DIKTAT PENDUKUNG KALKULUS I K0424
-
Upload
arseno-r-harahap -
Category
Documents
-
view
276 -
download
2
Transcript of DIKTAT PENDUKUNG KALKULUS I K0424
Diktat Pendukung
KALKULUS I K0424
Drs. Sangadji, M.Sc., Ph.D.D1808
F S T
UNIVERSITAS BINA NUSANTARA
JAKARTA
DAFTAR ISI
halaman
DAFTAR ISI 2
KATA PENGANTAR 4
ABSTRAK 5
BAB 1. LIMIT FUNGSI 6
BAB 2. KEKONTINUAN FUNGSI 12
BAB 3. DERIVATIF FUNGSI 16
BAB 4. EKSTREM FUNGSI 29
BAB 5. LIMIT BENTUK TAK TERTENTU DAN RUMUS KHAS LIMIT 32
BAB 6. PENERAPAN DERIVATIF 37
BAB 7. INTEGRAL TIDAK TERTENTU 44
BAB 8. RUMUS-RUMUS REDUKSI 45
BAB 9. SUBSTITUSI GONIOMETRI 47
BAB 10. INTEGRASI FUNGSI RASIONAL 50
BAB 11. INTEGRAL TERTENTU 53
BAB 12 APLIKASI INTEGRAL 56
BAB 13 DERIVATIF PARSIAL DARI FUNGSI DUA PEUBAH 65
BAB 14 EKSTREM DARI FUNGSI DUA PEUBAH 69
BAB 15 BILANGAN KOMPLEKS 71
BAB 16 BARISAN TAK BERHINGGA DAN DERET TAK BERHINGGA 77
BAB 17 DERET POSITIF 82
BAB 18 DERET ALTERNATING 87
BAB 19 DERET PANGKAT 89
BAB 20 DERET MACLAURIN DAN DERET TAYLOR 91
DAFTAR PUSTAKA 93
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kita panjatkan kepada Allah s.w.t. atas limpahan rahmat dan karuniaNya,
sehingga saya dapat menyelesaikan penyusunan Diktat Pendukung Kalkulus I K0424 ini.
Mudah-mudahan diktat ini dapat bermanfaat dan khususnya dapat membantu para
mahasiswa dan memperlancar jalannya perkuliahan. Atas kesalahan maupun kekurangan yang
ada dalam diktat ini, penulis mohon maaf dan mohon saran untuk perbaikannya.
Akhirnya penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu
penerbitan diktat ini, khususnya Angger Aji Winanto.
Jakarta, November 2010
Penulis,
Drs. Sangadji, M.Sc., Ph.D.
ABSTRAK
Penulisan diktat ini dimaksudkan untuk membantu pembaca, terutama mahasiswa yang mengambil mata kuliah Kalkulus I K0424 dengan 4 sks. Diktat ini terdiri dari 20 bab. Tidak semua topik-topik dalam Kalkulus I dapat tertampung dalam diktat pendukung ini. Bab 1 tentang limit fungsi, Bab 2 tentang kekontinuan fungsi, Bab 3 mengenai derivatif fungsi, Bab 4 tentang ekstrem fungsi, Bab 5 mengenai limit bentuk tak tertentu dan rumus khas limit, Bab 6 tentang penerapan derivatif, Bab 7 tentang integral tidak tertentu, Bab 8 mengenai rumus-rumus reduksi, Bab 9 tentang substitusi goniometri, Bab 10 tentang integrasi fungsi rasional, Bab 11 tentang integral tertentu, Bab 12 mengenai aplikasi integral, Bab 13 mengenai derivatif parsial dari fungsi dua peubah, Bab 14 mengenai ekstrem dari fungsi dua peubah, Bab 15 mengenai bilangan kompleks, Bab 16 mengenai barisan tak berhingga dan deret tak berhingga, Bab 17 tentang deret positif, Bab 18 tentang deret alternating, Bab 19 tentang deret pangkat, dan Bab 20 tentang deret MacLaurin dan deret Taylor.Kata-kata kunci: Kalkulus, Kalkulus Dasar.
BAB 1. LIMIT FUNGSI
Definisi 1.1
Diberikan fungsi dengan domain dan kodomain di mana and
Bila untuk setiap terdapat sedemikian sehingga untuk setiap di mana
, berlaku , maka kita katakan limit dari untuk x mendekati
adalah dan kita tulis
y
L+ε y=f (x)
L L–ε
O x0–δ x0 x0+δ x
Gambar 1.1
Contoh 1.1
Diberikan fungsi dari ke dengan Akan kita perlihatkan bahwa
Untuk setiap terdapatlah sedemikian sehingga untuk setiap , di mana
atau berlaku, i.e.
berlaku.
Jadi dengan definisi di atas kita simpulkan bahwa
Contoh 1.2
Pandang fungsi g dari ke dengan Kita akan
memperlihatkan bahwa
Dalam hal ini Perlu dicatat bahwa untuk
Untuk setiap terdapatlah sedemikian sehingga untuk setiap , di
mana , berlaku, yaitu
berlaku. Jadi dengan definisi di atas kita simpulkan bahwa
Definisi 1.2
Misalkan suatu fungsi dengan domain dan kodomain di mana dan
Bila untuk setiap terdapat sedemikian sehingga untuk setiap di
mana , berlaku, maka kita katakan bahwa limit kiri dari untuk
mendekati adalah , dan kita tulis
Definisi 1.3
Misalkan suatu fungsi dengan domain dan kodomain di mana dan
Bila untuk setiap terdapat sedemikian sehingga untuk setiap di
mana , berlaku, maka kita katakan bahwa limit kanan dari
untuk adalah dan kita tulis
Catatan
Notasi untuk limt kiri dan limit kanan di atas berturut-turut dapat disajikan dengan
and
Definisi 1.4
Misalkan suatu fungsi dengan domain dan kodomain di mana and
Bila untuk setiap terdapat sedemikian sehingga untuk setiap di
mana , berlaku, maka kita katakan bahwa limit dari untuk
mendekati adalah dan kita tulis
Untuk kasus kita tulis
dan untuk kasus kita tulis
Definisi 1.5
Misalkan suatu fungsi dengan domain dan kodomain di mana and
Bila untuk setiap terdapat sedemikian sehingga untuk setiap di
mana berlaku, maka kita katakan bahwa limit dari untuk is
dan kita tulis
Untuk kasus kita tulis
dan untuk kasus kita tulis
Contoh 1.3
Pandang fungsi dari ke dengan aturan
Menggunakan kurva fungsi mudah disimpulkan bahwa
and
Karena limit kiri dan limit kanan tidak sama, kita simpulkan bahwa
tidak eksis.
y
O x
-1
Gambar 1.2
Contoh 1.4
Pandang suatu fungsi dari ke dengan aturan
Menggunakan kurva dari , mudah disimpulkan bahwa
,
y
O x
Gambar 1.3
Contoh 1.5
Pandang suatu fungsi h dari ke dengan aturan
Menggunakan kurva dari fungsi , tidaklah sulit untuk disimpulkan bahwa
,
,
y
o (1,2) 1
x
-1 O
Gambar 1.4Sifat-sifat limit fungsi
Misalkan fungsi-fungsi dan konstanta. Sifat-sifat di bawah ini berlaku:
1. 6.
