DINAMIKA FLUIDA

Dio mehanika fluida koja se bavi izuavanjem ponaanja fluida (kapljevina i plinova) u gibanju naziva se dinamika fluida.

U mehanici fluida uzima se da je fluid neprekinuta sredina (kontinuum), dakle prostor potpuno ispunjen tvari. Na taj nain se smatra da su fizikalne veliine jednoliko rasporeene po njegovom elementarnom volumenu dV, koju jo nazivamo i esticom fluida.

Drugim rijeima, svakoj estici fluida kontinuuma pridruuju se makroskopska fizikalna svojstva realne tvari (gustoa, temperatura, tlak, brzina itd.).

Ova svojstva su uglavnom vremenski promjenjiva, te se za jednu esticu izraavaju funkcijom vremena. Taj pristup omoguuje primjenu diferencijalnog i integralnog rauna u mehanici fluida.

KINEMATIKA FLUIDA

Kinematika fluida je grana dinamike fluida koja prouava gibanje estice fluida bez obzira na sile koje uzrokuju to gibanje.

Gibanje fluida naziva se strujanje. Ono nastaje zbog vlastite teine fluida ili zbog razlike u tlakovima.

Strujanje fluida prikazuje se strujnicama. To su linije ije su tangente u svakoj toki pravci vektora brzina estica fluida. Strujnice se ne mogu sjei, a njihova je gustoa proporcionalna veliini brzine. To znai da su strujnice gue tamo gdje je brzina vea i obratno.

Dio fluida omeen graninim strujnicama naziva se strujna cijev.

Za opisivanje gibanja fluida koriste se dvije metode:

- Lagrangeov opis (talijanski matematiar Joseph Louis Lagrange,1736

1813)

- Eulerianov opis (vicarski matematiar Leonhard Euler, 17071783).

Lagrangeov opis strujanja fluida

Kod ovog opisa gibanja strujanja) prati se vektora poloaja xA, xB, xC,, i vektora brzina vA, vB, vC., svake estice pojedinano, a zatim se odreuje kako se fizikalna svojstva fluida mijenjaju u skladu s vremenom, tj. funkcijom

vremena.

Drugim rijeima, ovom metodom prate se estice fluida na svom putu kroz prostor, a to znai analogiju opisu gibanja materijalne estice u mehanici.

Ova metoda iziskuje veliki matematiki napor i koristi se za opisivanje gibanja fluida u posebnim sluajevima (eksperimentima, gibanja estica fluida kod turbostrojeva, morskim strujama ili ljudskim ilama) odnosno tamo gdje estice dobivaju ili gube energiju.

BC

A

A

v

B

v C

vA

x

B

x C

x

Eulerov-ov opis gibanja estice fluida

Kod ovog opisa gibanja fluida definiran je konani volumen nazvan polje gibanja ili kontrolni volumen (strujna cijev) kroz koji fluid ulazi i izlazi. Gibanje

estica fluida u kontrolnom volumenu opisano je potrebnim veliinama fizikalnih svojstava (tlak, brzina, gustoa, temperatura itd.) kao funkcija vremena i prostora. U nekoj fiksnoj toki prostora, s obzirom na odabrani koordinatni sustav (npr. Kartezijev koordinatni sustav) promatramo tlakove,

brzine i druge veliine koji se pojavljuju tokom vremena t.

gdje su x, y i z prostorne koordinate (Eulerove koordinate) estice fluida, a t vrijeme.

: ( , , , )

: ( , , , )

: ( , , , )

tlak p p x y z t

brzina x y z t

ubrzanje x y z t

v v

a a

Jedna od najvanijih varijabli kod strujanja fluida je polje brzine.

Ovo polje prikazano je vektorskom funkcijom koja je u, npr. u Kartezijevom koordinatnom sustavu dana jednadbom:

( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )x y zx y z t v x y z t v x y z t v x y z t v i j k

x

z

y

vz

vx vy

v

r

Tako npr., neka se razmatra estica fluida u polju brzine (prostorna koordinata) u nekoj toki (x, y i x) i koja ima brzinu koja odgovara brzini te toke u prostoru u vremenu t.

U vremenu t+dt estica se pomie u novi poloaj sa koordinatama x+dy, y+dy, z+dz u kojem ima brzinu: Brzina promjene poloaja kada ona prolazi kroz tu toku je:

( , , , )x y z tv v

r dr r

Strujnica estice fluida

estica u trenutku t

estica u trenutku t+dt

y

x

z

( , , , )x dt y dt z dt dt v v

Stoga, promjena u brzini dv kada se estica giba iz poloaja r u novi poloaj r+dr u vremenu dt je dat izrazom ( prema pravilu deriviranja sloene funkcije):

gdje oznaava operator parcijalne derivacije.

Ukoliko promjenu u brzini deriviramo po vremenu, dobiva se ukupno ubrzanje estice:

Poto lanovi su u gornjem izrazu

predstavljaju komponete brzine estice po osima x, y i z, slijedi kako je

ukupno ubrzanje estice jednako parcijalnoj derivaciji:

d dx dy dz dtx y z t

v v v vv

r dr r

Strujnica estice fluida

estica u trenutku t

estica u trenutku t+dt

y

x

z

d dx dy dza

dt x dt y dt z dt t

v v v v v

; ;x y zdx dy dz

v v vdt dt dt

x y z

da v v v

dt x y z t

v v v v v

Zadnji desni lan oznaava oznaava lokalnu promjenu ubrzanja (ili neke druge fizikalne veliine) i kada bi estica fluida stalno stajala na istom mjestu (vx=vy=vz=0) to bi bila i ukupna jedina promjena ubrzanja te mirujue estice.

Ovaj lan moe biti razliit od nule ak i kod nestacionarnog strujanja.

Preostala tri desna lana oznaavaju konvektivnu promjenu ubrzanja koja je posljedica promjene poloaja estice. Ovi lanovi mogu biti razliiti od nule ak i kod stacionarnog strujanja. Naime, kada bi polje ubrzanja bilo stacionarno tada bi svaka estica koja doe u poloaj zadan koordinatama x, y i z imala istu vrijednost ubrzanja. Meutim, u sljedeem trenutku estica fluida e zbog strujanja promijeniti svoj poloaj i doi u neku drugu toku prostora gdje e imati neku drugu vrijednost ubrzanja.

Takav primjer je mlaznica u kojoj je brzina ulaza manja od brzine izlaza (zbog suenja presjeka), ali pored stacionarnog strujanja, estice fluida se ubrzavaju. Dakle, ovi lanovi uzimaju u obzir utjecaje suenja ili proirenja na strujanje estice fluida u novom poloaju gdje je polje brzine razliito.

x y z

da v v v

dt x y z t

v v v v v

Pojedine komponente ukupnog ubrzanja su:

Matematiki prikaz fizikalnih veliina (svojstava) fluida koja opisuju strujanje na ovaj nain identino je operacijama s vektorima. Stoga, rjeenje problema strujanja sastoji se od poznavanja odgovarajuih skalara i vektorskih funkcija koje opisuju svojstva kao funkciju prostora u vremena.

Eulerova metoda esto je puno prikladnija od Lagrange metode za primjenu u mehanici fluida.

x x x x xx x y z

y y y y y

y y x z

z z z z zz z x y

dv v v v va v v v

dt x y z t

dv v v v va v v v

dt x y z t

dv v v v va v v v

dt x y y t

PRIMJER

Strujanje kroz mlaznicu moe se aproksimirati jednodimenzionalnom distribucijom brzine v=v(x). Za mlaznicu na slici, pretpostavljena je brzina

koja se linearno mijenja od v1=v0 do v2=3v0. Pri tome je distribucije brzine

dana funkcijom v(x)=v0(1+2x/L). Potrebno je:

a) izraunati ubrzanje dv/dt kao openitu funkciju od x,

b) Izraunati ubrzanje dv/dt na ulazu i izlazu ukoliko je v0=3 m/s.

Rjeenje:

a) Ukupno ubrzanje fluida u mlaznici jednako je:

v=v0 v=3v0

z

y

x

Lx1=0

x2=L

y yxx y z

v vvdv va v v v

dt x y z t

Pri tome nema lokalne promjene ubrzanja, dok su komponente ubrzanja po osima y i z jednake nuli (jednodimenzionalno strujanje), tako da je:

lan koji oznaava konvektivnu promjenu ubrzanja jednak je parcijalnoj derivaciji funkcije distribucije:

Stoga, ubrzanje fluida kroz mlaznicu moe se prikazati openitom funkcijom od koja je dana jednadbom:

v=v0 v=3v0

z

y

x

Lx1=0

x2=L

0y z

y z

v v vv v

y z t

0

0

( ) (1 2 / )

2x

v x v x L

v v

x L

2

0 00

2 20 0 0 (1 2 / ) (1 2 / )xx

v v vdva v v x L x L

dt x L L

b) Na ulazu, gdje je x1=0 ubrzanje iznosi:

Na izlazu, gdje je x2=L=0,3 m, ubrzanje je:

v=v0 v=3v0

z

y

x

Lx1=0

x2=L

2 2201 1

1

2 2 2 3 2 01 1 60 m/s

0,3 1

vdv xa

dt L L

2 220 2

2

2 2 2 3 2 0,31 1 180 m/s

0,3 0,3

v xdva

dt L L

Vrste strujanja

Stacionarno i nestacionarno strujanje

Ako se strujanja ne mijenja s vremenom, strujanje je stacionarno (ustaljeno), tj:

U tom sluaju strujnice i putanje estica fluida se poklapaju, a brzina strujanja i tlak ovise samo od poloaja. Drugim rijeima kod nestacionarnog strujanja, svako svojstvo moe se mijenjati od toke do toke, ali sva fizikalna svojstva ostaju konstantna s vremenom u svakoj toki.

Promjenljiva slika strujanja u vremenu, karakteristika je nestacionarnog strujanja. Pri takvom strujanju brzina i tlak fluida funkcije su poloaja i vremena. Strujnice i putanje openito imaju razliite oblike.

U stvarnosti sva strujanja su nestacionarna na neki nain.

Raunanje s stacionarnim pojavama mnogo je jednostavnije i pristupanije pa se esto nestacionarno strujanje pretvara u stacionarno.

0 ( , , )ili x y zt

vv v

Primjer rezultata mjerenja brzine (v)u ovisnosti o vremenu (t) kod razliitih vrsta strujanja dobivenim od senzora brzine

v

t

v

t

v

t

Stacionarno laminarno strujanje Nestacionarno laminarno strujanje

Turbulentno strujanje

Srednja

vrijednost brzine (vsr)

t0 t0+T

T

Jednodimenzionalno i vie dimenzionalno strujanje

Gotovo svako stvarno strujanje je trodimenzionalno, tj. polje brzine u sadri sve tri komponente brzine:

U mnogo sluajeva jedna od komponenti brzine moe biti na relativno mala u odnosu na druge dvije komponente. U takvim sluajevima razlono je zanemariti najmanju komponentu i pretpostaviti dvodimenzionalno strujanje,

npr. za ravninsko strujanje:

Jednodimenzionalno strujanje je strujanje kod kojeg polje brzine ovisi samo o jednoj varijable prostora . Ova vrsta strujanja javlja se kod strujanja fluida

cjevovodima i otvorenim kanalima. Kod strujanja u cijevima, brzina ovisi

samo o radijusu cijevi, a u kanalima o paralelnim plohama.

Strujanje kod kojeg su polja fizikalnih veliina, npr. brzine i tlaka jednolika, naziva se jednoliko (uniformno) strujanje.

( , , ), ( , , ); ( , , )x x y y z zv v x y z v v x y z v v x y z

d dx dy dtx y t

v v vv

Viskozno i neviskozno strujanje

Realni fluidi imaju viskoznost zbog ega se pri njihovom strujanju uzimaju u obzir tangencijalna naprezanja izmeu graninih povrina kontrolnog volumena i slojeva fluida (samih estica fluida). Stoga, kod strujanja realnog fluida razmatraju se gubici energije uslijed viskoznog trenja, a koji se pretvaraju

u toplinu.

Idealni fluid je neviskozan i nestlaiv i stoga se tangencijalna naprezanja izmeu graninih povrina kontrolnog volumena i slojeva fluida zamemaruje, pa stoga na fluid djeluje samo sila tlaka i njegova teina.

