METROLOGIACALCOLO DELLA GEOMETRIADELLE RUOTE DENTATE

Imetodi usati per la produzionedelle ruote dentate sono in co-stante sviluppo. Negli ultimi an-ni è diventata una tendenza larettifica di forma, un’alternativaalla classica rettifica con genera-

zione. Un altro esempio è un metodousato per lo più nell’industria automo-bilistica: per migliorare la vita operativadegli utensili e ottenere una forma deidenti con più alta resistenza al piede, leruote dentate vengono prodotti con uno,due o tre processi di pre-fresatura diver-

si seguiti da “honing” o rettifica finali.Una delle più recenti tendenze nello svi-luppo di ruote dentate ottimizzate èquella di applicare, nel processo di fini-tura, una modifica del profilo di formaondulatoria in modo da ridurre l’erroredi trasmissione.Questi metodi di produzione richiedo-no lo sviluppo di metodi di calcolo ap-propriati.Durante il funzionamento, la variazionedella rigidezza di ingranamento provocauna deviazione sull’angolo di rotazionedella ruota di uscita rispetto al rapportodi trasmissione nominale (errore di tra-smissione), che causa vibrazioni e rumo-re. La variazione della rigidezza di ingra-namento può essere ridotta ottimizzan-do la geometria della dentatura (rappor-to di condotta trasversale εα e rapportodi ricoprimento εβ), ma per la rigidezzasotto carico è anche molto importante iltipo di modifica del profilo.Il metodo di calcolo corrente per la resi-stenza dei denti secondo AGMA 2001 [1]o ISO 6336 [2] si basa sull’assunzione diuna forma del dente prodotta da un soloutensile in un processo di generazione.Quando si usa un utensile con protube-ranza, il metodo comprende anche unprocesso di pre-fresatura (con sovrame-tallo per la finitura) e un processo finaledi rettifica oppure di “honing”.Ciò comporta che, nel caso delle ruotedentate prodotte con rettifica di forma oaltri metodi non convenzionali, non sipossano applicare le formule per il calco-lo della resistenza previsto dai metodiAGMA o ISO. Il problema è che per ilcalcolo delle sollecitazioni al piede del

g Ulrich Kissling, Marcus Raabe, Michael Fish

Un software per ottimizzarela rigidezza d’ingranamentoIn questo articolo si presentail calcolo delle geometria deidenti usando utensili diversi;sulla base di questageometria, si calcolano la rigidezza effettiva di ingranamento sotto caricoe le sollecitazioni.

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dente si devono conoscere alcuni valori,per esempio lo spessore del dente e il rac-cordo al piede. Il metodo di calcolo assu-me che la forma del dente sia conosciutanon esattamente e presenta pertanto for-mule che consentono il calcolo della for-ma del dente solo nella sezione conside-rata del dente.Queste formule presuppongono la fab-bricazione con un processo di generazio-ne. Ma in linea di principio, se si conoscela forma del dente, il dente può esserecalcolato usando direttamente le formuleproposte dalle norme.Pertanto, se il calcolo della forma deldente viene integrato nel software di cal-colo della resistenza, le norme AGMA oISO possono essere usate per qualsiasimetodo di produzione.

Calcolo della forma del dente con diversi utensiliNella maggior parte dei programmi di-sponibili per il calcolo degli ingranaggi, èpossibile calcolare la forma del dentequando si usa un utensile standard (crea-tore, fresa di generazione o pignoneutensile). Normalmente è anche possibi-le introdurre un sovrametallo di rettificae simulare così un processo di produzio-ne a due stadi (taglio più rettifica). In ri-sposta alle frequenti richieste degli utiliz-zatori del software di calcolo delle ruotedentate largamente apprezzato KISSsoft[3], si è deciso di implementare nelsoftware un nuovo approccio per il cal-colo della forma del dente.Si può definire, in qualsiasi sequenza de-siderata, un numero illimitato di utensili,quali creatore, fresa, pignone utensile, di-sco di rettifica (rettifica con generazioneo di forma) e utensile per ”honing”. Do-po ogni fase, può essere visualizzata laforma del dente e diverse forme possonoessere sovrapposte per illustrare l’aspor-tazione di materiale da una fase all’altra.Viene anche visualizzato il processo difabbricazione dall’utensile all’ingranag-gio e, per ottimizzare la durata dell’uten-