2. 7.
3. 8.
4. 9.
5. 10.
Catatan
Rumus-rumus 6 and 7 adalah kejadian khusus rumus 8.
Soal-soal
Carilah nilai limit dari fungsi-fungsi aljabar dan goniometri di bawahini:
1. 5. 9.
2. 6. 10.
3. 7. 11.
4. 8. 12. .
BAB 2. KEKONTINUAN FUNGSI
Definisi 2.1
Misalkan suatu fungsi dengan domain dan kodomain di mana and
Bila untuk setiap terdapat sedemikian sehingga untuk setiap di mana
, berlaku, maka kita katakan fungsi kontinu di
y
f (x0)+ε y=f (x)
f (x0) f (x0)–ε
O x0–δ x0 x0+δ x
Gambar 2.1
Definisi 2.1 kenyataannya ekivalen dengan definisi berikut ini.
Definisi 2.2
Misalkan suatu fungsi dengan domain dan kodomain di mana dan
Fungsi f kontinu di bila ketiga syarat di bawah ini dipenuhi, yaitu
(i). eksis atau terdifiisikan di dalam
(ii). eksis di dalam
(iii).
Contoh 2.1
Pandang fungsi dari ke dengan Karena tidak eksis,
fungsi f tidak kontinu di di Tetapi, kontinu untuk setiap
y
O 3 x -1/3
Gambar 2.2Contoh 2.2
Pandang fungsi dari ke dengan aturan
Mudah untuk dicek bahwa
and
sehingga g tidak kontinu di Tetapi, kontinu untuk setiap
y
x o-1
Gambar 2.3
Bila suatu fungsi F kontinu untuk setiap , kita katakana bahwa fungsi F kontinu
pada A. Setiap polinomial kontinu pada domainnya. Setiap fungsi rasional tidak kontinu di titik-
titik yang merupakan nilai nol dari penyebutnya, tetapi kontinu di titik-titik lainnya.
Setiap fungsi kuadrat dari R ke R adalah kontinu pada R.
Tetapi fungsi rasional dari ke R tidak kontinu di
maupun di dan kontinu pada .
Sifat-sifat fungsi kontinu
1. Bila fungsi-fungsi dan kontinu di maka fungsi-fungsi and juga
kontinu di , di mana Diperluas, titik di atas dapat diperluas ke himpunan bagian A dari R. Untuk kejadian khusus yang ke tiga, bila k adalah konstan sembarang, maka fungsi kf is juga kontinu bila f kontinu.
y
M o
f
m o a b
x O
Gambar 2.4
2. Teorema Nilai Ekstrem: Bila fungsi f kontinu pada selang [a, b], maka f dapat mencapai nilai minimumnya m dan
nilai maksimumnya M pada selang [a, b]. y
c f
O a x0 b
Gambar 2.5
3. Teorema Nilai Antara:
Bila suatu gungsi f kontinu pada selang [a, b] dengan maka untuk setiap bilangan real c dengan atau terdapatlah sekurang-kurangnya satu
bilangan real yang memenuhi
Soal-soal
Selidiki kekontinuan setiap fungsi dari fungsi-fungsi berikut ini:
1. dari R ke R.
2. dari ke R.
3. dari ke R.
4. dari R ke R.
5. dari ke R.
6. dari R to R di mana adalah the bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan
7. dari R ke R.
8. dari ke R.
9. dari ke R.
10. dari ke R.
BAB 3. DERIVATIF FUNGSI
Definisi 3.1
Diberikan fungsi f dengan domain dan kodomain . Untuk suatu
bila
eksis dan nilainya di dalam R, maka kita katakan bahwa f diferensiabel di dan derivatif dari f di x0 adalah nilai limit tersebut. Dalam hal ini kita tulis
Bila nilai limit di atas tidak eksis, maka kita katakana f tidak diferensiabel di
Fungsi dari domainnya ke R disebut fungsi derivatif dari fungsi f.
Bila fungsi f diferensiabel untuk setiap maka kita katakana bahwa f diferensiabel pada A.
Contoh 3.1
Diberikan fungsi dari R ke R. Untuk bilangan real sembarang maka
Jadi untuk sembarang bilangan real , diferensiabel di dan derivatif dari
adalah fungsi dari R ke R.
Contoh 3.2
Diberikan fungsi dari R ke R. Untuk bilangan real sembarang R , maka
Jadi, untuk bilangan real sembarang R , diferensiabel di , dan derivatif dari
adalah fungsi dari R ke R.
Sifat-sifat derivatif fungsi
1. 4.
2. 5.
3. 6.
Rumus-rumus derivatif fungsi-fungsi fundamental
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Soal-soal 3.1
Tentukan derivatif dari fungsi-fungsi berikut :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Soal-soal 3.2
Carilah derivative dari fungsi-fungsi berikut:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Derivatif dari fungsi komposit
Pandang fungsi-fungsi
Sebagai kejadian khusus dari aturan rantai, kita peroleh
Contoh 3.3
1. Carilah dari fungsi komposit dengan substitusi
Ambil fungsi Maka kita peroleh
dan dengan aturan rantai di ats kita peroleh
Dengan cara biasa, kita harus menghitung dulu
Kemudian diperoleh
Jelas bahwa aturan rantai lebih baik dari cara biasa.
Contoh 3.4
Carilah dari fungsi komposit dengan substitusi
Ambil fungsi-fungsi Maka kita peroleh
dan dengan aturan rantai kita dapatkan hasil
Contoh 3.5
Carilah dari fungsi
Menggunakan definisi dari fungsi yang diberikan di atas, kita peroleh
dengan Kemudian
Menggunakan cara ini kita juga bisa mencari derivative dari fungsi-fungsi
Soal-soal 3.3
Carilah derivatif dari fungsi-fungsi di bawah ini:
1. 16.