Kompresibilno i nekompresibilno strujanje

Strujanja kod kojih se gustoa fluida zanemaruje naziva se nekompresibilno (nestlaivo) strujanje. Dakle, kod ovih strujanja polje gustoe estice fluida koja struji pretpostavlja konstantnim, tj.:

Kod mnogih kapljevina, gustoa se neznatno mijenja kod djelovanja umjerenih tlakova, pa se stoga mogu smatrati nekompresibilna. Meutim, na visokim tlakovima utjecaj kompresibilnosti postaje vano i stoga se mora uzesti u obzir kod razmatranja problema.

Strujanje fluida kod kojih se gustoa ne zanemaruje naziva se kompresibilno (stlaivo) strujanja. Najvaniji primjeri ovog strujanja odnose se na strujanje plinova.

Za odreivanje da li je strujanje kompresibilno koristi se Machov broj (austrijski fiziar Ernst Mach,18381916):

gdje je c brzina zvuka u fluidu, a v brzina estice fluida.

0; 0; ;x y z t

vMa

c

Brzina zvuka idealnog plina odreuje se pomou izraza:

eksponent politrope,

R- Plinska konstanta, J/kg K

T-temperatura, T.

Ukoliko je Ma < 0.3, pretpostavlja se kako je protok nekompresibilan.

Za zrak u blizini mora ta vrijednost je oko 100 m/s.

Primjeri takvog strujanja zraka su strujanja u ventilacijskim kanalima, oko automobila ili komercijalnih zrakoplova pri sputanju i polijetanju.

c RT

Laminarno i turbulentno strujanje

Kod laminarnog strujanja estice fluida se gibaju u slojevima koji se meusobno ne mijeaju. Strujnice su paralelne, a brzine slojeva mijenjaju se po parabolinom zakonu.

Laminarno strujanje rijetko se susree u prirodi. Primjeri takvog strujanja su protjecanje fluida) s velikom viskoznou (npr. ulje, ljudska krv itd.) kroz male presjeke, a to susreemo kod podmazivanja leajeva, protjecanja kroz konstruktivne zranosti hidraulikih pumpi i strujanja krvi u ljudskim ilama.

R

r0

v(r)=vmax(1-r2/R2)

vmax

L

2

max 2( ) 1

rv r v

R

Pri veim brzinama pojavljuje se turbulentno strujanje, pri kojem dolazi do mijeanja slojeva fluida odnosno strujnica, estice prelaze iz jednog sloja u drugi i nastaju vrtlozi.

Raspored brzina po presjeku cijevi je jednolikiji, jer razlike u brzinama slojeva zbog mijeanja nisu toliko velike. Veina strujanja u praksi ima turbulentan karakter.

Eksperimentalno je utvreno da prijelaz iz jednog u drugi reim strujanja fluida, nastupa pri nekoj kritinoj brzini strujanja. Ona ovisi o gustoi i viskoznosti fluida, te o obliku cijevi kroz koju fluid protjee.

Vrsta strujanja odreuje se prema bezdimenzionalnoj veliini koja se naziva Reynoldsov broj:

gdje je:

d promjer strujne cijevi (kontrolni volumen), m,

v- brzina strujanja, m/s,

kinematika viskoznost fluida, m2/s.

Pri kritinoj brzini strujanja fluida, Reynoldsov broj poprima kritinu vrijednost Rekr (= 2320).

Utvreno je da pri Re < Rekr fluid struji laminarno, a za Re > Rekr, strujanje fluida postaje turbulentno. Pri tome nema otrog prijelaza izmeu ova dva reima strujanja.

Rev d

Jednadba kontituiteta

Zakon o odranju mase ili jednadba kontituiteta kada se primjeni na strujnu cijev (kontrolni volumen) kae kako ukupna masa fluida koja protjee kroz volumen biti e jednaka masi fluida pohranjenoj ili odstranjenoj iz volumena.

Pod uvjetima stacionarnog strujanja to znai kako e masa fluida koja izlazi biti jednaka masi koja ulazi u volumen.

Odreivanje brzine strujanja odreenog protoka mase fluida i povrina protonog presjek se zasniva na ovom zakonu.

Razmotrimo stacionarno strujanje idealnog i nestlaivog fluida kroz strujnu cijev promjenljivog presjeka. Sve estice koje prolaze istim poprenim presjekom povrine A, imaju jednaku brzinu v. Za vrijeme t, promatrani presjek pomakne se za s.

Kako je fluid nestlaiv, protok kroz bilo koji presjek mora biti isti, tj:

V A s A v t

Volumen proteklog fluida je:

Omjer proteklog volumena i intervala

vremena naziva se protok:

Protok ima jedinicu [m3/s].

VQ A v

t

.Q A v konst

To je jednadba kontinuiteta. Za bilo koja dva presjeka strujni cijevi 1 i 2, ona glasi:

Dakle, brzine strujanja obrnuto su proporcionalne povrinama presjeka. Drugim rijeima, brzina strujanja je vea to je cijev ua i obratno.

1 2

1 1 2 2

1 2

2 1

Q Q

ili

A v A v

v Aili

v A

.Q A v konst

Ovdje je potrebno naglasiti kako je u svim jednadbama v prosjena brzina u promatranom presjeku volumena, a to je ona brzina koju dobijemo ba i jednadbe kontituiteta kao omjer volumenskog protoka i povrine.

Maseni protok definiran je kao masa fluida koja protjee kroz zadanu povrinu u jedininom vremenu. Kod masenog protoka moraju se koristiti prosjene vrijednosti gustoe fluida:

Maseni protok ima jedinicu [kg/s].

Prema tome, kod masenog protoka jednaba kontiuiteta glasi:

Ako je gustoa konstantna tada vrijedi:

A

sr

vdAQ

v vA A

.A

m vdA v A konst

1 1 1 2 2 2.m A v A v konst

m Q

PRIMJER:

Kod laminarnog strujanja kroz cijev krunog presjeka (slika) polumjera R, profil brzine je oblika rotacionog paraboloida zadanog jednadbom

v=vmax(1-r2/R2)

gdje je vmax maksimalna brzina. Treba odrediti odnos srednje i maksimalne

brzine.

Rjeenje:

Srednja brzina definirana je izrazom:

R

r0

v(r)=vmax(1-r2/R2)

vmax

vsr

y

x

r

r

1sr

A

Qv vdA

A A

Povrina protonog presjeka A u ovom sluaju je jednaka povrini kruga. Diferencijalni element ima povrinu dA krunog vijenca polumjera r debljine dr , tj. dA=2rdr.

Stoga, izraz za srednju brzinu prelazi u

ijim se integriranjem dobije

R

r0

v(r)=vmax(1-r2/R2)

vmax

vsr

y

x

r

r

2

max2 2

0

11 2

R

sr

rv v r dr

R R

2

max2 2

0 0

2 4

max2 20 0

2 4

max2 2

12 2

1 22

2 4

1 22

2 4

R R

sr

R R

sr

sr

rv v r dr r dr

R R

r rv v

R R

R Rv v

R R

Sreivanjem (skraivanjem) dobiva se srednja brzina od

22

max2

2

max2

max

1

2

1

2

1

2

sr

sr

sr

Rv v R

R

Rv v

R

v v

PRIMJER:

Kroz sekciju cijevi unutranjeg dijametra d1=150 mm protjee voda protokom od Q1=0,02 m

3s-1. Cijev se grana na cijevi manjeg promjera od

kojih jedna ima unutranji dijametar od d2= 50 mm, a druga s unutranjim dijametrom od d3=100 mm (slika 3-3). Ukoliko srednja brzina u cijevi

dijametra d2 iznosi v2=3ms-1, odredi brzine i protoke u sve tri cijevi.

Rjeenje:

Prema zadanim podacima poznat je protok Q1 i brzina v2, pa je stoga potrebno izraunati protoke Q2 i Q3, te brzine v1 i v3.

Poto su poznati protok Q1 i dijametar d1, brzina v1 iznosi:

d2

d3

d1Q1

Q3

Q2

1 11 2 3 2

11

4 0,021,13 m/s

(150 10 )

4

Q Qv

dA

Protok Q2, uz poznatu brzinu v2 i dijametar d2, iznosi:

Brzina v3 izraunati e se preko jednadbe kontinuiteta za ovaj sustav. Kod ovog sustava cijevi u kojem nema gubitaka, protok kroz cijev dijametra d1 je

jednak sumi protoka u cijevima s dijametrima d2 i d3. Stoga, vrijedi:

U gornjem izrazu nepoznanica je samo brzina v3. Sreivanjem gornjeg izraza dobiva se:

pa brzina v3 iznosi

Stoga, protok kroz cijev dijametra d3 iznosi

1 2 3

1 1 2 2 3 3

22 2

31 21 2 3

4 4 4

Q Q Q

A v A v A v

dd dv v v

d2

d3

d1Q1

Q3

Q2

2 3 232

2 2 2 2

(50 10 )3 0,0059 m /s

4 4

dQ v A v

2 2 2

3 1 23 1 2

2 2 2

3 3 1 1 2 2

4

:4 4 4

d d dv v v

d v d v d v

2 2 3 2 3 2

1 1 2 23 2 3 2

3

(150 10 ) 1,13 (50 10 ) 31,8 m/s

(100 10 )

d v d vv

d

2 3 233

3 3 3 3

(100 10 )1,8 0,014 m /s

4 4

dQ v A v

PRIMJER

Otvoreni okrugli spremnik vode (slika 2-4) puni se preko cijevnog prikljuka 1, unutranjeg dijametra d1=40 mm, brzinom od v1=5 m/s i protokom od Q3=0,0012 ms

-1 preko cijevnog prikljuka 3, Unutranji dijametar spremnika je ds=1 m. Potrebno je odrediti:

a) izlaznu brzinu v3 na cijevnom prikljuku ako se razina vode h u spremniku ne mijenja,

b) ukoliko se razina vode mijenja, promjenu razinu vode u spremniku dh/dt

ako je izlazna brzina v3=8 m/s.

2

3

1

Q1

Q2

Q1

d1

d2

ds

a) Kod ovog sustava u kojem nema gubitaka, izlazni protok kroz cijevni

prikljuak 2 jednak je sumi ulaznih protoka u cijevnim prikljucima 1 i 3, tj.:

U gornjem izrazu nepoznanice su Q1 i Q2. Protok kroz cijevni prikljuak 1 moe se na osnovu poznate brzine protoka i dijametra d1 izraunati pomou izraza:

Na osnovu izraunatog protoka Q1, protok Q2 iznosi:

Uz poznati protok Q2 i unutranji dijametar d2 cijevnog prikljuka 2, brzina v2 iznosi:

1 3 2Q Q Q

2 3 231

1 1 1 1

(40 10 )5 0,00628 m /s

4 4

dQ v A v

3

2 1 3 0,00628 0,0012 0,01828 m /sQ Q Q

1 12 2 3 2

1 2

4 4 0,018286,47 m/s

(60 10 )

Q Qv

A d

2

3

1

Q1

Q2

Q1

d1

d2

ds

b) Promjenu razinu vode u spremniku dh/dt ukoliko je izlazna brzina v3=8 m/s,

moe se izraunati pomou izraza:

odakle se sreivanjem dobiva promjena razine spremnika u vremenu

to oznaava pad razine od dh/dt=5,5 mm/s.

2

3

1

Q1

Q2

Q1

d1

d2

ds

2

1 3 24

sd hdQ Q Qdt

2 22

21 3 2 2

3 2

2

4 4 4

4 (60 10 )8 0,00628 0,0012 0,0055 m/s

1 4

s sd h d hdd dQ Q Q vdt dt

dh

dt

Kinetika fluida

estica fluida moe posjedovati energiju u nekoliko oblika.

