veri-fica è lasciata per esercizio), ed ha lunghezza 1 grazie alla normalizzazione.In particolare, mi dà una “freccetta” che indica uno dei due semipiani in cuir divide il piano. La normalizzazione con segno opposto ovviamente darà ilvettore opposto.

2.2.1 Definizione

Il semipiano indicato dal vettore ~v(a, b) è il semipiano positivo determi-nato dalla retta normalizzata ax + by + c = 0. Cambiando di segno lanormalizzazione, si ottiene l’altro semipiano come semipiano positivo.

2.3 Distanza con segno

Alla distanza tra una retta normalizzata r = {ax+ by + c = 0} e un puntoP (xP , yP ) possiamo dare un segno: diamo segno positivo se P appartiene alsemipiano positivo determinato da r, negativo (o nullo) altrimenti. Facendoun pochino di conti si verifica che tale segno è quello originale del polinomioaxP + byP + c, ovvero la distanza con segno avrà formula:

d̃(r, P ) = axP + byP + c.

2.4 Esempi importanti

Le due equazioni degli assi rx → y = 0 e ry → x = 0 sono già normalizzate(12+02 = 02+12 = 1) e le distanze con segno non sono altro che le coordinatedel punto:

d̃(ry, P ) = xP

d̃(rx, P ) = yP

e in effetti è proprio cos̀ı che sono definite le coordinate:

• La coordinata x è la distanza dall’asse delle y ({x = 0}) con segnopositivo nel semipiano del 1◦ e 4◦ quadrante, che è proprio il semipianoindicato dal vettore ~vx(a, b) = (0, 1).

• La coordinata y è la distanza dall’asse delle x ({y = 0}) con segnopositivo nel semipiano del 1◦ e 2◦ quadrante, che è proprio il semipianoindicato dal vettore ~vx(a, b) = (1, 0).

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Questo ci permette di capire, come vedremo nel prossimo paragrafo, qua-li sono le coordinate in un sistema definito da due rette perpendicolari enormalizzate in modo da avere il verso positivo di ogni retta nel semipianopositivo determinato dall’altra retta.

2.5 Cambio di sistema di riferimento

2.5.1 Teorema

Sia data una coppia ordinata di rette r = {ax + by + c = 0} e s ={dx+ ey+ f = 0} perpendicolari e normalizzate in modo che ~v(a, b) ruotatodi 90◦ in senso orario dia ~v′(d, e), ovvero si possono orientare le rette secon-do questi vettori. Questo vuol dire d = b e e = −a, come si può vedere infigura nel caso a, b > 0 (usando la congruenza dei due triangoli rettangolidisegnati5 e quindi dei loro cateti a, b, d, e).

Ad esempio tali richieste sono soddisfatte dagli assi cartesiani: {0x+1y+0 =0} e {1x− 0y + 0 = 0}.

Con tali premesse, dato un punto P (xP , yP ), le sue coordinate nel sistema diriferimento determinato dalle rette r, s sono date sostituendo nei corrispettivipolinomi di primo grado le coordinate di P :

x′P = d̃(s, P ) = bxP − ayP + fy′P = d̃(r, P ) = axP + byP + c.

5Se ciò non fosse già stato fatto e non fosse troppo scontato per lo studente, è un buonesercizio dimostrare tale congruenza.

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2.5.2 Fatto importante (non è richiesta la dimostrazione)

Data una trasformazione (che in particolare è una funzione biunivoca) delpiano T (traslazione, rotazione, riflessione, omotetia, etc.), le coordinate diun punto P nel sistema in cui gli assi sono T (rx) e T (ry) (ovvero sono trasla-ti/ruotati/etc. secondo T ) danno le coordinate del punto T−1(P ) (ovvero delpunto ottenuto applicando a P la trasformazione (= funzione) inversa, cioèrispettivamente traslazione del vettore opposto/rotazione in verso contra-rio/etc.)6. Ad esempio se sposto gli assi di un vettore (1, 1) ottengo i nuoviassi {x−1 = 0} e {y−1 = 0} da cui le coordinate x′P = xP −1, y′P = yP −1che non sono altro che le coordinate del punto di partenza traslato del vettoreopposto (−1,−1).

3 Funzioni trigonometriche elementari

Indichiamo con O l’origine e con I il punto (1, 0) del piano cartesiano. Siadato un angolo (orientato) α.

