DERET TAYLOR & APLIKASI - Universitas...
Transcript of DERET TAYLOR & APLIKASI - Universitas...
![Page 1: DERET TAYLOR & APLIKASI - Universitas Brawijayamasud.lecture.ub.ac.id/files/2012/12/Deret-Taylor-Diferensial... · •Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajat tak hingga](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052118/5c79ace009d3f207058b5057/html5/thumbnails/1.jpg)
Deret Taylor & Diferensial Numerik
Matematika Industri II
![Page 2: DERET TAYLOR & APLIKASI - Universitas Brawijayamasud.lecture.ub.ac.id/files/2012/12/Deret-Taylor-Diferensial... · •Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajat tak hingga](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052118/5c79ace009d3f207058b5057/html5/thumbnails/2.jpg)
Maclaurin (Power) Series
• Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajat tak hingga
• Notice: Deret infinite (tak hingga) menyatakan bahwa akhirnya deret ini sama dengan fungsi sebenarnya, bukan penaksiran lagi!
!)0(
!2)0(
)0()0()(
)(2
n
xf
xf
xffxf
nn
![Page 3: DERET TAYLOR & APLIKASI - Universitas Brawijayamasud.lecture.ub.ac.id/files/2012/12/Deret-Taylor-Diferensial... · •Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajat tak hingga](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052118/5c79ace009d3f207058b5057/html5/thumbnails/3.jpg)
DERET TAYLOR (Persamaan Deret Taylor)
Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik,terutama penyelesaian persamaan diferensial.
Bentuk umum deret Taylor:
Jika suatu fungsi f(x) diketahui di titik xi dan semua turunan f terhadap x diketahui pada titik tersebut, maka dengan deret Taylor dapat dinyatakan nilai f pada titik xi+1 yang terletak pada jarak ∆x dari titik xi .
n
n
in
iiiii Rn
xxf
xxf
xxf
xxfxfxf
!)(.....
!3)('''
!2)(''
!1)(')()(
32
1
f(x)
Order 2
Order 1
xi xi+1
f(xi ) : fungsi di titik xi
f(xi+1 ) : fungsi di titik xi+1
f ’, f ’’,..., f n : turunan pertama, kedua, ...., ke n dari fungsi
∆x : jarak antara xi dan xi+1
Rn : kesalahan pemotongan
! : operator faktorial
![Page 4: DERET TAYLOR & APLIKASI - Universitas Brawijayamasud.lecture.ub.ac.id/files/2012/12/Deret-Taylor-Diferensial... · •Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajat tak hingga](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052118/5c79ace009d3f207058b5057/html5/thumbnails/4.jpg)
Dalam praktek sulit memperhitungkan semua suku pada deret Taylor tersebut dan biasanya hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja.
1. Memperhitungkan satu suku pertama (order nol) Artinya nilai f pada titik xi+1 sama dengan nilai pada xi . Perkiraan tersebut benar
jika fungsi yang diperkirakan konstan. Jika fungsi tidak konstan, maka harus
diperhitungkan suku-suku berikutnya dari deret Taylor.
2. Memperhitungkan dua suku pertama (order satu) 3. Memperhitungkan tiga suku pertama (order dua)
)()( 1 ii xfxf
Perkiraan order nol
!1)(')()( 1
xxfxfxf iii
Perkiraan order satu
!2)(''
!1)(')()(
2
1
xxf
xxfxfxf iiii
Perkiraan order dua
DERET TAYLOR (Persamaan Deret Taylor)
![Page 5: DERET TAYLOR & APLIKASI - Universitas Brawijayamasud.lecture.ub.ac.id/files/2012/12/Deret-Taylor-Diferensial... · •Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajat tak hingga](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052118/5c79ace009d3f207058b5057/html5/thumbnails/5.jpg)
Contoh
Diketahui suatu fungsi f(x) = -2x3 + 12x2 – 20x + 8,5. Dengan menggunakan deret Taylor order nol, satu, dua dan tiga, perkirakan fungsi tersebut pada titik xi+1 = 0,5 berdasar nilai fungsi pada titik xi = 0.
