11

DERETMINGGU

KE TOPIK DOSEN PENGAJAR METODE & MEDIA AJAR

1• Deret• Deret Konvergen dan Divergen SUN LCD, Papan Tulis, Transparansil

2• Deret Positif• Deret Selang-seling SUN LCD, Papan Tulis, Transparansi

3• Deret pangkat• Ekspansi fungsi SUN LCD, Papan Tulis, Transparansi

4• QUIZ I• Vektor SUN LCD, Papan Tulis, Transparansi

1

BARISANB i d l h t bil di t l• Barisan adalah urutan bilangan yang disusun menurut polatertentu.

• Secara umum, barisan dapat dinyatakan sebagai urutan bilangan berikut: a0, a1, a2, a3, …, an

Atau singkatnya {an} dengan an menyatakan suku ke‐n barisan. Suku anmenyatakan pola umum suku ke‐n dari barisan tersebutmenyatakan pola umum suku ke‐n dari barisan tersebut.

Contoh 1: 1, 3, 5, 7, …Adalah urutan bilangan ganjil yang suku sukunya dapat diuraikan sbb:Adalah urutan bilangan ganjil yang suku‐sukunya dapat diuraikan sbb:

1=2.0+1=2.n+1; dengan n=03=2.1+1=2.n+1; dengan n=15=2 2+1=2 n+1; dengan n=25 2.2+1 2.n+1; dengan n 27=2.3+1=2.n+1; dengan n=3

Jadi urutan bilangan: 1, 3, 5, 7, … dapat ditulis a0, a1, a2, a3, …, an, dengan an=(2n+1) dan n=0,1,2,3, …                                                              

2

n ( )

…lanjutan

Contoh 2: 2, 6, 18, 54, …Adalah barisan berpola an=2.3n‐1, dengan n=1, 2,3, … Pembuktian sbb:

n=1, maka a1=2.31‐1=2n=2, maka a2=2.32‐1=6n=3, maka a3=2.33‐1=18n=7, maka a4=2.34‐1=54

Contoh 3: 12, ‐22, 32, ‐42, …Dapat dinyatakan: an=(‐1)n‐1n2, dengan n=1, 2, 3, …Bagaimana kalau n=0, 1, 2, 3, …?

Barisan berhingga dan tak berhingga:•Barisan berhingga mempunyai an dengan nmaks≠∞•Barisan tak berhingga mempunyai an dengan nmaks=∞gg p y n g maks

3

DERETDERET• Deret adalah hasil penjumlahan semua suku dalam barisan.• Misalkan terdapat barisan: a1, a2, a3, a4, …, an, maka deretnya adalah:1 2 3 4 n

∑∞

=

=++++1

321 ...n

nn aaaaaP b d tPenamaan bermacam‐macam deret:Deret bilangan: deret yang mempunyai suku berupa bilangan tetap.Deret variabel/pangkat: deret yang memp. suku berupa bil. variabel.

i if bil d k d l l i ifDeret positif: bila tanda suku deret selalu positif.Deret selang‐seling: bila tanda suku deret berganti secara selang‐seling antara positif dan negatif  

∞

Contoh 1: ∑=

+++++=1

...4321n

nn

Merupakan deret bilangan positif, yang biasa dikenal sebagai deret hitung. Ciri deret hitung adalah sebuah suku mempunyai beda yang sama dengan suku

4

deret hitung adalah sebuah suku mempunyai beda yang sama dengan suku sesudah atau sebelumnya. Beda suku deret hitung di atas adalah 1.

…lanjutan

n1...

41

31

211 +++++Contoh 2:

nn 1)1(...4321 −−++−+−Contoh 3:

Merupakan deret bilangan positif yang disebut deret harmonis

nn )31()1(...

271

91

311 −++−+−

Merupakan deret bilangan selang‐seling atau deret bolak‐balik

Contoh 4:

Merupakan deret bilangan selang‐seling atau dinamakan deret ukur. Ciri deret ini adalah bahwa suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan sebuah bilangan dengan suku sebelumnya.  Bilangan pengali ini disebut PEMBANDINGt RASIO P b di d d t k i i d l h (1/3)atau RASIO. Pembanding pada deret ukur ini adalah (1/3).

Contoh 5: ∑∞

+++++= 33

2210 ... n

nn

n xaxaxaxaaxa

Merupakan deret variabel atau pangkat

∑=0

3210n

nn

Contoh 6: )12(153

)!12(1)1(

!5!3−−−++− nn xxxx Merupakan deret pangkat

5

)!12()(

!5!3 −n

…lanjutan

Latihan:Tentukan jenis deret dan tentukan pola umum untuk suku ke‐n dari setiap deret di bawah ini, dan nyatakan pula deret tersebut dalam bentuk Σ

139511.

2.11111

...171

101

51

21

...13951

++++

++++

3.

4....

271

91

311

...9753

1

2

2222

+−+−

++++−

xx5.