3.1 Definizione

Si consideri un punto P tale che OP = 1 (quindi sulla circonferenza diraggio 1 e centro nell’origine, che è chiamata circonferenza goniometrica) e

che l’angolo orientato ÎOP sia equivalente ad α. Allora definiamo il cosenoe il seno dell’angolo α come le coordinate del punto P :

P = (xP , yP ) =: (cos(α), sin(α)).

Definiamo inoltre la tangente come il rapporto di tali coordinate:

tan(α) :=sin(α)

cos(α)

ovvero come il coefficiente angolare della retta OP . Tale valore non è ovvia-mente definito per angoli equivalenti a ±π2 . Si osservi che dalla definizione siottiene immediatamente la seguente formula trigonometrica fondamentale:sin(α)2 + cos(α)2 = 1 (Esercizio: Perché?).

6Dimostrazione intuitiva (bisogna ragionarci su un po’ per capirla): se si sposta ilpiano con i nuovi assi per farli tornare a coincidere con quelli standard, i punti subirannola trasformazione inversa rispetto a quella che manda gli assi standard nei nuovi assi.

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3.2 Definizione equivalente per angoli acuti

Si consideri un triangolo rettangolo qualsiasi con un angolo 0 < α < π/2e lati a (opposto ad α), b, c (ipotenusa). Allora i rapporti tra i lati dipen-dono solo da α (criterio di similitudine per triangoli rettangoli). Definiamodunque:

sin(α) =a

c

cos(α) =b

c

tan(α) =a

b

cot(α) =1

tan(α)=b

a(chiamata cotangente)

sec(α) =1

cos(α)=c

b(chiamata secante)

csc(α) =1

sin(α)=c

a(chiamata cosecante)

Verrà eventualmente vista la dimostrazione dell’equivalenza delle due defini-zioni date (non molto complicata) a lezione o in una interrogazione guidata.

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Come vedremo in seguito, si possono ottenere facilmente le funzioni tri-gonometriche di un angolo sapendo il suo supplementare o il suo opposto(esplementare); quindi, siccome per multipli di π/2 il loro valore è facilissimoda calcolare (sono le coordinate delle intersezioni della circonferenza gonio-metrica con gli assi cartesiani), è sufficiente conoscerle per gli angoli acuti(inoltre discende immediatamente dalla definizione col triangolo che consi-derando l’angolo complementare le funzioni trigonometriche si scambiano,pertanto basterebbe anche limitarsi ad α ≤ π/4).

3.3 Disuguaglianza fondamentale

Confrontando le aree in figura (moltiplicate per due) si ottiene la seguentedisuguaglianza fondamentale per angoli acuti in radianti :

sin(α) < α < tan(α)

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4 Riflessione

Siano date le equazioni normalizzate di due rette perpendicolari, che quindiformano un sistema di riferimento:{

r = {ax+ by + c = 0}s = {bx− ay + f = 0}

Allora la riflessione rispetto alla retta r conserva le distanze dai due nuoviassi cambiando il segno a quella rispetto a r in quanto viene cambiato ilsemipiano mentre non modifica il segno della distanza rispetto a s. Questosignifica che se P ′ = (xP ′ , yP ′) è il riflesso di P = (xP , yP ) rispetto alla rettar valgono le uguaglianze (ovvero il sistema):{

axP ′ + byP ′ + c = −(axP + byP + c)bxP ′ − ayP ′��+f = bxP − ayP��+f

Risolvendo tale sistema rispetto a xP ′ e yP ′ si ottengono le equazioni dellariflessione rispetto alla retta r.

Si osservi che la prima equazione si può riscrivere come:

axP ′ + xP

2+ b

yP ′ + yP2

+ c = 0

ovvero è equivalente alla condizione che il punto medio di PP ′

sia sulla retta r (ESERCIZIO: Verificare geometricamente chequando due punti hanno distanza opposta da una retta allora

il punto medio sta su tale retta.). Invece la seconda può essere

riscritta come proporzione:

a : b = (xP − xP ′) : (yP − yP ′)

ovvero il vettore ~PP ′ ha la stessa direzione (non orientata)di ~v = (a, b) che abbiamo visto a lezione essere appunto perpendicolarealla retta r.Si osservi inoltre che s può essere sostituita da qualunqueretta parallela ottenendo la medesima soluzione (il termine

noto f infatti si cancella).