Kinetika energija je energija zbog gibanja estice fluida. Ukoliko je brzina v, kinetika energija za m kg fluida dana je izrazom:

Potencijalna energija je energija poloaja estice fluida u polju gravitacije i njena veliina je relativna u odnosu na odabranu liniju. Izraz za potencijalnu energiju je:

Kada estica fluida ue u strujnu cijev (kontrolni volumen) ona struji (giba se) pod djelovanjem tlaka u tom poloaju, pa je stoga rad sile tlaka jednaka:

2

J=Nm2

K

m vE

J=NmpE m g h

J=Nmm

W F s p A s p V p

Bernoullijeva jednadba

Promotrimo presjeke 1 i 2 strujne cijevi, koji se nalaze na razliitim visinama h1 i h2 kao na slici. Presjeci imaju povrine A1 i A2 , tlakovi fluida su p1 i p2 , a brzine strujanja imaju veliine v1 i v2.

Da bi se fluid pomaknuo u cijevi, na njega moraju djelovati vanjske sile tlaka F1=p1 A1 i F2=p2 A2. Ako su u intervalu vremenu t pomaci presjeka s1 i s2, ukupni rad koji je izvren iznosi:

Predznak minus oznaava da su u presjeku 2 smjerovi sile tlaka i pomaka suprotni.

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2W W W F s F s p V p V

Razmatra se neviskozno i nestlaivo strujanje fluida u strujnoj cijevi.

Zbog nestlaivosti volumen (masa) fluida koji prolazi kroz oba presjeka je jednak, tj.:

pa je rad sile tlaka:

Pri tome je promjena kinetike energije:

a promjena potencijalne energije iznosi:

1 2

dmV V V

1 2( )W p p V

2 2

2 22 2 1 1

2 1 2 1( )

2 2 2K K K

m v mv VE E E v v

2 1 2 2 1 1 2 1( )

P P PE E E m g h m g h g V h h

Kako je promatrani fluid idealan (trenja nema), onda ukupna promjena energije mora biti jednaka radu sila tlaka. To znai:

Ako se u taj izraz uvrste izrazi za EK , EP i W), te grupiraju lanovi s jednakim indeksima, te dijeljenjem s zajednikim lanom V slijedi:

ili openito:

To je Bernoullijeva jednadba stacionarnog strujanja nestalivog idealnog fluida.

Naziv je dobila prema vicerskom matematiaru Danilel Bernoulli (1700-1782) koji ju je prvi izrekao u svojoj knjizi Hidrodynamica" izdana 1738 godine, kada je radio u St.Petesburgu u Rusiji.

K PE E W

2 2

1 2

1 1 2 22 2

v vp g h p g h

2

.2

vp g h konst

Pojedini lanovi te jednadbe su tlakovi (jedinica [Pa]) i to:

p-statiki tlak uslijed vanjskih sila,

gh-hidrostatski tlak uslijed teine fluida,

v2/2 dinamiki tlak uslijed gibanja fluida.

Prema tome, Bernoullijeva jednadba kae kako je suma kinetike, potencijalne i energije strujanja estice fluida konstantna uzdu strujnice kod stacionarnog strujanja kada se stlaivost i viskozno trenje zanemaruje. Drugim rijeima, ukupni tlak fluida du neke strujnice uvijek je konstantan.

U posebnom sluaju, ako je cijev horizontalna (h = 0), openiti oblik Bernoullijeve jednadbe glasi:

Vidljivo je da se na mjestima, gdje se povea brzina fluida, poveava dinamiki tlak, a smanjuje statiki tlak. Prema tome, tamo gdje je presjek cijevi manji, statiki tlak fluida je manji, a brzina strujanja je vea.

2

.2

vp konst

2

.2

vp g h konst

U praksi, Bernoullijeva jednadba se koristi i u drugom obliku. Pri tome se energije pojedinih lanova daju u obliku visina stupca fluida. To se posebno koristi kod kapljevina, zbog prikladnog naina mjerenja pomou vertikalnih cjevica (piezometrike cijevi) ili manometara.

Dijeljenjem izraza za opi oblik Bernoullijeva jednadbe s g i , ona poprima oblik:

Pojedini lanovi te jednadbe su visine (jedinica [m]) i to:

p/gh- visina tlaka,

v2/2g- visina brzine,

h-geodetska visina.

Dakle, visina ukupne energije ostaje konstantna du strujnice.

2

.2

p vh konst

g g

Prije navedena definicija Bernoullijeve jednadbe ima fizikalno znaenje.

Prema Eulerovom opisu strujanja fluida, ova jednadba se izvodi postavljenjem jednabe gibanja prema II Newtonovom zakonu za esticu fluida koja se stacionarno struji (giba se) u polju protoka uzdu s-smjera strujnice s.

Na taj nain se dobiva Eulerova jednadba strujanja (gibanja) estice fluida

ijim se integriranjem dobiva

Bernoullijeva jednadba

2

.2

dp dvgdz konst

p

pdA

(p+dp)dA

G=mg

ds

ds

dx

dz

z

x

Strujnica

2

2

.2

.2

dp vgz konst

p vg z konst

sF m a

Sagledavajui prije navedeno, Bernoullijeva jednadba stacionarnog strujanja nestalaivog idealnog fluida moe se izraziti na tri razliita naina:

1. Energetska jednadba kojom se prikazuje mehanika energija fluida

u strujanju, a koja je izraena s obzirom na jedininu masu:

gdje je:

p/ energija tlaka,

v2/s energija brzine,

gh energija poloaja

2 J.

2 kg

p v Eg z konst e

m

2

3 3

Pa N/m N Nm J

kg/m kg/m kg/m kg kg

2

2 2

m kg m m kg N m J

kg s kg kg kgs

22

m kg m kgN m Jm

s kg kgs kg

2. Jednadba tlaka kojom se prikazuje tlakovi fluida u strujanju:

gdje je

p statiki tlak,

v2/2 dinamiki tlak,

gh hidrostatski tlak

2

NPa=

m

2

3 2 2 3 2 2 2

kg m kg m m kg m NPa

m s s m s m m

3 2 2 3 2

kg m kg m m Nm= Pa

m s s m m

2

2

N. Pa=

2 m

vp g h konst

3. Jednadba tlaka kojom se prikazuju visine stupca fluida u strujanju:

gdje je

p/g visina tlaka,

v2/2g dinamiki tlak,

gh hidrostatski tlak

m

2 22

3 2 3 2 3 2

kg mNPa s mm m

kg m kg m kg m

m s m s m s

m

2

.2

p vh konst

g h g

2

2

2

m

s mm

s

Bernoullijeva jednadba za nestlaive fluide predstavlja snaan alat za pronalaenje vrijednosti tlakova i brzina estice fluida izmeu dviju toaka uzdu strujnice kojom se estica stacionarno giba.

Primjena ove jednadbe zasiva se na pretpostavci kako nema trenja, to znai kako se utjecaj viskoznosti fluida zamenaruje.

Poto realna strujanja u potpunosti ne zadovoljavaju ove pretpostavke, uvijek se mora voditi rauna kako e rezultati dobiveni s Bernoullijevom jednadbom biti inenjerska procjena.

Nadalje, njenom primjenom pretpostavlja se i nestlaivo strujanje, a to pretpostavlja konstantnu gustou fluida. Kako je gustoa fluida obrnuto proporcionalna temperaturi, ona se ne moe primjenjivati za dijelove strujanja koji ukljuuju znaajne promjene temperature fluida kao to je grijanje i hlaenje fluida.

Poto se Bernoullijeva jednadba izvodi iz jednabe gibanja estice fluida uzdu strujnice, ona nije primjenjiva u dijelovim strujanja koja ukljuuju pumpe, turbine i druge strojeve jer isti unitavaju strujnice i daju energiju esticama fluida. U takvim sluajevima Bernoulijeva jednadba moe se primjenjivati za dijelove protoka prije i iza tih strojeva.

U svim tim sluajevima koriste se razliiti proireni oblici Bernoullijeve jednadbe.

Bernoullijeva jednadba za stlaive fluide: Ukoliko se pretpostavi izotermno stacionarno strujanje idealnog plina (T=konst.), te uz p=RT, Eulerova jednadba strujanja (gibanja) estice fluida glasi

Integriranjem lana tlaka, dok su ostali lanovi konstante, i uz poznavanje poloaja 1 i 2 na strujnici i dijeljenjm s g, dobiva se Bernoullijeva jednadba za izotermno strujanje u obliku:

Veina strujanja plinova je izentropsko, pa u tom sluaju Bernoullijeva jednadba za stacionarno strujanje idealnog plina izmeu dvije toke glasi:

2

. ;2

dp v pRT g z konst

p RT

2 2

1 1 2

1 2

2

ln2 2

RT p v vh h

g p g g

2 2

1 1 2 2

1

1 22 2

p v p vg h

Bernoullijeva jednadba za realni fluid: Pri strujanju realnog fluida kroz kontrolni volumen (npr. cijev) dolazi do gubitka energije zbog svladavanja

otpora, koji potjeu od sila trenja izmeu estica fluida i stijenki, kao i izmeu samih estica fluida.

Taj gubitak energije oituje se kao visina gubitaka hg, odnosno kao pad tlaka p.

Imajui u vidu da je Bernoullijeva jednadba zapravo jedan zapis zakona ouvanja energije, za realan odnosno viskozan fluid konstantne gustoe (nestlaiv), njen oblik izmeu dva presjeka glasi:

2 2

1 1 2 2

1 22 2

g

p v p vh h h

g g g g

Ukoliko se u bilo kojoj toki strujanja realnog fluida dodaje energija zbog ugraene pumpe, kompresora, ventilatora itd., Bernoullijeva jednadba poprima oblik:

gdje je hd visina dodata fluidu od stroja (npr.dobavna visina-napor pumpe) [m],

Wd [J=Nm] dodana mehanika energija, a Wg [J=Nm] gubitak mehanike energije u stroju, cijevima i elementima cjevovoda.

Gubitak visine hg ili mehanike energije u sustavu Wg odreuje se pojedinanim zbrajanjem gubitaka u stroju i u sustavu cjevovoda.

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

2 2

d g

d g

p v p vh h h h

g g g g

ili

p v p vh W h W

g g g g

NAPOMENA: Kada se govori o transportu fluida kroz cijev, kanal i

sl., tada se govori o protjecanju fluida kroz iste, odnosno o protoku.

2 2

1 1 2 2

1 22 2

d g

p v p vm h P m h P

g g g g

Na taj nain Bernoullijeva jednadba poprima oblik:

Dodana visina hd izraunva se pomou izraza:

Oduzeta visina se pak odreuje:

gdje je stupanj korisnog djelovanja koji uzima u obzir mehanike gubitke uslijed viskoznog trenja.

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

2 2

2 2

d od g

d g od

d g od

p v p vh h h h h

g g g g

p v p vh W h W W

g g g g

p v p vm h P m h P P

g g g g

d d u

d

W P Ph

g m g m g

od od u

od

W P Ph

g m g m g

Odzeta visina je vea jer uzima u obzir gubitke u dodanoj visini.

Proirena Bernoullijeva jednadba vrijedi kod strujanja realnog fluida kada zbog trenja nastaju gubici mehanike energije koja se pretvara u toplinu.

Budui da kinetika energija kod strujanja fluida v2/2 nije jednaka stvarnoj iz razloga to je srednja vrijednost kvadrata vea od kvadrata srednje brzine, tj:

Stoga, za realnu tekuinu treba korigirati Bernoullijevu jednadbu sa koeficijentom ispravka kinetike energije , tj.

pa je:

Za turbulento strujanje koeficijent je neznatno iznad jedinice, tj. =1,05, pa se esto zanemaruje. S druge strane, za laminarno iznosi =2, pa se mora uzesti u obzir.

2 2( ) ( )sr sr

v v Gaspard Coriolis (17921843)

2 2

; 1 2 2

sr

sr sr

v v

2 2

1 1 2 2

1 1 2 22 2

g

p v p vh h h

g g g g

Coriolisov koeficijent ili koeficijent kinetike energije koji pokazuje odnos stvarne

kinetie energije mase fluida koji protjee poprenim presjekom u jedinici vremena i kinetike energije odreene iz uvjeta da su brzine u svim tokama presjeka jednake ( srednja brzina).

Bernoullijeva jednadba za nestacionarno strujanje: Poto se ista dobiva integriranjem lanova jednadbe dobivene primjenom jednadbe gibanja (II Newtonov zakon), za gibanje estice fluida uzdu jedne strujnice nestacionarni utjecaj dobiva se na sljedei nain:

Za nestlaivi fluid integracijom izmeu dviju toaka strujnice dobiva se jednadba:

koja predstavlja oblik Bernoullijeve jednadbe za nestacionarno strujanje.