6....

432

...32

1

2

4

2

3

2

2

2

+−+−

++−

xxxx

xx

7.

8...

312111

...9

sin43

sin2sin

32

++

++

++

+++

xxx

xxx

6

8.

9....)1(

41)1(

31)1(

21)1(

312111432 +−−−+−−−

+++

xxxx

Deret Konvergen dan Divergen:Jika hasil penjumlahan deret dituliskan Sn, maka:p j n

S1=a1S2=a1+a2S3=a1+a2+a33 1 2 3

Sn=a1+a2+a3+…+anSn disebut jumlah sebagian deret. Karena deret tak berhingga mempunyai n=∞, maka S dapat dicari dengan limit.

nnSS

∞→= lim

Jika S menuju nilai tertentu, deretnya disebut deret konvergen.Jika S menuju nilai ± ∞ atau bernilai tak tunggal, disebut deret divergen.Contoh 1: Tinjau deret selang seling: a‐a+a‐a+…Jawab:

Sn=0, jika n genap (1,3,5,7,…)Sn=1, jika n genap (0,2,4,6,…)

Ketidak‐tunggalan nilai Sn menunjukkan bahwa deret tersebut bersifat d

7

divergen.

Contoh 2: Tinjau deret hitung: a+(a+b)+(a+2b)+(a+3b)+…b

…lanjutan

Jawab:Jumlah deret hitung dengan n buah suku dan beda b dapat dinyatakan sbb:

{ }bnanSn )1(22

−+=

{ } ∞=−+= bnanS )1(22

lim

maka:

{ }∞→n 2

Jadi, deret hitung adalah deret yang divergen.

Contoh 3: Tinjau deret ukur dengan pembanding (rasio)=r sbb: a+ar+ar2+ar3+…+arn‐1

Jawab:Jumlah deret tersebut sampai suku ke‐n adalah: )1( raS

n

n−

=)1( rn −Hal ini dapat dibuktikan sbb:

132 ... −+++++= nn ararararaS

nn arararararrS +++++= −132

8

n arararararrS +++++= ...__

)1()1( nn rarS −=−

Untuk n→∞, maka:

…lanjutan

)1(lim raSn−

=

Jika |r|<1 dan n→∞, maka rn=0, sehingga S menjadi:Karena nilai a dan r tertentu maka juga diperoleh S tertentu Jadi suatu deret

)1( rn −∞→

)1( raS−

=Karena nilai a dan r tertentu, maka juga diperoleh S tertentu. Jadi, suatu deret ukur akan konvergen jika |r|<1 

Jika |r|>1 dan n→∞, maka rn=∞, sehingga S juga bernilai ∞.  Jadi, deret ukur akan divergen jika |r|>1akan divergen jika |r|>1.

Jika r=1, maka (1‐rn)=0 dan (1‐r)=0, sehingga S=0/0 (tak terdefinisi).

Jika r=‐1, maka (1‐rn) bernilai 2 untuk n ganjil, dan 0 untuk n genap, sehingga S bernilai 0 untuk n genap dan a untuk n ganjil Jadi karena nilai tak tunggalbernilai 0 untuk n genap dan a untuk n ganjil. Jadi karena nilai tak tunggal, maka deret ukur akan divergen jika |r|≥1.

Kasus untuk: (1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+…, adalah deret ukur dengan pembanding r=(1/2) Karena r<1 maka deret ini konvergenpembanding r=(1/2). Karena r<1, maka deret ini konvergen. 

9

Contoh 4: Tentukan deret berikut konvergen atau divergen: 

…lanjutan

g g

Jawab:...

)1(1...

5.41

4.31

3.21

2.11

++

+++++nn

1 21121

1 =S43

121

61

21

3 =++=S32

61

21

2 =+=S

=nS n

Karena S mempunyai nilai limit tertentu maka deret di atas adalah

)1( +=

nSn 1

)1(limlim =

+==

∞→∞→ nnSS

nnn

Karena S mempunyai nilai limit tertentu, maka deret di atas adalah konvergen

10

Contoh‐contoh uji konvergensi/divergensi dengan BASIC:

Contoh 5: (1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)Contoh 5: (1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16) 

Jawab:

100 A=0

110 For N 1 to 20110 For N=1 to 20

120 A=A+1/2^N

130 Print A

140 Next N140 Next N

Hasil:

0.5

0 750.75

0.875

.

.

0.9999981

0.9999991

K i l S d k ti 1

11

Kesimpulan: Sn mendekati 1

…lanjutan

Contoh 6: 1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+…Contoh 6: 1 (1/2) (1/3) (1/4) … Jawab:100 A=0110 For N=1 to 100120 A=A+1/N130 Print A140 Next NHasil:11.51 8333331.833333..5 1873785.187378Kesimpulan: Semakin banyak suku semakin besar Sn, S=∞, divergen.

