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Lezione 17 1
Diagrammi di Bode
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Lezione 17 2
Punti critici• Tracciare il diagramma di Bode (solo spettro di
ampiezza) della funzione di trasferimento:
1
2
6
punti critici di zero:punti critici di poli reali:punto critico e smorzamento di poli complessi coniugati:
0, 1 ( )10 ( )
200 10 1000, 0.1
2oo
semplicisemplice
ωω
ω ξω
==
= = = =
2
2 6( )( 10)( 200 10 )
s sH ss s s
+=
+ + +
• Punti critici:
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Lezione 17 3
Maschera a sinistra del puntocritico 1
• La maschera a sinistra del primo punto critico non nullo (punto 1) si ottiene approssimando la funzione di trasferimento per valori di s tendenti a zero
0 2 6 6 70
( 1) 1( ) ( )( 10)( 200 10 ) 10 10 10a s
s
s s sx sH s H ss s s x≈
≈
+= = = =
+ + +
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Lezione 17 4
Maschera a destra del puntocritico 1
• A sinistra del primo punto critico non nullo 1 la pendenza della maschera è +20dB/dec– a destra di 1, per la presenza di un punto critico di
zero, la pendenza della maschera deve aumentare di 20 dB/dec e pertanto diventa di 40 dB/dec
– risulta:
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Lezione 17 5
Maschera a destra del puntocritico 10
• A sinistra del secondo punto critico non nullo 10 la pendenza della maschera è 40 dB/dec– a destra di 10, per la presenza di un punto critico di
polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 20 dB/dec e pertanto risulta 20 dB/dec
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Lezione 17 6
Maschera a destra del punto criticodei poli c.c.
• A sinistra del terzo punto critico 1000 la pendenza della maschera è +20 dB/dec– a destra di 200, per la presenza di un punto
criticodovuto ad una coppia di poli complessi coniugati, la pendenza della maschera deve diminuire di 40 dB/dec e pertanto risulta – 20 dB/dec
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Lezione 17 7
Quotatura della maschera 1/3• Per pulsazioni a sinistra del primo punto critico 1
la maschera è espressa matematicamente dalla funzione di trasferimento approssimata per valori di s piccoli:
• Nel punto critico 1 il valore in dB sulla maschera vale:
70( ) ( )
10m s
sH s H s≈
= =
10 7
120log [ ] 14010m
dB
H j dB= = −
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Lezione 17 8
Quotatura della maschera 2/3• Dal punto critico 1 al punto critico 10 la
maschera ha un incremento di • Dal punto critico 10 al punto critico 1000
tenendo conto della pendenza di 20 dB/dec un incremento di :
11040 log 401
dB∆ = =
2100020log 40
10dB∆ = =
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Lezione 17 9
Quotatura della maschera 3/3
• Nei punti critici 1, 10 e 1000 la maschera ha rispettivamente la quota di -140 dB, -100 dB,
• -60 dB
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Lezione 17 10
Spettro di ampiezza• Il diagramma di Bode esatto dello spettro di
ampiezza della funzione di trasferimento è riportato in nero nella figura
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Lezione 17 11
Stima errore massimo maschera1/3
( 10) ( 10) 3 100 3 103valore esa( -102.966 dtto B)
mH j H j dB dB≈ − = − − = −
• Il punto critico 1 è relativo ad uno zero. L’errore si stima in +3dB:
( ) ( ) 3 140 3 137(val -137.033 ore esatt dBo )
mH j H j dB dB≈ − = − + = −
• Il punto critico 10 è relativo ad uno polo. L’errore si stima in -3dB:
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Lezione 17 12
Stima errore massimo maschera2/3
• Il punto critico 1000 è relativo ad una coppia di poli complessi coniugati. L’errore si stima in:
1 1 5 142 2 0.1 dB
dBdB
dBξ
= = =×
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Lezione 17 13
Stima errore massimo maschera3/3
( 1000) ( 1000) 14 60 14 46 ( -46.021 dB)valore esattomH j H j dB dB≈ + = − + = −
• ne consegue
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Lezione 17 14
2
2 6( )( 10)( 200 10 )
s sH ss s s
+=
+ + +
Esercizio:
Considerando la funzione di trasferimento dell’esempioprecedente:
stimare il valore efficace dell’uscita quando l’ingresso e’ sinusoidale con pulsazione 100 ed ha un valore efficacedi 1000
( ) dBS dBe 601000log20 10 ==
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Lezione 17 15
Da Bode risulta:
dBjHdBdBm 8020100)100(,20
10100log20 10 −=+−===δ
( ) ( )2
6 42 6
1( 100) 80 60 20 0.1,10
(j100) 100H(j100)1000 1000 6.98 10 10( 100 10)((j100) 200 100 10
valore esatto: ( 100) 1000 0.1
e m e edBdB dB
e
Y H j S dB Y
j jj j
Y H j
− −
= + = − + = − → = =
+= − +
+ + × +
= =
!
( ) dBS dBe 601000log20 10 ==
2
2 6( )( 10)( 200 10 )
s sH ss s s
+=
+ + +
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Lezione 17 16
Diagrammi di Bode
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Lezione 17 17
Procedimento
• La maschera di uno spettro di ampiezza può essere alcune volte determinata attraverso misure. Con questo dato è possibile risalire alla funzione di trasferimento.
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Lezione 17 18
Esempio 1/4• Determinare la funzione di trasferimento di un
circuito sapendo che lo spettro di ampiezza ha la maschera indicata
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Lezione 17 19
Esempio 2/4
• I punti critici al finito sono 3 e 15.
• Poichè a destra di 3 e 15 si ha diminuzione di pendenza, detti punti critici sono relativi a poli
• Poichè la discontinuità di pendenza non assume mai il valore di 40dB/dec i punti critici 3 e 15 sono relativi a poli reali
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Lezione 17 20
Esempio 3/4
• Poichè al sinistra del primo punto critico finito 3 la pendenza è di 40dB/dec, la funzione di trasferimento presenta s2 al numeratore:
– Forma della funzione di trasferimento:2
( )( 3)( 15)
sH s Ks s
=+ +
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Lezione 17 21
Esempio 4/4
• Per valori elevati di s si ha: 2
lim[ ( )] lim[ ] 19.1( 3)( 15)
sH s K K dBs s
s s
= = ⇒+ +
→∞ →∞
9K =
2
( ) 9( 3)( 15)
sH ss s
=+ +
• Ne consegue:
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Lezione 17 22
Diagrammi di Bode
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Lezione 17 23
Espressione della fase 1/3
• Nel seguito discuteremo solo la presenza di zeri o poli semplici in quanto la presenza di zeri o poli multipli significa semplicemente (come avviene per lo spettro di ampiezza) la moltiplicazione per l’ordine di molteplicità
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Lezione 17 24
Espressione della fase 2/3
• Dalla funzione di trasferimento:
1 2
1 2
( )( )..( )( )( )( )..( )
m
n
s z s z s zH s Ks p s p s p− − −
=− − −
• Risulta:1
1
( ) ( ) ..... ( )( ) .... ( )
m
n
H s K s z s zs p s p
< =< + < − + + < − +− < − − − < −
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Lezione 17 25
Espressione della fase 3/3
• La fase della funzione di trasferimento è a meno di un valore costante, la somma delle fasi degli zeri meno la somma delle fasi dei poli
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Lezione 17 26
Punti critici
• Anche per gli spettri di fase è importante determinare i punti critici. Essi rimangono gli stessi di quelli considerati nel
caso di spettri di ampiezza
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Lezione 17 27
Assunzioni
• Anche se è possibile tracciare i diagrammi di fase per zeri o poli con parti reali positive, per semplicità saranno considerato solo reti strettamente stabili a fase minima:
– Zeri e Poli hanno parti reali negative
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Lezione 17 28
Maschera degli spettri di fase1/2
• La scala logaritmica per le ascisse consentirà di approssimare anche gli spettri di fase con delle spezzate.
• La maschera di uno spettro di fase è costitituitadalla spezzata che l’approssima
• Si definiscono due tipi di maschere: una più accurata e l’altra più grossolana
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Lezione 17 29
Maschera degli spettri di fase2/2
• La maschera grossolana si traccia molto velocemente
• Anche se non si possono stimare gli errori la maschera consente di tracciare in modo accurato l’andamento esatto dello spettro di fase
• In pratica la maschera fornisce tutte le informazioni sullo spettro di fase
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Lezione 17 30
Spettro di fase di uno zero realesemplice
• Maschera di punto critico a=-zi
( )is z⟨ −
( ) 90ojω⟨ =
• Caso a=0. Zero nell’origine.Risulta:
• La maschera coincide con il diagramma esatto ed è costituita da una retta orizzontale con il valore dell’ordinata di 90°
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Lezione 17 31
Maschera grossolana di uno zero reale semplice
• Maschera di ( )is z⟨ −punto critico a=-zi
• Per valori piccoli di s la fase è nulla
• Per valori grandi di s la fase vale 90°
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Lezione 17 32
Maschera accurata di uno zero reale semplice
• La maschera è costituita da una spezzata che è:– nulla per pulsazioni più piccole di 0.1 a (una decade
sotto)– 90° per pulsazioni più grandi di 10 a (una decade
sopra)– il segmento che unisce il punto (0.1 a, 0) con il punto
(10 a, 90°) per pulsazioni comprese tra 0.1 e 10 a
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Lezione 17 33
Confronto tra valore esatto e maschera
• Maschera di ( )is z⟨ −
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Lezione 17 34
Spettro di fase di coppia di zericomplessi coniugati
• Una coppia di zeri complessi coniugati implica la presenza al numeratore della funzione di trasferimento del trinomio:
2 220 1
o o
o
smorzamentopulsazi
s
one
s ξ ω ωξ ξω
+ +< ≤
• Una coppia di zeri complessi coniugati introduce un punto critico definito dalla pulsazione oω
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Lezione 17 35
Maschera grossolana di unacoppia di zeri c.c
2 2( 2 )o os sξ ω ω⟨ + +
• Maschera di
)2( 22oo ss ωωξ ++⟨• Per valori piccoli di
s la fase è nulla
• Per valori grandi di s la fase vale 180°
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Lezione 17 36
Spettro di fase di una coppia di zeri complessi coniugati
2 2( 2 )o os sξ ω ω⟨ + +• Il valore esatto dipende dallo smorzamento
)2( 22oo ss ωωξ ++⟨
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Lezione 17 37
Spettri di fase relativi a poli
• Gli spettri di fase relativi ai poli si ottengono con un semplice cambiamento di segno rispetto quelli relativi agli zeri
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Lezione 17 38
Diagrammi di Bode
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Lezione 17 39
Funzione di trasferimento che siconsidera
3 214 44 40 0s s s+ + + =
• Tracciare il diagramma di Bode (spettro di ampiezza e di fase) della funzione di trasferimento:
2
3 2( ) 20014 44 40
sH ss s s
= −+ + +
• La determinazione dei poli richiede la soluzione dell’equazione:
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Lezione 17 40
Poli
3 214 44 40 0s s s+ + + =
2
3 2( ) 20014 44 40
sH ss s s
= −+ + +
• Soluzione di:
3 2214 44 40 12 20 2, 10
2s s s s s s s
s+ + +
= + + ⇒ = − = −+
• Per ispezione una soluzione è s=-2
• Le altre soluzioni si hanno da:
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Lezione 17 41
Punti critici
1 2
punti critici di zero:punti critici di pol
0 ( )2 ( , 1o: ) 0doppio
doppioω ω= =
• Punti critici:
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Lezione 17 42
Maschera ampiezza a sinistra del punto critico 2
• La maschera a sinistra del primo punto critico non nullo (punto 2) si ottiene approssimando la funzione di trasferimento per valori di s tendenti a zero
22
0 20
( ) ( ) 200 5( 2) ( 10)a s
s
sH s H s ss s≈
≈
= = − = −+ +
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Lezione 17 43
Maschera ampiezza a sinistra del punto critico 10
• A sinistra del primo punto critico non nullo 2 la pendenza della maschera è +40dB/dec– a destra di 2, per la presenza di un punto critico di
polo doppio, la pendenza della maschera deve diminuire di 40 dB/dec e pertanto è 0 dB/dec
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Lezione 17 44
Maschera di ampiezza• A sinistra del secondo punto critico 10 la
pendenza della maschera è nulla– a destra di 10, per la presenza di un punto critico di
polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 20 dB/dec e pertanto risulta -20dB/dec
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Lezione 17 45
Quote sulla maschera di ampiezza1/2
• Per pulsazioni a sinistra del primo punto critico 2 la maschera è espressa matematicamente dalla funzione di trasferimento approssimata per valori di s piccoli:
20
( ) ( ) 5m sH s H s s
≈= = −
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Lezione 17 46
Quote sulla maschera di ampiezza 2/2
• Nel punto critico 2 il valore in dB sulla maschera vale: 2( 2) 5( 2) 20 26mH j j dB= − = ⇒
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Lezione 17 47
Maschera di ampiezza definitiva
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Lezione 17 48
Spettro di ampiezza• Lo spettro di ampiezza della funzione di
trasferimento è riportato in nero nella figura
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Lezione 17 49
Stima errore ampiezza 1/2
• Il punto critico 2 è relativo ad un polo doppio. L’errore si stima in - 6 dB:
( 2) ( 2) 6 26 6 2
va
0
( 19.83 dBlore esatto )
mH j H j dB dB≈ − = − =
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Lezione 17 50
Stima errore ampiezza 2/2
( 10) ( 10) 3 26 3 23 (val 22.67 dore esatto B)mH j H j dB dB≈ − = − =
• Il punto critico 10 è relativo ad uno polo. L’errore si stima in - 3 dB:
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Lezione 17 51
Maschera fase a sinistra del puntocritico 2
• La maschera a sinistra del primo punto critico non nullo (punto 2) si ottiene approssimando la funzione di trasferimento per valori di s tendenti a zero
22
0 20
2 2
( ) ( ) 200 5( 2) ( 10)
( 5 ) (5 ) 0
a ss
sH s H s ss s
s ω
≈≈
= = − = −+ +
⟨ − = ⟨ =
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Lezione 17 52
Maschera fase a sinistra del punto critico 10
• A sinistra del punto critico 2 la fase è zero– a destra di 2, per la presenza di un punto critico di
polo doppio, la fase deve diminuire di 180o e pertanto vale -180o
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Lezione 17 53
Maschera di fase• A sinistra del secondo punto critico 10 la fase
vale -180o.
– a destra di 10, per la presenza di un punto critico di polo, la fase deve diminuire di 90o e pertanto risulta – 270o
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Lezione 17 54
Spettro di fase