Poto je promjena uzdu strujnice nije poznata, vrlo je teko izraunati taj integral. Radi pojednostavljenja ovog integrala koristi se metoda

potencijala ili rotacionog protoka brzine.

2

02

v dvdp ds gdz

t

pdA

(p+dp)dA

G=mg

ds

ds

dx

dz

z

x

Strujnica

sF m a

2 22

1 2

1 1 2 2

12 2

s

s

v v vp g z p ds g z

t

Grafiki prikaz sadraja Bernoullijeve jednabe

Za strujanje npr.u cijevi jednolikog presjeka, sadraj Bernoullijeve jednadbe prikazuje se za strujnicu koja prolazi simetralom cijevi, tako da simetrala

oznauje geodetsku liniju (GL).

Hidrauliku gradijentnu liniju (HGL) koja predstavlja piezometriku visinu (visinu tlaka), dobije se oduzimanjem visine brzine od energetske linije (EL).

Energetska linija zbog konstantnosti mehanike energije mora biti horizontalna.

Promjer cijevi je konstantan, pa je prema jednadbi kontinuiteta konstantna i brzina.

Dolazi do preraspodjele visine tlaka i geodetske visine, a promjena tlaka je

ista kao u fluidu u mirovanju.

Smjer strujanja neodreen (slika je ista za oba smjera struajnja).

Poloaj h=z=0 se odabire proizvoljno. Energetska linija se moe definirati ili s apsolutnim tlakom ili s pretlakom (ako je definirana s apsolutnim tlakom, tada

visina tlaka ne moe biti negativna, tj. HGL ne moe biti ispod GL, kao ni EL).

Za strujanjeu cijevi promjenjivog presjeka:

Visina h je konstantna, pa dolazi do preraspodjele izmeu visine brzine i visine tlaka.

Iz jednadbe kontinuiteta Q=vA=konst., slijedi da e u presjeku manje povrine A biti vea brzina, a iz Bernouulijeve jednadbe je jasno da e pri veoj brzini biti nii tlak.

Minimalna vrijednost tlaka je dakle u najuem presjeku, a ne moe biti manja od tlaka para (tlaka kod kojeg fluid pri

zadanoj temperaturi poinje isparavati). Minimalnim tlakom je definirana i

maksimalna brzina strujanja, odnosno

maksimalni protok Q.

PRIMJENA BERNOULLIJEVE JEDNADBE

Izmeu bilo koje dvije toke stacionarnog neviskoznog i nestlaivog strujanja du jedne strujnice primjenjuje se Bernoullijeva jednadba u obliku

a pomou koje se mogu izraunati tlakovi i brzine estica fluida u tim tokama.

Naime, u veini stacionarnih strujanja, podalje od vrste stjenke utjecaj viskoznosti se moe zanemariti. Ukoliko se s dovoljnom tonou moe pretpostaviti oblik strujnice, tada nema veih zapreka za primjenu Bernoullijeve jednadbe.

Najee primjene Bernoullijeve jednadbe u ovom obliku su:

-za sluaj strujanja u cijevima gdje se za karakteristinu strujnicu uzima ona koja prolazi simetralom cjevovoda i du koje se na kratkim udaljenostima moe zanemariti utjecaj viskoznosti,

- za istjecanje kroz male otvore,

- za mjerenje brzine i protoka kod strujanja kroz cijev,

- za istjecanje kroz velike otvore,

- za odreivanje brzine pranjenja spremnika pri nestacionarnim uvjetima,

- za odreivanje gubitaka u nestlaivom fluidu.

2 2

1 2

1 1 2 22 2

v vp g h p g h

Strujanje u cijevima za strujnicu koja prolazi simetralom cjevovoda

PRIMJER:

Otvoreni veliki spremnik vode ima svinuti cjevovod jednolikog dijametra kao to je prikazano na slici 3-5. Odredi brzine istjecanja vode i tlakove u tokama 2, 3 i 4, ukoliko se pretpostavlja neviskozno strujanje vode. Gustoa vode je 1000 kg/m3, a vanjski tlak je jednak atmosferskom tlaku od p0=101,32 kPa.

h5=

0,2

m

2

5

1 3

4

h2=

2 m

h4=

1,5

m

h3=0h1=0p0

p0

Poto je spremnik dovoljno velik, moe se smatrati da je visina vode u spremniku stalna, a istjecanje stacionarno. Referentna ravnina je slobodna

povrina vode u spremniku. Za odreivanje brzine u cijevi, primijeniti e se Bernoullijeva jednadba za neviskozno, nestlaivo i stacionarno strujanja izmeu toke 1 (slobodna povrina) i toke 5 (kraj cijevi), a koje su izloene atmosferskom tlaku. U to sluaju jednadba glasi:

Kako se pretpostavlja stalna visina vode u spremniku, brzina vode na slobodnoj povrini se zanemaruje, tj. v1=0. Uz to i tlakovi p1 i p5 su jednaki atmosferskom tlaku p0, pa stoga jednadba poprima oblik:

tako da je

jer je prema slici, s obzirom na referentnu ravninu h1=0, a h5= 0,2 m.

2

5

1 52

vh h

g

2 2

1 1 5 5

1 52 2

p v p vh h

g g g g

5 1 52 ( ) 2 9,81(0 ( 0,2)) 1,98 m/sv g h h

Prosjena brzina je jednaka u svim tokama cjevovoda. Stoga je:

Tlak p2 moe se izraunati postavljajui Bernuoullijevu jednadbu za toke 1 i 2, a koja glasi:

odakle uz p1=p0 slijedi

Na isti nain, postavljajui Bernuoullijevu jednadbu za toke 1 i 3 dobije se:

iz koje se uz p1=p0 moe izraunati tlak p3

h5=

0,2

m

2

5

1 3

4

h2=

2 m

h4=

1,5

m

h3=0h1=0p0

p0

5 4 3 2v v v v

2

1 2 2

1 22

p p vh h

g g g

2 2

32

2 0 1 2

1,98101,32 10 9,81 1000 0 ( 0,2) 118979,8 Pa

2 2 9,81

vp p g h h

g

2

1 3 3

1 32

p p vh h

g g g

2 2

33

3 0 1 4

1,98101,32 10 9,81 1000 0 0 99359,8, Pa

2 2 9,81

vp p g h h

g

Konano, postavljajui Bernuoullijevu jednadbu za toke 1 i 4 dobije se:

iz koje je izraunava tlak u toki 4

Iz rezultata se vidi kako je tokama 3 i 4 vlada podtlak, dok u toki 2 pretlak.

h5=

0,2

m2

5

1 3

4h

2=

2 m

h4=

1,5

m

h3=0h1=0p0

p0

2

1 4 4

1 42

p p vh h

g g g

2 2

34

4 0 1 4

1,98101,32 10 9,81 1000 0 1,5 84644,8,2 Pa

2 2 9,81

vp p g h h

g

PRIMJER:

Iz otvorenog velikog spremnika istjee voda kroz svinutu cijev koja u vodoravnom dijelu ima suenje presjeka kao to je prikazano na slici 3-6. Ostali dio cjevovoda je jednolikog dijametra. Odredi brzine istjecanje vode u

presjecima 2-2 i 3-3. Pretpostavlja se neviskozno strujanje vode. Gustoa vode je 1000 kg/m3, dok je vanjski tlak jednak atmosferskom tlaku od p0=101,32 kPa.

2

1

3

h3=

2 m

A2=5 cm2

p0h

1=

1,2

m

h4=

0,8

m

4

h3=

1,8

m

A3=10 cm2

A4=10 cm2

vp0

3

4

2

1

Rjeenje:

U sluajevima kada se brzina strujanja fluida mijenja zbog promjene protonog presjeka tada je pored Bernoullijeve jednadbe potrebno koristiti i jednadbu kontituiteta. Takvi sluajevi ukljuuju cijevi promjenjivog presjeka, prigunice i mlaznice.

Poto je spremnik dovoljno velik, moe se smatrati da je visina vode u spremniku stalna, a istjecanje stacionarno. Za odreivanje brzine u cijevi, primijeniti e se Bernoullijeva jednadba za neviskozno, nestlaivo i stacionarno strujanja izmeu presjeka 1-1 (slobodna povrina) i presjeka 4-4 (kraj cijevi), a koje su izloene djelovanju atmosferskog tlaka. U tom sluaju jednadba, s obzirom na referentnu horizontalnu ravninu koja prolazi kroz otvor na spremniku, glasi:

Kako se pretpostavlja stalna visina vode u spremniku, brzina vode na slobodnoj povrini se zanemaruje, tj. v1=0. Uz to i tlakovi p1 i p4 su jednaki atmosferskom tlaku p0, pa stoga jednadba poprima oblik:

2 2

1 1 4 4

1 42 2

p v p vh h

g g g g

2

4

1 42

vh h

g

2

1

3

h3=

2 m

A2=5 cm2

p0

h1=

1,2

m

h4=

0,8

m

4

h3=

1,8

m

A3=10 cm2

A4=10 cm2

vp0

3

4

2

1

tako da je brzina u presjeku 4-4

jer je prema slici, s obzirom na referentnu ravninu h1=1,2 m, a h4= 0,8 m

Brzina u presjeku 3-3 jednaka je v4, tj. v3=v4.

Brzina u presjeku 2-2 moe se dobiti postavljajui jednadbu kontinuiteta:

odakle slijedi

odakle slijedi

2

1

3

h3=

2 m

A2=5 cm2

p0

h1=

1,2

m

h4=

0,8

m

4

h3=

1,8

m

A3=10 cm2

A4=10 cm2

vp0

3

4

2

1

4 1 42 ( ) 2 9,81(1,2 ( 0,8)) 6,26 m/sv g h h

2 3

2 2 3 3

Q Q

A v A v

4

3 32 4

2

10 10 6,2612,52 m/s

5 10

A vv

A

Primjenom Bernoulijeve jednadbe za presjeke 3-3 i 4-4 dobiva se:

odakle uz p4=p0 i v3=v4 (ponitavaju se u gornjem izrazu), slijedi

Stoga, tlak p3 iznosi:

Ukoliko se ista jednadba primjeni za presjeke 1-1 i 2-2 dobiva se:

odakle uz p1=p0 i v1=0 slijedi

Stoga, tlak p2 iznosi:

2

1

3

h3=

2 m

A2=5 cm2

p0

h1=

1,2

m

h4=

0,8

m

4

h3=

1,8

m

A3=10 cm2

A4=10 cm2

vp0

3

4

2

1

2 2

3 3 4 4

3 42 2

p v p vh h

g g g g

3 0

3 4

p ph h

g g

3

3 0 4 3( ) 101,32 10 1000 9,81( 0,8 1,8) 75814 Np p g h h

2 2

1 1 2 2

1 22 2

p v p vh h

g g g g

2

0 2 2

1 22

p p vh h

g g g

2 2

52

2 0 1 2

12,52101,32 10 1000 9,81 1,2 0 11172,8 Pa

2 2 9,81

vp p g h h

g

Iz rezultata se vidi kako u

suenom presjeku tlak p2 se smanjio na raun poveanja brzine.

PRIMJER:

Zrak struji iz spremnika kroz cijev dijametra D=0,03 m i izlazi kroz mlaznicu

dijametra d=0,01 m kao to je prikazano na slici 3. Manometarski tlak u spremniku je konstantan i iznosi ps=3 kPa. Temperatura zraka je t=15C, a atmosferski tlak p0=101,32 kPa. Potrebno je odrediti protok i tlak u cijevi.

