Dinamika tacke 3 - samo primeri - Poljoprivredni fakultetpolj.uns.ac.rs/~mehanika/Dinamika tacke 3 -...
Transcript of Dinamika tacke 3 - samo primeri - Poljoprivredni fakultetpolj.uns.ac.rs/~mehanika/Dinamika tacke 3 -...
Primer 4.15 Na delu od B do C materijalna tačka mase m kreće se po glatkoj vezi (kretanje uz strmu ravan), dok se od C do K kreće kroz vazduh, kako je to na slici prikazano. Zanemariti sile otpora pri kretanju. Ako je brzina na početku kretanja iznosila odrediti domet L (rastojanje )? Veličine , m, s i g
0V
0VCK
Brzinu tačke na mestu C najlakše ćemo odrediti primenom teoreme o promeni kinetičke energije tačke pri njenom kretanju po glatkoj vezi (od tačke B do tačke C) gde samo sila težine vrši rad (Sl.1):
smartati poznatim?
,CBkBkC AEE −=− ( ) ,CBCB gmAA −− = r⇒⋅−=− o
C smgVm
Vm
45sin22
20
2
⇒−= gsVVC 220
2gsVVC 22
0 −=
Na slici 2 prikazana je, u proizvo-ljnom položaju, jedina sila koja dejstvuje na materijalnu tačku pri njenom kretanju u drugoj fazi (od tačke C do tačke K).
U toj fazi kretanja početni trenutak odgovara položaju tačke na mestu C, što znači da je i svaka-ko . Za izabran koordinatni sistem i nacrtan vektor početne brzine , početni uslovi su:
0=Ct0>Kt
CVr
( ) ,00 =x ( ) ,00 =y ( ) ,22
45cos0 0CC VVx ==& ( ) .
2
245sin0 C
oC VVy ==&
Projekcije drugog Njutnovog zakona na ose i integracije:
⇒−=⇒−= gdtyd
mgym&
&&
Konstanta , zbog
1Cgtydtgydgdtyd +−=⇒−=⇒−= ∫∫ &&&
2
21 CVC = ( )
2
20 CVy =& ( ) ⇒+−=⇒
22
CVgtty&
⇒
+−= dtVgtdy C 22
2
2
22
222
CtVt
gydtVgtdy CC +⋅+−=⇒
+−= ∫∫
Konstanta , zbog 02 =C ( ) ⇒= 00y ( ) .2
2
2
2
tVt
gty C ⋅+−=
.00 3Cxdtxd
xm =⇒=⇒= &&
&& Konstanta , zbog ( ) ⇒=22
0 CVx&22
3 CVC =
( ) ⇒=2
2CVtx& ⇒=
2
2CV
dt
dx⇒⋅= dtVdx C 2
2 ⇒= ∫∫ dtVdx C 2
2
.2
24CtVx C +⋅= Konstanta , zbog 04 =C ( ) ⇒= 00x ( ) .
2
2tVtx C ⋅=
Određivanje dometa L:
( ) KCK tVtxL ⋅==2
2
( ) ⇒= 0Kty ⇒⋅+−= KCK tV
tg
2
2
20
2
⇒⋅
+−= KCK tV
tg
2
2
20
,2g
Vt C
K = jer je .0>Kt
.222
2 20
2
sg
V
g
V
g
VVL CC
C −==⋅=⇒
Primer 4.16 Na delu od B do C materijalna tačka mase m kreće se po glatkoj vezi, dok se od C do K kreće kroz vazduh, kako je to na slici prikazano. Zanemariti sile otpora pri kretanju.Ako je brzina na
početku kretanja iznosila odrediti reakciju veze na mestu C(neposredno pre napuštanja veze) i domet L (rastojanje )? Veličine
gRV 20 =
OKm, R i g smartati poznatim.
Brzina tačke na mestu C:,CBkBkC AEE −=− ( ) ,CBCB gmAA −− = r
−⋅=−⇒2
322
20
2 RRmgV
mV
mC
⇒=−⇒ gRgRVC 542 gRVC 3=
Drugi Njutnov zakon na mestu C: ,CC Ngmam
rrr += gRVa CCN 92 ==0
0 60cos9 mgNgmn C −=⋅r
mgNC 2
19=⇒
Na slici 2 prikazana je, u proizvo-ljnom položaju, jedina sila koja dejstvuje na materijalnu tačku pri njenom kretanju u drugoj fazi (od tačke C do tačke K). U toj fazi kre-tanja početni trenutak odgovara položa-ju tačke na mestu C, što znači da je i svakako . Za izabran koordina-tni sistem i nacrtan vektor početne brzi-ne , početni uslovi su:
0=Ct0>Kt
CVr
( ) ,00 =x ( ) ,0 Ry = ( ) ,60cos0 0CVx =& ( ) .60sin0 0
CVy =&
Projekcije drugog Njutnovog zakona na ose i integracije:
⇒−=⇒−= gdtyd
mgym&
&&
Konstanta , zbog
1Cgtydtgydgdtyd +−=⇒−=⇒−= ∫∫ &&&
23
1 CVC = ( )23
0 CVy =& ( ) ⇒+−=⇒23
CVgtty&
⇒
+−= dtVgtdy C 23
2
2
23
223
CtVt
gydtVgtdy CC +⋅+−=⇒
+−= ∫∫
Konstanta , zbog RC =2 ( ) ⇒= Ry 0 ( ) RtVt
gty C +⋅+−=2
3
2
2
.00 3Cxdtxd
xm =⇒=⇒= &&
&& Konstanta , zbog ( ) ⇒=2
0 CVx&
23CV
C =
( ) ⇒=2CV
tx& ⇒=2CV
dtdx
⇒⋅= dtV
dx C
2⇒= ∫∫ dt
Vdx C
2.
2 4CtV
x C +⋅=
Konstanta , zbog 04 =C ( ) ⇒= 00x ( ) .2
tV
tx C ⋅=
Određivanje dometa L:
( ) ⇒= 0Kty
⇒+⋅+−= RtgRt
g KK
2
33
20
2
⇒=−⋅− 02332 RtgRgt KK
( ) ⇒+±= gRgRgRg
tK 827332
1
( )35332
1 +=g
RtK ( ) ⇒⋅==⇒ K
CK t
VtxL
2( )RL 3533
4
3 +=
Primer 4.17 Na delu od B do C materijalna tačka mase m kreće se po glatkoj vezi (kretanje niz strmu ravan), dok se od C do K kreće kroz vazduh, kako je to na slici prikazano. Zanemariti sile otpora pri kretanju. Ako je tačka započela kretanje bez početne brzine odrediti brzinu na mestu K (neposredno pre pada na podlogu) i domet L (rastojanje )? Veličineh, m, s i g smartati poznatim?
OK
Brzina tačke na mestu C:
,CBkBkC AEE −=− ( ) ,CBCB gmAA −− = r
02 30sin02
smgVm
C ⋅=−⇒
⇒=⇒ gsVC2 gsVC =
Na slici 2 prikazana je, u proizvoljnom položaju, jedina sila koja dejstvuje na materijalnu tačku pri njenom kretanju u drugoj fazi (od tačke C do tačke K).U toj fazi kre tanja početni trenutak odgovara položa-ju tačke na mestu C, što znači da je i svaka-ko . Za izabran koordinatni sistem i nacrtan vektor početne brzi-ne , početni uslovi su:
0=Ct0>Kt
CVr
( ) ,00 =x ( ) ,00 =y
( ) ,30cos0 0CVx =& ( ) .30sin0 0
CVy =&
Projekcije drugog Njutnovog zakona na ose i integracije:
⇒=⇒= gdtyd
mgym&
&&
Konstanta , zbog
1Cgtydtgydgdtyd +=⇒=⇒= ∫∫ &&&
21CV
C = ( )2
0 CVy =& ( ) ⇒+=+=⇒
22gs
gtV
gtty C&
Konstanta , zbog 02 =C ( ) ⇒= 00y
⇒
+= dtV
gtdy C
2⇒
+= ∫∫ dtV
gtdy C
22
2
22Ct
Vtgy C +⋅+=
( ) tVt
gty C ⋅+=22
2
.00 3Cxdtxd
xm =⇒=⇒= &&
&& Konstanta , zbog ( ) ⇒=23
0 CVx&23
3 CVC =
( ) ⇒=23
CVtx& ⇒=23
CVdtdx
⇒⋅= dtVdx C 23 ⇒= ∫∫ dtVdx C 2
3
.23
4CtVx C +⋅= Konstanta , zbog 04 =C ( ) ⇒= 00x ( ) .23
tVtx C ⋅=Određivanje dometa L:
( ) ⇒= sty K⇒=−⋅+⋅ 022 stVtg KCK ⇒=−⋅+⋅ 022 stgstg KK
( )g
sgsgsgs
gtK =++−= 8
2
1
( ) ⇒⋅== KCK tVtxL23
sg
sgsL ⋅=⋅⋅=
2
3
2
3
Brzina na mestu K (neposredno pre pada):
( ) ,2
3gstx K =& ( )
2gs
gs
gty K +=&
( ) jgsigstVV KK
rrrr
2
3
2
3 +==⇒
( ) ( ) gstytxV KKK 322 =+=⇒ &&
toj fazi kre tanja početni trenutak odgovara položaju tačke na mestu C, što znači da je i svaka-
Na slici 2 prikazana je, u proizvoljnom položaju, jedina sila koja dejstvuje na materijalnu tačku pri njenom kretanju u drugoj fazi (od tačke C do tačke K). U
Primer 4.18 Na delu od B do C materijalna tačka mase m kreće se po gla-tkoj vezi, dok se od C do K kreće kroz vazduh, kako je to na slici prikazano.