Solusi:
1. Memperhitungkan satu suku pertama (order nol)
2. Memperhitungkan dua suku pertama (order satu)
5,85,8)0(20)0(12)0(2)0()5,0()( 231 ffxf i
5,1
105,8
)5,0)(20)0(24)0(6(5,8
!1
05,0)0(')0(
!1)(')()5,0()(
2
1
ff
xxfxffxf iii
DERET TAYLOR (Persamaan Deret Taylor)
![Page 6: DERET TAYLOR & APLIKASI - Universitas Brawijayamasud.lecture.ub.ac.id/files/2012/12/Deret-Taylor-Diferensial... · •Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajat tak hingga](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052118/5c79ace009d3f207058b5057/html5/thumbnails/6.jpg)
DERET TAYLOR (Kesalahan Pemotongan)
Deret Taylor akan memberikan perkiraan suatu fungsi yang benar jika semua suku dari deret tersebut diperhitungkan. Dalam prakteknya hanya beberapa suku pertama saja yang diperhitungkan sehingga hasilnya tidak tepat seperti pada penyelesaian analitik. Sehingga terdapat kesalahan (error) yang disebut dengan kesalahan pemotongan (truncation error, Rn), yang ditulis:
.....!)2(
)(!)1(
)()(2
21
11
n
xxf
n
xxfxOR
n
in
n
inn
n
O(∆xn+1) berarti kesalahan pemotongan mempunyai order ∆xn+1 atau kesalahan adalah sebanding dengan langkah ruang pangkat n+1.
Kesalahan pemotongan tersebut adalah kecil apabila:
1.Interval ∆x adalah kecil.
2.Memperhitungkan lebih banyak suku dari deret Taylor
![Page 7: DERET TAYLOR & APLIKASI - Universitas Brawijayamasud.lecture.ub.ac.id/files/2012/12/Deret-Taylor-Diferensial... · •Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajat tak hingga](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052118/5c79ace009d3f207058b5057/html5/thumbnails/7.jpg)
DIFERENSIAL NUMERIK (Diferensial Turunan Pertama)
Diferensial numerik digunakan untuk memperkirakan bentuk diferensial kontinyu menjadi bentuk diskret.
Untuk menghitung diferensial turunan pertama dapat diturunkan berdasar deret Taylor, yang dapat dituliskan dalam bentuk:
)(!1
)(')()( 21 xO
xxfxfxf iii
)()()(
)(' 1 xOx
xfxfxf
x
f iii
Turunan pertama dari f terhadap
titik xi didekati oleh kemiringan
garis yang melalui titik B(xi,f(xi))
dan titik C(xi+1,f(xi+1)).
Bentuk diferensial di atas disebut
diferensial maju order satu.
A B
C
i-1 i i+1
maju
terpusat
mundur
x
y
![Page 8: DERET TAYLOR & APLIKASI - Universitas Brawijayamasud.lecture.ub.ac.id/files/2012/12/Deret-Taylor-Diferensial... · •Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajat tak hingga](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052118/5c79ace009d3f207058b5057/html5/thumbnails/8.jpg)
DIFERENSIAL NUMERIK (Diferensial Turunan Pertama)
Jika data yang digunakan adalah titik xi dan xi-1 maka disebut diferensial mundur, dan deret Taylor menjadi:
Atau
.....!3
)('''!2
)(''!1
)(')()(32
1
xxf
xxf
xxfxfxf iiiii
)(!1
)(')()( 21 xO
xxfxfxf iii
)()()(
)(' 1 xOx
xfxfxf
x
f iii
A B
C
i-1 i i+1
maju
terpusat
mundur
x
y
![Page 9: DERET TAYLOR & APLIKASI - Universitas Brawijayamasud.lecture.ub.ac.id/files/2012/12/Deret-Taylor-Diferensial... · •Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajat tak hingga](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052118/5c79ace009d3f207058b5057/html5/thumbnails/9.jpg)
DIFERENSIAL NUMERIK (Diferensial Turunan Pertama)
A B
C
i-1 i i+1
maju
terpusat
mundur
x
y
Jika data yang digunakan adalah titik xi-1 dan xi+1 maka disebut diferensial terpusat. Apabila pers. deretTaylor dikurangi pers. Deret Taylor (untuk diferensial mundur) didapat :
atau
atau
.....!3
)('''2!1
)('2)()(3
11
xxf
xxfxfxf iiii
6)('''
2
)()()('
2
11 xxf
x
xfxfxf
x
fi
iii
)(' ixf
)(2
)()()(' 211 xO
x
xfxfxf
x
f iii
![Page 10: DERET TAYLOR & APLIKASI - Universitas Brawijayamasud.lecture.ub.ac.id/files/2012/12/Deret-Taylor-Diferensial... · •Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajat tak hingga](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052118/5c79ace009d3f207058b5057/html5/thumbnails/10.jpg)
DIFERENSIAL NUMERIK (Diferensial Turunan Pertama)
A B
C
i-1 i i+1
maju
terpusat
mundur
x
y
![Page 11: DERET TAYLOR & APLIKASI - Universitas Brawijayamasud.lecture.ub.ac.id/files/2012/12/Deret-Taylor-Diferensial... · •Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajat tak hingga](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052118/5c79ace009d3f207058b5057/html5/thumbnails/11.jpg)
DIFERENSIAL NUMERIK (Diferensial Turunan Kedua)
Apabila pers. deretTaylor (diferensial maju) ditambah pers. Deret Taylor (diferensial mundur) didapat turunan kedua:
atau
atau
.....!4
4)(''''2
!2)(''2)(2)()(
2
11
xxf
xxfxfxfxf iiiii
12)(''''
)()(2)()(''
2
2
11
2
2 xxf
x
xfxfxfxf
x
fi
iiii
)()()(2)(
)('' 2
2
11
2
2
xOx
xfxfxfxf
x
f iiii
![Page 12: DERET TAYLOR & APLIKASI - Universitas Brawijayamasud.lecture.ub.ac.id/files/2012/12/Deret-Taylor-Diferensial... · •Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajat tak hingga](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052118/5c79ace009d3f207058b5057/html5/thumbnails/12.jpg)
Contoh
• Misal 𝑓 𝑥 = 0,25𝑥3 + 0,5𝑥2 + 0,25𝑥 + 0,5 – Penyelesaian eksak
• f(0) = 0.5
• f(1) = 1.5
• Orde berapa penyelesaian numerik mendekati/sama dengan penyelesaian analitik/eksak?
• Berapa perkiraan fungsi tersebut pada orde 0, 1, 2 dan 3 pada titik xi+1=1 dan memiliki jarak=1 dari titik xi = 0.
![Page 13: DERET TAYLOR & APLIKASI - Universitas Brawijayamasud.lecture.ub.ac.id/files/2012/12/Deret-Taylor-Diferensial... · •Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajat tak hingga](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052118/5c79ace009d3f207058b5057/html5/thumbnails/13.jpg)
• Untuk order 0 : – f(xi+1) = f(xi) – f(0 +1) = f(0) – f(1) = 0.5
• „Kesalahanpemotongan: – Rn= 1.5 –0.5 = 1
• „Untuk order 1 :
– f(xi+1) = f(xi) + f’(xi) ∆𝑥
1!
– f(0+1) = 0.5 +(0,75𝑥2 + 𝑥 + 0,25 ) 1 = 0.5 + (0.75 (0) + 0 +0.25) = 0.75
• Kesalahanpemotongan – Rn= 1.5 –0.75 = 0.75
![Page 14: DERET TAYLOR & APLIKASI - Universitas Brawijayamasud.lecture.ub.ac.id/files/2012/12/Deret-Taylor-Diferensial... · •Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajat tak hingga](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052118/5c79ace009d3f207058b5057/html5/thumbnails/14.jpg)
• Untuk orde 2 : – „f(xi+1) = 0.5 + 0.25 * 1 + 1 * (1/2)(1/2) = 1.25
• „Kesalahan pemotongan – Rn= 1.5 –1.25 = 0.25
• Untuk orde 3 : – f(xi+1) = 0.5 + 0.25 + 0.5 + 0.25 = 1.5
• Kesalahan pemotongan: – Rn= 1.5 –1.5= 0 (terbukti)
![Page 15: DERET TAYLOR & APLIKASI - Universitas Brawijayamasud.lecture.ub.ac.id/files/2012/12/Deret-Taylor-Diferensial... · •Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajat tak hingga](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052118/5c79ace009d3f207058b5057/html5/thumbnails/15.jpg)
Soal
• Diketahui 𝑓 𝑥 = −2𝑥3 + 12𝑥2 − 20𝑥 + 8,5
Dengan deret Taylor orde 0, 1, 2 dan 3; perkirakan fungsi tersebut pada titik 𝑥𝑖+1 = 0,5 berdasar nilai fungsi pada titik xi=0
• Diketahui 𝑓 𝑥 = −2𝑥3 + 12𝑥2 − 20𝑥 + 8,5
Dengan deret Taylor orde 0, 1, 2 dan 3; perkirakan fungsi tersebut pada titik 𝑥𝑖+1 = 0,25 berdasar nilai fungsi pada titik xi=0
![Page 16: DERET TAYLOR & APLIKASI - Universitas Brawijayamasud.lecture.ub.ac.id/files/2012/12/Deret-Taylor-Diferensial... · •Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajat tak hingga](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022052118/5c79ace009d3f207058b5057/html5/thumbnails/16.jpg)
Soal Diferensiasi Numerik
1. Diketahui 𝑓 𝑥 = 0,25𝑥3 + 0,5𝑥2 + 0,25𝑥 +0,5. Perkirakan turunan pertama dan kedua dari persamaan tersebut di titik 𝑥𝑖 = 0,5 dengan menggunakan langkah ruang ∆𝑥 = 0,5!
2. Diketahui 𝑓 𝑥 = −2𝑥3 + 12𝑥2 − 20𝑥 + 8,5. Perkirakan turunan pertama dan kedua dari persamaan tersebut di titik 𝑥𝑖 = 0,5 dengan menggunakan langkah ruang ∆𝑥 = 0,5 dan ∆𝑥 = 0,25!