2. 17.
3. 18.
4. 19.
5. 20.
6. 21.
7. 22.
8. 23.
9. 24.
10. 25.
11. 26.
12. 27.
13. 28.
14. 29.
15. 30.
Derivatif tingkat tinggi
Pandang fungsi diferensiabel dengan Dapat kita tulis
sebagai derivatif pertama dari Bila diferensiabel, maka dapat ditulis
sebagai derivatif ke dua dari Bila diferensiabel, dapat ditulis juga
sebagai derivatif ke tiga dari
Secara umum , dapat ditulis
sebagai derivatifke-n dari
Contoh 3.6
Carilah dari fungsi
Pertama,kita hitung
dan kemudian kita hitung
Contoh 3.7
Carilah dari fungsi dan
Pertama kita hitung
Dan kemudian kita hitung
Jelas, diperoleh
Soal-soal 3.4
1. Carilah dari fungsi dan juga (1).
2. Carilah dari fungsi dan juga
3. Carilah dari fungsi
4. Carilah dari fungsi , di mana A, B adalah konstan dan
5. Carilah dari fungsi
6. Carilah dari fungsi , di mana a, b adalah konstan dan
7. Carilah dari fungsi
8. Carilah dari fungsi
9. Carilah dari fungsi
10. Carilah dari fungsi
11. Tentukan dari fungsi
12. Tentukan dari fungsi konstan.
13. Tentukan dari fungsi
Soal-soal 3.5
Carilah dari setiap fungsi-fungsi di bawah ini:
1. konstan; 5.
2. 6.
3. 7.
4. 8.
Derivatif dari fungsi implisit
Suatu persamaan pada selang tertentu dapat menentukan y sebagai fungsi
dari x secara implisit. Sebagai contoh, misalnya
Derivatif dari y terhadap x, yaitu or dapat diperoleh dengan cara:
a) Ubah bentuk implisit ke bentuk y sebagai fungsi eksplisit dari x, misalnya
Kemudian cari derivatifnya secara biasa.
b) Dari , dapatkan Kemudian cari menggunakan aturan
rantai.
Contoh 3.8
Carilah dari fungsi implisit
a) Karena kita peroleh Kemudian,
b) Karena kita peroleh , ,
or
Contoh 3.9
Carilah dari fungsi implisit
a) Karena kita peroleh Kemudian,
b) Karena kita peroleh
, ,
Soal-soal 3.6
Carilah dan juga dari fungsi-fungsi implicit di bawah ini:
1. 9.
2. 10.
3. 11.
4. 12.
5. 13.
6. 14.
7. 15.
8. 16.
Derivatif dari fungsi parameter
Pandang fungsi parameter; yaitu y sebagai fungsi dari x disajikan dengan
di mana f and g sebagai fungsi dari parameter t. Note Perlu dicatat bahwa dengan eliminasi t
menggunakan y = f (t) dan x = g (t) pada umumnya kita mendapatkan y sebagai fungsi dari x.
Derivatif dari y terhadap x is disajikan dengan
Contoh 3.10
Diberikan fungsi parameter
di mana t parameter. Bila kita eleminasi t, kita peroleh Jelas
Menggunakan rumus di atas, kita peroleh juga
yang sama dengan hasil sebelumnya.
Contoh 3.11
Diberikan fungsi parameter
di mana konstan-konstan dan t parameter. Bila kita eleminasi t, kita peroleh
Menggunakan rumus di atas, kita juga mendapatkan
Soal-soal 3.7
Carilah dan juga dari fungsi-fungsi parameter ini:
1. di mana a and b konstan positif.
2. di mana a konstan positif.
3. di mana A konstan positif.
4. di mana A is konstan positif.
5. Cari juga di t = 1.
6. Cari juga di t = 2.
7. di mana a is a konstan positif.
8. di mana A dan B konstan positif.
9. di mana A dan B konstan positif.
10. di mana A konstan positif.
BAB 4.EKSTREM FUNGSI
Fungsi-fungsi naik dan turun
Definisi 4.1
Suatu fungsi dikatakan naik pada selang bila untuk setiap
dengan maka berlaku . Suatu fungsi dikatakan
turun pada selang bila untuk setiap dengan maka berlaku
Bila suatu fungsi naik atau turun pada kita katakan kurvanya berturut-turut naik
atau turun pada . If pada maka f naik pada . If pada
maka f turun pada . Sebagai contoh sederhana, the fungsi turun pada
dan naik pada
Nilai-nilai ekstrem (maksimum atau minimum)
Bila maka disebut titik kritis dari fungsi f. Jelas bahwa fungsi
punya titik kritis di
Bila and maka f mencapai maksimumnya (relatif atau lokal) di
dan nilainya adalah If and maka g mencapai minimumnya
(relatif atau lokal) di dan nilainya adalah
Untuk mencari maksimum atau minimum absolut dari suatu fungsi pada selang yang
diberikan, kita memerlukan pengamatan lebih lanjut pada selang tersebut.
Sebagai contoh sederhana, fungsi achieves mencapai minimum absolutnya di
pada R dan nilainya 5. Sedangkan fungsi mencapai maksimum absolutnya di
pada R dan nilainya 0. Fungsi tidak punya maksimum pada R, sedangkan
fungsi tidak punya minimum pada R.
Kecekungan dan kecembungan
Definisi 4.2
Kurva disebut cekung atas (cembung bawah) pada bila untuk setiap
titik yang terletak di kurva f pada , garis singgungnya terletak di bawah kurva dari f.
Kurva disebut cekung bawah (cembung atas) pada bila untuk setiap titik yang
terletak di kurva f pada , garis singgungnya terletak di atas kurva dari f.
Kurva pada R cekung atas sedangkan kurva pada R is cekung bawah.
Bila pada selang , kurva f cekung atas pada . Bila
pada selang , kurva f is cekung bawah pada .
Definisi 4.3
Titik belok dari kurva f adalah titik di kurva f di mana terjadi perubahan dari cekung atas
ke cekung bawah atau dari cekung bawah ke cekung atas.
Bila and maka kurva f punya titik belok di . Kurva dari
fungsi punya titik belok di
Soal-soal 4.1
1. Diberikan fungsi pada R.
(i) Tentukan di mana kurva dari fungsi tersebut naik atau turun.
