DIFERENSIAL NUMERIK

Disusun untuk memenuhi tugas Komputasi Fisika

OLEH:

M. Najib Solahuddin

120210102087Roby Hidayaturrohman

120210102043KELAS C

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS JEMBER

2014

BAGAIMANAKAH STRUKTUR/FORMULA PENYELESAIAN PERSAMAAN DEFERANSIAL MENGGUNAKAN METODE NEWTON FORWARD DAN NEWTON BACKWARD SERTA GAUSS FORWARD DAN GAUSS BACKWARD ?

A. Metode Newton Forward dan Backward

1. Formula Metode Newton Forward

Diasumsikan bahwa y = f (x) adalah fungsi yang mengambil nilai f(x0), f(x0+ h), f(x0+2h), , sesuai untuk berbagai variasi nilai x dengan jarak h, dimana x0, x0 + h, x0 + 2h, .

Misalkan, kita ingin mengevaluasi fungsi f (x) untuk nilai x sama dengan

x0 + ph, di mana p adalah nilai real, maka untuk setiap bilangan real p, kita memiliki operator E sehingga

Hal ini dikenal sebagai rumus Newton Forward difference untuk interpolasi, yang memberikan nilai f (x0 + Ph) dalam hal ini f (x0) adalah beda awal.

Formula ini juga dikenal sebagai Newton-Gregory rumus interpolasi perbedaan maju. Di sini p = (x-x0)/H.Persamaan diatas dapat ditulis juga sebagai:

Jika kita mempertahankan (r + 1), kita memperoleh polinomial derajat r dengan yx dimana x0, x1, ...,xr.

Formula ini terutama digunakan untuk interpolasi nilai-nilai y dekat awal dari serangkaian nilai tabular dan untuk ekstrapolasi nilai-nilai y, jarak pendek mundur dari y0.2. Metode Newton Backward

Untuk nilai interpolasi fungsi y = f(x) di dekat nilai akhir tabel, dan nilai extrapolasi forward dari jarak dekat adalah yn , rumus interpolasi newton backward menggunakan.

PenurunanDiasumsikan y = f(x) yang bernilai.

f(xn),f(xn-h),f(xn-2h),...,f(x0) sesuai dengan nilai equispace xn, xn-h,xn-2h,...,x0.

Misalkan, kita ingin mengevaluasi fungsi f(x) di (xn+ph), dimana p adalah bilangan real, maka kita memiliki operator E, sehingga f(xn+ph) = Ep f(xn) = (E-1)-p f(xn) = (1-)-p f(xn)Hasil expansi binominal.

Yaitu,

Formula ini dikenal sebagai rumus interpolasi Newton Backward. Jika (r+1),

Dimana,

B. Metode Gauss Forward dan Backward

1. Interpolasi Metode gauss forward

Interpolasi Metode gauss forward adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan interpolasi dengan menggunakan persamaan sebagai berikut:

Dimana, dan y1/2 didapatkan dari tabel beda hingga

Contoh soal

Carilah f(2.5) jika f(1)=1, f(2)=8, f(3)=27,

xY

11

7

2812

196

32718

37

464

f(2,5)=15,625

2. Interpolasi Metode gauss backward

Interpolasi metode gauss backward adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan interpolasi dengan menggunakan persamaan sebagai berikut:

Dimana, dan y1/2 didapatkan dari tabel beda hingga

xY

07

4

511-1

32

10141-1

410

15182-1

60

20242

8

2532

Contoh soal

Carilah y(8) jika y(0)=7, y(5)=11, y(10)=14, y(15)=18, y(20)= 24, y(25)=32

f(8)=13,9056