Per completezza, risolviamo dunque il sistema col metodo di riduzione (ri-cordando che le equazioni sono normalizzate):{

��(a2 + b2)xP ′ + ac = (b

2 − a2)xP − 2abyP − ac��

��(b2 + a2)yP ′ + bc = −2abxP + (a2 − b2)yP − bc

ovvero: {xP ′ = (b

2 − a2)xP − 2abyP − 2acyP ′ = −2abxP + (a2 − b2)yP − 2bc.

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4.1 Esempio: riflessione rispetto alla bisettrice del 1◦ e 3◦

quadrante

La retta normalizzata ha equazione:

1√2x+

1√2y = 0

e dunque in questo caso la riflessione si ottiene dalle ben note formule (c =0, a2 = b2 = −ab = 12):{

xP ′ = (12 −

12)xP − 2 ·

(−12

)yP = yP

yP ′ = −2 ·(−12

)xP + (

12 −

12)yP = xP .

In particolare da queste formule si deduce che:

sin(π

2− α

)= cos(α), cos

(π2− α

)= sin(α).

4.2 Esempio: riflessione rispetto agli assi cartesiani

Riflettendo rispetto agli assi cartesiani usuali (Esercizio: applicare la for-mula per la riflessione a tali rette e dedurre le formule seguenti) si ottengonoinoltre le seguenti formule notevoli:

sin(α) = − sin(−α) = − sin(π + α), cos(α) = cos(−α) = − cos(π + α).

5 Rotazione intorno all’origine

Ricordiamo innanzitutto la formula fondamentale sin2 + cos2 = 1, per laquale abbiamo che le rette considerate in questo paragrafo sono già nor-malizzate. Sia dato un angolo (orientato) α. Ruotando gli assi dell’angolo−α (e ricordando le ultime relazioni trigonometriche ottenute) otteniamo ilsistema di riferimento (vedi figura):{

r = {sin(α)x+ cos(α)y = 0}s = {cos(α)x− sin(α)y = 0}

da cui il cambiamento di coordinate, e quindi anche la rotazione dell’ango-lo α (fatto importante osservato alla fine del capitolo sul cambiamento dicoordinate), è dato dalle formule:{

x′P = cos(α)xP − sin(α)yPy′P = sin(α)xP + cos(α)yP

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5.1 Applicazione: formule trigonometriche

Se P è il punto della circonferenza goniometrica che corrisponde all’angoloα e P ′ e lo stesso punto ruotato di un altro angolo β intorno all’origine, chequindi corrisponde all’angolo α+ β, otteniamo che:

cos(α+β) = x′P = cos(α) cos(β)−sin(α) sin(β), sin(α+β) = y′P = sin(α) cos(β)+cos(α) sin(β).

Ricapitolazione - riassunto dei concetti fondamen-tali

Rette nel piano cartesiano (ripasso)

• Ripasso1: Due equazioni implicite di una retta rappresentano la stes-sa retta (ovvero due rette coincidenti) se e solo se si ottengono l’unadall’altra moltiplicando per una costante diversa da 0.

• Ripasso2: La distanza di un punto P (xP , yP ) da una retta r =ax+ by + c = 0 è:

d(r, P ) =|axP + byP + c|√

a2 + b2.

Distanza con segno da una retta

• Possiamo quindi normalizzare l’equazione di una retta dividendola per√a2 + b2 ed eventualmente cambiandola di segno. In questo caso a2 +

b2 = 1 e quindi la distanza diventa:

d(r, P ) = |axP + byP + c|.

• Togliendo il valore assoluto, otteniamo una distanza con segno cheè positiva nel semipiano indicato dalla “freccetta” (vettore) ~v(a, b) enegativa (o nulla) altrimenti:

d̃(r, P ) = axP + byP + c.

• La distanza con segno è esattamente come sono definite le coordinatecartesiane (distanza con segno dall’asse y per la coordinata x e distanzacon segno dall’asse x per la coordinata y); pertanto, possiamo genera-lizzare a due assi cartesiani qualunque (perpendicolari e normalizzaticon verso positivo scelto).

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• In formule, dati due tali assi {ax + by + c = 0} e {bx − ay + f = 0},le coordinate di P (xP , yP ) sono semplicemente:

x′P = bxP − ayP + fy′P = axP + byP + c

ovvero i polinomi di primo grado delle equazioni in cui si sostituisconole coordinate di P .