Rjeenje:

Poto je spremnik dovoljno velik, a zrak pod stalnim tlakom, moe se smatrati da je istjecanje stacionarno. Stoga, pretpostavlja se stacionarno neviskozno i

nestlaivo (konstanta temperatura i tlak) strujanje. U tom sluaju moe se primijeniti Bernoullijeva jednadba uzdu strujnice izmeu presjeka 1 i 3 u obliku:

ps=3 kPa

d=

0,0

1 m

D=

0,0

3 m

Zrak

p0

321 Q

2 2

1 1 3 3

1 32 2

p v p vh h

g g g g

S obzirom da se presjeci 1, 2 i 3 nalaze na referentnoj ravnini, njihove geodetske visine su jednake nuli, tj. h1=h2=h3=0. Nadalje, zbog velikog

spremnika brzina v1=0, dok je tlak p3 jednak atmosferskom tlaku (slobodan

mlaz), tj. p3=0 jer se koristi manometarski tlak. Sukladno tome, i uz p3=p0 i

p1=ps Bernoullijeva jednadba poprima oblik:

odakle slijedi brzina

Gustoa zraka pri tlaku ps moe se izraunati pomou izraza:

gdje je R plinska konstanta zraka koja iznosi 297 [J/kg K] (Stroj.prirunik, str.103, izdanje 1997.). U gornjem izrazu mora se koristiti apsolutna vrijednost

tlaka u spremniku iz razloga to se koristi zakon idealnog plina.

2

3

2

sp v

g g

2

3

30 0

2

sp v

hg g

3

2sp

v

3

3(3 101,32)10 1,26 kg/m287 (15 273)

sp

RT

ps=3 kPa

d=

0,0

1 m

D=

0,0

3 m

Zrak

p0

321 Q

Uz izraunatu gustou zraka, brzina u presjeku 3 (mlaznica) je:

Protok u cijevi moe izraunati koristei jednadbu kontinuiteta Q2=Q3=Q, pa je stoga:

Brzina v2 u cijevi moe se izraunati primjenom Bernoullijeve jednadbe i jednadbe kontituiteta. Bernuoullijeva jednadba za presjeke 1 i 2 glasi:

koja uz v1=0, h1=h2=0, p1=ps poprima oblik

odakle slijedi izraz za izraunavanje tlaka u cijevi

3

3

2 2 3 1069 m/s

1,26

sp

v

2 2

3

3 3 3

0,0169 0,0054 m /s

4 4

dQ v A v

2 2

1 1 2 2

1 22 2

p v p vh h

g g g g

2

2 2

2

sp p v

g g g

2

2

2 12

vp p

ps=3 kPa

d=

0,0

1 m

D=

0,0

3 m

Zrak

p0

321 Q

Nepoznata brzina v2 moe se izraunati koristei jednadbu kontinuiteta:

Stoga, tlak u cijevi iznosi:

Iz rezultata je vidljivo da kada se zrak razmatra kao neviskozni fluid, tlak p2 u cijevi je konstantan. Fizikalno, smanjivanje tlaka od tlaka zraka u spremniku

do tlaka na izlazu mlaznice ubrzava zrak i poveava njegovu kinetiku energiju od nule u spremniku do maksimalne vrijednosti na izlazu mlaznice.

Poto je brzina zraka na izlazu oko devet puta vea nego u cijevi, najvei pad tlaka dogaa se u mlaznici.

Poto promjena tlaka od presjeka 1 do 3 nije velika, razlona je pretpostavka nestlaivosti zraka jer tada nema znaajne promjene gustoe zraka.

2 3Q Q

2 2 3 3v A v A

2

2 233 3 3

22 2 2

2

69 0,014 7,67 m/s0,03

4

dv

v A v dv

DA D

2

32

2

1,26 7,673 10 2963 Pa

2 2s

vp p

PRIMJER:

U-cijev konstantnog dijametra djeluje kao sifon u spremniku vode.

Zakrivljenost cijevi je 1 metar iznad a izlaz cijevi 7 m ispod slobodne povrine vode. Na slobodnu povrinu i slobodan izlazni mlaz djeluje atmosferski tlak tlaka 101,32 kPa. Temperatura vode je 20C. Pretpostavlja se stacionarno, neviskozno i nestlaivo strujanje uzdu jedne strujnice. Odredi brzinu mlaza vode na izlazu i tlak u zakrivljenom dijelu cijevi (presjek 2) i provjeri mogunost pojave kavitacije. Gustoa vode je 1000 kg/m3.

2

3vp0

p0 h2=

1 m

1

h3=

7 m

Rjeenje:

Brzina mlaza na izlazu cijevi izraunati e se primjenom Bernoullijeve jednadbe od presjeka 1 do presjeka 3, koja uz pretpostavke iz primjera glasi:

Poto je povrina spremnika puno vea nego povrina cijevi dovoljno velik, moe se smatrati da je visina vode u spremniku stalna pa je brzina v1=0. Nadalje, na slobodnu povrinu i na izlazni mlaz djeluje atmosferski tlak pa je p1=p3=p0, pa jednadba poprima oblik:

odakle slijedi brzina izlaznog mlaza

jer je prema slici, s obzirom na referentnu ravninu h1=0, a h3= 7 m.

2 2

1 1 3 3

1 32 2

p v p vh h

g g g g

2

3

1 32

vh h

g

3 1 32 ( ) 2 9,81(0 ( 7)) 2 9,81 7 11,7 m/sv g h h

2

3vp0

p0 h2=

1 m

1

h3=

7 m

Tlak u presjeku 2 izraunati e se postavljajui Bernoullijevu jednabu za presjeke 2 i 3 koja uz v1=0 i poznatu brzinu v2=v3=11,7 m/s (jednadba kontituiteta) koja glasi:

odakle uz slijedi p3=p0 slijedi

Dakle, u svim presjecima (ili tokama) cijevi koji se nalaze iznad slobodne povrine vode vlada podtlak.

Za provjeru pojave kavitacije na najvioj toki potrebno je izraunati tlak u toj toki i zatim ga usporediti s tlakom zasienja isparavanja vode pri temperaturi od 20C, a koji iznosi pv= 2,238 kPa. Usporeujui dobiveni tlak na najvioj toki sifona, koji iznosi p2=22,84 kPa (Stroj.prirunik, str.202, izdanje 1997) isti je znatno iznad tlaka zasienja od pv= 2,238 kPa.

2

3vp0

p0 h2=

1 m

1

h3=

7 m

2 2

2 2 3 3

2 32 2

p v p vh h

g g g g

2 0

3 2

2 0 3 2

3

2

( )

101,32 10 1000 9,81( 7 1) 22840 Pa

p ph h g

g g

p p g h h

p

Visina h2 zakrivljenog dijela cijevi iznad slobodne povrine koja dovodi do pada tlaka na kojoj e voda poeti isparavati i time dovesti do pojave kavitacije, moe se izraunati iz izraza za tlak u presjeku 2-2, na nain da se umjesto dobivenog tlaka p2, uvrsti tlak zasienja pv koji odgovara temperaturi kapljevine, odnosno:

Oito je kako zbroj visina h2 i h3 (obino se oznaavaju kao h i H) mora biti manji od atmosferskog tlaka, koji za sluaj strujanja vode iznosi desetak metara, a to predstavlja uvjet funkcioniranja sifona. Do prekida strujanja dolazi u sluaju kada je zbroj visina vei od atmosferskog tlaka, jer bi tada visina atmosferskog tlaka trebala biti negativna, to je kod kapljevina nemogue.

Dakle, do pojave kavitacije, odnosno prekida strujanja u sifonu dolazi bilo sputanjem izlaznog kraja cijevi ili dizanjem najvie toke sifona.

3 3

0

2 3

101,32 10 2,238 107 3,1 m

1000 9,81

vp p

h hg

Istjecanje

U mnogim prilikama kapljevina iz nekoga spremnika slobodno istjee u okolni prostor, bilo da se radi o otvoru na samoj stijenci spremnika ili o

kratkoj izlaznoj cijevi.

Sve takve situacije obuhvaene su zajednikim nazivom: istjecanje.

Najee se istjecanje odvija u stacionarnim uvjetima (razina tekuine u spremniku odnosno tlak iznad tekuine u zatvorenoj posudi su konstantni).

Ovisno o veliini otvora, govori se o istjecanju kroz male odnosno istjecanju kroz velike otvore. Pod malim otvorom smatra se svaki otvor koji je toliko

malen da se moe uzeti da je hidrostatski tlak na cijeloj njegovoj povrini jednak.

Istjecanje kroz male otvore

Razmotrimo istjecanje kapljevine kroz mali otvor na dnu iroke posude.

Ako je povrina posude vrlo velika u usporedbi s povrinom otvora, moe se smatrati da je visina h kapljevine u posudi stalna, a istjecanje stacionarno.

Bernoullijeva jednadba za presjeke 1 i 2 (referentna ravnina) glasi:

p0

p0

v

1

2

h

Cd

2 2

1 2

1 1 2 22 2

v vp g h p g h

Kako je p1=p2=p0, h1=h, h2=0, v1=0 i v2=v slijedi da je brzina istjecanja:

To je poznati Torricellijev zakon, koji kae da je brzina v istjecanja kapljevine takva, kao da ona slobodno pada s visine h. Zbog gubitaka i

suenja (kontrakcije) mlaza na rubu otvora (efektivni presjek mlaza Ae< A), stvarna je brzina istjecanja neto manja i iznosi:

p0

p0

v

1

2

h

Cd

2 2

1 2

1 1 2 22 2

v vp g h p g h

2v g h

2d

v C g h

gdje je Cd koeficijent istjecanja koji ovisi o

vrsti kapljevine i obliku otvora, a odreuje se eksperimentalno, te iznosi manje od jedan

Naime, estice kapljevine neposredno uz stijenku spremnika gibaju se paralelno s njom i ne mogu naglo skrenuti u smjeru istjecanja. estice skreu postupno u luku, to uvjetuje suenje (kontrakciju) mlaza. Stoga, ukoliko izlaz nije gladak i dobro oblikovan dijametar mlaza je manji od dijametra otvora.

Ova pojava naziva se "vena contracta i funkcija je geometrije izlaza. Neke

uobiajene vrijednosti Cd koeficijenta istjecanja za krune cijevi u zavisnosti od geometrije otvora, prikazani su na slici.

U gornjoj slici d i A oznaavaju dijametar i povrinu otvora, a do i Ao dijametar i povrinu mlaza.

Stoga, protok kapljevine kroz mali otvor iznosi:

p0

p0

v

1

2

h

Cd

d

do

Cd=A/Ao=(d/do)2

Cd=0,61 Cd=1,0

Cd=0,61 Cd=0,50

Otri rubLijepo

zaobljeni rub

Unutranji rubKvadratni rub

2o o d

Q A v AC g h

Istjecanje kroz male otvore ispod razine

Slika shematski prikazuje dva velika spremnika meusobno spojena malim otvorom. Uslijed gravitacije doi e do strujanja fluida iz spremnika s viom razinom fluida u spremnik s niom razinom. Pretpostavlja se da je strujanje neviskozno, a da su spremnici toliko veliki da su razine fluida stalno na istim

razinama. Pretpostavlja se koeficijent istjecanja otvora od Cd=1,0.

U ovom sluaju, Bernoullijeva jednadba za presjeke 1 i 2 (referentna ravnina) glasi:

p01

3

p0

h2

h1

H

2

Ao, Cd

2 2

1 1 2 2

1

2 2

1 1 2 2

2

02 2

( ) 02 2

p v p vh

g g g g

p v p vh H

g g g g

Strujanje u lijevom spremniku moe se zanemariti u svim tokama osim u toki 3, gdje fluid ulazi kroz otvor u desni spremnik. Tako se moe smatrati da svaka toka unutar spremnika ima jednaku energiju koja odgovara piezometrikoj visini h1=H+h2, gdje je H=h1-h2 visinska razliku obiju kapljevina od sredinjice mlaza u otvoru. Unutar desnog spremnika takoer se moe zanemariti strujanje osim u toki 3 to povlai sa sobom injenicu da u desnom spremniku vlada hidrostatski tlak Eksperimenti pokazuju da u

izlaznom mlazu (toka 3) vlada tlak priblino hidrostatskom tlaku:

Uzimajui to u obzir, Bernoullijeva jednadba za presjeke 1 i 2 glasi:

Kako je p1=p0 i v1=0 i te ponitavajui iste kao i h2 s obje strane,, Bernolullijeva jednadba se moe napisati i u obliku:

p01

3

p0

h2

h1

H

2

Ao, Cd

2 0 2p p g h

2 2

1 1 o 2

2 2( )

2 2

p v p vh H h

g g g g

2

2

1 22

vH h h

g

Ovaj izraz moe se shvatiti kako toka 1 u odnosu na toku 2 ima specifinu potencijalnu energiju H, a desna strana izraza moe se shvatiti kao gubitak kinetike energije, koja se izgubila u desnom spremniku od toke 3 do 2.