(ii) Tentukan titik-titik belok dari kurva fungsi tersebut.
(iii) Tentukan nilai-nilai ekstrem dari fungsi tersebut.
2. Tentukan di mana kurva dari fungsi on R naik atau turun.
2 3. Pandang fungsi kuadrat pada R. Buktikan:
(i) Bila maka fungsi tersebut mencapai minimumnya di dan nilainya
(ii) Bila maka fungsi tersebut mencapai maksimumnya di dan nilainya
3 4. Tentukan titik di parabola yang berjarak minimum terhadap titik (2, 4).
5. Tentukan nilai-nilai ekstrem dari fungsi pada R dan titik-titik belok dari
kurvanya. Sket kurva dari fungsi tersebut.
6. Jumlah dua bilangan real adalah 150. Berapakah nilai dari bilangan-bilangan tersebut agar
hasil kalinya maksimum.
7. Tentukan titik-titik belok dari kurva fungsi-fungsi berikut:
(i) (ii) (iii)
8. Tentukan titik-titik belok dari kurva fungsi-fungsi berikut:
(i) (ii) (iii)
BAB 5. LIMIT BENTUK TAK TERTENTU DAN RUMUS KHAS LIMIT
Bentuk tak tertentu dari 0/0 ( Aturan L’Hopital)
Diberikan bilangan real a. Bila dan diferensiabel dan
untuk semua x pada selang , dan bila and maka
bila eksis atau tak berhingga.
Catatan:
Aturan L’Hopital masih sahih bila diganti dengan limit kiri atau limit kanan, yaitu
or .
Bentuk tak tertentu
Kesimpulan dari Aturan L’Hopital tidak berubah, bila satu atau kedua perubahan berikut
dipakai dalam hipotesisnya:
1. “ and ” diganti dengan “ dan .”
2. “ bilangan real a “ diganti dengan “ atau ” dan “ ” diganti
dengan “ ”
Contoh 5.1
1. c konstan;
2.
3.
4. di mana konstan,
Cara mengubah bentuk tak tertentu yang lain ke 0/0
1. Bentuk tak tertentu
Bila dan maka ubah
2. Bentuk tak tertentu
Bila dan maka ubah
3. Bentuk tak tertentu
Bila dan maka ubah
4. Bentuk tak tertentu
Bila and maka ubah
5. Bentuk tak tertentu
Bila dan maka ubah
6. Bentuk tak tertentu
Bila dan maka ubah
Contoh 5.2
Soal-soal 5.1
Carilah nilai limit-limit di bawah ini:
1. 10.
2. 11.
3. 12.
4. 13.
5. 14.
6. 15.
7. 16.
8. 17.
9. 18.
Rumus khas limit
Menggunakan rumus adalah jelas bahwa, bila
maka Bila maka
maka
Contoh 5.3
1.
2.
Soal-soal 5.2
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4. 8.
BAB 6. PENERAPAN DERIVATIF
A. Menentukan garis-garis singgung dan normal
Diberikan fungsi diferensiabel pada R. Misalkan titik terletak di
kurva dari fungsi f. Misalkan garis k adalah garis singgung di P terhadap kurva dari f. Misalkan
garis l lewat P and dan tegak lurus k. Maka l disebut garis normal di P terhadap kurva f.
Misalkan sudut antara k dan sumbu-x. Kemiringan atau gradien dari garis singgung k adalah
Jadi persamaan garis singgung k adalah
dan persamaan garis normal l adalah
k
y
P
l
O Q S R x
Gambar 6.1
Misalkan garis singgung k memotong sumbu-x di titik Q dan garis normal l memotong
sumbu-x di titik R.. Maka disebut panjang subtangen dari k di P, and
disebut panjang subnormal dari l di P (lihat Gambar 6.1).
Contoh 6.1
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik A(2, 8) terhadap kurva dari fungsi
Tentukan juga panjang subtangen dari garis singgung dan panjang subnormal
dari garis normal di A.
Karena diperoleh . Jelas bahwa titik A di kurva dari f. Persamaan garis
singgung di A terhadap f adalah atau
Persamaan garis normal l di A terhadap f adalah
y=f(x)
or
Titik potong k dan sumbu-x adalah (4/3, 0). Jadi panjang subtangen dari k di A adalah
. Titik potong l dan sumbu-x adalah (98, 0). Jadi panjang subnormal dari l di A
adalah
Soal-soal 6.1
1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di terhadap kurva
. Tentukan juga panjang subtangen dari garis singgung dan subnormal dari garis
normal di P.
2. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal terhadap parabola di
titik-titik potong parabola dan sumbu-x.
3. Titik P dengan terletak di kurva Tentukan persamaan garis singgung dan
garis normal terhadap kurva tersebut di titik P.
4. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal terhadap kurva di
titik
5. Buktikan bahwa persamaan garis singgung terhadap parabola dengan gradien
is
6. Buktikan bahwa persamaan garis singgung terhadap elips di titik yang
terletak pada elips tersebut adalah
B. Soal-soal tentang maksimum atau minimum
Diberikan fungsi diferensiabel pada selang . Bila and
maka f mencapai maksimumnya (relatif atau lokal) di dan nilainya
sedangkan bila and maka f mencapai minimumnya (relatif atau lokal) di
dan nilainya
Contoh 6.2
Bagilah bilangan 120 menjadi dua bilangan, sedemikian sehingga jumlahnya 120 dan
hasil kali bagian pertama dan kuadrat bagian kedua maksimum.
Misalkan bagian pertama dan x bagian kedua. Maka
adalah hasil kali bagian pertama dan kuadrat bagian kedua , di mana Jelas,
dan Untuk 80 diperoleh and
Dengan hasil ini dan pengamatan kelakuan fungsi pada
selang , dapat kita simpulkan bahwa maksimum dari dicapai untuk
and
Soal-soal 6.2
1. Carilah persamaan garis lurus lewat titik (3,4) yang memotong kuadran dalam suatu segitiga
dengan luas minimum.
2. Buktikan bahwa segitiga sama sisi dengan tinggi 3r adalah segitiga sama kaki dengan luas
terkecil yang melingkupi dan menyinggung lingkaran berjari-jari r.
3. Suatu empat persegi panjang dilingkupi oleh elips (titik-titik sudutnya terletak
pada elips) di mana sisi-sisinya sejajar sumbu-sumbu elips. Tentukan ukuran empat persegi
panjang tersebut supaya (a) luasnya maksimum dan (b) kelilingnya maksimum.