sile, vengono visualizzati i vettori dellevelocità di strisciamento e di rotolamen-to. In figura 1 sono indicati i diversi stadiper ottenere la forma definitiva del dentequando si usano due frese e un processofinale di rettifica. Per la ruota dentatacon angolo di pressione án 20° si usa unapre-fresa con αn 25°. Ciò determina unmiglioramento della vita operativa del-l’utensile e crea un migliore raccordo alpiede del dente.Dato che la forma del fianco deve essereidentica al disegno finale, il diametro dibase bd della ruota dentata deve rimane-re identico. Pertanto il modulo della pre-fresa deve essere aumentato del rapportocos20°/cos25°. Alcune altre particolaritàdel calcolo della forma del dente sono:• Vita operativa dell’utensile: Per il mi-glioramento della vita operativa dell’u-tensile (numero di ruote tagliate primache l’utensile debba essere riaffilato o so-stituito) è molto importante la visualiz-zazione dello strisciamento sul fianco ditaglio dell’utensile (figura 2). Molti sonoi fattori che influenzano la vita operativadell’utensile. Uno di essi è lo strisciamen-to specifico locale sull’utensile. Uno stri-sciamento specifico negativo elevatosull’utensile comporta che una piccola

sezione del tagliente dell’utensile pro-duca una grande sezione sulla ruotadentata. Ciò significa che questa partedell’utensile viene utilizzata fortementee di conseguenza è soggetta a notevoleusura. Come si vede in figura 2, la pre-fresa con un angolo di pressione più ele-vato (come indicato in figura 1), presen-ta uno strisciamento specifico sensibil-mente ridotto.• Intaglio di rettifica: per la massima re-sistenza è importante sapere se nel pro-

Fig. 1 - Forma del dente generata con un ciclo difabbricazione con tre utensili.1: Pre-fresa mn = 1,0368, αn = 25° (verde)2: Fresa con protuberanza mn = 1,0, αn = 20,0°(marrone)3: Processo finale di rettifica (azzurro)

Fig. 2 - Disegno di un dente della fresa per ilprocesso di pretaglio (angolo di pressione 25°)e di taglio finale (angolo di pressione 20°) conindicazione dello strisciamento specifico (trafresa e ruota dentata) durante la fabbricazione.Uno strisciamento specifico positivo elevato (inquesto caso sul dedendum) indica rischio diusura più alto. Lo strisciamento sulla fresa da20° è il doppio di quello sulla pre-fresa da 25°.

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cesso di rettifica si provoca il cosiddetto“intaglio di rettifica” (ISO 6336-3, fattoreYsg). Pertanto, nel calcolo del processo direttifica bisogna tenere conto dell’inta-glio. Questo intaglio può ridurre note-volmente il fattore di sicurezza per la sol-lecitazione a flessione. Nel programmaKISSsoft i dati pertinenti vengono auto-maticamente trasferiti al calcolo della re-sistenza e il fattore intaglio viene inclusonei risultati.

VibrazioniIn molte applicazioni il livello di rumoreè oggi molto critico e deve essere mante-nuto quanto più basso possibile. Il ru-more è generato dagli errori di trasmis-sione che producono una variazione in-crementale della velocità del rotismo ri-spetto al valore nominale. Questo effettoprovoca un’istantanea accelerazione/de-celerazione nella catena di trasmissioneda cui si originano vibrazioni. L’errore ditrasmissione viene determinato dalla va-riazione della rigidezza durante un ciclodi ingranamento.È ben noto che anche gli errori di fabbri-cazione generano un certo errore di tra-smissione. Migliorando la qualità degliingranaggi si contribuisce al migliora-mento della situazione, ma anche con unrotismo della massima qualità si hannoerrori di trasmissione dovuti alla varia-zione della rigidezza.In questo contesto, il software calcola larigidezza del singolo dente per ogni for-ma del dente e determina la linea di con-tatto reale sotto carico. Da queste infor-mazioni si ricava l’errore reale di tra-smissione della coppia di ruote. È possi-bile studiare molto rapidamente l’effettodella proposta di modifica del profilo sulcomportamento di un ingranaggio sottodiversi carichi.Il calcolo della rigidezza della coppia didenti sotto carico permette di confronta-re diverse geometrie di dentatura pertrovare la soluzione migliore. In figura 4è illustrato un tipico caso di un ingra-

Fig. 3 - Rappresentazione della coppiadi ruote dentate usate per il calcolodell’errore di trasmissione.

Fig. 4 - Errore di trasmissione calcolatoconsiderando la rigidezza sotto carichi di 0, 25,

50, 75 e 100% della potenza nominale.In alto: ingranaggio con profilo non modificato.Al centro: ingranaggio con modifica simmetrica

piccola del profilo (13 µm).In basso: ingranaggio con modifica simmetrica

normale del profilo (26 µm).

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naggio standard (forma dei denti difigura 3) con rapporto di condottatrasversale (εα) = 1,67 (z: 25/76;P: 4,2333; modulo: 6,0). L’errore di tra-smissione è piccolo (la rigidezza è ele-vata) durante il 67% del ciclo, quandodue coppie di denti sono in presa, e peril resto è grande, quando una sola cop-pia di denti è in presa. (Osservazione:un valore teorico del rapporto di con-dotta trasversale di 1,67 significa chedurante il 67% del tempo due coppie didenti sono in presa e durante il 33% deltempo solo una coppia).L’ingranaggio senza modifica del profi-lo è soggetto a un “salto” da piccolo aelevato errore di trasmissione, come sivede in figura 4.Una modifica del profilo ben studiataridurrebbe la pendenza di questo salto,producendo una variazione più dolcedella rigidezza, ma non cambierebbe illivello delle fasi di bassa e alta rigidezza.Perciò la modifica del profilo è utile,ma non è la soluzione del problema. Ilmetodo migliore per ridurre la varia-zione della rigidezza è quello di usareun alto profilo del dente con, teorica-mente, un rapporto di condotta tra-sversale di 2,0.In questo caso, dato che sono sempre inpresa due coppie di denti, il “salto” vie-ne eliminato.Risultati ottimi si ottengono quando ilterzo dente che entra in presa è scarico.Questo è possibile se si applica una mo-difica del profilo appropriata. In questo

Fig. 5 - Ingranaggio con modifica simmetricapiccola del profilo (13 µm) come in figura 4, ma

con una modifica supplementare di formasinusoidale nella regione di contatto singolo

del fianco del dente.A sinistra: la forma modificata del dente

(esagerata nel disegno) con spessoresupplementare di 10 µm.

A destra: il conseguente errore di trasmissioneper diversi carichi.

Fig. 6 - Calcolo dell’errore di trasmissione di una coppia diruote dentate sotto carico.

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caso, il rapporto di condotta trasversaleteorico deve essere maggiore di 2,0, a se-conda della lunghezza della correzionedel profilo prevista.

Il calcolo dell’errore di trasmissioneLa rigidezza del singolo dente è costituitadai seguenti quattro importanti effetti:• Flessione del dente• Deformazione di taglio del dente• Pressione hertziana sul contatto• Inclinazione del dente nel corpo dell’in-granaggioLe equazioni per il calcolo di questi effet-ti sono state sviluppate da Peterson [4]per gli ingranaggi a evolvente. Il metodopuò essere adattato anche a ingranaggicon modifica del profilo e a ingranagginon a evolvente. La rigidezza di due den-ti in presa viene chiamata “rigidezza deldente combinata di una coppia di denti”(c’) e la rigidezza totale di tutti i denti inpresa è la “rigidezza di ingranamento”(cy). È importante il calcolo dell’anda-mento della rigidezza di ingranamentodurante un ciclo. Per gli ingranaggi aevolvente non caricati senza modifica delprofilo, la linea di contatto è una retta,ma per gli ingranaggi reali sotto caricotrovare la linea di contatto effettiva ècomplicato. A causa della flessione deidenti, il rapporto di condotta trasversaleεα reale aumenta. Pertanto la linea dicontatto deve essere calcolata tratto dopotratto; e per ogni singolo tratto, deve es-sere determinato il numero effettivo didenti in presa. Dato che la rigidezza deidenti dipende dal carico e che il carico suun singolo dente (con coppia costantesul pignone) dipende dal numero di den-ti in presa, la soluzione deve essere trova-ta mediante iterazione (figura 6). Il cal-colo è lungo perché la rigidezza stessa di-pende dalla forza normale applicata (do-vuta alla pressione hertziana); pertanto,ogni singolo tratto sulla linea di contattodeve essere trovato mediante doppia ite-razione. Il risultato è interessante. In fi-

gura 4 è illustrato un tipico esempio diingranaggio senza (in alto) e con diversigradi di modifica del profilo (al centro ein basso). La tecnica di indicare l’erroredi trasmissione sotto carico variabile, peresempio 25, 50, 75 e 100% della coppianominale di carico, e definita da Harris[5] già nel 1958, è una presentazione uti-lissima per valutare il comportamento diuna modifica del profilo proposta. La

maggior parte dei riduttori non funzionasempre con carico costante, per cui leprestazioni devono essere ottimali all’in-terno di un certo intervallo di coppie.L’errore di trasmissione non modificatodi figura 4 fa anche vedere una particola-rità spesso discussa: a causa della flessio-ne dei denti, all’aumentare della coppia ilrapporto trasversale di contatto (εα) au-menta da 1,67 a circa 1,78 (per carico

Fig. 7 - Determinazione della sollecitazione al piede del dente per qualsiasi punto del piede traYF(r) e YS(r).

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50%) e a 1,81 (per carico 100%). Ognipiccola modifica del profilo del dente haun’influenza importante sulla curva, co-me si vede nel confronto di figura 4. Unanuova tendenza nello sviluppo di ingra-naggi ottimizzati è quella di applicareuna speciale modifica del profilo nel pro-cesso di finitura per ridurre l’errore ditrasmissione. Quando si aumenta lospessore del dente tra i limiti dei singolidiametri di contatto (la parte del fiancodel dente con una coppia di denti in pre-sa), si può ridurre il valore dell’errore ditrasmissione in questa parte. Per dimo-strare questo effetto, la figura 5 presental’errore di trasmissione determinato dauna modifica di tipo sinusoidale.È evidente che questo genere di modificaproduce errori di trasmissione più eleva-ti in condizioni di basso carico, ma nelcampo della coppia nominale la variazio-ne dell’errore di trasmissione risulta no-tevolmente ridotta. Il comportamentodell’errore di trasmissione può essere ul-teriormente migliorato quando si appli-cano forme di modifica diverse. La sinu-soide è stata scelta per dimostrare questoprincipio.È ben noto che gli errori di fabbricazione(per esempio, l’errore di passo) hannoun’influenza importante sull’errore ditrasmissione delle ruote dentate reali.Questi effetti possono essere studiati ap-plicando un errore alla forma del dente.Per esempio, prima di calcolare l’erroredi trasmissione, si può aumentare la di-stanza tra due fianchi di un valore pariall’errore di passo (fig. 6).

Analisi delle sollecitazioniPer il calcolo della resistenza delle ruotedentate ottimizzate è stato sviluppato unalgoritmo. Tutte le normali procedure dicalcolo determinano la sollecitazione alpiede del dente mediante un modellosemplificato delle condizioni reali. Se-condo ISO 6336, la sezione trasversalecritica al piede del dente deve trovarsi sulpunto di contatto della tangente a 30° al

profilo del piede. Secondo AGMA 2001(con AGMA 908-B89), alla forma deldente viene applicata la parabola diLewis, in cui il punto di contatto dellaparabola con il raccordo al piede deldente definisce la sezione trasversale cri-tica. A seconda della forma effettiva delraccordo al piede del dente si ha un er-rore più o meno grande.Nella pubblicazione di B. Obsieger [6]di alcuni anni or sono, è stato propostoun metodo di calcolo notevolmente mi-gliorato. Sulla base della forma effettivadel dente, per ogni punto nella regionedel piede del dente si calcolano il fattoredi forma del dente (ISO: YF, AGMA: Y) eil fattore di correzione della sollecitazio-ne (ISO: YS, AGMA: Kf) e si determinaquindi la posizione del massimo delprodotto (ISO: YF*·YS, AGMA: Y/Kf)(figura 7). Questa procedura di calcolo èintegrata nel software KISSsoft. La se-zione trasversale critica al piede del den-te può essere determinata, secondo AG-MA, sulla base dell’applicazione della

forza sulla testa del dente o sul punto dicontatto singolo più esterno. Con questodato specifico, si effettua completamenteil calcolo della resistenza secondo ISO oAGMA. L’andamento delle sollecitazionipuò essere presentato anche in formagrafica (figura 8). Questo metodo dàbuoni risultati rispetto ai calcoli FEM. Inquesta procedura è anche incluso l’effet-to dell’intaglio di rettifica. Per una veri-fica della resistenza secondo AGMA oISO, si identifica il punto di massimasollecitazione e si esegue il calcolo suquesto punto specifico. Dato che la nor-ma ISO stabilisce esplicitamente un me-todo A, per avere un algoritmo migliora-to sulla base della stessa filosofia fonda-mentale, questo tipo di calcolo è confor-me al 100%.Anche il valore della pressione di Hertzlungo il fianco del dente viene calcolatosulla base della forma effettiva del dente.Per ogni punto di azione si determinanoi raggi di curvatura di entrambe le ruotedentate e la pressione viene calcolata

Fig. 8 - Sollecitazioni (e pressione di Hertz) al piede del dente, calcolate sulla basedella forma effettiva del dente e delle condizioni di ingranamento.

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partendo da questi valori. Con gli stessidati è possibile calcolare la velocità distrisciamento e anche di simulare la tem-peratura locale di contatto, il rendimentoe il fattore di sicurezza al grippaggio perqualsiasi coppia di ruote.

Sollecitazioni lungo la linea di contattoLa procedura per il calcolo dell’errore ditrasmissione (figura 6) fornisce anche laforza normale e il punto di contatto suldente durante il ciclo di ingranamento,consentendo così un’analisi ancora piùprecisa. In figura 8 sono riportate lapressione hertziana e la massima solleci-tazione sul dente, calcolate con la forzanormale effettiva. Dato che le norme(AGMA e ISO) si basano sul calcolo diuna sola situazione, cioè l’applicazionedella forza normale sul punto del contat-to singolo del dente, è di gran lunga piùpreciso il calcolo più realistico della forzanormale e delle corrispondenti sollecita-zioni in ogni posizione. Si noti, comun-que, che il risultato può essere abbastan-za differente da quello della proceduraprevista dalle norme.

ConclusioneCon un software avanzato per la simula-zione del processo di fabbricazione conuno o più diversi utensili e metodi diproduzione, si calcola la forma effettivadel dente. Sulla base di questi dati si ef-fettua il calcolo della resistenza al piede edell’errore di trasmissione.Viene proposta un’estensione del calcolodella resistenza al piede, in modo che lenorme AGMA o ISO possano essere ap-plicate a qualsiasi forma del dente, peresempio anche a ruote dentate rettificatedi forma. Per lo sviluppo di ingranaggisilenziosi, è molto importante il calcolodell’errore di trasmissione sotto diversicarichi. Il software permette di studiaregli effetti di diverse modifiche del profilosotto carico e di trovare la soluzione mi-gliore per il campo di coppie richiesto.

Bibliografia[1] AGMA 2001-C95: Fattori fondamentali di funzionamento e metodi di calcolo per denti diritti aevolvente e denti elicoidali. Norma AGMA, 1995.[2] ISO 6336, Parte 1-3: Calcolo della capacità di carico di ingranaggi cilindrici a denti diritti edelicoidali. 1966.[3] Progettazione di ingranaggi e riduttori (con KISSsoft). Gear Technology, gennaio 2004.[4] Peterson, D.: Auswirkung der Lastverteilung auf die Zahnfusstragfähigkeit von Stirnradpaa-rungen. Tesi, Braunschweig, Germania, 1989.[5] Harris, S.L.: Dynamics Loads on the Teeth of Spur Gears. Atti Inst. Mech. Eng., vol. 172, 1958,pp. 87-112.[6] Obsieger, B.: Zahnformfactoren von Aussen-und Innenverzahnungen. Konstruction 32 (1980),pp. 443-447.

Fig. 9 - A sinistra: forza normale; a destra: pressione di Hertz esollecitazione al piede del dente durante un ciclo di ingranamento

(stesse ruote dentate della figura 4 per carico 100%).