La necessità di trasmettere potenza - DIMA -...
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La necessità di trasmettere potenzatra organi in moto rotatorio è unproblema frequentissimoe di grande importanza nell’ingegneria.
Gli assi di rotazione tra i quali deveessere trasmesso il moto possonoessere paralleli
In questo motoriduttoregli assi sono paralleli.
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, incidenti
La necessità di trasmettere potenzatra organi in moto rotatorio è unproblema frequentissimoe di grande importanza nell’ingegneria.
Gli assi di rotazione tra i quali deveessere trasmesso il moto possonoessere paralleli
o sghembi., incidenti
La necessità di trasmettere potenzatra organi in moto rotatorio è unproblema frequentissimoe di grande importanza nell’ingegneria.
Gli assi di rotazione tra i quali deveessere trasmesso il moto possonoessere paralleli
Ruote elicoidaliad assi sghembi
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o sghembi., incidenti
La necessità di trasmettere potenzatra organi in moto rotatorio è unproblema frequentissimoe di grande importanza nell’ingegneria.
Gli assi di rotazione tra i quali deveessere trasmesso il moto possonoessere paralleli
Vite senza fine eruota elicoidale
o sghembi., incidenti
La necessità di trasmettere potenzatra organi in moto rotatorio è unproblema frequentissimoe di grande importanza nell’ingegneria.
Gli assi di rotazione tra i quali deveessere trasmesso il moto possonoessere paralleli
Coppia ipoideCoppia conica
Nelle coppie coniche gli assi delle dueruote sono incidenti.
Quando ciò non accade e gli assi sonosghembi la coppia si dice “ipoide”
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Coppia ipoide.
La trasmissione di potenza tra alberi con ruote di frizione non è utilizzata perchérichiederebbe enormi forze di contatto a fronte di modeste coppie trasmesse
Ipotizzando un coefficiente di attritodi 0,15 (acciaio su acciaio),la componente tangenziale,utile alla trasmissione della coppia,è circa un settimo di quella radiale.
Angolo d’attrito
Forze tangenzialiForze dicontatto
rFM t ⋅=
r
tF
rfN ⋅⋅=f = coefficiente di attrito
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Conviene pertanto utilizzare dei profili coniugati che possano trasmettere coppiaattraverso forze normali alle superfici in contatto e non tangenziali
r
α
tFF
rFM t ⋅=
ω2ω1
Ft è la componente “utile” della forza agente sulla superficie in contatto
Per valori di α non elevati la componente “utile” Ft è di pocoinferiore alla forza F che sollecita la superficie in contatto.
La coppia trasmessa vale: F r⋅αcos=
La trasmissione per ingranaggi consente di trasferire elevate potenze con altorendimento ed ampia gamma di velocità, con costruzioni compatte ed affidabili.
Il movimento può essere trasferito tra assi paralleli, concorrenti o sghembi,con rapporto di trasmissione fisso o variabile in modo discontino
o, anche, in modo ciclico.
Per un angolo caratteristico di 20°,la componente tangenzialeè circa il triplo di quella radiale.
rFM t ⋅= rF ⋅⋅= αcosα = angolo caratteristico
tF
r
F
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Le ruote dentate cilindriche possono essere anche non circolariper realizzare un rapporto di trasmissione variabile in modo ciclico
Negli ingranaggi la trasmissione delmoto avviene tra due profili coniugatiche si scambiano forze normali, ameno di piccole componenti di attrito.
Profilo cicloidale:ottenuto facendorotolare unacirconferenza sulcerchio base.
La sezione del dente èottenuta con due archidi profili cicloidaliraccordati in testa daun arco di cerchio
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Una classica applicazione dei profili cicloidalisono i compressori volumetrici Root
Negli ingranaggi la trasmissione delmoto avviene tra due profili coniugatiche si scambiano forze normali, ameno di piccole componenti di attrito.
Profilo cicloidale:ottenuto facendorotolare unacirconferenza sulcerchio base.
Profilo ad evolvente:ottenuto facendo rotolare una rettasul cerchio base.
