PQT8W-68YB2-MPY6C-9JV9X-42WJV Clave de registro Asntota Definicin y tipos Podemos definir el concepto de asntota de la siguiente forma: Dada una funcincuya grfica es la curvase dice que la rectaes una asntota desi la curvase acerca aindefinidamente sin llegar a coincidir con la propia. Teniendo en cuenta que una asntota es, en particular, una recta, vamos a distinguir tres tipos de asntotas: -Asntotas horizontales-Asntotas verticales-Asntotas oblicuasAsntotas horizontales Las asntotas horizontales de una funcin son rectas horizontales de la forma. Una funcin puede tener a lo sumo dos asntotas horizontales: una por la izquierda (cuando) y otra por la derecha (cuando). Se calculan de la siguiente forma: Si, entonceses una asntota horizontal para(por la izquierda). Si, entonceses una asntota horizontal para(por la derecha). Por tanto podemos encontrarnos los siguientes casos: 1.Funciones que no tienen asntotas horizontalesPor ejemplo,cumple que los dos lmites expuestos anteriormente dan como resultadoyrespectivamente. Vemos su grfica: 2.Funciones que tienen una asntota horizontal que lo es slo por un ladoComo ejemplo tenemos la funcin. En este caso, por lo que es una asntota horizontal depor la izquierda, y, por lo que por la derecha no tenemos asntota horizontal. Vemos su grfica junto a su asntota (en azul): 3.Funciones que tienen una asntota horizontal que lo es por los dos ladosPor ejemplo,. En este caso,, por lo que la rectaes asntota horizontal detanto por la izquierda como por la derecha. Vemos su grfica junto a su asntota (en azul): 4.Funciones que tienen dos asntotas horizontales distintasPor ejemplocumple que, por lo quees asntota horizontal depor la izquierda y, por lo quees asntota horizontal depor la derecha. Podis ver su grfica junto a sus dos asntotas (en azul) en la siguiente imagen: Asntotas verticales Las asntotas verticales de una funcin son rectas verticales de la forma. No hay restricciones en cuanto al nmero de asntotas verticales que puede tener una funcin: hay funciones que no tienen asntotas verticales, funciones que tienen slo una, funciones que tienen dos y hasta funciones que tienen infinitas. Se calculan de la siguiente forma: Si, entonceses asntota vertical para(por la izquierda de la misma si el lmite ha dadoy por la derecha si el lmite ha dado). Si, entonceses asntota vertical para(por la izquierda de la misma si el lmite ha dadoy por la derecha si el lmite ha dado). Una de las conclusiones que se pueden sacar a partir de esto es la siguiente: en las asntotas horizontales planteamos siempre los mismos lmites y el resultado es el que nos dice sin existen o no; sin embargo en las verticales nosotros tenemos que aportar los valores depara los cuales calcular los lmites. Evidentemente debemos aportar puntos para los cuales sea factible la existencia de asntota vertical (no es demasiado aconsejable probar con valores al azar). Los valores candidatos a existencia de asntota vertical son los siguientes: 1.Valores que anulan algn denominador de la funcinPor ejemplo, paratenemos un candidato a asntota vertical en el punto.2.Extremos de intervalos del dominio que no pertenezcan al propio dominioPor ejemplo, el dominio dees el intervalo. Por tanto,es un candidato a asntota vertical para esta funcin.En consecuencia, lo primero que debemos hacer cuando tengamos que calcular las asntotas de una funcin es calcular su dominio (fundamental para cualquier clculo relacionado con la grfica de una funcin) e igualar a cero todos los denominadores que aparezcan en la misma para recopilar todos los candidatos. Vamos a ver algunos casos