Brzina u sreditu mlaza uz v2=v izraunava se pomou izraza:

dok protok kapljevine kroz otvor iznosi:

p01

3

p0

h2

h1

H

2

Ao, Cd

2

2

1 22

vH h h

g

2 1 22 2 ( )v v g H g h h

2o o d

Q A v AC g H

Istjecanje kroz velike otvore

Razmotrimo istjecanje kapljevine kroz veliki otvor na dnu iroke posude.

Ako je povrina posude vrlo velika u usporedbi s povrinom otvora, moe se smatrati da je visina h kapljevine u posudi stalna, a istjecanje stacionarno.

Bernoullijeva jednadba za presjeke 1 i 2 (referentna ravnina) glasi:

p0

p0

1

2

h'

h''

h2

h1

b

dh

v1

p0Cd

2 2

1 2

1 1 2 22 2

v vp g h p g h

Kako je p1=p2=p0, h1=h, h2=0, v1=0 i v2=v slijedi da je brzina istjecanja:

Meutim, kada kapljevina istjee kroz velike otvore brzina istjecanja nije konstantna po cijelom presjeku, pa se iz stog razloga mora uzeti u obzir

razliita visinu pojedinih strujnica od gornje razine. Budui da je visina h''>h' to znai kako je i brzina v''>v'. Protok dobivamo integracijom kroz presjek 2 koji ima povrinu bdh. Stoga, koliina fluida koja istjee kroz elementarni presjek povrine dA=bd :

Ukupni protok je:

2 2

1 2

1 1 2 22 2

v vp g h p g h

2d

v C g h

2d

dQ v dA C g h bdh

2

1

2

1

3/2

3 3

2 1

2

23 / 2

22

3

h

d

h

h

d

h

d

Q C b g h dh

hQ C b g

Q C b g h h

p0

p0

1

2

h'

h''

h2

h1

b

dh

v1

p0Cd

Gornji izraz vrijedi ukoliko je brzina dotjecanja zanemarivo mala tj. v10. Kada se brzina ne moe zanemariti, protok se izraunava pomou izraza:

Ukoliko je h1=0, a h2=H, imamo istjecanje u obliku preljeva.

3 3

2 1

22

3d

Q C b g h h

3 32 2

3 31 1

2 1

22

3 2 2d

v vQ C b g h h

g g

H

v1

b

p

0,15H

4H Cd

Za istjecanje u obliku preljeva , vrijedi izraz za protok:

Gornji izraz vrijedi ukoliko je brzina dotjecanja zanemarivo mala tj. v10. Kada se brzina ne moe zanemariti, protok se izraunava pomou izraza:

Preljevi se koriste u razne svrhe hidrotehnike svrhe. Razlikuju se po konstrukciji kruna koja je najee pravokutnog oblika ili trokutastog oblika. Kod svih preljeva cijeli postupak se svodi na to tono odreivanje koeficijenta istjecanja eksperimentalnim putem. Pomou protoka mjeri se veliki protoci kapljevina.

H

v1

b

p

0,15H

4H Cd

3 3/22 22 23 3

d dQ C b g H C b g H

3 32 2

3 1 12

23 2 2

d

v vQ C b g H

g g

Nestacionarno istjecanje

Na slici prikazan je spremnik promjenjive povrine u kojem slobodne povrine ovise o koordinati h=z. Ukoliko se u spremniku tijekom istjecanja kroz otvor na

njegovom dnu, razina kapljevine sputa, tj. h=h(t), istjecanje je nestacionarno.

h1

h2

A(h)

h

Ao

po

po

t=t1

t=t2

v

z

1

2

Budui da se razina h u spremniku smanjuje tijekom vremena, tj.h=h(t), tako e se smanjivati i brzina v2 na izlazu iz spremnika. To podrazumijeva kako postoji lokalno ubrzanje estica fluida koje bi se pojavilo u Bernoullijevoj jednadbi za nestacionarno strujanje.

Meutim, ako se uvede pretpostavka kako je povrina A poprenog presjeka spremnika puno vea od povrine otvora Ao, tada e brzina v1 biti mala u odnosu na brzinu mlaza v2, to znai da e se slobodna povrina sporo sputati brzinom v1=dh(t)/dt.

U takvoj situaciji lokalno ubrzanje estice fluida moe se zanemariti, te dolazimo do kvazistacionarnog strujanja, u kojem u svakom trenutku

vrijedi Bernoullijeva jednadba za stacionarno strujanje.

Pod daljnjom pretpostavkom kako je spremnik otvoren prema atmosferi, te da se visina h=z mjeri od presjeka mlaza gdje su strujnice paralelne (vena

contracta), moe se napisati Bernoullijeva jednadba od toke 1 do 2 u obliku , tj.:

h1

h2

A(h)

h

Ao

po

po

t=t1

t=t2

v

z

1

2

2 2

2

1 1 2 22 2

v vp g h p g h

koja se za p1=p2=p0, v1=0, v2=v, h1=h(t) i h2=0 poprima oblik

Iz gornjeg izraza teoretska brzina u otvoru je:

dok je stvarna brzina

h1

h2

A(h)

h

Ao

po

po

t=t1

t=t2

v

z

1

2

2 2

2

1 1 2 22 2

v vp g h p g h

2

2

( ) :( )2

( )2

vg h t g

vh t

g

2 ( )v g h t

2 ( )d

v C g h t

Ukoliko se u vremenu dt, volumen kapljevine spustio za iznos dh=dz, smanjenje volumena u spremniku je prema jednadbi kontinuiteta jednako je volumenu kapljevine koje je isteklo kroz otvor povrine Ao, tj.:

negativni predznak je iz razloga to se smanjuje visina dh.

Iz toga slijedi kako je vrijeme pranjenja

Integriranjem gornjeg izraza u granicama od t1 do t2 (lan dt) h1 do h2 (desni lan) , dobiva se vrijeme pranjenja koje je potrebno da se razina kapljevine u spremniku spusti s razine h1 do h2:

U gornjim izrazima A(h) oznaava promjenjivu povrinu posude.

h1

h2

A(h)

h

Ao

po

po

t=t1

t=t2

v

z

1

2

( ) ( )

2 2d o d o

A h dh A h dhdt

C A g h C A g h

( ) 2 ( )o d o

dV A h dh Qdt v A dt C A g h t dt

2

1

2 1

1 ( )

2

h

pr

hd o

A h dht t t

C A g h

1 ( )

2

h

pr

od o

A h dht

C A g h

Vrijeme potpunog pranjenja spremnika (h2=0), tj. do h1=h=0 je

PRIMJER:

Iz otvorenog spremnika dijametra D=10 m, voda se prazni preko malog otvora

pri dnu, a kao to je prikazana na slici 3-16. Otvor je dijametra d=3 cm i izveden je s otrim rubom. Udaljenost otvora od sloboddne povrine vode u spremniku je h1=2 m. Potrebno je odrediti:

a) maksimalni protok vode kroz cijev,

b) vrijeme potpunog pranjenja spremnika.

p0

h1

D

dCd

1 1

2 2

a) Poto je spremnik dovoljno velik, moe se smatrati da je visina vode u spremniku stalna, a istjecanje stacionarno. Kao referentna ravnina odabran je

presjek 2-2 . Za odreivanje brzine u cijevi, primijeniti e se Bernoullijeva jednadba za stacionarno strujanja idealnog fluida 8nestlaiv i neviskozan) izmeu presjeka 1 (slobodna povrina) i presjeka 2 (otvor), a koje su izloene djelovanju atmosferskom tlaku p0. U to sluaju jednadba glasi:

Poto je istjecanje stacionarno, brzina na slobodnoj povrini je v1=0. Stoga, jednadba uz p1=p2=p0 i h2=0, poprima oblik:

p0

h1

D

dCd

1 1

2 2

2 2

1 1 2 2

1 22 2

p v p vh h

g g g g

2

2

10 0 0

2g

vh h

g

odakle se brzina v2 moe se izraunati pomou izraza

2 12 2 9,81 2 6,26 m/sv g h

Dobivena vrijednost je teoretska. Kako je otvor

izveden s otrim rubom (Cd=0,61), stvarna je brzina istjecanja je manja i iznosi:

2 12 0,61 39,24 3,81 m/s

dv C g h

Stoga, maksimalni protok vode kroz mali otvor iznosi:

b) Protok vode kroz otvor na dnu spremnika je dat izrazom:

pa volumen vode (mnoei gornji izraz s dt) koji protjee kroz mali otvor tijekom diferencijalnog vremenskog intervala je:

Prema jednadbi kontinuiteta, volumen vode koja protjee kroz mali otvor mora bit jednaka smanjenju volumena u spremniku tijekom diferencijalnog

vremenskog intervala. Stoga vrijedi izraz

gdje je dh1 promjena razine vode u spremniku, a koja ima negativni predznak

poto je pozitivan smjer prema gore. Stoga, uz dh1 dobiva se pozitivna veliina koliina vode koja istjee iz spremnika.

p0

h1

D

dCd

1 1

2 2

2 2

3

2 2

3 103,81 0,0027 m /s 2,7 lit/s

4 4o

dQ A v v

2

12

4o d

dV dQ v A C g h

dt

2

2 12

4o d

ddV Q dt v A dt C g h dt

2

1 1( ) ( )

4s

ddV A dh dh

Postavljajui jednadbu kontinuiteta dobiva se:

odakle se dobiva izraz za vrijeme pranjenja

Integriranjem gornjeg izraza od vremena t=0 hada je razina vode u spremniku h1 do vremena potpunog vremena pranjenja tpr kada je h1=0 dobiva se:

odakle slijedi

p0

h1

D

dCd

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

( ) 2

( ) 24 4

s d o

d

A dh C A g h dt

D ddh C g h dt

2

2 2 111 2

2 1 12 2

11

( )( ) 14

2 22

4d d

d

Ddh

D dh Ddt h dh

d d dC g h C gC g h

1

1

1

0 2 1

2

1 120

1

2 2 2 21 102

1 12 2

1 12 2 2 2

1

2

1 2 1 2 1( 0) 2

1 22 2 2

2

prt h

t h d

pr

h dd d d

Ddt h dh

d C g

D h D D D ht h h

d d d C d gC g C g C g

2 2

1

2 2 2

2 2 10 2100338,6 s 27,87 h

2 0,61 (3 10 ) 2 9,81pr pr

d

D ht t

C d g

Istjecanje iz posuda pod tlakom

Ukoliko je spremnik zatvoren, a iznad slobodne povrine djeluje pretlak p , tj. apsolutni tlak p=p-p0, Bernoullijevu jednadbu moemo postaviti za povrinu kapljevine i mlaz na izlazu:

odakle slijedi teoretska brzina istjecanja

2

p

p0

h

1

v

2 2

1 2

1 1 2 22 2

v vp g h p g h

Budui da je otvor relativno malen brzina v1 moe se zanemariti. Mnoei gornju jednadbu s g i uz p1=p, p2=p0 (atmosferski tlak) , h1=h h2=0 i v2=v,

jednadba poprima oblik iznosi: 2

1 02

p vh p

g g

02p p

v g hg

Ukoliko u spremniku se nalazi samo plin pod umjerenim tlakom, tada se pri istjecanju ne plin mora smatrati stlaivim, a moe se zanemariti i njegova teina (zbog male gustoe) , tako da izraz za teoretski brzinu glasi:

Istjeu li pod istim uvjetima i kroz isti otvor dva nestlaiva fluida s gustoama 1 i 2, vremena u kojima istjee isti volumen biti e direktno proporcionalana korijenima iz njihovih gustoa.

Na ovom principu zasnovan je Bunsen-Schillingov ureaj za mjerenje gustoe plinova.