C. Gerak pada garis lurus
Gerak partikel P sepanjang garis lurus dapat digambarkan dengan persamaan ,
di mana t adalah waktu dan s adalah jarak berarah P dari titik O pada lintasannya.
Kecepatan P pada waktu t adalah v = Bila v > 0 maka P bergerak dengan arah
naiknya s, sedangkan bila v < 0 P bergerak dengan arah turunnya s.
Kelajuan dari P adalah nilai absolut dari kecepatannya.
Percepatan atau akselerasi dari P adalah Bila a > 0 maka v naik dan bila
a < 0 maka v turun. Bila v dan a bertanda sama, kelajuan P naik . Bila v dan a bertanda sama,
kelajuan P naik If v and a tandanya berlainan, kelajuan P turun.
Contoh 6.3
Suatu bodi bergerak sepanjang garis lurus dengan persamaan , di mana s
dalam kaki dan t dalam detik . Tentukan kecepatan dan percepatannya setelah dua detik.
Contoh 6.4
Suatu partikel bergerak sepanjang garis lurus dengan persamaan di
mana s dalam kaki dan t dalam detik .
(a) Tentukan s and a ketika v=0. (d) Kapan v naik?
(b) Tentukan s and v ketika a=0. (e) Kapan arah gerak berubah?
(c) Kapan s naik?
Jelas bahwa
(a) Ketika v=0, t = 1 & t =3. Ketika t = 1, s = 8 & a = -6. Ketika t = 3, s = 4 & a = 6.
(b) Ketika a = 0, t = 2. Ketika t = 2, s = 6 and v = -3.
(c) s is decreasing when v > 0, yaitu ketika t < 1 dan t >3.
(d) v naik ketika a > 0, yaitu ketika t > 2.
(e) Arah gerak berubah ketika v = 0, dan Dengan (a) arah gerak berubah ketika t = 1 dan t
= 3.
Soal-soal 6.3
Untuk soal-soal berikut ini, satuan-satuan yang dipakai adalah kaki dan detik.
1. Suatu partikel bergerak sepanjang garis lurus dengan persamaan Tentukan
posisi partikel terhadap posisi awal (t = 0) at 0, tentukan arah dan kecepatannya, dan
tentukan percepatannya naik atau turun ketika (a) t = ½, (b) t = 3/2, (c) t = 5/2, (d) t = 4.
2. Jarak lokomotif dari dari suatu titik tertentu pada lintasan garis lurus pada waktu t diberikan
oleh persamaan Kapan lokomotif tersebut berbalik arah?
3. Suatu bodi bergerak sepanjang garis horizontal menurut persamaan
(a) Kapan s naik or turun?
(b) Kapan v naik atau turun?
(c) Kapan kelajuan bodi naik atau turun?
4. Suatu partikel bergerak sepanjang garis horizontal menurut persamaan
(a) Kapan kelajuan partikel naik atau turun? (b) Kapan arah gerak berubah? (c) Tentukan
jarak total yang ditempuh setelah 5 detik.
5. Suatu partikel bergerak sepanjang garis lurus dengan persamaan di
mana s dalam kaki dan t dalam detik.
(a) Tentukan s and a ketika v = 0. (d) Kapan v naik?
(b) Tentukan s and v ketika a = 0. (e) Kapan arah gerak berubah?
(c) Kapan s naik?
6. Lintasan partikel yang bergerak sepanjang garis lurus diberikan oleh persamaan
di mana s dalam kaki dan t dalam detik.
(a) Tentukan s and a ketika v = 0. (d) Kapan v naik?
(b) Tentukan s and v ketika a = 0. (e) Kapan arah gerak berubah?
(c) Kapan s naik?
D. Solusi pendekatan persamaan
Pandang persamaan Bila solusi eksak atau akar-akarnnya sulit dicari, kita
gunakan metode Newton-Raphson untuk mencari solusi pendekatannya. Dalam hal ini
diasumsikan and kontinu.
Prosedur metode Newton-Raphson :
1. Pilih atau tebak pendekatan pertama dari Sket dari kurva akan membantu.
2. Gunakan pendekatan pertama untuk mencari pendekatan ke dua, yang ke dua untuk mencari
yang ke tiga dan seterusnya memakai rumus
.1
3. Kita dapat mengakhiri proses iterasi setelah pendekatan ke-n ketika
is relatif kecil.
Contoh 6.5
Tentukan akar positif dari persamaa
Jelas, rumus Newton-Raphson di atas menjadi
Untuk memakai perhitungan dengan efisien, kita tulis lagi formula di atas yang lebih baik, yaitu
Dengan memilih atau menebak diperoleh .
Soal-soal 6.4
Menggunakan metode Newton-Raphson, tentukan akar-akar pendekatan dari persamaan-
persamaan berikut:
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4. 8.
Soal-soal 6.5
1
1. Menggunakan metode Newton-Raphson, estimasikan di mana kurva memotong garis
lurus .
2. Menggunakan metode Newton-Raphson, estimasikan di mana kurva memotong
parabola
3. Menggunakan metode Newton-Raphson, estimasikan di mana kurva memotong
parabola
4. Menggunakan metode Newton-Raphson, estimasikan di mana kurva memotong
parabola dalam selang
BAB 7. INTEGRAL TIDAK TERTENTU
Definisi 7.1
Bila d pada suatu selang dari R maka fungsi dapat disebut
integral tidak tertentu atau antiderivatif dari pada interval tersebut, dan kita tulis
Dalam ekspresi fungsi dapat disebut integran.
Contoh-contoh 7.1
1. Diberikan pada R. Jelas, pada R. Kita dapat
menulis
2. Diberikan pada R. Jelas, pada R. Dapat kita tulis
Sifat-sifat integral tidak tertentu
1.
2.
3. c konstan sembarang.
4. Metode substitusi: Bila dan maka
5. c konstan sembarang.
6. Integrasi parsial:
BAB 8. RUMUS-RUMUS REDUKSI
Menggunakan integrasi parsial, kita dapat menurunkan rumus-rumus reduksi berikut:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Contoh 8.1
Turunkan rumus reduksi:
Menggunakan integrasi parsial, dapat diperoleh:
Maka
dan dengan pembagian oleh m kita peroleh hasil:
Contoh 8.2
Derive the reduction formula:
Using integration by parts we get
Soal-soal
Turunkan rumus-rumus 2, 3, 4, 5, dan 7 di atas menggunakan integrasi parsial.