• Fatto importante (senza dimostrazione): Se una trasformazioneT manda gli assi in T (rx) e T (ry), le coordinate utilizzando tali assidel punto P sono le stesse che ha il punto P ′, trasformato di P tramiteT−1 (funzione inversa), nel sistema cartesiano standard

• Ad esempio la traslazione di un vettore ~v = (1, 1) manda gli assi in{x − 1 = 0} e {y − 1 = 0} e con questi assi P (xP , yP ) ha coordinatex′P = xP − 1 e y′P = yP − 1; ma queste sono anche le coordinate di P ′ottenuto traslando P del vettore −~v = (−1,−1). Vedremo qualcosa dianalogo nel caso delle rotazioni (che analizzeremo solo nel caso in cuiil centro di rotazione sia l’origine degli assi).

Funzioni trigonometriche elementari

• Si definiscono coseno e seno di un angolo α come le coordinate delpunto P associato della circonferenza goniometrica (di centro l’originee raggio 1). Il loro rapporto, ovvero il coefficiente angolare della rettaOP , è per definizione la tangente (essa non è definita per OP verticale,ovvero tali angoli non appartengono al dominio della funzione).

• Per gli angoli acuti vale la definizione equivalente come rapporti deilati di un triangolo:

– In un triangolo rettangolo il rapporto tra un cateto e l’ipotenusaè uguale al seno dell’angolo opposto.

– In un triangolo rettangolo il rapporto tra un cateto e l’ipotenusaè uguale al coseno dell’angolo acuto adiacente.

– In un triangolo rettangolo il rapporto tra i due cateti è uguale allatangente dell’angolo opposto al primo.

• Applicazioni/1: La tangente è legata alla nozione di coefficiente an-golare, cioè all’equazione esplicita di una retta (non verticale). Comevedremo più approfonditamente nel prossimo capitoletto, coseno e senodi un angolo danno i coefficienti dell’equazione implicita normalizza-ta (infatti danno un vettore di lunghezza 1 che indica il semipianopositivo).

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• Applicazioni/2: Come abbiamo appena detto, le funzioni trigono-metriche sono legate ai rapporti dei lati di un triangolo rettangolo(Esercizio: Quanto è lunga una corda sottesa da un angolo al cen-tro α di una circonferenza di raggio r?). Anticipiamo che esse dannoanche luogo a molti altri teoremi che valgono per triangoli qualunque.

• Applicazioni/3: Vale la disuguaglianza (per angoli acuti in radianti):sin(α) < α < tan(α). Da essa discenderanno alcune proprietà moltoimportanti nello studio delle funzioni trigonometriche che verrà fattoin 4◦ liceo.

Riflessione

• La riflessione rispetto alla retta r = {ax + by + c = 0} soddisfa ilsistema (ottenuto confrontando le distanze con segno da r e da unaretta perpendicolare s):{

axP ′ + byP ′ + c = −(axP + byP + c)bxP ′ − ayP ′ = bxP − ayP

che risolto dà le seguenti formule risolutive (non richieste):{xP ′ = (b

2 − a2)xP − 2abyP − 2acyP ′ = −2abxP + (a2 − b2)yP − 2bc.

• Caso particolare: per la bisettrice del 1◦ e 3◦ quadrante si ritrovano leben note formule: {

xP ′ = yPyP ′ = xP

che danno anche le relazioni trigonometriche per angoli complementari:

sin(π

2− α

)= cos(α)

cos(π

2− α

)= sin(α).

• Le riflessioni rispetto agli assi similmente danno le relazioni sin(α) =− sin(−α) = − sin(π + α), cos(α) = cos(−α) = − cos(π + α).

Rotazione intorno all’origine

• La rotazione di un angolo (orientato) α è data dalle formule (ottenutecon la formula della distanza con segno dalla retta che forma un angolo−α con l’asse x e dalla sua perpendicolare, entrambe passanti perl’origine e normalizzate nel modo giusto):{

x′P = cos(α)xP − sin(α)yPy′P = sin(α)xP + cos(α)yP

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• Da queste si deducono le formule trigonometriche di addizione:

cos(α+β) = cos(α) cos(β)−sin(α) sin(β), sin(α+β) = sin(α) cos(β)+cos(α) sin(β)

dalle quali si può dedurre quasi ogni altra formula trigonometrica.

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