zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz zzz ...
Deret Taylor Mantap Zzz
-
Upload
rurin-fawestrialni -
Category
Documents
-
view
82 -
download
10
Transcript of Deret Taylor Mantap Zzz
DERET TAYLOR
PENGERTIAN
• Deret Taylor merupakan bentuk umum fungsi perluasan fungsi yang di berikan Taylor.
• Fungsi-fungsi yang bentuknya kompleks dapat disederhanakan menjadi fungsi pendekatan (perkiraan) dalam bentuk fungsi polinomial yang lebih sederhana.
Tujuan
• Kenapa perlu perkiraan?– Perkiraan dibentuk dari fungsi paling sederhana –
polynomial.– Kita bisa mengintegrasikan dan mendiferensiasi
dengan mudah. – Kita bisa gunakan saat kita tidak tahu fungsi
sebenarnya.
Polynomial Approximations
• Misalkan kita ingin membuat perkiraan untuk sebuah fungsi yang kompleks pada sekitar x = 0;
• Perkiraan paling simple adalah menentukan sebuah konstanta, sehingga:
• Catatan: perkiraan di atas disebut sebagai zero’th order polynomial approximation;
• Lalu, nilai berapa yang harus kita berikan pada konstanta itu?
00 )( axp
Polynomial Approximations
• Kita inginkan angka paling akurat pada x = 0.• Sehingga: )0()(0 fxp
-1 -0.5 0 0.50.5
1
1.5
2
x
y
f(x)
p(x)
Polynomial Approximations
• Contoh
xxf
1
1)(
1)(11
1)0( 0 xpf
Polynomial Approximations
-1 -0.5 0 0.50.5
1
1.5
2
x
y
f(x)
p0(x)
Sangat akurat
Kurang akuratTidak akurat
Polynomial Approximations
• Sekarang kita tingkatkan dengan perkiraan dengan menggunakan aproksimasi linier (1st order approximation);
• Sekarang kita pilih nilai sehingga perpotongan dan garis nya semirip mungkin dengan fungsi sebenarnya.
xaaxp 101 )(
Polynomial Approximations
• Menyamakan perpotongan:
• Menyamakan slope:
• Sehingga polinom nya:
)0(
)0(0)0()0(
0
101
fa
faafp
)0()0()0( 11 fafp
xffp )0()0()0(1
Polynomial Approximations
• Contohx
xf
1
1)(
xaaxp 101 )(
1)0(101
1)0( 0
faf
1)0(1
1
1)0( 12
fa
xf
xxp 1)(1
-1 -0.5 0 0.50.5
1
1.5
2
x
y
f(x)
p0(x)
Polynomial Approximations
-1 -0.5 0 0.50.5
1
1.5
2
x
y
f(x)
p0(x)
p1(x)
Masih ‘lumayan’ sampai disini
Polynomial Approximations
• Kita bisa teruskan penaksiran secara polinom hingga n derajad.
• Kalau kita teruskan, kita akan mendapatkan rumus:
!)0(
!2)0(
)0()0()()(
)(2
n
xf
xf
xffxpxfn
n
n
Polynomial Approximations
• Akurasi perkiraan akan bertambah seiring dengan penambahan polinom;
• Kita lihat polinom derajad 0, 1, 2 dan 6 (warna hijau), dibanding fungsi asli nya f(x) (warna biru).
Polynomial Approximations
-1 -0.5 0 0.50.5
1
1.5
2
x
y
f(x)
p0(x)
p1(x)
p2(x)
p6(x)
Maclaurin (Power) Series
• Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajad tak hingga
• Notice: Deret infinite (tak hingga) menyatakan bahwa akhirnya deret ini sama dengan fungsi sebenarnya, bukan penaksiran lagi!
!)0(
!2)0(
)0()0()(
)(2
n
xf
xf
xffxfn
n
Taylor Series
• Sesungguhnya, kita bisa membuat deret polinom yang berasal dari titik manapun. 0xx
• Dari awal kita selalu memulai perkiraan pada nilai 0x
• Ini disebut Taylor Series.• Jadi, Deret MacLaurin merupakan
Deret Taylor yang berpusat pada x0=0
Taylor Series
• Rumus umum Deret Taylor:
!
)()(
!2
)()())(()()(
00
)(
20
0000
n
xxxf
xxxfxxxfxfxf
nn
0
00
)(
!
)()(
n
nn
n
xxxf
Taylor Series• Approximate function? Copy derivatives!
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
X
f(x)
=si
n(2
x) What is f(x) near x=0.35?
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
X
f(x)
=si
n(2
x)Taylor Series
• Approximate function? Copy derivatives!
What is f(x) near x=0.35?
0 ( ) (0.35)T x f
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
X
f(x)
=si
n(2
x)Taylor Series
• Approximate function? Copy derivatives!
1( ) (0.35)
'(0.35) 0.35
T x f
f x
What is f(x) near x=0.35?
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
X
f(x)
=si
n(2
x)Taylor Series
• Approximate function? Copy derivatives!
2
212
( ) (0.35)
'(0.35) 0.35
''(0.35) 0.35
T x f
f x
f x
What is f(x) near x=0.35?
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
X
f(x)
=si
n(2
x)Taylor Series
• Approximate function? Copy derivatives!
( )
0
( )!
iiN
Ni
f a x aT x
i
10 ( )T x
2
212
( ) (0.35)
'(0.35) 0.35
''(0.35) 0.35
T x f
f x
f x
What is f(x) near x=0.35?
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
X
f(x)
=si
n(2
x)Taylor Series
• Approximate function? Copy derivatives!
• Look out for “approximate” or “when x is small” or “small angle” or “close to” …
1( ) ( )
'( )
T x f a
f a x a
Most Common: 1st Order