BAB 9. SUBSTITUSI GONIOMETRI
Beberapa integrasi dapat diredusir menggunakan substutusi goniometri berikut:
a) Bila integran mengandung gunakan substitusi or
b) Bila integran mengandung gunakan substitusi
c) Bila integran mengandung gunakan substitusi
Contoh 9.1
Carilah menggunakan substitusi
Jelas bahwa Maka
Contoh 9.2
Carilah menggunakan substitusi
Jelas bahwa Maka
Contoh 9.3
Carilah menggunakan substitusi
Jelas bahwa Maka
Kita dapat menurunkan rumus-rumus berikut ini:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Soal-soal 9.1
Carilah integral-integral di bawah ini menggunakan substitusi yang sesuai:
1. 7.
2. 8.
3. 9.
4. 10.
5. 11.
6. 12.
BAB 10. INTEGRASI FUNGSI RASIONAL
Suatu fungsi dengan dan polinomial disebut fungsi
rasional. Bila derajat lebih kecil dari derajat , maka disebut
fungsi rasional sejati, bila tidak demikian disebut fungsi rasional tidak sejati.
Suatu fungsi rasional tidak sejati dapat dinyatakan sebagai jumlah dari suatu polinomial
dan suatu fungsi rasional sejati. Fungsi rasional sejati sembarang dapat dinyatakan sebagai
jumlah dari fungsi-fungsi rasional yang lebih sederhana yang penyebut-penyebutnya berbentuk
and , m and n bilangan-bilangan bulat positif.
Contoh 10.1
Carilah
Sebelum melakukan integrasi, kita perlu mengubah integran sebagai berikut.
Sehingga diperoleh dan ini memberikan
Jadi
Contoh 10.2
Carilah
Kita selesaikan langsung menggunakan metode yang telah dibicarakan di atas.
Contoh 10.3
Carilah
Sebelum melakukan integrasi, kita perlu mengubah integran sebagai berikut.
Sehingga kita peroleh dan ini memberikan
Jadi
Contoh 10.4
Carilah
Sebelum melakukan integrasi, kita perlu mengubah integran sebagai berikut.
dalam hal ini untuk setiap
Sehingga diperoleh dan ini memberikan
Jadi
Problems
Tentukan integral-integral berikut menggunakan metode yang dibicarakan di atas:
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4. 8.
BAB 11 INTEGRAL TERTENTU
Bila disebut integral
tertentu dari f (x) dengan batas bawah a dan batas atas b, di mana a and b konstan.
Contoh 11.1
Tentukan .
Karena maka
Contoh 11.2
Tentukan
Karena maka
Contoh 11.3
Tentukan
Karena maka
Sifat-sifat integral tertentu
1.
2.
3.
4.
5.
6. Integrasi parsial untuk integral tertentu:
7. Bila kontinu pada maka terdapat sedemikian sehingga
8. Bila then
Contoh 11.4
Tentukan
Contoh 11.5
Tentukan
Soal-soal
Tentukan nilai dari integral-integral tertentu di bawah ini:
1. 7.
2. 8.
3. 9.
4. 10.
5. 11.
6. 12.
BAB 12. APPLIKASI INTEGRAL
A. Luas daerah pada bidang datar
Diberikan fungsi kontinu nonnegatif on interval Luas A dari daerah
R pada bidang yang dibatasi oleh sumbu-x, garis-garis vertikal dan
diberikan oleh
Lebih jauh, luas A dari daerah R pada bidang yang dibatasi oleh kurva-kurva
dari fungsi-fungsi kontinu kontinu dan dengan sumbu-x,
garis-garis vertikal dan diberikan oleh
y
A
O x
Gambar 12.1
Contoh 12.1
Carilah luas daerah pada bidang plane yang dibatasi oleh parabola
sumbu_x, garis dan garis .
Luas daerah tersebut diberikan oleh
Contoh 12.2
Carilah luas daerah pada bidang yang dibatasi oleh parabola , dan garis
lurus .
Titik-titik potong parabola dan garis lurus adalah titik asal dan titik
Jadi luas daerah yang ditanyakan adalah
Contoh 12.3
Carilah luas daerah pada bidang yang dibatasi oleh kurva dari fungsi
garis dan garis
Titik potong kurva dari fungsi dan garis adalah titik Jadi luas
daerah yang ditanyakan adalah
2
1
O x
Gambar 12.2
B. Volume dari benda pejal putar
Diberikan fungsi kontinu nonnegatif pada selang Daerah R dari
bidang yang dibatasi oleh kurva dari fungsi sumbu-x , garis-garis vertikal
dan diputar mengelilingi sumbu-x. Maka, volume V dari benda pejal putar
yang terjadi, diberikan oleh
y
0 a b x
Gambar 12.3
Contoh 12.4
Daerah pada bidang yang dibatasi oleh kurva dari fungsi sumbu-x, dan
garis-garis vertikal and diputar mengelilingi sumbu-x. Carilah volume benda
pejal putar yang terjadi.
Volume V dari benda pejal yang terjadi, adalah
Contoh 12.5
Carilah volume bola dengan jari-jari R.
Volume V dari bola dengan jari-jari R adalah
Contoh 12.6
Daerah pada bidang xOy yang dibatasi oleh kurva sumbu-y, garis-garis
horizontal dan , diputar mengelilingi sumbu-y. Carilah volume benda pejal
putar yang terjadi.
Volume V dari benda pejal yang terjadi, adalah
C. Panjang busur
Diberikan fungsi pada selang di mana kontinu pada selang
Panjang busur AB dari kurva fungsi di mana dan
diberikan oleh
y
B
A
O a b x
Gambar 12.4
Diberikan fungsi parameter
,
di mana dan kontinu pada Misalkan
Maka, panjang L dari busur AB diberikan oleh
Contoh 12.7
Carilah panjang busur dari kurva dari titik asal ke titik
Contoh 12.8
Carilah panjang busur dari kurva dari ke
D. Luas dari luasan putar
Diberikan fungsi pada selang di mana and kontinu pada
Busur AB dari kurva and yaitu A dan B pada kurva
diputar mengelilingi sumbu-x. Maka, luas A dari luasan putar yang terjadi,
diberikan oleh
y
B
A
O a b x
Figure 12.5
Contoh 12.9
Busur dari kurva dari diputar mengelilingi sumbu-x. Carilah
luas A dari luasan putar yang terjadi.
Contoh 12.10
Carilah luas A dari bola dengan jari-jari R.
