Derivadas Parciales Para
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7/31/2019 Derivadas Parciales Para
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Clculo diferencial e integral de una variable
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FuncionesReales de
VariasVariables
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Clculo diferencial e integral de una variable
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Contenidos
Habilidades
Funcin de dos variables.
Grfica de una funcin real de dos variables. Curvas de nivel.
Lmite.
Continuidad.
Derivadas Parciales.
ir
ir
ir
ir
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ir
ir
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Clculo diferencial e integral de una variable
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Habilidades
Define el concepto de funcin real de dos y tresvariables.
Determina el dominio de una funcin real y lorepresenta grficamente.
Traza la grfica de una funcin real de dos variablesreales.
Relaciona la regla de correspondencia de unafuncin con su grfica.
Determina las curvas (superficies) de nivel de unafuncin real de dos (tres) variables.
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Clculo diferencial e integral de una variable
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Habilidades
inicio
Calcula el lmite de una funcin.
Determina la no existencia del lmite de una funcinreal de dos variables reales.
Establece la continuidad de una funcin real en unpunto.
Define el concepto de derivada parcial.
Calcula derivadas parciales.
Interpreta geomtricamente el concepto de
derivada parcial. Calcula derivadas parciales de segundo orden.
Verifica que una funcin dada es solucin de unaecuacin en derivadas parciales.
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Clculo diferencial e integral de una variable
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Funciones de Varias Variables.
Definicin: Una funcin fde dos variables es una reglaque asigna a cada par ordenado de nmeros reales (x,y) de unconjunto D, un nmero real nico denotado por f(x,y).
El conjunto Des el Dominio de fy su imagen es el conjunto devalores que toma f, es decir Dyxyxf ),/(),(
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Clculo diferencial e integral de una variable
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Ejemplos.
1. Halle los dominios de las siguientes funciones y grafquelos.2a) f ( x , y ) y x
2 2 4b) f x , y ln x y
1Ln( x y )c ) f ( x , y ) y x
2. Evalu la funcin del inciso (a) en f(0,0) ,f(1,1) y f(2,-1), en casosea posible. Justifique su respuesta.
inicio
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Clculo diferencial e integral de una variable
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Grfica de una funcin de dos variables.
Definicin: Si f es una funcinde dos variables con dominioD, entonces la grfica de fes el conjunto de los puntos (x, y, z)de R3 tales que z = f(x,y) y (x,y) est en D.
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Clculo diferencial e integral de una variable
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Ejemplo
inicio
2. Grafique las siguientes funciones y determine el dominio y laimagen.
2 24a) f ( x , y ) y x
2 29b) z x y
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Curvas de nivel.
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Clculo diferencial e integral de una variable
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O
Definicin: Las curvas de nivel de una funcin fde dos
variables, son las curvas con ecuaciones f(x,y)=k, donde kesuna constante (que pertenece a la imagen de f).
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Clculo diferencial e integral de una variable
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Ejemplos
2 2a) f ( x , y ) x y
2 2b) f ( x , y ) x y
3. Trace la grfica y las curvas de nivel de:
4. Una lamina de metal plana est situada en un plano XY y la temperaturaT (en grados centgrados) en el punto (x, y) es inversamente proporcionala la distancia del punto (x, y) al origen.
a) Describa las isotermasb) Suponiendo que la temperatura en el punto P(4 ; 3) es 40 gradoscentgrados, encuentre una ecuacin de la isoterma correspondiente ala temperatura de 20 grados centgrados.
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Clculo diferencial e integral de una variable
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Ejemplos
5. Describa y trace las superficies de nivel de la funcin:
2 22f ( x , y , z ) x y z
inicio
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Clculo diferencial e integral de una variable
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-1,0 -0,5 -0,2 0 0,2 0,5 1
-1 0,455 0,759 0,829 0,842 0,829 0,759 0,455-0,5 0,759 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,759
-0,2 0,829 0,989 0,999 1,000 0,999 0,986 0,829
0 0,841 0,990 1,000 1,000 0,990 0,841
0,2 0,829 0,986 0,999 1,000 0,999 0,986 0,829
0,5 0,876 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,759
1 0,455 0,759 0,829 0,841 0,829 0,759 0,455
TABLA1 Valores de f(x,y)
-1,0 -0,5 -0,2 0 0,2 0,5 1
-1 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000
-0,5 -0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000 -0,600
-0,2 -0,923 -0,724 0,000 1,000 0,000 -0,724 -0,923
0 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000
0,2 -0,923 -0,724 0,000 1,000 0,000 -0,724 -0,923
0,5 -0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000 -0,600
1 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000
TABLA 2 Valores de f(x,y)
Lmites
2 22 2
1sen x y
f ( x , y )x y
2 2
2 2
2x y
g(x, y )x y
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Clculo diferencial e integral de una variable
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Lmites
Definicin: Sea funa funcin de dos variables cuyo dominioDincluye puntos arbitrariamente cercanos a (a,b). Entonces
decimos que el lmite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (a,b)es L y escribimos
tal que siempre que
y
0,0 f x , y L
x , y D 2 2
0 x a y b
x ,y a,blim f x ,y L
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Clculo diferencial e integral de una variable
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Interpretacin geomtrica de los lmites
X
Z
L
L L
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Clculo diferencial e integral de una variable
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Determina la no existencia del lmite de una funcin real.
Definicin: Si cuando por
una trayectoria C1 y cuando porotra trayectoria C2,, donde , entonces
no existe.
1f x , y L
1 2L L
x ,y a,blim f x , y
x , y a, b
2f x , y L x , y a, b
a
b
y
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Ejemplos
inicio
6. Muestre que no existe 2 40 0x ,y ,
xylim
x y
7. Muestre que no existe 2 20 0x ,y ,
xylim
x y
5. Muestre que no existe
2 2
2 20 0x ,y ,
x ylim x y
-
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Clculo diferencial e integral de una variable
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Continuidad
Definicin: Una funcin fde dos variables, se denominacontinua en (a,b) si
Decimos que fes continua en Dsi fes continua en todo punto(a,b) de D
bayxf
bayx,,lim
,,
Nota:
Las funciones polinomicas y racionales son continuas en su dominio
2 2
1 2
2 2
2 21 0
x ,y ,
x ,y ,
lim x xy y
x ylim
x y
inicio
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Clculo diferencial e integral de una variable
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Derivadas parciales.
Sea z=f(x,y), definida en el dominio D del plano XY y sea(x
0,y
0) un punto de D. La funcin f(x, y
0) depende
solamente de x y est definida alrededor de x0.
Si la derivada existe, el valorde la derivada es llamado
derivada parcial de f(x,y),conrespecto a x en el punto(x0,y0) y se denota por
00 ,
00,
yxx
zyx
x
f
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Definicin de derivada parcial con respecto a x.
0 0 0 00 00x
f x x , y f x , y f x , y limx x
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Clculo diferencial e integral de una variable
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Del mismo modo, la derivada de fcon respecto ayen (a,b) , denotada por fy(x0 ,y0), se obtiene
dejando x fija (x=x0).
0 0 0 0
0 0 0 00
yy
f x , y y f x , y ff x , y x , y lim
y y
Definicin de derivada parcial con respecto a y.
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Clculo diferencial e integral de una variable
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Ejemplos
1. Si f(x,y)=4-x2-2y2, encuentre fx(1,1), fy (1,1), e
interprete estos nmeros como pendientes.
3 2 2a) f ( x , y ) ( x y )
2yb) f ( x , y ) xe ysenx
3 2xc ) f (x , y , z ) xe z xz ln(yz )
2. Obtenga las primeras derivadas parciales de f
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Derivadas parciales respecto a x y a y.
Fin