12

Contoh 7: 1‐(1/2)+(1/3)‐(1/4)+(1/5)‐(1/6)+… J b

…lanjutan

Jawab:100 A=0110 For N=1 to 100120 A=A‐1/N*(‐1)^N130 Print A140 Next NHasil:110.50.833334..0.6687713 (N=20)..0.699 (N=100)..

( )

13

0.69264 (N=1000)Kesimpulan: Deret konvergen.

Latihan:

/Uji konvergensi/divergensi deret berikut:

1. (1/3)+(6/3)‐(11/3)+(16/3)+…

2. 1‐(1/4)+(1/16)‐(1/64)+…

3 (2/3)+(1/2)+(3/8)+(9/32)+3. (2/3)+(1/2)+(3/8)+(9/32)+…

4. 1‐(3/2)+(9/4)‐(27/8)+…

14

DERET POSITIF

adalah deret yang semua sukunya terdiri dari bilangan konstan bertanda positif 

∑∞

=

++++=1

321 ...n

nn aaaaa1n

Beberapa untuk menentukan konvergensi deret positif:p

1.Uji awal

2 Uji banding2.Uji banding

3.Uji nisbah D’Alembert

15

4.Uji integral

UJI AWAL:

Uji awal dapat digunakan untuk mendeteksi deret yang sudah pasti divergen.j p g y g p g

Misalkan diberikan deret sbb:

∑∞

=

++++=1

321 ...n

nn aaaaali1n

Untuk menerapkan uji awal, dihitung nilai:  nna

∞→lim

Jika:1).                ,maka deret tersebut pasti divergen0lim ≠

∞→ nna) , p g

2).                ,maka deret tersebut mungkin konvergen∞→n

0lim =∞→ nna

Contoh 1:1‐(1/3)+(1/9)‐(1/27)+…, deret konvergen karena sukunya terus menurun1 (1/3)+(1/9) (1/27)+…, deret konvergen karena sukunya terus menurun 

menuju nol.Contoh 2:1+3+9+27+…, deret divergen karena sukunya terus bertambah tidak menuju , g y j

nol.Contoh 3:Deret harmonis: 1+(1/2)+(1/3)+(1/4)+…+(1/n), limitnya: 0/1lim =n

16

yDeret mungkin konvergen/divergen, perlu uji konvergensi yang lain.

∞→n

UJI BANDING:

Deret positif akan konvergen jika setiap suku dalam deret < suku seletak pada p g j p pderet positif lain yang konvergen.(UB01)Deret positif akan divergen jika setiap sukunya > suku seletak pada deret positif lain yang divergen.(UB02)Contoh 1:Ujilah deret berikut ini: 1+(1/22)+(1/33)+(1/44)+…+(1/nn)Diambil deret konvergen lain (deret ukur) sebagai pembanding:

1+(1/22)+(1/23)+(1/24)+…+(1/2n)Jika dibandingkan suku leletaknya, mulai suku ketiga diperoleh:

(1/33)<(1/23), (1/44)<(1/24), …, jadi: 1/nn<1/2n untuk n=3,4,5,…Kesimpulan: sesuai UB01, maka deret KONVERGEN.

CATATAN:Deret pembanding: (1/1p)+(1/2p)+(1/3p)+(1/4p)+…+(1/np)

Jika p>1, maka deretnya konvergenJika p≤1, maka deretnya divergen

17

p , y g

Contoh 2:…lanjutan

Ujilah deret berikut ini: (1/(1.2))+(1/(2.3))+(1/(3.4))+(1/(4.5))+…+(1/(n.(n+1)))+…

Jawab:

Jika digunakan deret pembanding untuk p=2, maka:

(1/12)+(1/22)+(1/32)+(1/42)+…

Dari pembandingan suku seletak diperoleh:Dari pembandingan suku seletak diperoleh:

1/(1.2)<1/12, 1/(2.3)<1/22, 1/(3.4)<1/32

Kesimpulan: sesuai UB01, maka deret KONVERGEN.

18

UJI NISBAH D’ALEMBERT:

Untuk menentukan konvergensi/divergensi suatu deret positif: ∑∞

naCaranya sbb (UND):1.Tentukan suku ke‐n dari deret positif tersebut: an2.Tentukan suku ke‐(n+1): an+1

∑=1n

3.Hitung besaran berikut:

Jika:ρ<1 maka deret konvergen; ρ>1 maka deret divergen

n

n

n aa 1lim +

∞→=ρ

ρ<1, maka deret konvergen; ρ>1, maka deret divergenρ=1, maka deret mungkin divergen, mungkin pula konvergen (uji D’Alembert tidak dapat digunakan)

Contoh 1:Ujilah deret berikut ini: (1/1)+(3/2)+(5/22)+(7/23))+…=Jawab: mengacu UND, maka:

∑∞

=

+

0 212

nn

n

12 32g

Sehingga:

nnna2

12 += 11 2

32+++

= nnna

21

122.