Menggunakan fungsi
Soal-soal
1. Carilah luas daerah-daerah pada bidang yang dibatasi oleh kurva-kurva:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
2. Daerah pada bidang yang dibatasi oleh kurva-kurva
diputar mengelilingi sumbu-x. Carilah volume
dari benda pejal putar yang terjadi.
3. The region of plane bounded by parabola
is revolved about axis. Find the volume of the solid of revolution.
4. The region of plane bounded by the graph and
is revolved about axis. Find the volume of the solid of revolution.
5. Find the length of the circumference of the circle
6. Find the length of arc of the curve from the point to the point
7. Find the length of arc of the curve from the point to the point
8. Find the length of arc of the curve
1. Find the length of arc of the curve
2. The arc of the graph of from to is revolved about x axis. Find the
area A of the surface of revolution.
3. The arc of the graph of from to is revolved about y axis. Find the
area A of the surface of revolution.
4. The arc of the graph of from to is revolved about x axis. Find the
area A of the surface of revolution.
CHAPTER 13. PARTIAL DERIVATIVES OF
A FUNCTION OF TWO VARIABLES
Partial derivatives
Given as a function of two independent variables x and y. If x varies
but y is fixed, then z is a function of x and the derivative of z with respect to x is given
by
and it is called the partial derivative of with respect to x.
Conversely, if y varies but x is fixed, then z is a function of y and the derivative of
z with respect to y is given by
and it is called the partial derivative of with respect to y.
Example 13.1
Given Then,
Example 13.2
Given Then,
Example 13.3
Given Then,
Partial derivatives of higher orders
The partial derivative of can be differentiated partially with
respect to x and y, yielding the second partial derivatives
Also, from can be obtained
If and its partial derivatives are continuous, it can be proved that the
order of differentiation is immaterial, i.e.
Example 13.4
Given Then,
Example 13.5
Given Then,
Partial derivatives of implicit functions
If z is defined implicitly as a function of independent variables x and y by the
equation then the partial derivatives and can be determined by
the method shown in the following examples.
Example 13.6
Find and of the implicit function
Similarly,
Problems
1. Find and of the function
2. Find and of the implicit function
3. Find and of the function
4. Find and of the function
5. Find and of the implicit function
6. Find and of the implicit function
7. Given Show that
8. Given Show that
9. Given Prove:
10. Given Prove:
CHAPTER 14. EXTREME OF A FUNCTION OF TWO VARIABLES
Given a function where its partial derivatives of first and second
orders exist. If at we have and , then the point is called the
critical point of f.
If at the critical point
Then f yields a relative (local) minimum at and its value is
If at the critical point
Then f yields a relative (local) maximum at and its value is
If at the critical point
Then f does not yield a relative maximum nor a relative minimum at .
If at the critical point
then we can not conclude anything aout the extreme of f.
Example 14.1
Investigate the extreme of the function
Equations and give the critical point
Obviously, For the critical point
then f yields a relative (local)
minimum at and its value is
Problems
1. Investigate the extremes of the following functions:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
2. Determine positive numbers such that:
a)
b)
c)
d)
3. a) The surface area of a right open box is . Find the maximum volume
possible.
a) The volume area of a right open box is . Find the minimum surface area
possible.
CHAPTER 15. COMPLEX NUMBERS
The system of complex numbers
Every real number satisfies Therefore, no real number satisfying
A complex number is a number with the form where a and b are real
numbers, i is an imaginary unit satisfying If is a complex number then
a is called a real part of z and b an imaginary part of z. We can write
Two complex numbers are equal if and The set of all
real numbers R is a subset of the set of all complex numbers C. A complex number
is called a (pure) imaginary number.
If then is called a conjugate of z. For instance,
Fundamental operations
1. Addition:
2. Subtraction:
3. Multiplication:
4. Division:
Absolute value (modulus)
The absolute value (modulus) of a complex number is
For example
If and are complex numbers the following properties hold:
1.
2.
3. triangle inequality;
4. triangle inequality.
Fundamental properties
If are complex numbers then the following properties hold:
1. commutativity for addition;
2. commutativity for multiplication;
3. assosiativity for addition;
4. assosiativity for multiplication;
5. distributivity;
6.
7.
8.
9.
10.
Polar form of complex numbers
If is a complex number in Cartesian form then z can be expressed in
polar form using the following rule:
Make sure to choose the correct
For example,
De Moivre theorem
If
De Moivre theorem:
If
Roots of a complex number
A complex number w is called an root of a complex number z if
Written by Using De Moivre Theorem, we get the following formula.
Formula to find roots of a complex number:
If then
Euler formula
Using Euler formula we can get:
Example 15.1
Given Calculate:
a) b) c) d)
a)
b)
c)
d)
Example 15.2
Show that for all complex numbers z and w: a) b)
Let Then,
a)
b)
Example 15.3
Find all complex numbers w satisfying i.e. to find all
We write in polar form, i.e.
Then, using the formula to find roots of a complex number we get
Problems
1. Given Find:
a) b) c)
d) e) f)
2. Find:
a) b) c)
d) e) f)
3. Calculate:
a)
b)
c)
d)
4. Prove:
a) b)
CHAPTER 16. INFINITE SEQUENCES AND SERIES
Infinite sequence
An infinite sequence is a function of n whose domain is N
andd its values are numbers.
An infinite sequence is called bounded if there exist some numbers P and Q
such that for every n, As an example, the sequence is bounded
since for every n, As another example, the sequence is not
bounded since there is no Q such that for every n,
An infinite sequence is called monotonically increasing or increasing if
for every n. An infinite sequence is called monotonically decreasing or
decreasing if for every n.
An infinite sequence is called strictly increasing if for every n. An
infinite sequence is called strictly decreasing if for every n.
A sequence is called to converge to a finite number s as limit, written by
if for every positive number there exists a positive integer N such that
for every positive integer If the sequence has a limit it is called a
convergent sequence; otherwise it is called a divergent sequence. A sequence is
called to diverge to if for every positive number M there exists a positive integer N
such that for every positive integer written by
A sequence is called to diverge to if for every positive number M there exists a
positive integer N such that for every positive integer written by
A sequence is called to diverge to if for every positive number
M there exists a positive integer N such that for every positive integer ,
written by
Theorems on sequences
1. Every bounded increasing (decreasing) sequence is convergent.
2. Every unbounded sequence is divergent.
3. A convergent (divergent) sequence remains convergent (divergent) when any or all of
its first n terms are altered.
4. The limit of a convergent sequence is unique.
5. is a constant.
6.