Zanemariti sile otpora pri kretanju. Ako je tačka započela kretanje bez početne brzine odrediti domet L (rastojanje )? Veličine m, H, h i g smartati poznatim.
OK
Brzina tačke na mestu C:
,CBkBkC AEE −=− ( ) ,CBCB gmAA −− = r
⇒⋅=− HmgVm
C 02
2gHVC 2=
ko . Za izabran koordinatni sistem i nacrtan vektor početne brzi-ne , početni uslovi su:
0>Kt
CVr
0=Ct
( ) ,00 =x ( ) ,0 hy =( ) ,0 CVx =& ( ) .00 =y&
Projekcije drugog Njutnovog zakona na ose i integracije:
⇒−=⇒−= gdtyd
mgym&
&&
Konstanta , zbog
1Cgtydtgydgdtyd +−=⇒−=⇒−= ∫∫ &&&
Konstanta , zbog
01 =C ( ) ⇒= 00y& ( ) gtty −=& ⇒−=⇒ gtdtdy dttgdy ∫∫ −=
.2 2
2
Ct
gy +−=⇒ hC =2 ( ) ⇒= hy 0 ( )2
2tghty −=
.00 3Cxdtxd
xm =⇒=⇒= &&
&& Konstanta , zbog ( ) ⇒= CVx 0&CVC =3
⇒= CVdtdx ⇒= dtVdx C
⇒= ∫∫ dtVdx C.4CtVx C +⋅=
Konstanta , zbog 04 =C ( ) ⇒= 00x ( ) .tVtx C ⋅=Određivanje dometa L:
( ) CVtx =&
( ) ⇒= 0Kty
⇒−=2
02
Ktgh .2g
htK =
( ) ⇒⋅== KCK tVtxL
Hhg
hgHL 2
22 ==
Brzine tačke na mestima C i D:
Na delu od B do C materijalna tačka mase m kreće se kroz glatku cev, dok se od C do K kreće kroz vazduh, kako je to na slici prikazano. Zanemariti sile otpora pri kretanju. Ako je brzina na početku kretanja iznosila odrediti reakcije na mestima D i C (neposredno pre napuštanja veze) i domet L (rastojanje )? Veličine m, R i g smartati poznatim.
gRV 50 =
OK
,CBkBkC AEE −=− ( ) CBCB gmAA −− = r
⇒⋅−=−⇒ RmgVm
Vm
C 222
20
2
⇒−=− gRgRVC 452 gRVC =
,DBkBkD AEE −=− ( ) DBDB gmAA −− = r
⇒⋅−=−⇒ RmgVm
Vm
D2
02
22
⇒−=− gRgRVD 252 gRVD 3=
Drugi Njutnov zakon na mestu C:
,CC Ngmamrrr += gRVa CCN == 2
⇒+=⋅⇒ mgNgm C 0=CN
Drugi Njutnov zakon na mestu D:
,DD Ngmamrrr += gRVa DDN 32 ==
⇒+=⋅⇒ 03 DNgm mgND 3=
Druga faza kretanja (od C do K):
( ) ,00 =x ( ) ,00 =y ( ) ,0 CVx =& ( ) .00 =y&
⇒=⇒= gdtyd
mgym&
&& 1Cgtydtgydgdtyd +=⇒=⇒= ∫∫ &&&
Konstanta , zbog 01 =C ( ) ⇒= 00y& ( ) gtty =& ⇒=⇒ gtdtdy ⇒= ∫∫ dttgdy
.2 2
2
Ct
gy += Konstanta , zbog 02 =C ( ) ⇒= 00y ( ) .2
2tgty =
.00 3Cxdtxd
xm =⇒=⇒= &&
&& Konstanta , zbog ( ) ⇒= CVx 0&CVC =3
⇒= CVdt
dx ⇒= dtVdx C⇒= ∫∫ dtVdx C
.4CtVx C +⋅=
( ) CVtx =&
Konstanta , zbog 04 =C ( ) ⇒= 00x ( ) .tVtx C ⋅=
Određivanje dometa L:
( ) ⇒= Rty K
( ) ⇒⋅== KCK tVtxL
⇒=2
2KtgR
g
Rt K
2=
Rg
RgRL 2
2 ==
Primer 4.20 Na delu od B do C materijalna tačka mase m kreće se po glatkoj kružnoj vezi, dok se od C do K kreće kroz vazduh, kako je to na slici prikazano. Zanemariti sile otpora pri kretanju. Ako je odrediti kolika je morala biti brzina na početku kretanja (na mestu B) i koliko iznosi reakcija veze na mestu C (neposredno pre napuštanja veze). Veličine m, R i g smartati poznatim.
23ROK =
0V
Da bi iskoristili činjenicu što je domet poznat proučimo prvo drugu fazu kretanja (kosi hitac).Na slici 2 prikazana je, u proizvoljnom položaju, jedina sila koja dejstvuje na materijalnu tačku pri njenom kretanju u toj fazi (od tačke C do tačke K). Pri ovom kosom hicu početni trenutak odgovara položajutačke na mestu C, što znači da je i svakako . Za izabran koordinatni sistem i nacrtan vektor početne brzine , početni uslovi su:
0=Ct 0>Kt
CVr
( ) ,00 =x ( ) ,2
0R
y = ( ) ,2
60cos0 0 CC
VVx ==& ( ) .
23
60sin0 0CC VVy ==&
Projekcije drugog Njutnovog zakona na ose i integracije:
⇒−=⇒−= gdtyd
mgym&
&&
Konstanta , zbog
1Cgtydtgydgdtyd +−=⇒−=⇒−= ∫∫ &&&
2
31 CVC = ( ) ⇒= .
23
0 CVy& ( )2
3CVgtty +−=&
⇒
+−=⇒ dtVgtdy C 23
⇒
+−= dtVgtdy C 2
3
⇒
+−= ∫∫ dtVgtdy C 2
3.
2
3
2 2
2
CtVt
gy C +⋅+−=
Konstanta , zbog 22
RC = ( ) ⇒=
20
Ry ( )
22
3
2
2 RtV
tgty C +⋅+−=
.00 3Cxdtxd
xm =⇒=⇒= &&
&& Konstanta , zbog ( ) ⇒=2
0 CVx&
23CV
C =
⇒=2CV
dtdx ⇒= dt
Vdx C
2⇒= ∫∫ dt
Vdx C
2.
2 4CtV
x C +⋅=
Konstanta , zbog 04 =C ( ) ⇒= 00x ( ) .2
tV
tx C ⋅=
( )2CV
tx =&
Određivanje brzine tačke na mestu C:
( ) ,23ROKtx k == ( ) ⇒= 0kty ,22
3K
C tV
R ⋅=22
3
20
2 RtV
tg KC
K +⋅+−=
Ako na osnovu prve, u drugu jednačinu uvrstimo da je , dobićemo:3RtV KC =⋅
⇒= RgtK 42 ⇒=gR
tK 2 .23
gRVC =
Sada, kada se zna brzina tačke na mestu C, brzinu tačke na mestu Bnajlakše ćemo odreditiprimenom teoreme o promeni kinetičke ene-rgije tačke pri njenom kretanju po glatkoj vezi (od tačke B do tačke C) gde samo sila težine vrši rad:
,CBkBkC AEE −=− ( ) CBCB gmAA −− = r
⇒
−⋅−=−⇒222
20
2 RRmgV
mV
mC
⇒−=− gRVVC2
02
⇒+= gRgRV4
320 .
2
70 gRV =
Određivanje reakcije veze na mestu C: Drugi Njutnov zakon na mestu C, neposredno pre napuštanja veze (Sl.1), daje
Projekcija drugog Njutnovog zakona na normalu, s obzirom da je , daje
.CC Ngmamrrr +=
432 gRVa CCN ==⇒−=⋅ 060cos
4
3mgN
gm C .