Negli ingranaggi la trasmissione delmoto avviene tra due profili coniugatiche si scambiano forze normali, ameno di piccole componenti di attrito.
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20°
Profilo ad evolvente:ottenuto facendo rotolare una rettasul cerchio base.
Negli ingranaggi la trasmissione delmoto avviene tra due profili coniugatiche si scambiano forze normali, ameno di piccole componenti di attrito.
Circonferenze base
Retta d’
azione
20°
A
B
Negli ingranaggi la trasmissione delmoto avviene tra due profili coniugatiche si scambiano forze normali, ameno di piccole componenti di attrito.
Circonferenze di troncatura
Circ
onfe
renz
a pr
imitiv
a
M
N
r2
rb
Circ
onfe
renz
a ba
se
r1
Il rapporto ditrasmissionevale
1
2
2
1
ωωτ ==
rr
La distanza MN èusualmente indicata con ilsimbolo λ
9
20°
A
B
Negli ingranaggi la trasmissione delmoto avviene tra due profili coniugatiche si scambiano forze normali, ameno di piccole componenti di attrito.
Circonferenze di troncatura
Circ
onfe
renz
a pr
imitiv
a
N
M
r
rb
Circ
onfe
renz
a ba
se
La distanza MN èusualmente indicata con ilsimbolo λ
20°
A
B
Negli ingranaggi la trasmissione delmoto avviene tra due profili coniugatiche si scambiano forze normali, ameno di piccole componenti di attrito.
Circonferenze di troncatura
Circ
onfe
renz
a pr
imitiv
a
N
M
r
rb
Circ
onfe
renz
a ba
se
Per ottenere ledentature internesi utilizzanoancora gli stessiprofili coniugati mail materiale occupala zona che nelcaso precedentecostituiva il vanotra i denti
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Cilindro di testa
Cilindro dipiede
CerchioPrimitivo
CerchioBase
Passo base
Passo primitivo
Spessoredel dente
Vano trai denti
Larghezzadel dente
Addendum
Dedendum
Fianco di testa
Fianco di piede
Superficie di testa
Superficie di fondo
zr
pπ2
=z = numero di denti
distanza tra due profili omologhi misurata lungo la circonferenza primitivaPasso p
Modulo m m = p/π
d =diametro primitivo
m = d/z
Nomenclatura
Proporzionamento modulare
Addendum ha= mDedendum hf= 1.25 m
zr
pπ2
=z = numero di denti
distanza tra due profili omologhi misurata lungo la circonferenza primitivaPasso pd =diametro primitivo
Nomenclatura
Passo base pbdistanza tra due profili omologhi misurata sul piano baseovvero lungo la retta d’azione
θcos⋅= rrb θcos⋅= ppb
Modulo m m = p/π m = d/z
zr
p bb
π2=
11
z = numero di dentiz
rπ2=Passo pd =diametro primitivo
Nomenclatura
θcos⋅= rrb
θcos⋅= ppb
Modulo m m = p/π m = d/z Passo base pb zrbπ2
=
Addendum ha= mDedendum hf = 1.25 m
Proporzionamento modularer raggio primitivo
θ angolo di pressione
Altezza del dente h = 2.25 mRaggio di troncatura esterna ra = r + ha
Raggio di troncatura interna rf = r – hf
Interasse di funzionamentom
zzi2
21 +=
Rapporto di trasmissione2
1
1
2
rr==
ωωτ
Grado di ricoprimento(detto anche rapporto di condotta)
bpλ=Γ
M
N
λ
pb
Perché ci sia continuità del motodeve essere: Γ ≥ 1
z = numero di dentiz
rπ2=Passo pd =diametro primitivo
Nomenclatura
θcos⋅= rrb
θcos⋅= ppb
Modulo m m = p/π m = d/z Passo base pb zrbπ2
=
r raggio primitivo
θ angolo di pressione
Condizione di non interferenza
( )( )( )2sen
112sen22
2
1 ++++⋅
≥τθτθτ
z
Grado di ricoprimento(detto anche rapporto di condotta)
bpλ=Γ
Nella condizione di ingranamento con ladentiera: r2 =∞ τ = r1 /r2 =0 si ha:
17sen
221 ≥≥θ
z
Addendum ha= mDedendum hf = 1.25 m
Proporzionamento modulare
Altezza del dente h = 2.25 mRaggio di troncatura esterna ra = r + ha
Raggio di troncatura interna rf = r – hf
Interasse di funzionamentom
zzi2
21 +=
Rapporto di trasmissione2
1
1
2
rr==
ωωτ
per θ = 20°
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I vantaggi dei profili ad evolvente sono molti,a cominciare dal modo in cui possono essere costruiti.