232lim 1 =

++

= +∞→ nn n

nnρ

19Kesimpulan: karena ρ<1, maka deret KONVERGEN.

2122 +∞→ nn

UJI INTEGRAL:

Untuk uji konvergensi/divergensi deret positif:          dengan uji integral, lebih ∑∞

naj g g p g j gdulu dihitung:

Jika:

∑=1n

n

∫∞

=1

dnaI n

I bernilai tertentu, maka deret konvergenI=±∞, maka deret divergen

Contoh 1:Ujilah deret berikut ini: 1+(1/22)+(1/32)+(1/42))+…

Jawab:Bentuk umum suku ke‐n: 1+(1/22)+(1/32)+(1/42))+…+(1/n2)=maka:

∑∞

=1

2/1n

nmaka:

Kesimpulan: karena I=1 maka deret KONVERGEN

∫∞

∞ =+∞−=−==1

12 11/1/1|/1/1 ndnnI

20

Kesimpulan: karena I 1, maka deret KONVERGEN.

LATIHAN:1. Ujilah kedivergenan deret berikut dengan uji awal:j g g j

a. 1/3 + 2/5 + 3/7 + …

b. 1+ 1/22 + 1/33 +1/44 + …

c 1/2 + 2/3 + 3/4 +c. 1/2 + 2/3 + 3/4 + …

2. Ujilah kekonvergenan deret berikut dengan uji banding:

a. 1/1.2 + 1/2.3 + 1/3.4 + 1/n.(n+1) + …

√ √b. 1 + 1/√2 + 1/ √3 + …3. Ujilah kekonvergenan deret berikut dengan uji nisbah d’Alembert:

a. ½ + (1/2).(2/22) + (1/3).(3/23) + …( / ) ( / ) ( / ) ( / )

b. 1 + 1/2! + 1/3! + …

4. Ujilah kekonvergenan deret berikut dengan uji integral:

a 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +a. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …

b. 1 + 1/4 + 1/9 + 1/27 + …

21

5. Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen:…lanjutan

a.  ∑∞

= +12 91

n n

b. ∑∞

=2 ln1

n nn

c.

2n

∑∞

323

n

d.

=0 2n

∑∞ ne

d. ∑=0 !n n

∑∞ 1

22

e.  ∑=2

2/3

1n n

Adalah deret bilangan yang mempunyai tanda suku berganti‐ganti antara positif

DERET SELANG‐SELINGAdalah deret bilangan yang mempunyai tanda suku berganti‐ganti antara positif 

dan negatif.

Secara umum deret selang‐seling dinyatakan sebagai berikut:∞

Syarat deret selang‐seling konvergen adalah:

∑∞

=

−− −+−+−=−1

1321

1 )1(...)1(n

nn

nn aaaaa

1. Limit dari nilai mutlak suku an adalah 0:

2. Harus merupakan deret monoton turun untuk setiap suku mutlaknya:

0||lim =∞→ nn

a

|||| 1 aa <Konvergensi deret selang‐seling dapat dikelompokkan sbb: (SDSK)

1. Deret konvergen mutlak:

adalah deret selang seling konvergen yang deret mutlaknya juga bersifat

|||| 1 nn aa <+

adalah deret selang‐seling konvergen yang deret mutlaknya juga bersifat konvergen.

2. Deret konvergen bersyarat:

d l h d l l k d l k d

23

adalah deret selang‐seling konvergen yang deret mutlaknya divergen.

Contoh 1:

T t k d t l li b ik t k tl k t b t

…lanjutan

Tentukan deret selang‐seling berikut konvergen mutlak atau bersyarat.

1‐(1/2)+(1/3)‐(1/4)+…+(‐1)n‐11/n

Jawab:

Sesuai SDSK, maka:

1/2<1, 1/3<1/2, dst. atau

Berdasarkan kedua sifat tersebut, maka deret tsb. konvergen.

0/1lim||lim ==∞→∞→

nannn

|||| 1 nn aa <+

e dasa a edua s a e sebu , a a de e sb o e ge

Deret positifnya: 1+ 1/2 + 1/3 + …, merupakan deret harmonis, yaitu sebuah deret divergen.

Kesimpulan: deret tersebut adalah KONVERGEN BERSYARATKesimpulan: deret tersebut adalah KONVERGEN BERSYARAT.

Contoh 2:

/ /

∑∞

=

− −+−=−1

2221 ...3/12/11/1)1(n

n n

/li||li 2Jawab: , 1/6 <1/4, ½<1,…

Deret positifnya: 1 + 1/22 + 1/ 32 + 1/42 + .. + 1/n2, uji integral deret positifnya: 

,deret konvergen∫∞

∞ =−=2 1|/1/1 ndnn

0/1lim||lim 2 ==∞→∞→

nannn

24

Kesimpulan: deret tersebut adalah KONVERGEN MUTLAK.∫ =−=1

1 1|/1/1 ndnn

LATIHAN:Tentukan, apakah deret berikut konvergen mutlak atau bersyarat:

1. ...21

21

21

21

432 +−+−∞ )1( n

2.