4
5mgNC =
Primer 4.21 Na delu od B do C materijalna tačka mase m kreće se po glatkoj kružnoj vezi, dok se od C do K kreće kroz vazduh, kako je to na slici prikazano. Zanemariti sile otpora pri kretanju. Reakcija veze na mestu C, neposredno pre napuštanja veze, iznosi Odrediti jednačine kretanja na delu od C do K (vreme t na mestu C usvojiti da iznosi nula) za kordinatni sistem prikazan na slici i kolika je morala biti brzina na početku kretanja (na mestu B)? Veličine m, R i g smartati poznatim.
.22mgNC =
0V
Za određivanje brzine na mestuC, napi-šimo drugi Njutnov zakon na tom mestu, neposredno pre napuštanja veze (Sl.1):
,CC Ngmamrrr += ⇒= RVa CCN
2
⇒+=⋅ 02
45sinmgNR
Vm C
C
⇒=⋅ 22
mgR
Vm C .2gRVC =
Sada kada se zna , brzinu tačke na mestu B najlakše ćemo odrediti primenom teoreme o promeni kinetičke energije pri njenom kretanju po glatkoj vezi (od tačke B do tačke C) gde samo sila težine vrši rad (Sl.1):
CV
,CBkBkC AEE −=− ( ) ⇒= −− CBCB gmAAr
( )020 45sin
22
2RRmgV
mgR
m +⋅−=−
( )⇒+⋅−=−⇒ 222 20 RgVgR
( )⇒+= 21220 gRV
( ).2120 += gRV
( ) ,00 =x ( ) ,00 =y ( ) ,22
45cos0 0CC VVx ==& ( ) .
2
245sin0 C
oC VVy ==&
⇒−=⇒−= gdtyd
mgym&
&&
Konstanta , zbog
1Cgtydtgydgdtyd +−=⇒−=⇒−= ∫∫ &&&
2
21 CVC = ( )
2
20 CVy =& ( ) ⇒+−=⇒
22
CVgtty&
⇒
+−= dtVgtdy C 22
2
2
22
222
CtVt
gydtVgtdy CC +⋅+−=⇒
+−= ∫∫
Druga faza kretanja (kosi hitac):
Prvo odrediti brzinu V i reakciju veze N u funkciji ugla ϕ a zatim naći te iste veličine na mestima D i C? Za koji ugao će reakcija veze N iznositi nula? Veličine m, R i g smartati poznatim.
Konstanta , zbog 02 =C ( ) ⇒= 00y ( ) .2
22
2
2
tgRt
gty ⋅+−=
.00 3Cxdtxd
xm =⇒=⇒= &&
&& Konstanta , zbog ( ) ⇒=22
0 CVx&22
3 CVC =
( ) ⇒=2
2CVtx& ⇒=
2
2CV
dt
dx⇒⋅= dtVdx C 2
2 ⇒= ∫∫ dtVdx C 2
2
.2
24CtVx C +⋅= Konstanta , zbog 04 =C ( ) ⇒= 00x ( ) .
2
22 tgRtx ⋅=
Primer 4.22 Materijalna tačka mase m kreće se kroz glatku kružnu cev od B do C u vertikalnoj ravni homogenog polja sile Zemljine teže. Brzina na mestu B(početna brzina) iznosi
.2
230 gRV =
ϕ=ϕ
Kinetičku energiju materijalne tačke u početnom položaju označimo sa , a u
proizvoljnom, određenom uglom ϕ , sa . Sa A označimo sumu radova svih sila koje dejstvuju na tačku pri njenom premeštanju iz početnog u proizvoljni položaj. Zbog glatke veze pri kretanju rad vrši jedino sila težine . Brzinu V na proizvoljnommestu, određenom uglom ϕ, dobićemo primenom teoreme o promeni kinetičke energije tačke pri njenom kretanju od početnog do proizvoljnog položaja:
gmr
0kE
kE
⇒=− AEE kk 0 ( )⇒=− gmAVm
Vm r2
02
22⇒ϕ−=⋅− cos
2
23
222 mgRgR
mV
m
( ) .cos22
23 ϕ−=ϕ gRgRV
Reakcija veze N, na proizvoljnom mestu, definisanom uglom ϕ, dobiće se na osnovu projekcije drugog Njutnovog zakona, na normalu:
,Ngmamrrr += ⇒=−ϕ=
R
VaNmgma NN
2
,cos ⇒−ϕ=R
VmmgN
2
cos
⇒
ϕ−−ϕ= cos2223
cos ggmmgN ( ) .2
23cos3 mgmgN −ϕ=ϕ
Sada, imajući funkcije i , brzine i reakcije na mestima C i Dmožemo dobiti uvrštavanjem u ove funkcije za ugao ϕ vrednosti 0 i :
( )ϕV ( )ϕN
2π
( ) ,22
230 gRVVD
−== ,2
23
2gRVVC =
π=
( ) ,2
2330 mgNND
−== .2
23
2
23
2mgNmgN C =⇒−=
π
Pošto je rezultat za negativnog predznaka to znači da reakcija ima suprotan smer od . Dakle, kao što se vidi na slici, smer za , nije od centra kruga O, već ka centru. Upravo mesto , gde važi da je reakcija , je mesto na kom se menja smer reakcije veze. Odredimo sada , koristeći uslov da je :
( )2πNCN
r
Nr
CNr
ϕ=ϕ ( ) 0=ϕNϕ
( ) 0=ϕN
( ) ⇒=−ϕ=ϕ 02
23cos3 mgmgN ⇒=ϕ
2
2cos .45
4o=π=ϕ
Međutim, ovde glatka cev prestaje na mestu D, i dalje, do mesta C, zamenjuje je glatka cilindrična površina. Da li su izrazi za i identični kao u primeru 4.22? Da li će tačka i u ovakvom slučaju napustiti cilindričnu površinu ranije, ne došavši do mesta C? Veličine m, R i g smartati poznatim.
