Demonstração da Irracionalidade do Número de Euler - Rodrigo R. Gonçalez
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1
Demonstração da Irracionalidade do Número de Euler ( )e
Rodrigo R. Gonçalez
ABSTRACT: This article seeks to demonstrate the irrationality of Euler's number, through simple mathematical tools.
1. Introdução. “Na matemática, o número de Euler, denominado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática, número exponencial, etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):
1lim 1 .
n
ne
n
(Fonte: Wikipèdia.com.br).”
Evidentemente, com o auxílio do cálculo computacional, ficou extremamente simples obter o número de Euler. Mas, nenhum computador existente poderá obter todas as casas decimais de tal número, pois ele é irracional. Pela expressão mostrada acima, temos aquilo que denominamos de uma indeterminação
matemática. Isso porque, quando n tende ao infinito, 1 n tende a zero e não podemos
afirmar o que ocorre com a expressão 1 . Devemos lembrar ao leitor que o infinito é uma idéia, e não um número. Não é algo mensurável e que possui controle. Imagine o infinito como algo tão extenso quanto nossa imaginação possa alcançar, e isso ainda seria ínfimo. Fixemos nossa imaginação nos tempos de Bernoulli, Euler e Napier, por exemplo. Como nós poderíamos ter a absoluta certeza de que tal famoso número é mesmo irracional? A demonstração desse fato é o interesse principal deste artigo.
2
2. Sequências e Séries.
Tomemos uma sequência cujo termo geral é 1
1 ,
n
nx nn
. Pelo teorema
Binomial, podemos reescrever esse termo como:
0
1 11 (1)
n nn k
kk
n
kn n
Logo,
0 1 2 3 1
2 3 4
2
1 1 1 1 1 1 11 ...
0 1 2 3 1
1 1 ( 1) 1 ( 1)( 2) 1 ( 1)( 2)( 3) 1 11 1 ...
2! 3! 4!
1 ( 1) 11 1 1
n
n n
n
n
n
n n n n n n
n nn n n n n n n
n n n n n n n n nn
n n n n n n
n n
n n 3 4
( 1)( 2) 1 ( 1)( 2)( 3) 1 1...
2! 3! 4!
1 1 1 1 2 1 1 2 3 1 11 1 1 ...
2! 3! 4!
1 1 1 1 21 1 1 1 1 1
2!
n
n
n
n
n n n n n n n
n n n
n n n n n n
n n n n n n n n
n n n n
1 1 2 3 1 11 1 1 ...
3! 4! nn n n n
Se n tende ao infinito, observamos que o termo tende a
0
1 1 1 1lim 1 1 1 (1 0) (1 0) (1 0) (1 0) (1 0) (1 0) ...
2! 3! 4!
1 1 1 1 1 1lim 1 1 1 ... ...
2! 3! 4! ! !
n
n
n
nn
n
en n n
Concluímos, dessa forma, que número de Euler também pode ser escrito como o resultado de convergência da série infinita:
3
0
1 1 1 1 11 1 ... ... .
2! 3! 4! ! !n
en n
Observemos, portanto, que a série 0
1
!n n dá-nos o número de Euler.
De fato, tal série é monótona e limitada, portanto converge. Para demonstrar isso, escrevamos suas somas parciais:
0
1
2
3
4 2
5 2 3
6
1 1 1 1 1 11 ... ...
! 1! 2! 3! 4! !
1
1 1
11 1
2
1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1
2 3! 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1
2 3! 4! 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1
2 3! 4! 5! 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
n n n
S
S
S
S
S
S2 3 4
2 3 2
2
1 1 1
2 2 2
1 1 1 1 1 1 11 1 ... 1 1 ...
2 3! ( 1)! 2 2 2 2n n
série geométrica menor que
Sn
Observação: Verifiquemos que 2 3
0
1 1 1 11 ...
2 2 2 2ii
é uma série geométrica de
razão 1
2, cujo limite da soma é:
1
lim lim 21
12
n nS S
4
3. Conclusão.
Portanto, temos que 2 3nS , sendo ( )nS monótona e limitada. Então, 0
1
!n n
converge.
Seja 0
1
!n
en
. Como vimos anteriormente, 2 3e . Reescrevamos e de forma
que:
0
1 1 1 1 1...
! ( 1)! ( 2)! ( 3)! ( 4)!
1 1 1 1 1 1... 1 ...
( 1)! ( 2)! ( 1)! ( 2) ( 3)( 2) ( 4)( 3)( 2)
1 1 1 1 1 11 ... 1 ...
( 1)! ( 2) ( 1)! 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)
k
n
en k k k k
k k k k k k k k k
k k k k k k k k k
2 3
2 31
1 1 1 1 1 1 11 ... 1 ...
( 1)! ( 2) ( 3)( 2) ( 1)! 1 ( 1) ( 1)
1 1 1 1 10 1 ...
! ( 1)! 1 ( 1) ( 1)
k
n
k k k k k k k k
en k k k k
Temos que 2 3
1 1 11 ...
1 ( 1) ( 1)k k k é uma série geométrica, de razão
1
1k, cujo
limite da soma é:
1 1 1lim lim 1
11
1
n n
kS S
k k
k
Substituindo o termo anterior na expressão obtida:
2 3
1 1 1 1 1 1 11 ...
( 1)! 1 ( 1) ( 1) ( 1)! !
k
k k k k k k k k
5
Portanto:
1
1 10
! !
k
n
en k k
Ora, se e , por hipótese, então existem ,p q tal que e p q . Podemos
escrever:
0
1 10
! !
q
n
p
q n q q
Multiplicando os membros da desigualdade por !q q , obtemos:
0
0
10 ! ! 1
!
!0 ! 1
!
q
n
q
n
pq q q q
q n
qp q q
n
Observe que 0
! ! ! ! !! ! ...
! 2! 3! 4! !
q
n
q q q q qq q q q
n q .
Como !p q e 0
!
!
q
n
n , é um absurdo que a diferença ente dois números
naturais esteja entre 0 e 1.
Logo, e é um número irracional entre 2 e 3, como queríamos demonstrar. Observação: Euler calculou tal número com 23 casas decimais!
2,71828182845904523536028...e
6
BIBLIOGRAFIA LIMA, Elon L.: Curso de Análise, Vol.1. 14 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012. (Projeto Euclides). ÁVILA, Geraldo.: Introdução à Análise Matemática. 2 ed. São Paulo: Ed. Edgard Blucher LTDA, 1999.