3. DETERMINISTIČKI MODELI

PRVOG REDA3.2 MEHANIČKI SISTEMI I NJIHOVI ELEMENTI

Mehanički sistemi

Posmatramo samo najjednostavnije

mehaničke sisteme koji vrše pravolinijsko

(translatorno) i obrtno (rotaciono) kretanje.

Definisaćemo osnovne translatorne i

rotacione elemente koristeći analogiju sa

električnim elementima.

Inercioni translatorni element:

telo mase m

Posmatramo telo mase m koje

miruje ili se kreće pravolinijski

brzinom v0 u odnosu na neki

inercioni koordinatni sistem.

II Njutnov zakon glasi:

0, v(0)=vdv

F ma mdt

Inercioni translatorni element:

telo mase m

Analogija:

sila F napon u

brzina v struja i

masa m induktivnost L

Inercioni translatornielement telo mase m može se interpretirati kao jedan linearni i stacionarni kaleminduktivnosti L=m.

dvF m

dtdi

u Ldt

Inercioni rotacioni element:

zamajac Posmatramo zamajac

momenta inercije I koji se

obrće oko ose O

konstantnom ugaonom

brzinom w.

II Njutnov zakon glasi:

0, (0)d

M Idt

Inercioni rotacioni element:

zamajac Analogija:

moment sile M napon u

ugaona brzina w struja i

moment inercije I induktivnost L

Inercioni rotacioni element zamajac momenta inercije I može se interpretirati kao jedan linearni i stacionarni kalem induktivnosti L=I.

dv

dM I

d

F mdtd

t

iu L

dt

Translatorni element naprezanja:

opruga Posmatramo oprugu

koeficijenta elastičnosti k

koja je opterećena silom

F.

Izduženje opruge x je:

Fx

kF x k

Translatorni element naprezanja:

opruga Analogija:

sila F napon u

izduženje Dx naelektrisanje q

brzina v struja i

koeficijent elastičnosti k recipročna vrednostkapacitivnosti 1/C

,

,

dxF x k v

dtq dq

u iC dt

Rotacioni element naprezanja:

torziona opruga

Posmatramo torzionu

oprugu torzione konstante c

koja je opterećena

momentom sile M.

Poprečni preseci 1 i 2 uvrću

za uglove q1i q2

prema Hukovom zakonu za

mala uvrtanja važi:

1 2

M

cM c

Rotacioni element naprezanja:

torziona opruga

Analogija:

Moment sile M napon u

Ugao uvrtanja q

naelektrisanje q

Ugaona brzina w

struja i

Torziona konstanta c

recipročna vrednost

kapacitivnosti 1/C

, =

,

dM c

dtq dq

u iC dt

Translatorni element trenja

Ovaj element se uvodi za modelovanje pojavetrenja koje zavisi od brzine (kinetičkog ili viskoznogtrenja) između kliznih površina koje su odvojenenekom viskoznom tečnošću (npr. trenja izmeđuklipa i cilindra motora) ili između nekog tela kojese kreće kroz neki fluid (npr. raketa koja se krećekroz guste slojeve atmosfere, brodski propeler, i sl.)

Translatorni element trenja

Pomeranje klipa u odnosu

na cilindar pokreće ulje iz

jedne komore u drugu.

1 2

t

t

v v v

F B v

FvB

Translatorni element trenja

Analogija:

sila F napon u

brzina v struja i

konstanta prigušenja za

translatorno kretanje Bt

otpornost R

tF B v

u RI

Rotacioni element trenja

(torziono trenje) Manji cilindar vezan za

osovinu 1 okreće se

unutar većeg cilindra koji

je vezan za osovinu 2.

Prostor između cilindara

ispunjen je nekim

viskoznim fluidom, npr.

uljem. Obrtanje manjeg

cilindra se prenosi

posredstvom sile

torzionog trenja na veći

cilindar.

Rotacioni element trenja

(torziono trenje) Ako se ograničimo na

male relativne brzine obrtanja:

w = w1 – w2

veza sa torzionimmomentom:

M=Br w

ili

w =M/Br

Rotacioni element trenja

(torziono trenje)

Analogija

torzioni moment M

napon u

ugaona brzina w

struja i

konstanta prigušenja

za rotaciono kretanje

Br otpornost RrM B

u RI

Nezavisni mehanički izvori

Ako je sila F ili moment M poznata funkcija vremena koja ne

zavisi od brzina ili koordinata kretanja kažemo da imamo modelizvora sile ili izvora momenta.

Nezavisni mehanički izvori

Ako linijska ili ugaona brzina ne zavise od sila, momenata ili ko-

ordinata kretanja kažemo da imamo model izvora linijske brzine

ili izvora ugaone brzine.

Zadatak 6

Dat je zamajac momenta inercije I koji se kreće rotaciono u

sredini čija je konstanta prigušenja za rotaciono kretanje Br. U

trenutku t=0, telo ima ugaonu brzinu w0.

1. Napisati diferencijalnu jednačinu koja određuje vremensku

promenu ugaone brzine zamajca kao i analitičku zavisnost w(t).

2. Koristeći Ojlerov metod numeričke integracije diferencijalnih

jednačina napisati program za numeričko izračunavanjefunkcije wn(t). Program treba da sadrži i izračunavanje

numeričkih vrednosti analitičke funkcije w(t).

3. Za zadate vrednosti I, Br i w0, izvršiti program te dobijene

rezultate prikazati i uporediti u obliku grafika.