Primer 4.23 Materijalna tačka mase m ima veoma slično kretanje kao u primeru 4.22. Tačka započi-nje kretanje kroz glatku cev sa mesta B početnom brzinom.
.2
230 gRV =
( )ϕV ( )ϕN
Izrazi za i će sigurno biti identični kao i u primeru 4.22, pošto bi se do njih moglo doći na potpuno identičan način kao u tom primeru. Do odvajanja tačke od cilindrične površine mora doći, i to na mestu gde bi reakcija veze trebala da promeni smer. Međutim, do promene smera ne može doći, već do odvajanja, pošto takva cilindrična površina, koja je jednostrana veza, može da ima reakciju samo u smeru od centra. Prema tome, tačka ne može doći do mesta C jer će se od od mesta odvajanja kretati slobodno, kosim hicem.
( )ϕV ( )ϕN
ϕ=ϕ
Primer 4.24 Na delu od B do C mate-rijalna tačka mase m kreće se po gla-tkoj vezi bez početne brzine. Od C do K se kreće po horizontalnoj nauljenoj podlozi, gde se kretanju suprotstavlja
zS
sila viskoznog trenja , proporcionalna prvom stepenu brzine. Za kretanje od C do K odrediti: zakon brzine , zakon puta i pređeni put
do zaustavljanja . Veličine m, k, h i g smartati poznatim.
VmkFw
rr−=
Za kretanje od B do C (Sl.1) teorema o promeni kinetičke energije, odrediće :
( )tx& ( )tx
CV
,CBkBkC AEE −=− ( ) CBCB gmAA −− = r⇒⋅=−⇒ hmgV
mC 0
22
.2ghVC =Za kretanje od C do K, drugi Njutnov zakon za x pravac daje diferencijalnu jednačinu
⇒−= xmkxm &&& .xkdt
xd&
& −=
Zakon brzine će se dobiti razdvajanjem promenljivih, integraljenjem i korišćenjem početnog uslova :
( )tx&
( ) ghVx C 20 ==&
⇒−= ∫∫ dtkxxd
&
&,ln 1Ctkx +⋅−=& ⇒= ghC 2ln1 ⇒−=− ktghx 2lnln &
⇒−= ktgh
x
2ln
& ( ) .2 kteghtx −=&
Daljim integraljenjem, za početni uslov dobiće se zakon puta :( ) ,00 =x ( )tx
⇒= ∫∫− dteghdx kt2 ,
22Ce
k
ghx kt +−= − ⇒=
k
ghC
22 ( ) ( ).1
2 ktek
ghtx −−=
Eliminacijom iz i , dobija sekte − ( )tx& ( )tx .2
12
−=
gh
x
k
ghx
&
U dobijenoj vezi između x i zaustavni put će biti x kada je brzina :
x&
0=x&.
20 k
ghxS
xz == =&
Prema drugom načinu za određivanje veze između veličina x i treba inte-graliti diferencijalnu jednačinu kretanja uz korišćenje identiteta
x&
( ) :xdxxddtxd &&& = ⇒−== xkxdx
xd
dt
xd&&
&&
zbog
⇒−=∫ ∫ dxkxd&
,3Ckxx +−=& ghC 23 = ⇒== ghxx
20
& .2
0 k
ghxS
xz == =&