Il modo apparentemente più semplice direalizzare una ruota dentata è quello diasportare il materiale per creare il cavotra i denti partendo da un tondo il cuidiametro sia quello di troncatura esternadella dentatura.
In questo modo però è necessario avereun utensile conformato in modoparticolare che sarà utilizzabile solo percostruire ruote con un determinatomodulo e diametro.
Un grande vantaggio della profilatura ad evolvente di cerchioconsiste nella possibilià di realizzare i denti per inviluppo,
ovvero con un movimento mutuo tra utensile e ruota simile a quello di ingranamento.
Dentiera:ruota di raggio infinito
moto di taglio
ωωωω
v
r = v/ωωωω
r
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Un grande vantaggio della profilatura ad evolvente di cerchioconsiste nella possibilià di realizzare i denti per inviluppo,
ovvero con un movimento mutuo tra utensile e ruota simile a quello di ingranamento.
Con una dentiera utensile di modulo m è possibile costruire qualsiasi ruotacon tale modulo, indipendentemente dal diametro e dal numero di denti.
Passo pModulo m = p/π
Linea dei dati: pieni = vuoti
ha= 1.25 mhf = 1.0 m
Il proporzionamento modularedell’utensile è inverso, per quel cheriguarda addendum e dedendum,rispetto alla dentatura normale.
Un grande vantaggio della profilatura ad evolvente di cerchioconsiste nella possibilià di realizzare i denti per inviluppo,
ovvero con un movimento mutuo tra utensile e ruota simile a quello di ingranamento.
Con una dentiera utensile di modulo m è possibile costruire qualsiasi ruotacon tale modulo, indipendentemente dal diametro e dal numero di denti.
r = v/ω
v
ωωωωr
ha= 1.25 mhf = 1.0 m
Il diametro della primitiva è stabilito dal rapporto trala velocità di avanzamento dell’utensile
e la velocità di rotazione della ruota da costruire
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Il rapporto tra la rotazione ω della ruota costruenda e l’avanzamento v della dentiera utensileè stabilito dalla catena cinematica della macchina dentatrice.
v
ω
ωvd 2=
ωv Imposto dalla
cinematica
Schema del cinematismo diuna macchina dentatrice
Un grande vantaggio della profilatura ad evolvente di cerchioconsiste nella possibilià di realizzare i denti per inviluppo,
ovvero con un movimento mutuo tra utensile e ruota simile a quello di ingranamento.
Con una dentiera utensile di modulo m è possibile costruire qualsiasi ruotacon tale modulo, indipendentemente dal diametro e dal numero di denti.
v
ωωωωr
ha= 1.25 mhf = 1.0 m
Se, mantenendo costante il rapporto v/ω, la ruota costruenda viene spostata indirezione normale all’utensile, allontanandola o avvicinandola ad esso, lageometria della dentatura ne risulta alterata ma le primitiva rimane invariata.
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Un grande vantaggio della profilatura ad evolvente di cerchioconsiste nella possibilià di realizzare i denti per inviluppo,
ovvero con un movimento mutuo tra utensile e ruota simile a quello di ingranamento.
Con una dentiera utensile di modulo m è possibile costruire qualsiasi ruotacon tale modulo, indipendentemente dal diametro e dal numero di denti.
v
ωωωωr
ha= 1.25 mhf = 1.0 m
Se, mantenendo costante il rapporto v/ω, la ruota costruenda viene spostata indirezione normale all’utensile, allontanandola o avvicinandola ad esso, lageometria della dentatura ne risulta alterata ma le primitiva rimane invariata.
s = spostamento
Il diametro di troncaturaesterna va adeguato alledimensioni modificate
s
x = s/m spostamentorelativo
Taglio per generazione
Per realizzare una ruota a dentaturaelicoidale può essere ancora utilizzatola stessa dentiera utensile:è sufficiente inclinarla dell’angolo β
βTaglio pergenerazionedi ruotecilindriche conprofili adevolvente dicerchio.
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Taglio di una ruota cilindricaa denti elicoidali
Un grande vantaggio della profilatura ad evolvente di cerchioconsiste nella possibilià di realizzare i denti per inviluppo,
ovvero con un movimento mutuo tra utensile e ruota simile a quello di ingranamento.
La dentatura viene ancora creataper inviluppo ma la dentiera èinclinata dell’angolo β.
Taglio pergenerazionedi ruotecilindriche conprofili adevolvente dicerchio.
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Il taglio è oggi generalmente eseguito con un utensile rotante detto “creatore”.Taglio pergenerazionedi ruotecilindriche conprofili adevolvente dicerchio.
I fianchi dei denti del “creatore”sono equivalenti ad unadentiera utensile.
Moto di tagliodel “creatore”
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I colori contraddistinguono ivalori consigliati, sconsigliatio fortemente sconsigliati.
2018161412
1110987
5.665.555.4
475.35.325.33
75.25.225.2275.1
50.1375.125.1125.11
Dimensioni normalizzate in mm
Ad ogni valore del modulo con il quale si vuol costruire una ruota dentata corrisponde unutensile. È evidente, quindi, che conviene normalizzare i valori del modulo.
Nella tabella sono riportati ivalori normalizzati tra 1e 20 mm.
Il progetto o la verifica di una coppia di ruote dentate, dal punto di vista della resistenzastrutturale, si basa sulla valutazione delle possibili avarie.
Quelle che più frequentemente si verificano nell’esercizio delle trasmissioni di potenza peringranaggi sono:
L’erosione superficiale per eccessiva pressione di contatto tra i fianchi dei denti: ilcosiddetto fenomeno del “pitting”.
La rottura a fatica per flessione del dente.
L’eccessivo surriscaldamento della zona di contatto tra i denti a causa diinsufficiente lubrificazione che comporta microfusioni locali, con profonda alterazionedella geometria delle superfici coniugate.
1)
2)
3)
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Dimensionamento in base alla pressione di contatto
Il progetto consiste nel calcolare le dimensioni delle ruote in modo dalimitare la pressione di contatto tra i fianchi dei denti ad un valore
ammissibile in base alle caratteristiche del materiale ed alla durata prevista.
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
Pe la valutazione della pressione di contatto si utilizza la teoria di Hertz.Il comportamento dei fianchi dei denti è rappresentato, in modo approssimato, dai duecilindri osculatori che hanno, nella zona di contatto, la stessa curvatura dei profili coniugati.
20
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
Ingranaggi cilindrici a denti dritti
F
21
21
21
212
EEEE
RRRRq
H ′+′′⋅′⋅
⋅+⋅=
πσ
21 ν−=′ EE
In base alla teoria di Hertz la massimatensione di contatto che si genera tra duecilindri di lunghezza indefinita è data dallarelazione:
LFq =
F
L
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
è il modulo di elasticitàa contrazione lateraleimpedita
R1
R2
dove
R1 ed R2 sono i raggi dei cilindri a contatto
denti dritti
21
F
21
21
21
212
EEEE
RRRRq
H ′+′′⋅′⋅
⋅+⋅=
πσ
In base alla teoria di Hertz la massimatensione di contatto che si genera tra duecilindri di lunghezza indefinita è data dallarelazione:
21
211EEEEKE ′+′
′⋅′⋅=π
Se il materiale delle due ruote èlo stesso: E’1 = E’2 π2
EKE
′=
LFq =
F
L
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
R1
R2
I moduli di elasticità vengonoraggruppati in un’unica quantità:
denti dritti
A
B
r1b
r2b
r1 r2
ϑϑϑϑ
ϑϑϑϑ
ϑsen1rBA = ϑsen2r+
r 1sen
ϑ
r 2 se
n ϑ
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
Valutazione dei raggi R1 e R2 :
Circonferenze base
Circonferenze primitive
Lunghezza del segmento AB
denti dritti
22
A
B
r1b
r2b
r1 r2
ϑϑϑϑ
ϑϑϑϑ
( ) ϑsen21 rr +=
x(r 1+
r 2)sen
ϑ
ϑsen1rBA = ϑsen2r+
21
21
RRRR
⋅+
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
Valutazione dei raggi R1 e R2 :
Circonferenze base
Circonferenze primitive
Calcolo del raggio relativo
Si considerino due qualsiasi profili in contatto
Lunghezza del segmento AB
La loro posizione sul segmento di ingranamento è data dall’ascissa x
)( xABxAB
−⋅= ( )
( )[ ]xrrxrr
−+⋅+=
ϑϑ
sensen
21
21
denti dritti
A
B
r1b
r2b
r1 r2
ϑϑϑϑ
ϑϑϑϑ
ϑsen1rBA =
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
Valutazione dei raggi R1 e R2 :
Circonferenze base
Circonferenze primitive
Calcolo del raggio relativo
Si considerino due qualsiasi profili in contatto
Lunghezza del segmento AB
La loro posizione sul segmento di ingranamento è data dall’ascissa x
( )( )[ ]xrrx
rr−+⋅
+=ϑϑ
sensen
21
21
(r 1+r 2)s
en ϑ
21
21
RRRR
⋅+ ( ) ϑsen21 rr +=ϑsen2r+
denti dritti
23
A
B
r1b
r2b
r1 r2
ϑϑϑϑ
ϑϑϑϑ
( ) ϑsen21 rr +=ϑsen1rBA = ϑsen2r+( )( )[ ]xrrx
rr−+⋅
+=ϑϑ
sensen
21
21
21
21
RRRR
⋅+
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
Valutazione dei raggi R1 e R2 :
Calcolo del raggio relativo Lunghezza del segmento AB
Circonferenze base
Circonferenze primitive
Quando i due profili si trovano nel punto C di tangenza tra le primitivenell’espressione del raggio relativo si elimina l’incognita x
( )ϑϑ
ϑsensen
sen
21
21
rrrr⋅
+
( )ϑsen21
21
rrrr +
denti dritti
Pres
sion
e di
con
tatto
Posizione sul segmento AB x
Andamento della pressione di contattodurante l’ingranamento
21
21
RRRR
⋅+
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
Calcolo del raggio relativo
( )ϑsen21
21
rrrr +=
BM
λpb
pb
A NC
denti dritti
24
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
21
21
21
212
EEEE
RRRRq
H ′+′′⋅′⋅
⋅+⋅=
πσ
21
211EEEEKE ′+′
′⋅′⋅=π
LFq =
21
21
RRRR
⋅+ ( )
ϑsen21
21
rrrr +=ϑ
σsen21
212
⋅⋅+⋅=
rrrr
LFKEH
ϑcosCFF =
F
FCθ
ϑcosFFC =
21
212
cossen rrrr
LFK C
EH ⋅+
⋅⋅⋅=
ϑϑσ
2
1
rr=τ
( )( )
1
2 122sen
2dL
FK CEH
τϑ
σ +⋅
⋅=
( )( )
1
2 12sen
4dL
FK CEH
τϑ
σ +=
denti dritti
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
( )( )
1
2 12sen
4dL
FK CEH
τϑ
σ +=dL=ϕ dL ϕ=
il valore di ϕ è generalmente compreso tra 0.5 ed 1
Basso valore di ϕ Alto valore di ϕ
( )( )
21
2 12sen
4d
FK CEH
τϕϑ
σ +=
11
2d
WFC ω=
11
2260
dnW
π⋅=
11
60dnW
π⋅=
( )( )
311
2 1602sen
4dn
WKEH
τϕπϑ
σ +⋅=
m = d / z
È conveniente esprimere la forza tangenziale FCin funzione della potenza da trasmettere W
Può essere conveniente, infine, esprimere ildiametro attraverso il modulo ed il numero di denti:
( )( )
31
31
2 1602sen
4zmn
WKEH
τϕπϑ
σ +⋅=
( )( )
3 20
311
1602sen
4στ
ϕπϑ znWKm E +⋅=
denti dritti
25
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
( )( )
311
2 1602sen
4dn
WKEH
τϕπϑ
σ +⋅= ( )( )
3 20
311
1602sen
4στ
ϕπϑ znWKm E +⋅=
( )ϑ2min1 sen
12 xz −=
2
1
zz=τ
z2 deve essereun numero intero
103
1
7
0 6010
3
⋅⋅=
hnHBσ
m mu d1uunificazione
Diametro pignone d1
Diametro ruota d2
Larghezza fascia dentata LInterasse iEventuale spostamento relativo x
denti dritti
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
Ingranaggi cilindrici a denti elicoidali
La teoria di Hertz può essere ancora utilizzatanel caso di dentature elicoidali.
Formalmente la relazione di progetto è diversada quella ricavata nel caso di dentatura dritta,essendo diversa la geometria del contatto.
21
21
21
212
EEEE
RRRRq
H ′+′′⋅′⋅
⋅+⋅=
πσ
26
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
LFq =
Il fattore dipendente dalmateriale non variarispetto al caso dei dentidritti.
21
211EEEEKE ′+′
′⋅′⋅=π
Si modificano invece i fattori chedipendono dalla forza applicata edalla geometria del dente
21
21
RRRR
⋅+
denti elicoidali
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
A
B
E
D
C θn
θ
α
t
r
a
FC
Fπ
F
Fa
Fr
piano base
piano tangentealle primitive
αααα0
αcosπFFC = αcosθcos nF=
nπ θcosFF =
nθsenFFr =F dnπ
Wdω
WFC602 ==
αsenπFFa = αsenθcos nF=
denti elicoidali
Analisi delle forzeagenti sul dente
27
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
A
B
E
D
C θn
θ
α
t
r
a
FC
Fπ
F
Fr
piano base
piano tangentealle primitive
αααα0
αtanCa FF =
αcostan n
CrθFF =
n
CFFθcoscosα
=
dnπW
dωWFC
602 ==
Fa
nπ θcosFF =
nθsenFFr =F
denti elicoidali
Analisi delle forzeagenti sul dente
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
A
B
E
D
C θn
θ
α
t
r
a
FC
Fπ
F
Fr
piano base
αααα0
Fa
Il triangolo CEB è rettangolo in EIl triangolo CBA è rettangolo in BIl triangolo CED è rettangolo in EIl triangolo CDA è rettangolo in D
CEBEθ =tan
CDADθn =tan
ADCD
CEBE
θθ
n
⋅=tantan
αcos1==
CECD
αcosCDCE = ADBE =
αcostantan nθθ =
°= 20tan nθValore unificato
denti elicoidali
Analisi delle forzeagenti sul dente
28
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
A
B
E
D
C θn
θ
α
t
r
a
FC
Fπ
F
Fr
piano base
αααα0
Fa
CAAB=0senα
CDDE=αsen
DECD
CAAB ⋅=
αα
sensen 0
nθCACD cos==
nθCACD cos= DEAB =
nθcossensen 0 αα =
°= 20tan nθValore unificato
nθ22
0 cossen1cos αα −=
denti elicoidali
Analisi delle forzeagenti sul dente
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
Linea di contatto
denti elicoidali
Lunghezza delcontatto
29
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
θ
O1 O2
A
B
M
N
M
N
M’
N’ L
CC
PbPbn
αααα0
0cosαbbn PP =
λ
bnc PlL ⋅≅⋅λ
bnc P
Ll ⋅= λ0cosα
λbP
L⋅=0cosα
Ll tc
⋅Γ=b
t Pλ=Γ
aa P
L=ΓbP
L 0tanα=
bt P
λ=Γ
at Γ+Γ=Γ
denti elicoidali
Lunghezza delcontatto
Area del rettangolo λ L
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
Larg
hezz
a de
lla fa
scia
den
tata
Piano base
BA
B´A´
αααα0
C1
C2
CC1´ C2´ 0
11 cosα
CCCC′
=
0
22 cosα
CCCC′
=
ACCC =′1
BCCC =′2 0cosαAC=
0cosαBC=
AC BC
denti elicoidali
Raggio relativo
21
21
RRRR
⋅+
30
A
A´
B
B´
αααα0
C1
C2
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
R1
R2
C
CCR 11 =
CCR 22 =
C1´ C2´
0cosαAC=
0cosαBC=
I raggi di curvatura dellesuperfici coniche nelpunto C valgono:
denti elicoidali
Raggio relativo
21
21
RRRR
⋅+
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
θθ
θ
A
B
C
t
t
r1
r2CC1′
CC2′
θrAC sen1=
θrBC sen2=
011 cos
senαθrR =
022 cos
senαθrR =
21
21
RRRR
⋅+ ( )
θrrrr
sencos 0
21
21 α+=
I raggi di curvatura dellesuperfici coniche nelpunto C valgono:
CCR 11 =
CCR 22 =
0cosαAC=
0cosαBC=
O1 O2
θr sencos1 0
1
ατ+=
denti elicoidali
Raggio relativo
21
21
RRRR
⋅+
31
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
0cosαLl t
c⋅Γ=
21
21
RRRR
⋅+
θr sencos1 0
1
ατ+=
n
CFFθcoscosα
=
dnπW
dωWFC
602 ==
21
21
21
212
EEEE
RRRRq
H ′+′′⋅′⋅
⋅+⋅=
πσ
21
211EEEEKE ′+′
′⋅′⋅=π
⇒q
ααcoscos
cos 0
nt
C
θLFq
Γ=
( )θrθL
FKnt
CEH sen
1coscos
cos
1
02
2 τα
ασ +Γ
=
0cossensen
αnθθ =
21
1dr =
( )1
03
2 12coscossen
cosdθθL
FKnnt
CEH
τα
ασ +Γ
=
( )nnn θθθ 2sencossen2 =
( )t
C
n
EH Ld
Fθ
KΓ+= τ
αασ 1
coscos
)2sen(4 0
3
1
2
( )t
C
n
EH Ld
Fθ
KΓ+Φ= τσ 1
)2sen(4
1
2
denti elicoidali
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
21
21
21
212
EEEE
RRRRq
H ′+′′⋅′⋅
⋅+⋅=
πσ ( )
θrθLFK
nt
CEH sen
1coscos
cos
1
02
2 τα
ασ +Γ
=
αα
coscos 0
3
=Φ
nθ22
0 cossen1cos αα −=
nθcossensen 0 αα =
( ) ααα 2222 tansen1cossen1),( nnn θθθ +−=Φ
( )t
C
n
EH Ld
Fθ
KΓ+Φ= τσ 1
)2sen(4
1
2
denti elicoidali
0cosαLl t
c⋅Γ=
21
21
RRRR
⋅+
θr sencos1 0
1
ατ+=
n
CFFθcoscosα
=
dnπW
dωWFC
602 ==
21
211EEEEKE ′+′
′⋅′⋅=π
⇒q
ααcoscos
cos 0
nt
C
θLFq
Γ=
32
Dimensionamento in base alla pressione di contatto
dnπW
dωWFC
602 ==( )t
C
n
EH Ld
Fθ
KΓ+Φ= τσ 1
)2sen(4
1
2
( )nn
θθxz 22
21 cossen1cossen
)1(2 αα −−≥
( ) ( ) ( )θπ
θzzθzzθzzt cos2
sencoscos2coscos2 2122
22
222
12
1 +−−++−+=Γ
αα
n
n
θθθ
22 cossen1sensen
α−=
n
n
θ
θθ
22 cossen1
coscoscos
α
α
−=
denti elicoidali
Relazione di progetto / verifica
Condizione sul numero di denti del pignone
Grado di ricoprimento trasversale
Dimensionamento in base alla sollecitazione di flessione
FC
βθ>β
βθ
Ft
Fr
h
g
+
–
–
+–
f
ff W
M±=σ
2
61 Lg
hFt±=
20
06Lg
hFCf =σ
mLgmhFC
20
06=
LmYFf
Cf =σ
mhgYf
0
20
6=
F
denti dritti
Relazione di Lewis
h0
g020
06g
mhLmFC=
Trave aduniforme
resistenza
33
mhgYf
0
20
6=
Dimensionamento in base alla sollecitazione di flessione denti dritti
Relazione di Lewis
Il fattore di forma Yf dipende del numero di denti, dall’angolo θe dallo spostamento relativo x
z numero di denti
Yf x =0x >0
x <0Variazione della
forma del dente pervalori di z crescente
Dimensionamento in base alla sollecitazione di flessione denti dritti
Relazione di LewisValori del fattore di forma Yf relativo a θ = 20°
in funzione del numero di denti e dello spostamento relativo x
Denti dritti, z1=18, x=0 Fattore Yf = 0.34
34
Dimensionamento in base alla sollecitazione di flessione
A
B
E
D
C θn
θ
α
t
r
a
FC
Fπ
F
Fr
piano base
αααα0
Fa
Dentatura elicoidale
αcosπCFF =
αcosn mm =
Relazione di Lewis
La forza agisce sul denteperpendicolarmente ad esso
Nel caso dei denti obliqui deve esserequindi considerata la Fπ in luogo della FC
Inoltre deve essere considerato il modulonormale mn in luogo del modulo m
Dimensionamento in base alla sollecitazione di flessione
t
r
a
A
C
Dα
ε
εcoscc ll =′
l’c
0cosαBCAC =
αcosCDAC =αα coscos 0 CDBC =
εcosCDBC =
0coscoscos
ααε =
denti elicoidali
Relazione di Lewis
Lunghezza del contatto:
0cosαLl t
c⋅Γ=
Bθ
α0
0coscos
αα=
CDBC
εcos=CDBC
Dal triangolo BCD si ha:
Dai triangoli ABC e ACD si ha:
0coscos
αα
cc ll =′
35
αασ 2
02
coscos
ntf
Cf mLY
FΓ
=
( )nntf
Cf θ
mLYF ,ασ Ψ
Γ=αcosπ
CFF =
αcosn mm =
LmYFf
Cf =σ
denti elicoidaliDimensionamento in base alla sollecitazione di flessione
Relazione di Lewis
0coscos
αα
cc ll =′
ncf
πf mlY
F′
=σ
02coscosα
αLl tc
Γ=′
0cosαLl t
cΓ=
αα
α 2
22
coscossen1
),( nn
θθ
−=Ψ
mdz
′′
=′
Dimensionamento in base alla sollecitazione di flessione denti elicoidali
Nel caso dei denti elicoidali il fattore di forma Yf può ancora essere ricavato dallecurve relative ai denti dritti, purché si utilizzi un numero di denti fittizio z’
α2cosrr =′
r’r
zmd =
α2cosnmd=
α3cosmdz =′
αcosmmn =
α
α3coszz =′
Cilindro primitivo
Il fattore di forma del dente obliquoè migliore del corrisponente dentedritto, perché è ottenuto da unacirconferenza primitiva maggiore diquella reale.
36
Dimensionamento in base alla sollecitazione di flessione
Nel caso dei denti elicoidali il fattore di forma Yf può ancora essere ricavato dallecurve relative ai denti dritti, purché si utilizzi un numero di denti fittizio z’
8.3030cos
203 ==′z
Esempio:per z = 20 α = 30° x = 0
Fattore Yf per dentatura dritta = 0.353
Fattore Yf per dentatura elicoidale = 0.395
denti elicoidali
37