7.
8.
9. If is a sequence of nonzero terms and
10.
11.
Example 16.1
Show that the sequence is convergent.
The sequence is bounded since for all n. The sequence
is increasing since for all n.
Hence using Theorem 1 on sequences, is convergent.
Example 16.2
Show that the sequence is divergent.
Since the sequence is unbounded.
By Theorem 2 on sequences we conclude that the sequence is divergent.
Problems 16.1
1. Investigate whether the following sequences are bounded, decreasing, increasing,
convergent or divergent:
a) b) c) d)
2. Prove Theorem 10 on sequences.
Infinite series
Let be an infinite sequence. We define the infinite series
as the following sequence of partial sums :
The numbers are the terms of the series
If is a finite number, then the series is called to converge and S is called
its sum. If does not exist, then the series is called to diverge. A series diverges
either because or because, as n increases, increases or decreases without
approaching a limit. An example of the first is the series 1+1+1+1+… whereas an
example of the latter is the series .
Since any series is a sequence, hence the theorems above on sequences can be applied
on series. The following are more theorems on series.
Theorems on series
1. A convergent (divergent) series remains convergent (divergent) after any or all of its
first n terms are altered.
2. The sum of a convergent series is unique.
3. If converges to S, then is any constant, converges to . If
diverges then also diverges,
4. If converges then
Example 16.3
Prove that the infinite geometric series where
converges to and diverges if
In this case,
If then and the series above converges to
If then is divergent and the series above is also divergent.
If then the series above has the form and the
series above is also divergent,
Problems 16.2
1. Investigate whether the following series are convergent or divergent. If convergent,
find their sums:
a) b)
c) d)
2. Prove that the harmonic series: diverges.
3. Prove Theorem 4 on series.
4. Find partial sum and the sum S for these series:
a) b)
CHAPTER 17. POSITIVE SERIES
A series whose all terms are positive is called a positive series. The following are
theorems or tests for convergence and divergence of positive series.
1. The boundedness of partial sum test
A positive series is convergent if the sequence of partial sum is bounded.
2. The integral test
If is a positive series with and is decreasing for
then respectively is convergent or divergent depends on is finite or
infinite.
3. The comparison test for convergence
Given a convergent positive series and for all Then,
is also convergent.
4. The comparison test for divergence
Given a divergent positive series and for all Then,
is also divergent.
5. The ratio test
Given a positive series and let If then series converges. If
then the series diverges. If or does not exist then we can not conclude
anything.
Example 17.1
Investigate the convergence or divergence of the series
using the integral test.
The series can be written as with and On the
interval and decreasing. We get:
Since the value of the integral above is finite, hence the series converges.
Example 17.2
Investigate the convergence or divergence of the series
using the integral test.
The series can be written as with and On
the interval and is decreasing. We get:
Since the value of the integral above is infinite, hence the series diverges.
Remark
Using the integral test it can be shown that the p-series
converges if and it diverges if
Example 17.3
Investigate the convergence or divergence of the series
using the comparison test of convergence.
The series can be written as with Since for every n and
the series converges, the series above also converges.
Example 17.4
Investigate the convergence or divergence of the series
using the comparison test of divergence.
The series can be written as with for every n. Since for
every n and the series diverges (harmonic series), the series above also diverges.
Example 17.5
Investigate the convergence or divergence of the series
using the ratio test.
The series can be written as with Since
the series above converges.
Example 17.6
Investigate the convergence or divergence of the series
using the ratio test.
The series can be written as with Since
the series diverges.
Problems
Investigate whether each of the following series converges or diverges:
1.
2.
3.
4. a) b) c)
5. a) b) c)
6. a) b) c)
CHAPTER 18. ALTERNATING SERIES
The general form of an alternating series can be written as
where for every n.
We have the following theorem for convergence or divergence of alternating
series.
Theorem
The alternating series
converges if:
(i) for every n, and
(ii)
Example 18.1
Using the theorem above it can be shown that the alternating series
converges.
Example 18.2
Using the theorem above it can be shown that the alternating series
also converges.
Problems
Investigate whether each of the following alternating series converges or diverges:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
CHAPTER 19. POWER SERIES
An infinite series of the form where all the
c’s are constants is called a power series in x. Furthermore, an infinite series of the form
where all the c’s and a are
constants is called a power series in x-a.
The radius of convergence of the power series in x above is a number such that
for every x satisfying the series converges and for every x satisfying the
series diverges. The value of the radius of convergence can be determined by the
formula:
Example 19.1
Determine the values of x where the power series converges or diverges.
Using the formula above, we get
Therefore, for every x satisfying the series converges and for every x satisfying
the series diverges. For , the series has the form i.e. a convergent
alternating series. For , the series has the form i.e. a convergent p-series with
Example 19.2
Determine the values of x where the power series converges or diverges.
Using the formula above, we get
Hence the series above converges for all values of (real) x.
Problems
For each of the following problems determine the values of x where the power
series converges or diverges:
1) 5)
2) 6)
3) 7)
4) 8)
CHAPTER 20. MACLAURIN SERIES AND TAYLOR SERIES
Let the function have derivatives of all orders on some interval
containing Then, Maclaurin series of on that interval is given by
Let the function have derivatives of all orders on some interval
containing , where a is a finite number. Then, Taylor series of around a on
that interval is given by
It can be seen that Maclaurin series is a special Taylor series with
Example 20.1
Determine Maclaurin series of R.
Since for every n, using the formula of Maclaurin series we get
Example 20.2
Determine Taylor series of
Since we have for every n. Using the formula of Taylor
series above we get:
Several important Maclaurin series
1)
2)
3)
4)
5)
Problems
1. Prove all formulas for Maclaurin series above.
2. Find a formula for Maclaurin series of the function
3. Find a formula for Maclaurin series of the function
4. Find a formula for Maclaurin series of the function
5. Find a formula for Taylor series with of the function
6. Find a formula for Taylor series with of the function .
DAFTAR PUSTAKA
1. Edwin, J. Purcell and Dale Varberg. 1997. Calculus with Analytic Geometry, 5th edition.
Prentice-Hall Inc. Upper Saddle River, New Jersey, USA.
2. Ayres JR, Frank and Elliot Mendelson.. 1990. Theory and Problems of Calculus, 3rd
edition. Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill, Inc. New York, USA.
3. Kletenik, D. Problems in Analytic Geometry, edited by N. Yefimov, translated from the
Russian by O. Soroka. Peace Publishers. Moscow, Russia.