interesantes que pueden darse: 1.Funciones que no tienen asntotas verticalesPor ejemplo,no tiene asntotas verticales (su dominio esy no hay denominadores): 2.Funciones que tienen una asntota vertical por los dos ladosPor ejemplo,tiene un candidato a asntota vertical en(anula el denominador). Si calculamos los lmites que hemos comentado anteriormente obtenemos los siguientes resultados: Por lo tanto la rectaes una asntota vertical parapor los dos lados. Lo vemos en su grfica (la asntota es la recta de color azul): 3.Funciones que tienen una asntota vertical slo por un ladoPor ejemplo,tiene un candidato a asntota vertical en(anula los dos denominadores que tiene la funcin). Calculamos los lmites: Por tanto la rectaes una asntota vertical paraslo por el lado derecho de la recta (por el lado por el que el lmite correspondiente da). Vemos la grfica de la funcin a la izquierda y a la derecha de: 4.Funciones que tienen infinitas asntotas verticalesHemos comentado antes que una funcin puede tener cualquier nmero de asntotas verticales. El caso posiblemente ms curioso es el de una funcin que tenga infinitas asntotas de este tipo. El ejemplo ms conocido es el de la funcin. La razn es la siguiente: Comotenemos que los candidatos a asntota vertical de esta funcin son los valores que anulen el denominador. Por otra parte, la ecuacintiene infinitas soluciones, en concreto todos los nmeros de la formacon. Se puede comprobar de forma sencilla (con los lmites anteriores) quetiene una asntota vertical en cada uno de esos puntos, por lo quetiene infinitas asntotas verticales. Lo vemos en su grfica (las asntotas en azul): Dominio de f(X) Sabemos que una funcin es una aplicacin entre dos valores Reales que se relacionan por una regla definida: x F(x) siendo x y F(x) nmeros Reales, Esa relacin se represeta por el punto de coordenadas (x, F(x)). Por ejemplo, esa regla puede ser asociar a un nmero, su cuadrado: F(x) = x2.Evidentemente cada nmero Real (llamado original) tiene su correspondiente imagen, su cuadrado (que es un nmero Real). En este caso se dice que el DOMINIO de la funcin son todos los nmeros Reales. A veces ocurre, segn qu regla definamos, que no todos los nmeros (originales) tienen su correspondiente imagen. Por ejemplo: a un nmero le asociamos su inversoF(x) = 1/x. En este caso, no todos los nmeros Reales tienen imagen; el cero no tiene pues, el cero, no tiene inverso (1/0). Puedes comprobarlo con tu calculadora intentando realizar ese cociente y vers que da error. Esto es as porque 1/0 o cualquier nmero dividido por cero no es un nmero. Decimos entonces que el cero no pertenece al dominio de la funcin inversa de un nmero. Otro ejemplo prctico sera asociar a un nmero su raz cuadrada (el valor positivo de la raz). Sabemos que los nmero negativos no tienen races para ndices pares (cuadradas, cuartas, etc.). En este caso el dominio sera todos los positivos ms el cero, que s tiene raz.Por ltimo, podramos asociar el tiempo de cada libre de una piedra con la distancia recorrida por sta. d(t) = t2, que tiene sentido para valores positivos (o nulo) del tiempo, En general, para calcular el dominio de una funcin F(x) hay que excluir los valores de x que anulen el denominador y todos los valores que hacen negativo el interior de una raz (de ndice par).Dom F(x) = { x R F(x) R }Y se lee: Es el conjunto de nmeros reales (originales) tal que ( , /) su imagen sea un nmero R. Tambin: Conjunto de originales, x, que tienen imagen F(x).Ejemplos: Funciones racionales: 1 F(x) = x2-1Dominio: todo R salvo el 1 y -1, ya que estos originales no tienen imagen (1/0). x3