2

p

p0

h

1

v

2p

v

2 1 2

1 2 1

t v

t v

Mjerenje brzine i protoka kod strujanja kroz cijev

Jedna od glavnih podruja primjene mehanike fluida je mjerenje protoka. Tijekom godina razvijeni su razni ureaji i instrumenti za mjerenje protoka koji se meusobno razlikuju po sloenosti, veliini, prilagodljivosti, cijeni, tonosti, kapacitetu, padu tlaka i principu rada .

Neki mjerai protoka mjere protok direktno punei i praznei mjernu komoru poznatog volumena i pratei broj pranjenja u jedinici vremena. Ipak, mnogi mjerai protoka mjere protok indirektno i to mjerei srednju (prosjenu) brzinu ili neku fizikalnu veliinu koja se odnosi na srednju brzinu kao to je prijeeni put poznate duljine, dinamiki tlak struje fluida, razliku tlaka prije i poslije ugraenog mjeraa itd. Odreivanjem brzine strujanja posredno se odreuje maseni (kg/s) ili volumni protok (m3/s)

Poto je protok odreen izrazom:

gdje je A povrina poprenog presjeka protoka, mjerenje protoka obino se izvodi mjerei brzinu protoka. Stoga, veina instrumenata za mjerenje su jednostavni brzinomjeri koji se koriste u svrhu mjerenja protoka.

Q v A

Brzina strujanja fluida u cijevi varira od nule uz stijenku cijevi do maksimalne uzdu sredinjice cijevi i stoga je to potrebno imati na umu kada se koriste izmjerene brzine. Tako npr., kod laminarnog strujanja prosjena brzina je jednaka polovici maksimalne brzine. S druge strane, kod turbulentnog

strujanja esto je potrebno za odreivanje prosjene brzine koristiti rezultate nekoliko lokalnih mjerenja brzine.

Mjerenje brzine Pitotovom cijevi

Pitotova cijev ili sonda mjeri lokalnu brzinu mjerei razliku tlaka u svezi s Bernoullijevom jednadbom. Naziv je dobila od francuskog inenjera Henri de Pitot (1695-1771). Njen princip rada zasniva se na mjerenju zastojnog tlaka.

Naime, koristan koncept povezan s Bernoullijevom jednadbom odnosi se na zastojni i dinamiki (kinetiki) tlak. Ovi tlakovi proizlaze kod pretvorbe kinetike energije fluida koji protjee u porast tlaka kada se fluid zaustavi. Sagledavajui Bernoullijevu jednadbu kojom se prikazuju tlakovi fluida u strujanju:

2

.2

vp g h konst

svaki lan u jednadbi ima jedinicu [Pa] i stoga svaki predstavlja neku vrstu tlaka. Prvi lan p je statiki tlak uslijed djelovanja vanjskih sila, drugi lan v2/2 je dinamiki tlak uslijed gibanja fluida, dok je trei lan gh hidrostatski tlak uslijed teine fluida. Zbroj statikog, dinamikog i hidrostatskog tlaka naziva se ukupni tlak. Stoga, Bernoullijeva jednadba kae kako je ukupni tlak uzdu strujnice konstantan.

Zbroj statikog i dinamikog tlaka naziva se zastojni tlak i dat je izrazom:

Zastojni tlak prikazuje tlak u toki gdje se strujanje fluida potpuno izentropski zaustavi. Ukoliko se zastojni i statiki tlak mjere na odreenom mjestu, tada se brzina fluida na tom mjestu moe izraunati pomou izraza:

2

.2

vp g h konst

2

2z

vp p

2( )

2

zp p

v

Statiki, dinamiki i zastojni tlakovi prikazani su na slici

Prema slici, Bernoullijeva jednadba za toke 1 i 2 (referentna ravnina z) glasi:

Uz z1=z2=0 i v2=0, jednadba poprima oblik:

odakle slijedi brzina v1=v

p0

1

2

Statiki

tlak

Dinamiki

tlak

v2

/2

p1

Zastojni

tlak

p2

h1

h2

Zastojna

toka

Pitotova

cijev

Piezometar

v1=v

v2=0v v

p0

R

h

z=0

2 2

1 2

1 1 2 22 2

v vp g z p g z

2

1

1 22

vp p

2 12( )p p

v

Statiki tlak koji u fluidu djeluje u svim tokama mjeri se piezometrom i iznosi:

Zastojni tlak mjeri se Pitotovom cijevi. To je mala cijev koja je jednim krajem smjetena u cijevi kroz koju protjee fluid tako da moe mjeriti ukupno djelovanje tlaka fluida u protjecanju. Prema slici, zastojni tlak je jednak:

Uvrtenjem oba izraza u Bernoullijevu jednadbu dobiva se:

to nakon sreivanja daje

odakle slijedi drugi izraz za brzinu

p0

1

2

Statiki

tlak

Dinamiki

tlak

v2

/2

p1

Zastojni

tlak

p2

h1

h2

Zastojna

toka

Pitotova

cijev

Piezometar

v1=v

v2=0v v

p0

R

h

z=0

1 0 1p p g h

2 0 2 0 1( )p p g h p g h h

2

1

0 1 0 22

vp g h p g h

2

1

2 1( )

2

vg h h g h

1 2 12 ( ) 2v v g h h g h

Princip prikazan na slici (piezometar i Pitotova cijev otvoreni prema atmosferi) moe se primijeniti za sluaj kada statiki tlak u cijevi nije puno velik, tako da se moe izmjeriti stupcem fluida. Ukoliko je tlak statiki tlak manji od atmosferskog, tada se piezometar ne moe koristiti. U tom sluaju koristi se manometar s U-cijevi ili senzor tlaka. Openito, s obzirom da je za odreivanje brzine potrebno znati samo razliku tlakova (a ne i njihove apsolutne vrijednosti), bolji je nain mjerenja njihove razlike pomou diferencijalnog manometra s U-cijevi ispunjenog fluidom gustoe M. Na slici prikazane su situacije kada je gustoa fluida u manometru vea (a) i manja (b) od gustoe fluida koji protjee kroz cijev.

1

2

v2

/2

p1

p2=pst

h1

h2

v1=v

v2=0v vR

M

1

2

v2

/2

v1=v

v2=0

vvR

M

a) >M b) M>

h2 h1

h

h

p2=pst

p1p1

Prema slici, jednadba manometra od toke 2 do toke 1 i za sluaj (a) kada je >M glasi:

odakle slijedi izraz za razliku tlaka

Iz Bernoullijeve jednadbe takoer se moe dobiti izraz za razliku tlaka:

Kombinirajui oba izraza za razliku tlaka dobiva se:

Stoga, brzina se moe izraunati pomou izraza

2 2 1 1

2 1 0 1 1

2 1

2 1

( )

( )

M

M

M

p g h g h g h p

p g h h g h g h p

p g h g h p

p g h p

2 1 ( )Mp p g h

2

1

2 12

vp p

2

1 ( )2

M

vg h

12

2 1 MMg h

v v g h

Za sluaj (b) kada je

PRIMJER:

Kroz horizontalnu cijev protjee zrak gustoe z=1,2 kg/m3. Cijev se

postepeno suzuje s dijametra D=100 mm na dijametar d=50 mm. Razlika

tlaka prije i nakon suenja cijevi mjeri se sa Pitotovom cijevi s U-cijevnim manometrom ispunjenim fluidom gustoe M=827 kg/m

3. Za izmjerenu razliku

visina stupca fluida od h=80 mm i pretpostavljajui kako nema gubitaka, potrebno je odrediti protok.

D

d

1 2

h

M

Q

Rjeenje:

U horizontalnoj cijevi mjeri se zastojni i statiki tlak. Protok je stacionaran i nestlaiv. Referentna horizontalna ravnina z prolazi kroz sredinjicu cijevi. Primjena Bernoullijeve jednadbe za toke 1 i 2 daje:

Uz z1=z2=0 i v1=0 (zastojni tlak pa je brzina jednaka nuli), ista glasi:

Stoga, za izraunavanje protoka potrebno je odrediti brzinu v2. Budui da nisu poznate visine stupca zastojnog tlaka p1 i statikog tlak p2 ve razlika visina h i gustoe fluida, brzina v2 izraunati e se koristei izraz za sluaj M>, tj.:

Stoga, protok iznosi

2 2

1 2

1 1 2 22 2

v vp g z p g z

2

2

1 22

vp p

3

2

8272 1 2 9,81 80 10 1 32,86 m/s

1,2

Mv g h

2 3 23

2 2 2

(50 10 )32,86 0,0645 m /s 64,5 lit/s

4 4

dQ v A v

PRIMJER:

Piezometar i Pitotova cijev ugraeni su u horizontalnoj cijevi, radijusa R=30 mm, radi mjerenja brzine protjecanja vode gustoe =1000 kg/m3. Za prikazanu visinu stupca vode h potrebno je odrediti brzinu u sredinjici cijevi.

Rjeenje:

U horizontalnoj cijevi mjeri se zastojni i statiki tlak. Protok je stacionaran i nestlaiv. Referentna horizontalna ravnina z prolazi kroz sredinjicu cijevi. Toka 1 nalazi se tono ispod piezometrike cijevi u kojoj se mjeri se statiki tlak p1, dok se toka 2 nalazi na vrhu Pitotove cijevi u kojoj se zastojni tlak p2. manometarski tlakovi u tokama 1 i 2 su:

p0

1

2

p1

p2

h1

h2

v1=v

v2=0v v

p0

R

h

z=0

s

1 0 1

2 0 2

( )

( )

p p g h g R s

p p g h g R s h

Primjena Bernoullijeve jednadbe za toke 1 i 2 daje:

Uz z1=z2=0 i v2=0 (zastojni tlak pa je brzina jednaka nuli), ista glasi:

odakle slijedi brzina v1=v

Iz primjera je vidljivo kako je za odreivanje brzine protjecanja u cijevi dovljno izmjeriti razliku visine stupca zastojnog tlaka u Pitotovoj cijevi u odnosu na

visinu stupca statikog tlaka u piezometru.

p0

1

2

p1

p2

h1

h2

v1=v

v2=0v v

p0

R

h

z=0

s

0 02 1

3

2 ( ( )) ( ( ))2( )

2 2 9,81 12 10 1,53 m

p g R s p g R s hp pv

v g h

2

2

1 22

vp p

2 2

1 2

1 1 2 22 2

v vp g z p g z

Mjerenje protoka

iroko koriteni instrumenti za mjerenje protoka kroz cijev koji koriste principe ukljuene u Bernoulijevu jednadbu su Venturijeva cijev, mjerna sapnica i mjerna blenda (dijafragma). Svi ovi instrumenti rade na istom principu, odnosno da se

suavanjem presjeka strujanja poveava brzina, a smanjuje tlak. Pri tome se protok moe odrediti mjerenjem razlike tlaka izmeu presjeka strujanja s malom brzinom-vei tlak i vea brzina-manji tlak. Razlika izmeu ovih instrumenata odnosi se na cijenu, tonost, mjestu potrebnom za ugradnju, gubitcima energije i kako se blizu njih rad povinuje idealiziranim pretpostavkama protoka.

A1

A2

Q

p1 p2

v1 v2

A1

A2

Q

p1 p2

v1 v2

A1

A2

1

1 2

2

Q

v1 v2

Mjerna

blenda

Mjerna

sapnica

Venturijeva

cijev

p1> p2A1>A 2v1< v 2

Mjerna blenda ima najjednostavniji dizajn i zauzima najmanje mjesta. Sastoji se od ploe s otvorom u sredini. Nagla promjena protonog presjeka uzrokuje vrtloenje i stoga znaajne padove tlaka, tj. gubitke energije. Kod mjerne sapnice ploa je zamijenjena sapnicom pa je stoga protok usmjereniji u smjeru strujanja. Rezultat toga je da se praktiki pojava "vena contracta" eliminira. Meutim, mjerna sapnica je puno skuplja nego blenda. Venturijeva cijev, nazvana po talijanskom znanstveniku Giovanni Venturi (1746-1822),

dizajnirana je se postepenim suenjem i proirenjem ime se sprjeava vrtloenje i odvajanje protoka. Ovakva izvedba uzrokuje najmanje padove tlaka to i odreuje njemu primjenu kada se trai preciznost mjerenja. Nedostatak Venturijeve cijevi je to se kod njene ugradnje zahtijeva dulja dionica cjevovoda i to zbog izvedbe ima veu cijenu od mjerne blende i sapnice.

A1

A2

Q

p1 p2

v1 v2

A1

A2

Q

p1 p2

v1 v2

A1

A2

1

1 2

2

Q

v1 v2

Mjerna

blenda

Mjerna

sapnica

Venturijeva

cijev

p1> p2A1>A 2v1< v 2

Na slici prikazana je Venturijeva cijev ugraena u cjevovod.

Diferencijalni manometar mjeri razliku tlaka u presjecima 1 (promjera D1) i 2

(promjera D2). U uem presjeku brzina v2 je vea, pa je u njemu tlak p2 manji. Gustoa manometarskog fluida M je vea od gustoe fluida koji protjee kroz cijev, pa je stoga U-manometar postavljen prema dole. Za referentnu ravninu

odabrana je os z koja prolazi sredinjicom cijevi tako da su geodetske visine z1 i z2 presjeka 1 i 2 jednake nuli. Ukoliko se prema slici razmatra stacionarno

neviskozno strujanje idealnog fluida izmeu presjeka 1 i 2 moe se napisati Bernoullijeva jednadba, a koja uz z1=z2=0 ima oblik:

z=0

A1

A2

12

Qv1 v2

M

h

12 h

2

h1

M >

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

1 1 2 2

2 2

2 2

p v p vz z

g g g g

p v p v

g g g g

Ukoliko se prema slici razmatra stacionarno neviskozno strujanje idealnog fluida izmeu presjeka 1 i 2 moe se napisati Bernoullijeva jednadba, a koja uz z1=z2=0 ima oblik:

Ukoliko se pretpostavi da je strujanje u presjecima 1 i 2 jednoliko, moe se napisati jednadba kontinuiteta:

z=0

A1

A2

12

Qv1 v2

M

h

12 h

2

h1

M >

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

1 1 2 2

2 2

2 2

p v p vz z

g g g g

p v p v

g g g g

1 1 2 2

2 2

1 2

1 24 4

Q v A v A

D DQ v v

Kombinirajui Bernoullijevu jednadbu i jednadbu kontinuiteta moe se dobiti teoretska brzina v2:

ili brzina v1

Stoga, teoretski protok iznosi:

z=0

A1

A2

12

Qv1 v2

M

h

12 h

2

h1

M >

2

1 2

1

22

1 2 2 2

2

1

22

1 2 2 2

2

1

22

1 2 2 2

1

1 2

2 2

2 1

1

2 2

1

2 2

12

2

1 /

Av v

A

p A p vv

g g A g g

p p v Av

g g g g A

p p v A

g g g A

p pv

A A

1 2

1 2

1 2

2

/ 1

p pv

A A

1 2

2 2 2 2

2 1

2

1 /

p pQ A v A

A A

Ukoliko se radi o cijevi krunog poprenog presjeka, izraz za teoretski protok glasi:

Iz izraza je vidljivo, kako se za zadanu geometriju protoka (A1 i A2) protok moe izraunati mjerenjem razlike statikih tlakova p= p1-p2 pomou piezometrikih cijevi ili diferencijalnog manometra s U-cijevi. Budui da je prema slici jednadba manometra oblika:

odakle slijedi izraz za razliku tlaka

z=0

A1

A2

12

Qv1 v2

M

h

12 h

2

h1

M >

1 2 1 2 1 2

2 2 22 2 42 2

2 1 2 12 1

2 2 2

1 / 1 /1 ( / 4) / ( / 4)

p p p p p pQ A A A

A A D DD D

1 1 2 2

1 2 2 2

1 2 2 2

1 2

( )

M

M

M

M

p g h g h g h p

p g h h g h g h p

p g h g h g h g h p

p g h g h p

1 2 ( )Mp p g h

U izrazu za razliku tlakova h je razlika visine fluida izmeu presjeka 1 i 2 koju pokazuje diferencijalni manometar, M gustoa manometarskog fluida, a gustoa fluida koji protjee kroz Venturijevu cijev. Stoga, teoretski protok moe se izraunati i mjerenjem visine h koju pokazuje diferencijalni manometar:

Stvarni protok je manji od teoretskog jer uzima u obzir viskoznost fluida i gubitke protjecanja kroz suenje, a to se izraava koeficijentom gubitaka Cd.

Koeficijent Cd ovisi o veliini Reynoldsovog broja i omjeru A1/A2. Tako npr., kod dobro izraene Venturijeve cijevi koeficijent Cd kree od 0,96 do 0,99 (vee vrijednosti kod veeg Reynoldsovog broja). Openito, koeficijenti gubitaka svih ovih vrsta instrumenta za mjerenje protoka mogu se odrediti

koritenjem dijagrama s krivuljama (eksperimentalno odreenih od proizvoaa) ili pak koritenje empirijskih formula za pojedina podruja Reynoldsovog broja i omjera povrina A2/A1.

z=0

A1

A2

12

Qv1 v2

M

h

12 h

2

h1

M >

2 2

2 1

2 ( )

1 /

Mg h

Q AA A

1 2

2 2

2 1

2

1 /st d

p pQ C A

A A

Ukoliko je gustoa m fluida M je manja od gustoe fluida koji protjee kroz cijev, U-manometar se postavlja prema gore, a kao to je prikazano na slici.

U to sluaju, jednadba manometra je oblika:

odakle slijedi razlika tlaka

Stoga, teoretski protok kroz cijev moe se izraunati pomoi izraza:

1 1 2 2

1 2 2 2

1 2 2 2

1 2

( )

M

M

M

M

p g h g h g h p

p g h h g h g h p

p g h g h g h g h p

p g h g h p

1 2 ( )Mp p g h

2 2

2 1

2 ( )

1 /

Mg h

Q AA A

z=0

A1

A2

2

Q

v1

v2

M

h

12h

2

h1

M < 1

Venturijeva cijev ima primjenu i kod mlazne pumpe (ejektora).

Naime, ako je sueni presjek Venturijeve cijevi jako mali, tada brzina strujanja fluida na tom mjestu postaje vrlo velika. Time dinamiki tlak naglo raste, a statiki tlak naglo pada i postaje negativan (manji od atmosferskog). To znai da na tom mjestu fluid ne bi izlazio iz cijevi, ve bi okolini fluid u nju ulazio. Ova se pojava koristi za pogon ejektora, odnosno ureaja ija je zadaa da odreeni fluid izbaci iz nekog prostora.

PRIMJER:

Venturijeva cijev ugraena je u koso postavljeni cjevovod. Diferencijalni manometar mjeri razliku tlakova u presjecima 1 (promjera D) i 2 (promjera d).

Potrebno je odrediti protok preko razlike visine fluida h izmeu presjeka 1 i 2 koju pokazuje diferencijalni manometar.

Rjeenje:

Za referentnu horizontalnu ravninu odabrana je os z koja prolazi kroz presjek 1 tako da su geodetske visine z1 i z2. Ukoliko se prema slici

razmatra stacionarno neviskozno strujanje idealnog fluida izmeu presjeka 1 i 2 moe se napisati Bernoullijeva jednadba, a koja uz z1=0 ima oblik:

D

d

Q v1

v2

M

h

1

2

z=0

x

z1

z 2

Rjeenje:

Za referentnu horizontalnu ravninu odabrana je os z koja prolazi kroz presjek 1 tako da su geodetske visine z1 i z2. Ukoliko se prema slici razmatra

stacionarno neviskozno strujanje idealnog fluida izmeu presjeka 1 i 2 moe se napisati Bernoullijeva jednadba, a koja uz z1=0 ima oblik:

Ukoliko se pretpostavi da je strujanje u presjecima 1 i 2 jednoliko, moe se napisati jednadba kontinuiteta:

D

d

Q v1

v2

M

h

1

2

z=0

x

z1

z 2

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

1 1 2 2

2

2 2

2 2

p v p vz z

g g g g

p v p vz

g g g g

1 1 2 2

2 2

1 24 4

Q v A v A

D dQ v v

Kombinirajui Bernoullijevu jednadbu i jednadbu kontinuiteta moe dobiti izraz za razliku tlaka u obliku:

Mnoenjem zadnjeg izraza s g dobiva se

D

d

Q v1

v2

M

h

1

2

z=0

x

z1

z 2

2

1 2

1

22

1 2 2 2

2 2

1

22

1 2 2 2

2 2

1

22

1 2 2

2 1 2

1

2 2

1

2 2

1 /2

Av v

A

p A p vv z

g g A g g

p p v Av z

g g g g A

p p vA A z

g g g

22

1 2 2

2 1 2

22

2

1 2 2 1 2

1 / ( )2

1 /2

p p vA A z g

g g g

vp p A A g z

Jednadba manometra je oblika

koja daje izraz za razliku tlaka

Kombinirajui dobivena dva izraza za razliku tlaka moe se napisati

to nakon prebacivanja visina stupaca fluida na jednu stranu dovodi do izraza

D

d

Q v1

v2

M

h

1

2

z=0

x

z1

z 2

1 1 2 2

1 2 2

1 2 2

1 2 2

( ) ( )

M

M

M

M

p g h g h g h p

p g x h g h g x z p

p g h g x g h g x g z p

p g h g h g z p

1 2 2Mp p g h g z g h

2

222 1 2 21 /

2M

vA A g z g h g z g h

222

2 1 2 2

222

2 1

1 /2

1 / ( )2

M

M

vA A g h g z g h g z

vA A g h

Kako je v2=Q/A2, gornji izraz se moe napisati i kao:

to daje izraz za protok

Iz izraza za protok oito je da visinska razlika izmeu presjeka 1 i 2 nije potrebna jer se promjena u lanu geodetske visine u Bernoullijevoj jednadbi ponitava u jednadbi manometra. Stoga, visinska razlika izmeu presjeka 1 i 2 ne utjee na protok, te je mjerenjem razlike visine h, tj. otklona koju pokazuje diferencijalni manometar mogue odrediti protok.

D

d

Q v1

v2

M

h

1

2

z=0

x

z1

z 2

2

222 1

( / )1 / ( )

2M

Q AA A g h

222

2 1

2 2

2 2

2 1

2

2 2 4

2 1

( / )1 / ( )

2

12 ( )

1 /

2 ( ) 2 ( )

41 / 1 /

M

M

M M

Q AA A g h

Q A g hA A

g h g hdQ A

A A d D

PRIMJER:

Kroz vertikalnu Venturijevu cijev prikazanoj na slici 3-25, protjee ulje gustoe =800 kg/m3. Mjerni fluid u diferencijalnom manometru je iva gustoe M=13560 kg/m

3. Ukoliko je protok Q=40 lit/s, a koeficijent gubitaka Cd=0,96

potrebno je odrediti:

a) razliku tlaka prije i poslije suenja,

b) razliku visine, tj. otklon h manometra.

D

d

Q

v2

M

h

1

2

z=0

x

z1

15

0 m

m

x

h2

h1

z2

v1

Rjeenje:

Kao referentna horizontalna ravnina odabrana je ravnina z koja prolazi kroz toku 1. Razlika tlaka moe se odrediti postavljajui Bernoullijevu jednadbu izmeu toaka 1 i 2.

U gornjem izrazu su pored statikih tlakova p1 i p2 nepoznanice su brzine v1 i v2, a koje se mogu izraunati iz jednadbe kontinuiteta kao:

odakle slijede izrazi za brzine

2 2

1 1 2 2

1 22 2

p v p vz z

g g g g

1 1 2 2

2 2

1 24 4

d d

d d

Q C v A C v A

D dQ C v C v

D

d

Q

v2

M

h

1

2

z=0

x

z1

150 m

mx

h2

h1

z2

v11

1

2

2

d

d

Qv

C A

Qv

C A

Uvrtenjem izraza za brzine u Bernoullijevu jednadbu moe se dobiti izraz za razliku tlaka:

odakle slijedi razlika tlaka

D

d

Q

v2

M

h

1

2

z=0

x

z1

15

0 m

m

x

h2

h1

z2

v1

2 2

1 2

2 12 2 2

2 1

2

1 2

2 12 2 2

2 1

2

1 2

2 12 2 2 2 2

2

1 2

2 12 2 4 4

1 2

1( )

2

1 1( )