3

∑=

−

2 ln)1(

n nn

2222432

3.

4.

...!4!3!2

2 +−+−

∑∞ − )1( n

5.

∑=1n n

∑∞ − )1( n

n6.

=1n n

∑∞

=

−

1

2

)!2()!()1(

n

n

nn

25

)(

Adalah deret yang sukunya berbentuk: anxn di sekitar x=0, atau yang sukunya 

DERET PANGKATy g y n , y g y

berbentuk an(x‐b)n di sekitar x=b. Secara umum dinyatakan sbb:

Deret pangkat sekitar x=0:

(DP0) ∑∞

++++= 33

2210

n xaxaxaaxa(DP0)

Deret pangkat sekitar x=b:

(DPB)

b d l h b h b l

∑=

++++0

3210 ...n

n xaxaxaaxa

∑∞

=

+−+−+=−0

2210 ...)()()(

n

nn bxabxaabxa

b adalah sebuah bilangan tetap.

Jika dimasukkan nilai x tertentu, dapat menghasilkan deret positif atau selang‐seling. Jadi konvergensi deret pangkat tergantung nilai x yang dib ik

=0n

diberikan.

Nilai x tertentu yang dapat menghasilkan deret pangkat yang konvergen dihitung menggunakan uji nisbah d’Alembert:

na 1li +

n

n

n a1lim +

∞→=ρ

1||lim1

1 <==+

+ xa

xan

nn

nn ρρ

26

∞→ xa nn

n

Dengan berpedoman pada uji nisbah, bahwa deret pangkat konvergen bila: ρn<1 atau ρ|x|<1, maka deret pangkat akan konvergen untuk daerah nilai 

…lanjutan

ρn ρ| | , p g g|x|<1/ρ.

Jadi deret ini konvergen pada selang ‐1/ρ<x<+1/ρ.Daerah x tergantung dari nilai ρ:Daerah x tergantung dari nilai ρ:1. Jika ρ=0, maka deret dikatakan konvergen untuk semua nilai.

2. Jika ρ=~, maka deret dikatakan konvergen hanya untuk nilai x=0.

k / / k d d k k k k d h3. Jika ‐1/ρ<x<+1/ρ, maka deret dikatakan konvergen untuk daerah x antara ‐1/ρ sampai +1/ρ. Dalam hal ini harus dipelajari kelakuan deret pada titik x=‐1/ρ dan x=+1/ρ dengan cara memasukkan kedua nilai x ini ke dalam deret mula mula Pada semua nilai ini harus diperiksa apakah diperolehderet mula‐mula.  Pada semua nilai ini harus diperiksa apakah diperoleh deret bilangan bersifat konvergen atau divergen. 

27

Contoh 1:

Tentukan daerah kekonvergenan deret berikut:

…lanjutan

g

x ‐ x2/2 + x3/3 – x4/4 + … (C1)

Jawab: deret ini identik dengan bentuk persaman DP0, maka deret ini adalah deret pangkat untuk sekitar x=0 dan nilai mutlak suku ke‐n dan ke‐(n+1)deret pangkat untuk sekitar x 0 dan nilai mutlak suku ke n dan ke (n+1) adalah:

nxxa

nn

n =||1

11

1 +=

++

+ nxxa

nn

n

Untuk menentukan selang x yang membuat deret ini konvergen, digunakan hubungan:

1+n

1.lim1

<=+

n

n

nnxρ

|x|<1 atau ‐1<x<1

Untuk x=1, pada (C1), maka menjadi deret selang‐seling yang konvergen 

)1( + nn xnρ

bersyarat. Sedangkan untuk x=‐1, maka menjadi deret harmonis bertanda negatif yang divergen.

Jadi: deret konvergen untuk nilai x diantara x>‐1 sampai x≤+1. Di titik x=‐1, 

28

deret divergen.

Kesimpulan: deret konvergen pada daerah ‐1<x ≤+1

Contoh 2:

Perhatikan deret pangkat sekitar x=a berikut:

…lanjutan

p g

Jawab: deret ini mempunyai suku a sbb:

...16

)2(9

)2(4

)2()2(432

+−

+−

+−

+−xxxx

Jawab: deret ini mempunyai suku an sbb:

2

)2(n

xan

n−

= 2

1

1 )1()2(

+−

=+

+ nxa

n

n 1)2(

.)1()2(lim

2

2

1

<−+

−=

+

∞→ n

n

nn xn

nxρ

|x‐2|<1 atau ‐1<x‐2<+1

1<x<3

Masukkan x=1 ke dalam deret: ∑∞ −

2

)2( nx

Diperoleh hasil:

‐1 + 1/4 ‐ 1/9 + 1/16 ‐ … (konvergen mutlak)

Untuk x=3 deret menjadi: 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + (ini juga deret konvergen)

∑=1

2n n

Untuk x=3, deret menjadi: 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … (ini juga deret konvergen)

Kesimpulan: Daerah kekonvergenan deret adalah 1≤x ≤3

29

Tentukan daerah kekonvergenan deret berikut:LATIHAN:

1. ...222

432

+−+−xxxx

2.