F(x) = 2(x2-4)Dominio: todo R salvo el 2 y -2, ya que estos originales no tienen imagen (1/0).

Funcin Compuesta

Siempre que se tienen dos funciones g y f se puede definir una nueva funcin de manera que la variable dependiente de g sea a su vez la variable independiente de f. Observa la siguiente ilustracin entre los conjuntos.

Ejemplo 1

Si f(x) = 2x2+1 y g(x) = x -1 entonces

( f o g )(1) = f ( g (1) )

g f ag(a)f (g (a) ) f o g salida de g = entrada de fFuncin compuesta Si fy gson dos funciones entonces, la funcin compuesta se denota por f o gy se define como ( f o g )(x) = f (g (x) ).

Observa que la composicin de dos funciones es una funcin evaluada en otra funcin.

Primero acta g Valor de 1 en g

f ( g ( 1 ) ) =f ( 0 )

f ( 0 ) = 2 ( 0 )2 + 1 = 1

Finalmente ( f o g )(1) = 1.

Ejemplo 2

Si f(x) = 2x2+1 y g(x) = x -1 entonces

( f o g )(x) = f ( g (x) )

f ( g ( x ) ) =f ( x-1 )

f ( x-1 ) = 2 ( x-1 )2 + 1 = 2 ( x2 2x + 1) +1 evala 1 en g g ( 1 ) = 1-1= 0 Valor de 0 en f

evala 0 en f Primero acta g Valor de x en g

Sustituye g(x) g ( x ) = x-1 Valor de x-1 en f

evala (x-1) en f = 2x2 4x + 2 + 1 = 2x2 4x + 2 Limites.- Clculo del l mi te en un punto Si f (x)esunaf unci nusual (pol i nmi cas, r aci onal es, r adi cal es,exponenci al es, l ogar t mi cas, et c. )yest def i ni daenel punt oa,ent oncessesuel ecumpl i r que: Esdeci r :paracal cul arel l mi tesesusti tuyeenl af unci n el val oral queti endenl asx. Nopodemoscal cul arpor queel domi ni odedef i ni ci n est enel i nt er val o[0, ), port ant onopuedet omar val or esquese acer quena-2.Si nembar gosi podemoscal cul ar , aunque3no per t enezcaal domi ni o, D={2, 3}, si podemost omar val oresdeldomi ni ot anpr xi mosa3comoquer amos. Clculo del l mi te en unafunci n definida a trozos Enpri merl ugart enemosqueest udi arl osl mi tes l ateral esenl ospunt osdeuni ndel osdi f erent est rozos. Sicoi nci den, est eesel val ordel l mi t e. Si nocoi nci den, el l mi t e noexi st e..Enx=1, l osl mi tesl ateral esson:Porl ai zqui erda:Porl aderecha:Comoenamboscasoscoi nci den, exi st eel l mi t eyval e1.Enx=1, l osl mi tesl ateral esson:Porl ai zqui erda:Porl aderecha:Comonocoi nci denl osl mi t esl at er al esnoti enel mi teenx=1 1.- Resolver el limite: solucin: 2.- Resolver el limite solucin:La solucin no es tan inmediata como en el caso anterior, es necesario realizar algunas operaciones antes de aplicar el limite, ya que este limite nos conduce a la indeterminacin del tipo cero sobre cero. Para su solucin existen dos mtodos: 1er Mtodo Por lo que aplicando la factorizacin:

2odo Mtodo Mediante la regla de LHospital Derivamos tanto el numerador como el denominador, antes de evaluar el limite, obteniendo: aplicando el limite a esta ltima expresin obtenemos: 3.- Resolver el siguiente limite: Solucin:Como el limite queda indeterminado debido a la divisin: entonces es necesario dividir entre la variable a la mayor potencia tanto en el numerador como en el denominador eneste caso entre x7: 4.- Solucionar el siguiente limite: Solucin: Dividiendo entre x3 por ser variable de mayor potencia tendramos: 5.-Encontrar el Solucin: 6.- Encontrar la solucin de la siguiente expresin: solucin: Multiplicando por

3 2 3 23 2 3 22 22 2+ + + ++ + + +x x x xx x x xtenemos:

7.- Encontrar la solucin del siguiente limite Solucin:La solucin, como podemos analizar, no es tan inmediata ya quenos conduce a la indeterminacin de la forma cero entre cero. Al igual que el ejercicio 2podemos llegar al resultado mediante dos caminos diferentes: 1er Mtodo Debido a quese puede expresar como por lo que: ( )2243 213 214lim3 213 214lim3 213 214lim3 2 3 23 2 3 2lim3 2 3 23 2 3 23 2 3 2 lim2 2 2 222222 22 22 22 22 2= =|.|

\|+ +|.|

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\|+ + + ++ + + ++ + + x x x x x xxx xxxx xxx xxxx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx xx xx 2odo Mtodo Mediante la regla de LHospital tenemos: por lo que:

8.- Resolver el siguiente limite: Solucin: Como el limite es indeterminado de la forma infinito sobre infinito primero dividiremos entre x100 con lo que: por lo tanto:

9.-Obtn el siguiente limite: Solucin: Directamente no se puede obtener el resultado por lo que es necesario desarrollar los productos

