Diagrama do Lugar das Raizes (Root Locus)...Diagrama do Lugar das Raizes (Root Locus) Author: Carlos...

Projeto de Compensadores/Controladores pelo Diagrama de Lugardas Raízes

Carlos Eduardo de Brito [email protected]

http://professorcarlosnovaes.wordpress.com

12 de novembro de 2012

1 IntroduçãoO diagrama do lugar das raízes é uma ferramenta muito útil para visualizar as possibilidades de alocação de polos emum sistema de controle. Através dele, pode-se verificar qual a ação a ser tomada para que o sistema em malha fechadase comporte segundo as características desejadas.

Serão apresentadas alguns procedimentos para o projeto de compensadores utilizando o diagrama de lugar dasraízes. As técnicas descritas estão detalhadas no livro texto [1], e em diversas outras referências recomendadas, como[2, 3], por exemplo.

Serão discutidos os compensadores do tipo:

1. “Lead” ou “Avanço de fase”

2. “Lag” ou “Atraso de fase”

3. PID

O material ora apresentado se presta apenas como uma breve introdução, sendo também recomendada a leitura daapostila do curso e, para um maior domínio, a consulta ao livro texto.

Em especial, o método de projeto apresentado para compensadores PID é apenas ilustrativo para o uso do diagramade lugar das raízes e, embora funcional, é bastante dependente de um software para traçar o lugar das raízes e assim,acelerar o processo de melhoria da sintonia.

2 Compensador do tipo “Lead” ou “Avanço de Fase”O compensador do tipo “Lead” ou “Avanço de Fase” é utilizado para modificar o diagrama de lugar das raízes, per-mitindo a alocação dos polos de malha fechada em posições que antes não seriam possíveis. Possui uma função detransferência dada por

GC (s) =s+ a

s+ b(2.1)

com um polo em s = −b e um zero em s = −a e com a particularidade de que o seu polo é “mais rápido” que ozero, ou seja, o polo esta localizado no eixo real em um valor mais negativo que o zero.

Sendo assim, para ser um compensador do tipo lead, então a função de transferência da equação 2.1 apresenta b > a.Por exemplo:

GC (s) =s+ 8

s+ 10(2.2)

que possui um polo em s = −10 e um zero em s = −8. No plano complexo, o polo do compensador esta localizado àesquerda do seu zero, apresentando portanto um transitório mais “rápido”.

Aplicando um degrau unitário a um compensador lead e utilizando-se o teorema do valor final, podemos verificarque a longo prazo, o compensador apresenta um ganho dado por:

1

2 COMPENSADOR DO TIPO “LEAD” OU “AVANÇO DE FASE”

lims→0

s

(1

sGC (s)

)= lim

s→0

s+ a

s+ b

=a

b(2.3)

Como foi visto, o compensador “lead” apresenta b > a e portanto a razãoa

bé menor que a unidade. Isto significa

que ao introduzir um compensador “lead” na malha direta de um sistema de controle, estamos reduzindo o ganho destae portanto, reduzindo o valor das constantes de erro estacionário. O efeito final é que a introdução de um compensadordo tipo “lead” aumenta o erro estacionário do sistema em malha fechada.

Um bom projeto visa escolher a e b de modo que os polos de malha fechada sejam alocados nos pontos de interesse,

mas buscando também o maior valor para a relaçãoa

b, de modo que o erro estacionário em malha fechada não seja

muito prejudicado.Suponha por exemplo que um sistema a ser controlado possui função de transferência

G (s) =1

(s+ 1) (s+ 2)(2.4)

e, por questões de desempenho deseja-se alocar os polos de malha fechada em s = −2± 2j, garantindo que a saída emmalha fechada estabilize em 5% do valor final em aproximadamente 1 segundo, com fator de amortecimento ζ = 0, 7e portanto, um sobressinal também inferior a 5%.

O primeiro passo é determinar o lugar das raízes do sistema sem compensador, e então verificar se é possível alocaros polos nesta posição apenas pelo ajuste do ganho de realimentação. A figura 2.1 ilustra o diagrama de lugar das raízes.

Figura 2.1: Lugar das Raízes da planta sem compensador.

como se pode verificar, não os pontos s = −2 ± 2j não são parte do lugar as raízes e portanto, será necessárioprojetar um compensador para alterar o lugar das raízes de modo que este passe por s = −2 ± 2j. A seguir vamosdescrever dois métodos de projeto.

Muitas vezes, utiliza-se a representação

2

2.1 Projeto por cancelamento de polo 2 COMPENSADOR DO TIPO “LEAD” OU “AVANÇO DE FASE”

GC (s) = KCαTs+ 1

αTs+ 1(2.5)

onde KCα representa o ganho que o compensador aplica quando em regime, T esta relacionado à constante de tempodo zero e αT corresponde à constante de tempo do polo (Com α estabelecendo a relação entre as duas). Nesta repre-sentação,KC é o ganho calculado a partir da condição de módulo para alocar os polos de malha fechada.

2.1 Projeto por cancelamento de poloUma técnica para o projeto de um compensador do tipo “lead” é o que se chama de cancelamento de polo ou zero. Aideia fundamental é verificar se é possível obter um diagrama de lugar das raízes satisfatório ao se cancelar um polo daplanta e coloca-lo em outra posição. Para o exemplo anterior, bastaria cancelar o polo da planta em s = −2, colocandoai o zero do compensador e, posicionar o polo do compensador em s = −3. Neste caso, a função de transferência docompensador será

GC (s) =s+ 2

s+ 3

então, a função de transferência do ramo direto é

Gc (s)×G (s) =s+ 2

s+ 3×

1

(s+ 1) (s+ 2)

=s+ 2

s3 + 6s2 + 11s+ 6(2.6)

e traçando o novo lugar das raízes, obtém-se

Figura 2.2: Lugar das Raízes da planta com compensador lead projetado por cancelamento.

claramente, é possível agora posicionar os polos de malha fechada em s = −2 ± 2j. O ganho de realimentaçãonecessário pode ser encontrado pela condição do módulo, ou seja

3

2.1 Projeto por cancelamento de polo 2 COMPENSADOR DO TIPO “LEAD” OU “AVANÇO DE FASE”

1 = K× |Gc (s)×G (s)|s=−2+2j (2.7)

e que ao ser resolvida resulta em

K =1

|Gc (s)×G (s)|s=−2+2j

=1∣∣∣∣∣ s+ 2

s3 + 6s2 + 11s+ 6

∣∣∣∣∣s=−2+2j

=1∣∣∣∣∣ − 2 + 2j + 2

(−2 + 2j)3+ 6 (−2 + 2j)

2+ 11 (−2 + 2j) + 6

∣∣∣∣∣=

1∣∣∣∣∣ − 2 + 2j + 2

(16 + 16j) + 6 (−8j) + 11 (−2 + 2j) + 6

∣∣∣∣∣=

1∣∣∣∣∣ 2j

16 + 16j − 48j − 22 + 22j + 6

∣∣∣∣∣=

1∣∣∣∣∣ 2j

−10j

∣∣∣∣∣=

1

|−0, 2|

=1

0, 2

= 5 (2.8)

O resultado anterior representa o ganho que deve ser aplicado ao ramo direto. Podemos calcular então as constantesde erro estático para este ajuste deK

Kp = lims→0

(K ×GC (s)×G (s))

= lims→0

(5 (s+ 2)

s3 + 6s2 + 11s+ 6

)

=10

6= 1, 667 (2.9)

e portanto, o erro estático de posição será, em termos percentuais:

Erro% =1

1 +Kp

=1

2, 6667= 0, 375

= 37, 5%

O diagrama em blocos do sistema de controle é ilustrado na figura 2.3 e a resposta é apresentada na figura 2.4.

4

2.2 Projeto pelo método gráfico 2 COMPENSADOR DO TIPO “LEAD” OU “AVANÇO DE FASE”

Figura 2.3: Diagrama em blocos do sistema de controle.

Figura 2.4: Resposta do sistema de controle.

2.2 Projeto pelo método gráficoUma técnica mais elaborada para o projeto de compensadores do tipo “lead” é o procedimento gráfico. Utilizando estatécnica garante-se o maior ganho possível no ramo direto e consequentemente, o menor erro estacionário.

Esta técnica consiste em

1. Localizar no gráfico a posição dos polos e zeros da planta e também a posição dos polos desejados em malhafechada, a figura 2.5 ilustra esta situação para a planta em questão, com polos em s = −1 e s = −2 e o polodesejado de malha fechada em s = −2 + 2j.

5


Figura 2.5: Projeto gráfico de compensador “Lead” - Passo 1.

2. A partir do polo desejado de malha fechada, trace uma reta horizontal e outra ligando à origem, a figura 2.6 ilustraeste procedimento.


3. Trace a bissetriz do ângulo formado entre as retas traçadas anteriormente, procedimento ilustrado na figura 2.7.

6



4. Determine qual deve ser a contribuição angular do compensador, φ. Para realizar este cálculo, basta determinarqual a contribuição angular da função de transferência no ponto desejado e verificar quanto falta (ou quantoexcede) 180 graus. No nosso exemplo temos

G (s)|s=−2+2j =1

(s+ 1) (s+ 2)

∣∣∣∣∣s=−2+2j

= −0, 2 + 0, 1j

= 0, 2236∠153, 4◦

e portanto, constatamos que a contribuição angular da planta no ponto s = −2 + 2j é de aproximadamente153, 4◦. Para completar 180◦, faltam aproximadamente 26, 6◦. Dizemos que a planta apresenta uma deficiênciaangular de 26, 6◦ em s = −2 + 2j e que esta deficiência deve então ser suprida pelo compensador. Conclui-seque o compensador deve contribuir com um ângulo φ = 26, 6◦.

5. Partindo do ponto onde se deseja alocar o polo de malha fechada, traçamos duas, formando com a bissetriz um

ângulo de ±φ

2o que é equivalente a dizer que o ângulo entre estas duas retas é φ. Veja a figura 2.8.

7



6. Por fim, o ponto onde as retas interceptam o eixo real determina a posição do polo e do zero do compensador.Veja a figura 2.9.


Este procedimento permite a determinação do melhor compensador “lead” possível para a planta em questão. Pelosvalores obtidos para este exemplo, o compensador deve ter um polo em s = −3, 4 e um zero em s = −2, 3.

A função de transferência do ramo direto será

Gc (s)×G (s) =s+ 2.3

s+ 3.4×

1

(s+ 1) (s+ 2)

=s+ 2.3

s3 + 6.4s2 + 12.2s+ 6.8(2.10)

O diagrama do lugar das raízes com o compensador é ilustrado na figura 2.10

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Figura 2.10: Lugar das Raízes da planta com compensador lead projetado graficamente.

Pela condição domódulo, determinamos o ganhoK que deve ser imposto para posicionar os polos de malha fechadaem s = −2± 2j.

Determinando o ganho adequado:

K =1

|Gc (s)×G (s)|s=−2+2j

=1∣∣∣∣∣ s+ 2.3

s3 + 6.4s2 + 12.2s+ 6.8

∣∣∣∣∣s=−2+2j

=1

|−0, 1852|

=1

0, 1852

= 5.4 (2.11)

resultado que é confirmado pela figura 2.10.O resultado anterior representa o ganho que deve ser aplicado ao ramo direto. Podemos calcular então as constantes

de erro estático para este ajuste deK

Kp = lims→0

(K ×GC (s)×G (s))

= lims→0

(5.4 (s+ 2.3)

s3 + 6.4s2 + 12.2s+ 6.8

)

=12.42

6.8= 1, 83 (2.12)

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3 COMPENSADOR DO TIPO “LAG” OU “ATRASO DE FASE”

e portanto, o erro estático de posição será, em termos percentuais:

Erro% =1

1 +Kp

=1

2.83= 0, 375

= 35, 3% (2.13)

O erro obtido pelo projeto gráfico foi apenas um pouco inferior ao obtido por cancelamento de polos. Esta situaçãonão é a regra geral, muitas vezes o erro estacionário é muito menor, e portanto, o projeto pelo método gráfico é semprepreferível em relação ao simples cancelamento de polo.




3 Compensador do tipo “Lag” ou “Atraso de Fase”Utiliza-se o compensador do tipo “lag” quando o sistema em malha fechada não satisfaz os requisitos de erro esta-cionário, mas a resposta transitória é suficientemente rápida. Neste caso, a função de transferência do compensador

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3.1 Projeto de um compensador “lag” 3 COMPENSADOR DO TIPO “LAG” OU “ATRASO DE FASE”

é

GC (s) =s+ a

s+ b(3.1)

com um zero em s = −a e um polo em s = −b e com duas particularidades:

1. O seu zero é “mais rápido” que o polo, ou seja, o zero esta localizado no eixo real em um valor mais negativoque o zero. Sendo assim, para ser um compensador do tipo lead, então a função de transferência da equação 2.1apresenta a > b.

2. O polo e o zero estão localizados no eixo real, próximos à origem. Desta maneira, garante-se que a interferênciano ponto de localização dos polos em malha fechada é mínima.

Por exemplo:

GC (s) =s+ 0.1

s+ 0.01(3.2)

que possui um polo em s = −0.01 e um zero em s = −0.1. No plano complexo, o polo do compensador esta localizadoà direita do seu zero, apresentando portanto um transitório mais “lento”.

Ao se aplicar o teorema do valor final na função de transferência do compensador “lag”, verifica-se que a longo

prazo é como se fosse incluído um ganho com valora

b> 1. A inclusão de um compensador do tipo “lag”, tem então

o efeito de aumentar o ganho na malha direta, reduzindo o erro estacionário às custas de uma pequena modificação naposição dos polos de malha fechada que tende a tornar o sistema ligeiramente mais lento.

3.1 Projeto de um compensador “lag”O projeto de um compensador do tipo “lag” se resume a:

1. Determinar o fator pelo qual a constante de erro estático do sistema deve ser aumentada.

2. Escolher os valores a e b da função de transferência do compensador próximos da origem e, de modo que a

relaçãoa

bseja igual ao aumento desejado para a constante de erro estático.

3. Traçar o novo diagrama do lugar das raízes e verificar se existe alteração sensível. Caso a alteração do lugar dasraízes seja pequena, determinar o novo ganhoK que leva os polos até a posição desejada. Do contrário escolhernovos valores de a e b.

4. No caso de um reprojeto de a e b, cabe observar que quanto mais próximos da origem estiverem o polo e o zerodo compensador “lag”, menor sera a modificação no CLR, mas por outro lado, mais lenta será a minimização doerro estacionário.

Nada impede que se utilize um compensador “lead” para tornar o sistema mais rápido e um compensador “lag” paraminimizar o erro estacionário. Este arranjo é conhecido como compensador “lead-lag” e possui uma técnica de projetoespecífica. Aqui apresenta-se apenas as técnicas isoladas, e por este motivo fizemos primeiro o projeto do compensador“lead” e agora faremos o projeto do compensador “lag” de modo independente.

Vamos projetar um compensador do tipo “lag” para o sistema anterior, da figura 2.11, de modo a obter um erroestacionário ao degrau de 2%. Neste caso, a constante de erro do sistema eraKp = 1, 83 (nossa planta agora é a plantaoriginal em série com o compensador lead projetado graficamente).

Para obter um erro estacionário ao degrau de 2%, a nova constante de erro estacionário ao degrau deve ser tal que

0, 02 =1

Kp,novo + 1. Assim:

Kp,novo + 1 = 50

Kp,novo = 49 (3.3)

Então, o aumento desejado na constante de erro é

11


Kp,novo

Kp=

49

1, 83

= 26, 77 (3.4)

Escolhendo-se a posição do zero do compensador “lag” em s = −0, 5, para satisfazer o aumento desejado naconstante de erro estático:

a

b= 26, 77

0.5

b= 26, 77

b =0.5

26, 77

= 0, 0187 (3.5)

portanto, o polo deve estar localizado em s = −0, 0187.A próxima etapa é traçar o novo lugar das raízes. A função de transferência da malha direta agora é dada por

GC,lag ×GC,lead ×G =s+ 0.5

s+ 0.0187︸︷︷︸”lag”

×s+ 2.3

s+ 3.4︸︷︷︸”lead”

×1

(s+ 1) (s+ 2)︸︷︷︸planta

=s2 + 2.8s+ 1.15

s4 + 6, 42s3 + 12, 32s2 + 7s+ 0, 13

e o novo diagrama do lugar das raízes é apresentado na figura 3.1

Figura 3.1: Lugar das Raízes da planta (planta+lead) com compensador lag..

Percebe-se que o lugar das raízes foi modificado e não é mais possível alocar o polo de malha fechada exatamenteem s = −2 ± 2j. Se esta modificação for aceitável, podemos prosseguir o projeto escolhendo novos polos próximos

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aos desejados, por exemplo em s = −1.8± 2j. Observe que se a modificação do CLR devida à inclusão do “lag” nãofor muito significativa, o ganhoK da realimentação também permanece praticamente o mesmo.

Determina-se o novo ganhoK que leva os polos até esta posição em malha fechada pela condição de módulo

K =1

|Gc (s)×G (s)|s=−2+2j

=1∣∣∣∣∣ s2 + 2.8s+ 1.15

s4 + 6, 42s3 + 12, 32s2 + 7s+ 0, 13

∣∣∣∣∣s=−2+2j

=1

|−0, 1656|

=1

0, 1656

= 6, 04 (3.6)

informação que é confirmada pelo MATLAB na figura 3.1.O diagrama em blocos do sistema de controle é ilustrado na figura 3.2 e a resposta é apresentada na figura 3.3.


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4 O COMPENSADOR PID


Muitas vezes, utiliza-se a representação

GC (s) = K̂CβTs+ 1

βTs+ 1(3.7)

onde K̂Cβ representa o ganho que o compensador aplica quando em regime, T esta relacionado à constante de tempodo zero e αT corresponde à constante de tempo do polo (Com β estabelecendo a relação entre as duas). Nesta repre-sentação, K̂C é o ganho calculado a partir da condição de módulo para alocar os polos de malha fechada.

4 O compensador PIDO compensador do tipo PID (Proporcional, Integrativo e Derivativo) é um tipo de compensador amplamente utilizadona industria, podendo ser encontrado em implementação independente ou mesmo como um bloco funcional em CLPs.

A sintonia de um PID (ou seja, o ajuste de seus parâmetros) pode ser feita com base no diagrama de lugar dasraízes, embora, outros métodos são comumente utilizados, como por exemplo o método de Ziegler-Nichols e até mesmode forma totalmente empírica (não recomendável, mas pode levar a ótimos resultados dependendo da experiência doprofissional que ajusta o PID)

Basicamente, um PID possui um diagrama esquemático como o da figura 4.1 (outras configurações ou algorítimossão possíveis)

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4 O COMPENSADOR PID

Figura 4.1: Esquema interno do PID.

Teoricamente, o bloco derivador tem função de transferência do tipo F (s) = s, ou seja, não tem polos e possui umzero na origem. Na prática, para poder ser construído e apresentar alguma robustez a ruídos, utiliza-se um bloco com

função de transferência do tipo F (s) =s

s+ αonde α tem um valor muito grande e em alguns casos pode ser ajustado

no CLP ou PID.Ao se simplificar o diagrama de blocos do PID, obtém-se para o algorítimo representado na figura 4.1

PID (s) =KI

s+KDs+KP

=KDs2 +KPs+KI

s(4.1)

observa-se então que o PID apresenta um polo na origem e dois zeros (devidos à equação de segundo grau no numera-dor).

O projeto pelo diagrama de lugar das raízes deve então considerar a inclusão de um polo na origem (algo normal-mente desejável pois elimina o erro estacionário ao degrau) e de dois zeros que podem estar localizados em pontosdistintos do eixo real ou ser complexos conjugados.

Pela avaliação do diagrama de lugar das raízes, é possível verificar qualitativamente as modificações devidas aoszeros e ao polo do PID. Pode-se então, determinar a localização aproximada dos zeros adicionados pelo PID, de modoa levar os polos de malha fechada para a posição de interesse e realizar um ajuste mais preciso utilizado o MATLABpara traçar o CLR exato e verificar o resultado.

Para a planta exemplificada, com função de transferência

G (s) =1

(s+ 1) (s+ 2)(4.2)

após algumas experiências (traçando o CLR no MATLAB), verificou-se que adicionar um polo na origem e doiszeros complexos conjugados em s = −2.3± 0.8j leva o lugar das raízes a passar próximo do ponto desejado.

Então, a função de transferência temporária do PID deve ser da forma

PID (s) =β (s+ 2.3 + 0.8j) (s+ 2.3− 0.8j)

s

=βs2 + 4, 6βs+ 5, 93β

s

fazendo β = 1 e traçando o CLR obtém-se o o diagrama da figura 4.2

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4 O COMPENSADOR PID

Figura 4.2: Lugar das Raízes da planta com compensador PID.

onde se observa que para um ganho de aproximadamente K = 3, 74, os polos de malha fechada se localizam ems = −2, 04± 2, 04j. Desta maneira, deve-se escolher o valor final de β = 3, 74.

O próximo passo é determinar a função de transferência definitiva do PID e os correspondentes parâmetros desintonia. Assim:

PID (s) =3, 74s2 + 4, 6× 3, 74s+ 5, 93× 3, 74

s

=3, 74s2 + 17, 2s+ 22, 17

s(4.3)

e que, pela equação 4.1 correspondem a

KD = 3, 74

KP = 17, 2

KI = 22, 17


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REFERÊNCIAS REFERÊNCIAS


Figura 4.4: Resposta do sistema de controle PID.

Como era de se esperar, o erro estacionário ao degrau é nulo devido à inclusão de um polo na origem.

Referências[1] K. Ogata, Engenharia de controle moderno, 5th ed. Prentice Hall / SP, 2010. 1

[2] R. C. Dorf and R. H. Bishop, SISTEMAS DE CONTROLE MODERNOS, 11th ed. LTC - Livros Técnicos eCientíficos Editora, 2009. 1

[3] N. S. Nise, ENGENHARIA DE SISTEMAS DE CONTROLE, 5th ed. LTC, 2009. 1

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