3

...42

12

+++xx

32 323.

4.

...32 32 +++ xxx

...!3!2

1 +++xx

5.

!3!2

∑∞

= −+

1 )3()2(

nn

n

nx

6. ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

1 51

n

nxn

30

Salah satu cara memudahkan penyelesaian diferensiasi dan integrasi dari

PENGURAIAN FUNGSI DALAM DERETp y g

suatu fungsi f(x) adalah menguraikan fungsi tersebut menjadi sebuah deretpangkat.

Terdapat 2 macam deret pangkat, yaitu: deret pangkat dengan x berharga dip p g , y p g g gsekitar 0, dan deret pangkat dengan x berharga di sekitar suatu tetapan, misalb.

Uraian fungsi f(x) disekitar x=0 sbb: (PFD1)g ( ) ( )

Uraian fungsi f(x) di sekitar x=b sbb: (PFD2)

nn xaxaxaxaaxf +++++= ...)( 3

32

210 ∑∞

=

=0n

nn xa

Uraian fungsi f(x) di sekitar x=b sbb: (PFD2)

nn bxabxabxabxaaxf )(...)()()()( 3

32

210 −++−+−+−+= ∑∞

=

−=0

)(n

nn bxa

Dalam (PFD1) dan (PFD2) tetapan a0, a1, a2, … belum diketahui, sehinggaharus dihitung.

Jika fungsi f(x) diuraikan ke dalam deret pangkat di sekitar x=b, maka langkah

31

yang harus dilakukan adalah sebagai berikut:

1.Masukkan nilai b ke dalam fungsi f(x) dan uraiannya. Diperoleh:

…lanjutan

nbbabbabbaabf )()()()( 2 ++++=sehingga:

d f( ) b d kk l

n bbabbabbaabf )(...)()()( 210 −++−+−+=

!0)()(0

bfbfa ==

2. Cari turunan pertama dari f(x) besera uraiannya. Kemudian masukkan nilai x=b pada turunan pertama, diperoleh:

3. Cari turunan kedua dari f(x) beserta uraiannya. Kemudian masukkan nilai b d k d d l h

!1)(')('1

bfbfa ==

x=b pada turunan kedua, diperoleh:

Jika dilakukan untuk turunan ketiga, keempat, kelima, dst., diperoleh:!2

)(''2

bfa =

,

Perhatikan bahwa a0 a1 a2 a3 a4 sebenarnya memiliki pola umum:!3

)('''3

bfa =!4

)(4

4bfa =

Perhatikan, bahwa a0, a1, a2, a3, a4 sebenarnya memiliki pola umum:

D d iki k l h dik h i il i!

)(n

bfan

n =

32

Dengan demikian, sekarang telah diketahui semua nilai tetapan an, 

sehingga fungsi f(x) dapat diuraikan  ke dalam deret pangkat. Masukan a ke dalam uraian deret pangkat sekitar x=b, maka diperoleh:

…lanjutan

p g , p

(inilah deret Taylor)

Pada persoalan terapan numerik x adalah suatu tetapan Pada kasus ini jika

∑∞

=

−=0

)(!

)()(n

nn

bxn

bfxf

Pada persoalan terapan numerik, x adalah suatu tetapan. Pada kasus ini, jika pada deret Taylor dimasukkan b=x‐x0, maka diperoleh:

atau[ ]∑∞

−−−

= 00 )(

!)(

)( nn

xxxn

xxfxf [ ]∑

=0 !n n

∑∞

=

−=

00

0 )(!

)()(

n

nn

xn

xxfxf

Sekarang variabel x pada fungsi f(x) diganti dengan x+x0, dengan x0 berupa tetapan yang berharga kecil, maka: 

0

∑∞

)()()( nn xff

Perhatian: x di sini adalah suatu nilai numerik!.

Kesimpulan: bahwa untuk menguraikan f(x+x ) hanya dibutuhkan turunan

∑=

=+0

00 )(!

)()(n

nxn

xxf

33

Kesimpulan: bahwa untuk menguraikan f(x+x0) hanya dibutuhkan turunan dari f(x).

Contoh 1:Hitung nilai sin 44o

b

…lanjutan

Jawab: Digunakan acuan sinus 45o=1/2√2, sehingga: sin 44o=sin (45o‐1o).Uraikan f(x)=sin (x) untuk x=45o dan turunanannya: (‐1o=‐0.01745)

f(x)=sin (x) maka:f(x)=sin (x), maka:f(45o)=sin 45o=1/2√2f’(45o)=cos 45o=1/2√2f’’(45o)=‐sin 45o=‐1/2√2f (45 ) sin 45 1/2√2f’’’(45o)=‐cos 45o=‐1/2√2f’’’’(45o)=sin45o=1/2√2, dan seterusnya

Dengan menggunakan deret Taylor, nilai sin 44o diselesaikan sbb:g gg y ,

Maka:√

no

n

oooo xn

xfxxfxxfxxfxfxxf!

)(...!3

)(!2

)(''!1

)(')()( 33

2 +++++=+

Sin (45o‐1o)=1/2√2(1 + (‐0.01745)/(1!) – (‐0.01745)2/(2!) – (‐0.01745)3 /(3!) + …)

=0.69466Jadi: sin 44o=0 69466

34

Jadi: sin 44o=0.69466

Contoh 2:

Tunjukkan bahwa jika h kecil, maka:

…lanjutan

22

2

211

)1(2

1tan)(tan

xxh

xhxhx

+−

++=+ −−

Jawab: dimisalkan f(x)=tan‐1x dan xo=h, maka:222 )1(1 xx ++

211)('x

xf+

= 22''

)1(2)(xxxf

+−=

Dimasukkan ke Taylor, maka:

U t k h k il k l i k k ti d t di b ik

...)1(

21

tantan 22

2

211 +

+−

++= −−

xxh

xhxx

Untuk h kecil, maka mulai suku ketiga dapat diabaikan.

Deret Taylor untuk x=b:                                     , untuk b=0, maka:∑∞

=

−=0

)(!

)()(n

nn

bxn

bfxf

)0(nf , bersesuaian dengan deret pangkat di sekitar x=0, 

dan dikenal dengan nama deret Maclaurin.

Contoh 3:

∑∞

=

=0

)(!

)0()(n

nn

xn

fxf

Contoh 3:

Uraikan f(x)=ex dalam deret Maclaurin, maka:

Jawab: Deret Maclaurin menguraikan fungsi di sekitar x=0Nil i t f( ) x d l h

35

Nilai turunan f(x)=ex adalah:

f(x)=f’(x)=f’’(x)=f3(x)=…=fn(x)=ex, untuk x=0, maka:

f(0)=f’(0)=f’’(0)=…=fn(0)=eo=1, dimasukkan ke uraian Maclaurin:

…lanjutan

( ) ( ) ( ) ( ) ,

∑∞

=

=0 !

1n

nx xn

e

...132 xxxx n

+++++=

Contoh 4:

Carilah deret Maclaurin dari f(x)=ln (1+x)

!...

!3!2!1 n

( ) ( )

Jawab:                                            ,f(0)=ln 1=0

,f’(0)=1

)1ln()( xxf +=

1)1(1)(' −+== xxf ( )

,f’’(0)=‐1

)(1

)(+ x

22

)1(1)1()(''x

xxf+−

=+−= −

,f’’’(0)=233

)1(2)1(2)('''x

xxf+

=+= −

)1l ()(5432 xxxxf

36

Jadi: ...5432

)1ln()( −+−+−=+=xxxxxxxf

…lanjutan

Fungsi x Uraian Konvergensix 1 + ( /1!) + ( 2/2!) + ( 3/3!) + | | <ex 1 + (x/1!) + (x2/2!) + (x3/3!) + … |x| < ∞

sin x x – (x3/3!) + (x5/5!) – (x7/7!) + … |x| < ∞

cos x 1 – (x2/2!) + (x4/4!) – (x6/6!) + |x| < ∞cos x 1 – (x /2!) + (x /4!) – (x /6!) + … |x| < ∞

ln (1+x) x – (x2/2) + (x3/3) – (x4/4) + … -1< x ≤1

(1+x)-1 1 - x + x2 - x3 + … |x| < 1( ) | |

(1+x)α 1 + αx + (1/2!) α(α-1)x2 + … |x| < ∞

sinh x x + (x3/3!) + (x5/5!) + … |x| < ∞

Contoh 5:

cosh x 1 + (x2/2!) + (x2/4!) + … |x| < ∞

Carilah deret sin x2, untuk x sekitar 0

Jawab: Dari deret dasar sin x pada tabel, dan ganti x dengan x2, maka:sin x2 = x2 – (x6/3!) + (x10/5!) – (x14/7!) + …

37

sin x  x (x /3!) + (x /5!)  (x /7!) + …

Contoh 6:

Uraikan fungsi f(x) = xex dalam deret MacLaurin.

…lanjutan

g ( )

Jawab: Dari deret dasar ex pada tabel, dan mengalikan dengan x, maka: x.ex = x (1 + x + (x2/2!) + (x3/3!) + …)

Jadi: f(x) = xex mempunyai uraian sebagai berikut:Jadi: f(x)   xe mempunyai uraian sebagai berikut:

x.ex = x + x2 + (x3/2!) + (x4/3!) + …

Contoh 7:

B k h j l h k k (S ) d i d b ik1111 ++Berapakah jumlah suku ke‐n (Sn) dari deret berikut: 

Jawab: Dari fungsi dasar ln(1+x) pada tabel, untuk x=1 diperoleh:

ln(1+1) = 1 – (1/2) + (1/3) – (1/4) + … atau

...432

1 +−+−

1 – (1/2) + (1/3) – (1/4) + … = ln 2

Catatan:Catatan:

Fungsi dasar pada tabel berguna untuk membantu menguraikan fungsi yang agak rumit, menyelesaikan fungsi integral, dan mencari jumlah suku ke‐n dari suatu deret.

38

suatu deret.

Contoh 8:Selesaikan integral berikut: 

…lanjutan

∫ =1.0

2 ....cos dxxJawab: Dari fungsi dasar cos x pada tabel, untuk cos x2 diperoleh:

cos x2=1 – (x4/2!) + (x8/4!) – (x12/6!) + …Sehingga:

0

=0.1 – 0.000001= 0.099999∫ ∫ −+−=1.0

0

1.0

0

842 ...)!4/!2/1(cos dxxxdxx 1.00

95 |...!4.9/!2.5/ −+−= xxx

Contoh 9:???Uraikan f(x)=(x2‐4)‐1

Jawab: Bentuk fungsi ini tidak terdapat dalam tabel, sehingga perlu dilakukan g p gg plangkah‐langkah sbb:‐Uraikan menjadi faktor sbb: (x2‐4)‐1=(x+2)‐1(x‐2)‐1

(x‐2)‐1=[‐2(1‐(x/2)]‐1

⎤⎡ ⎞⎛⎞⎛32

= ‐1/2 – x/4 – x2/8 – x3/16 ‐ …

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++−= ...

2221

21 32 xxx

39

  1/2  x/4  x /8  x /16  …

(x+2)‐1=[2(1+(x/2)]‐1…lanjutan

⎤⎡ ⎞⎛⎞⎛1 32 xxx

= 1/2 – x/4 + x2/8 – x3/16 + …

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+−= ...

2221

21 xxx

Jika kedua fungsi dijumlahkan, diperoleh:(x‐2)‐1+(x+2)‐1=2x(x2‐4)‐1=‐x/2 – x3/4 ‐ x5/16 ‐ …

atau (x2‐4)‐1=1/2x‐1[(x‐2)‐1+(x+2)‐1]Jadi: uraiannya adalah:(x2‐4)‐1=‐1/4 – x2/8 – x4/32 ‐ …

Contoh 10:

Hitung uraian deret Maclaurin dari tan‐1x 

Jawab:∫ +

=−x

tdtx

02

1

1tan

1Dengan menggunakan tabel, fungsi           dapat diuraikan sekitar x=0, maka: 

+ t0 1

211t+

...11

1 422 −+−= tt

t

40

1 2+ t

Sehingga diperoleh:

…lanjutan

∫∫xx dt

d l h d 1 k k k ( k d

∫∫ −+−=+

=− dtttt

dtx0

42

02

1 ...)1(1

tan

53tan

531 xxxx +−=−

Deret yang diperoleh dari tan‐1x akan konvergen untuk x=1 (gunakan uji deret selang‐seling). Dengan memasukkan nilai x=1 ke dalam persamaan tan‐1x, maka:

53

11

Karena tan‐11=π/4, maka:

...51

3111tan 1 −+−=−

π/4=1 – 1/3 + 1/5 ‐ …π=4(1 – 0.333 + 0.20 ‐ …)

41

1. Hitung nilai sin 31o dan cos 59o.

LATIHAN:g

2. Uraikan fungsi f(x) berikut ini:

ln x untuk sekitar x=1

3 Uraikan f(x) di bawah ini dalam deret Maclaurin sampai suku ke lima:3. Uraikan f(x) di bawah ini dalam deret Maclaurin sampai suku ke lima:

a. exsin x, b.               , c.                              , d.                , e.           ,f. xx +1 ∫ −=

−+ x

tdt

xx

0211

1ln ∫ −x

t dte0

2

xx

−+

11 xe −

4. Gunakan uraian fungsi dasar dalam deret Maclaurin untuk menghitung integral, limit dan turunan fungsi f(x) berikut:

a.                      b.                     c.                      d. ∫ −01.0

0

dtet t ∫−1

0

1dxx

ex

3sinlim

0

xxx

−→ x

xx

)1(lnlim0

−→

e.                                 f.2.0

34

4

)1ln( =+ xxdxd

04

6

6

)( =xxex

dxd

42

5. Buktikan dengan menggunakan uraian deret fungsi dasar bahwa:

…lanjutan

a.4

...71

51

311 π

=+−+−

b. 1...!7!5!3

642

=−+−πππ

c. 2...!3)3(ln

!2)3(ln3ln

32

=+++!3!

43