Aunqueaun la solucin no es tan inmediata si podemos plantear dos diferentes mtodos de solucin: 1er Mtodo Dividiremos entre la variable de mayor potencia: por lo tanto 2odo Mtodo Mediante regla de LHospital 1.- Resolver el limite: solucin: 2.- Resolver el limite solucin:La solucin no es tan inmediata como en el caso anterior, es necesario realizar algunas operaciones antes de aplicar el limite, ya que este limite nos conduce a la indeterminacin del tipo cero sobre cero. Para su solucin existen dos mtodos: 1er MtodoPor lo que aplicando la factorizacin: 2odo Mtodo Mediante la regla de LHospital Derivamos tanto el numerador como el denominador, antes de evaluar el limite, obteniendo:

aplicando el limite a esta ltima expresin obtenemos: 3.- Resolver el siguiente limite: Solucin:Como el limite queda indeterminado debido a la divisin:

entonces es necesario dividir entre la variable a la mayor potencia tanto en el numerador como en el denominador eneste caso entre x7: 4.- Solucionar el siguiente limite: Solucin: Dividiendo entre x3 por ser variable de mayor potencia tendramos: 5.-Encontrar el Solucin: 6.- Encontrar la solucin de la siguiente expresin: solucin: Multiplicando por

tenemos:

3 2 3 23 2 3 22 22 2+ + + ++ + + +x x x xx x x x 7.- Encontrar la solucin del siguiente limite Solucin:La solucin, como podemos analizar, no es tan inmediata ya quenos conduce a la indeterminacin de la forma cero entre cero. Al igual que el ejercicio 2podemos llegar al resultado mediante dos caminos diferentes: 1er MtodoDebido a quese puede expresar como por lo que: 2odo MtodoMediante la regla de LHospital tenemos: por lo que:

( )2243 213 214lim3 213 214lim3 213 214lim3 2 3 23 2 3 2lim3 2 3 23 2 3 23 2 3 2 lim2 2 2 222222 22 22 22 22 2= =|.|

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por lo tanto: 9.-Obtn el siguiente limite: Solucin: Directamente no se puede obtener el resultado por lo que es necesario desarrollar los productos Aunqueaun la solucin no es tan inmediata si podemos plantear dos diferentes mtodos de solucin: 1er MtodoDividiremos entre la variable de mayor potencia: por lo tanto 2odo Mtodo Mediante regla de LHospital

como esta fraccin aun mantiene la indeterminacin entonces se deriva nuevamente:

por tanto:

10.- Resolver el siguiente limite:Solucin:

Funcin :Es una relacin entre los elementos de dos conjuntos, de forma que a determinados elementos del primer conjunto se asocian elementos del segundo conjunto de manera unvoca, es decir que a un elemento del primer conjunto no le podemos asociar ms de un elemento del segundo conjunto. A un elemento cualquiera del primer conjunto lo representamos con la letra x, que denominamos variable independiente y al nico elemento que le corresponde en el segundo conjunto lo representamos por la letra y, a la que denominamos variable dependiente. A la relacin la representamos por la letra f y escribimos y=f(x).Dominio de definicin de una funcin f : Es el conjunto de valores de x para los que la funcin f(x) existe. Lo representamos por Dom(f).Recorrido o imagen de una funcin f : Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente y. Lo representamos por Img(f).Funcin real de variable real :Es aquella cuyo dominio y recorrido son subconjuntos del conjunto de los nmeros reales.Las funciones reales de variable real se suelen representar en el plano, utilizando un sistema de referencia. En la figura que sigue, la primera grfica, es la grfica de una funcin ; la segunda, no es la grfica de una funcin: En el primer caso a cada valor de x le corresponde un nico valor de y. En el segundo caso, hay valores de x que no estn nicamente determinados.Una funcin puede definirse mediante una expresin verbal, una tabla, una frmula o una grfica. En general trabajaremos con funciones expresadas mediante una frmula o expresin analtica y su grfica. Segn la expresin analtica clasificamos las funciones de la siguiente forma: Intervalos y entornos Definimos sobre la recta real : El conjunto [a,b] se llama intervalo cerrado y (a,b) se llama intervalo abierto. En cualquiera de los casos b-a se llama longitud del intervalo.Entorno de un nmero real x: Lmite de una funcin en un punto Los valores de x a considerar han de pertenecer al dominio de definicin , D de la funcin. Tambin es necesario que en D haya puntos tan prximos a a como queramos, es decir, que a sea un punto de acumulacin de D.Explicacin dinmica del concepto de punto de acumulacinPuntos tan prximos como queramos significa que cualquiera que sea la distancia que consideremos, por muy pequea que sea, existen puntos del dominio de definicin de la funcin, que no coincidan con "a", a una distancia de "a" menor que la considerada.Ejemplo dinmico de un punto "a" que no es punto de acumulacinEl lmite depende nicamente del comportamiento de la funcin en las proximidades de a, no de cual sea el valor de la funcin en el punto a ; de hecho, a puede no pertenecer al dominio de definicin de la funcin. S es necesario, que "a" sea punto de acumulacin del dominio de definicin de la funcin.Explicacin dinmica del concepto de lmiteEjemplo : Una funcin tpica en anlisis es : Esta funcin no est definida en el punto x=1 . Para este valor de x, el denominador de la funcin es 0 , y no tiene sentido en matemticas dividir por 0. El valor al que esta funcin se aproxima, cuando x tiende a 1 por la izquierda o por la derecha, es 2. Luego la funcin tiene lmite cuando x se aproxima a 1 ; el lmite es 2. Escribimos: Actividad para reforzar el conceptoLmites laterales: El lmite lateral por la izquierda de una funcin y=f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores menores que a . Lo representamos por : El lmte lateral por la derecha de una funcin y = f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores mayores que a . Lo representamos por : Ejemplo : Lmite de una funcin en el infinito. Ejemplo : Deri vadas Derivada de una constante Una funcin polinmica de grado 0 o funcin constante es aquella que no depende de ninguna variable y su derivada siempre ser cero. Si f(x) = a , tendremos que f'(x) = 0 Donde a es una constante, como un ejemplo: f(x) = 7 f'(x) = 0 Derivada de una potencia entera Una funcin potencial con exponente entero se representa por f(x) = xn y su derivada es f'(x) = nxn 1. Por ejemplo tomemos la funcin: f(x) = x3 Lo primero que se debe hacer es "bajar" el exponente de tal forma que ste multiplique a la variable con respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo, as: f'(x) = 3x3 1 Quedando finalmente: f'(x) = 3x2 Derivada de una constante por una funcin Cuando una funcin est representada por medio de f(x) = cxn, su derivada equivale a f'(x) = n(cx(n 1)) de la siguiente manera: Consideremos la siguiente funcin: f(x) = 8x4, lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaa, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente: f'(x) = 4(8x4 1) Para obtener f'(x) = 32x3 Cuando una constante acompaa a una variable cuyo exponente es 1 su derivada ser el valor de la constante: f(x) = 7x Entonces su derivada con respecto a esta variable ser: f'(x) = 7 Puesto que x0 = 1 Derivada de una suma Se puede demostrar a partir de la definicin de derivada, que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de cada una. Es decir, (f + g)' = f' + g'. Como ejemplo consideremos la funcin f(x) = 3x5 + x3, para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada trmino aparte y la suma de ambos ser la derivada de la funcin: f'(x) = 15x4 + 3x2 Derivada de un producto La derivada se expresa literalmente de la siguiente forma: "La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera funcin sin derivar y la derivada de la segunda funcin y el producto de la derivada de la primera funcin por la segunda funcin" Y matemticamente expresado por la relacin. Consideremos la siguiente funcin como ejemplo: h(x) = (4x + 2)(3x7 + 2) Identificamos a f(x) = (4x + 2) y g(x) = (3x7 + 2), utilizando las reglas anteriormente expuestas, vemos que: f'(x) = 4 y que g'(x) = 21x6 Por lo tanto Simplificando y organizando el producto obtenido nos queda h'(x) = 84x7 + 12x7 + 42x6 + 8 Sumamos trminos semejantes y finalmente obtenemos la derivada: h'(x) = 96x7 + 42x6 + 8 Si por ejemplo tenemos la derivada del producto de tres funciones que dependen de la misma variable, podemos pensar el producto de dos de las funciones como si se tratara de una tercera funcin es decir en donde(sin importar que dos funciones escogemos). Derivada de un cociente Artculo principal: Regla del cociente La derivada de un cociente se determina por la siguiente relacin: Para aquellos que se puedan confundir por algunas variables de ms se puede escribir as: Es decir: "La derivada de un cociente de dos funciones es la funcin ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la funcin en el denominador por la funcin del numerador sin derivar, todo sobre la funcin del denominador al cuadrado". Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos como ejemplo la siguiente funcin: Ahora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el denominador que en este caso es g(x) = 2x y se multiplique por la derivada del numerador que seria f'(x) = 3; luego la segunda parte dice que tomemos la funcin del numerador (f(x)) sin derivar y lo multipliquemos por la derivada de g(x) = 2x, que seria g'(x) = 2, todo esto lo dividimos entre el denominador al cuadrado, as: Ahora todo es cuestin de simplificar: