Decisões sob Risco
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Avaliação de alternativas sob riscoProf. Dr. Mauricio Uriona Maldonado
EPS 7009 – Teoria da DecisãoDepartamento de Engenharia de Produção e Sistemas
Processo Decisório
Situação Inicial Decisão
Ciclo da Análise de Decisões
Avaliar a situação
Elicitar as alternativas
Avaliar as alternativas
Plano da Implantação
Definir o marco
decisório
Análise Determinista
Análise Probabilística Avaliação
Parnell, G. S. et. al. (2013). Handbook of Decision Analysis (Vol. 6). John Wiley & Sons. Cap 05.
Estamos na etapa ‘avaliar as alternativas’
Sub-etapa ‘análise probabilistica’
Matriz de Resultados + Probabilidades
EstadosdaNatureza
Alternativas:a1,a2,...,anEstados:s1,s2,...,sm
Decisão s1 s2a1 Payoff a1s1 Payoff a1s2a2 Payoff a2s1 Payoff a2s2
Probabilidades:Ps1,Ps2,...,Psm
Exemplo
Decisão MercadoBom MercadoRuimApartamento VPL=R$50k VPL=R$30k
Sala Comercial VPL=R$100k VPL= - R$40k
Depósito VPL=R$30k VPL= R$10k
EstadosdaNatureza
Qualéamelhordecisão?
p1=0,60 p2=0,40
Exemplo
Decisão MercadoBom MercadoRuimApartamento VPL=R$50k VPL=R$30k
Sala Comercial VPL=R$100k VPL= - R$40k
Depósito VPL=R$30k VPL= R$10k
EstadosdaNatureza
p =0,60 1-p=0,40
ValorMonetárioEsperadodecadadecisão:
E(Apartamento)=$50.000(.6)+$30.000(.4)=$42.000
E(SalaCom.)=$100.000(.6)– $40.000(.4)=$44.000
E(Depósito)= $30.000(.6)+$10.000(.4)=$22.000
Exemplo
Decisão MercadoBom MercadoRuimApartamento -50k 0
Sala Comercial 0 -70k
Depósito -70k -20k
EstadosdaNatureza
p =0,60 1-p=0,40
ValorEsperadodoArrependimento decadadecisão:
E(Apartamento)=-$50.000(.6)+$0(.4) =-$30.000
E(SalaCom.)=$0(.6)– $70.000(.4) =-$28.000
E(Depósito)= -$70.000(.6)- $20.000(.4) =-$50.000
Análise de Sensibilidade
ValorEsperadodecadadecisão:E(Apartamento)=$50.000(p)+$30.000(1-p) =20.000p+30.000
E(SalaCom.)=$100.000(p)– $40.000(1-p)=140.000p– 40.000
E(Depósito)= $30.000(p)+$10.000(1-p)=20.000p+10.000
Análise de Sensibilidade
p=0 p=1.0
De p=0 a p= 0,44 à Apartamento
De p=0,45 a p= 0,54 à Apartamento
p > 0,55 à Sala
Árvores de Decisão
Árvoresdedecisãosãoestruturasmaisflexíveisparaproblemasmaiscomplexosesão
comumenteusadaspelostomadoresdedecisãoparaobterumamelhorrepresentação visualdasalternativasdedecisãoesuaspossíveis
consequências.
Árvores de Decisão
Decisão MercadoBom MercadoRuimApartamento R$50k R$30k
Sala Comercial R$100k - R$40k
Depósito R$30k R$10k
EstadosdaNatureza
p =0,60 1-p=0,40
Árvores de Decisão
§ Umaestruturaemárvoredequadrados,círculos,arcosenúmeros
§ Nóquadrado:umadecisão
§ Umcírculo:Umeventodoestadodanatureza
§ Umarco:umresultadodeumadecisãoouumevento,indicandoaprecedênciadedecisõeseeventos
§ Números:aprobabilidadedeumevento,opagamentodeumresultadodeumevento,ouasuposiçãoderetornoesperadodeumadecisão(oudeumasequênciadedecisões)
Árvores de Decisão
§ Umaárvorededecisãosequencialéusadaparailustrarumasituaçãoqueexigeumasequênciadedecisões.
§ Normalmenteécronológicaerespeitaumaordemlógica.
§ Usadoondeumamatrizderesultados,nãopodeserusada.
§ Exemplodeinvestimentoimobiliáriomodificadoparaabrangerumperíododedezanosemqueváriasdecisõesdevemsertomadas:
Valor Esperado da Informação Perfeita
§ Ovaloresperadodainformaçãoperfeita (VEIP)éomontantemáximoqueumtomadordedecisãodevepagarparaobterinformaçõesadicionais.
§ VEIPéigualaovaloresperadodadoquesepossuiainformaçãoperfeita(informaçõesprivilegiadas)menos ovaloresperadocalculadosemainformaçãoperfeita
§ VEIPéigualaovalor esperadodaperdaoportunidade(EPO)paraamelhordecisão.
Valor Esperado da Informação Perfeita
Decisão MercadoBom MercadoRuimApartamento R$50k R$30k
Sala Comercial R$100k - R$40k
Depósito R$30k R$10k
EstadosdaNatureza
p =0,60 1-p=0,40
• Sesoubessemos certamente,queomercadobomiriaprevalecer,escolheriamos aSalaComercial(R$100.000);
• Sesoubessemos certamente,queomercadoruimiriaprevalecer,escolheriamos oApartamento(R$30.000);
Valor Esperado da Informação Perfeita
ValorEsperado dadecisão cominformaçãoperfeita (VEcIP):
$100,000(.60)+$30,000(.40)=$72,000
Decisão MercadoBom MercadoRuimApartamento R$50k R$30k
Sala Comercial R$100k - R$40k
Depósito R$30k R$10k
EstadosdaNatureza
p =0,60 1-p=0,40
Valor Esperado da Informação Perfeita
Relembrando, o Valor Monetário Esperado de cada decisão:
E(Apartamento) = $50.000(.6) + $30.000(.4) = $42.000
E(Sala Com.) = $100.000(.6) – $40.000(.4) = $44.000
E(Depósito) = $30.000(.6) + $10.000(.4) = $22.000
VEIP = $72.000 – $44.000 = $ 28.000
OVEIPéomontantemáximoqueumtomadordedecisãodevepagarparaobterinformaçõesadicionais(porexemplo,pormeiodeumapesquisademercado).
Análise de decisões com Informação Adicional
§ Informação perfeita (completa)é impossível deseobter;
§ Porém,podemosobter informaçãoadicional;
§ Quando setêminformações adicionaispormeiodetestes,pesquisas,experimentos,entreoutros,podemosaprimorarocálculodasprobabilidadesdosEstadosdaNatureza;
§ Portanto,podemos aprimorar nosso processo dedecisão.
Paraisto,utilizamos oTeorema deBayes
Teorema de Bayes
P(E∩C) = P(E /C)×P(C) = P(C / E)×P(E)
OTeorema deBayesmostra arelação entre:
E,portanto:
P(E /C) = P(E∩C)P(C)
P(C / E) = P(E∩C)P(E)
e
Onde:
Ei =ProbabilidadeaPriorique oEstadoverdadeiro daNatureza é oEstadoi,para i=1,2,…,n;Cj =Constatação apartir deuma experimentação (valorpossível deuma constatação j);
(1) (2)
Teorema de BayesApartir de:
P(Ei /Cj ) =P(Ei∩Cj )P(Cj )
Podemos determinar:
P(Ei∩Cj ) = P(Cj / Ei )×P(Ei )
P(Cj ) = P(Ek∩Cj )k=1
n
∑
(1)
(3)
(4)
Teorema de Bayes
Substituindo (3)e(4)em (2),temos:
(5)P(Ei /Cj ) =P(Cj / Ei )×P(Ei )
P(Cj / Ek )×P(Ek )k=1
n
∑Onde:
P(Ei) =Prob.DoEstadodanatureza i
P(Ek) =Prob.DoEstadodanatureza k
Teorema de Bayes: Exemplo
Decisão MercadoBom MercadoRuimApartamento R$50k R$30k
Sala Comercial R$100k - R$40k
Depósito R$30k R$10k
EstadosdaNatureza
P(b)=0,60 P(r)=0,40
VE(SalaCom.)=R$100.000(.6)– R$40.000(.4)=R$44.000VEIP =R$72.000– R$44.000=R$28.000
Teorema de Bayes: Exemplo
§ Assumimos,agora,queoinvestidordecidiucontratarumanalistaeconômicoqueajudarácominformaçõesadicionaissobreomercadofuturo;
§ OcustodaanáliseédeR$10.000,00
§ Oanalistaapresentaráumrelatório,oqualpodeprevercondiçõesdemercadoboasmaisprováveis,ou,condiçõesdemercadoruinsmaisprováveis;
§ Combasenohistóricodeassertividadenaprevisãodecondiçõeseconômicas,oinvestidorconseguedeterminarasprobabilidadescondicionaisdosdiferentespossíveisresultadosdorelatório;
Teorema de Bayes: Exemplo
§ Aspossíveiscondiçõessão:§ b =condiçõesdomercadoboas;
§ r =condiçõesdomercadoruins;
§ P =relatórioeconômicopositivo;
§ N=relatórioeconômiconegativo;
§ Asprobabilidadescondicionais,decadaresultadopossíveldorelatório,são:§ P(P/b)=0,80
§ P (N/b)=0.20
§ P (P/r)=0,10
§ P (N/r)=0,90
Por exemplo, se as condições futurasdo mercado fossem, de fato, boas, aprobabilidade de que o relatório, doanalista, tenha sido positivo é P(P/b)= 0,80.
Teorema de Bayes: Exemplo
• Porsuavez,sabemosqueasprobabilidadespréviassão:o P(b)=0,60;
o P(r)=0,40;
• Dadasasprobabilidadesprévias,podemoscalcularasprobabilidadesposteriores,utilizandooTeoremadeBayes;
• Ouseja,comoconhecemosaprobabilidadecondicionalP(P/b),podemosdeterminaraprobabilidadedemercadobom,dadoumrelatóriopositivoP(b/P).
Teorema de Bayes: Exemplo
Substituindo em (5):
P(b / P) = P(P / b)×P(b)P(P / b)×P(b)+P(P / r)×P(r)
P(b / P) = (0,80)× (0, 60)(0,80)× (0, 60)+ (0,10)× (0, 40)
P(b / P) = 0,923
Teorema de Bayes: Exemplo
• AprobabilidadepréviadetercondiçõeseconômicasdemercadoboaséP(b)=0,60;
• Contudo,aoseobtereminformaçõesadicionais,apartirdorelatóriopositivodoanalistaeconômico,anovaprobabilidadeposteriorparacondiçõesdemercadoboasé0,923;
• Asoutrasprobabilidadesposterioressão:o P(b/N)=0,250
o P (r/P)=0,077
o P (r/N)=0,750
Exercicio
§ A probabilidade de uma mulher de 40 anos tercâncer de mama é 1%;
§ A probabilidade que a doença seja detectadapor uma mamografia é de 80%;
§ A probabilidade de que o resultado damamografia apresente um “falso positivo” é de9,6%;
§ Se uma mulher de 40 anos é testada e oresultado é positivo, qual é a probabilidade delaapresentar, efetivamente, a doença?
Árvores de Decisão + Prob Posteriores
• EocustodosR$10.000dorelatóriodepesquisa?• Podemosincluiressecustononossocálculodovalor
esperado;• Destaforma,podemosidentificaraestratégiadedecisão:
ESTRATÉGIADEDECISÃO Alternativaótima
ValorEsperado(excluindocustodepesquisa)
ValorEsperado(incluindoocustodapesquisa)
SeoRelatórioEconômicoforPositivo(mercadobom)
Comprar SalaComercial
R$89.220,00 R$79.220,00
SeoRelatórioEconômico forNegativo(mercadoruim)
ComprarApartamento
R$35.000,00 R$25.000,00
Valor Esperado da Informação Adicional
• Relembrando,ovaloresperadodainformaçãoperfeita(VEIP)éomontantemáximo queumtomadordedecisãodevepagarparaobterinformaçõesadicionais.
• Ovaloresperadodainformaçãoadicional(VEIA),tambémconhecidocomovaloresperadodaexperimentação,éigualaomontanteesperadoqueumdecisor devepagarparaobterinformaçõesadicionais;
• Emoutraspalavras,oVEIArespondeàpergunta:Valeapenapagarparaobterinformaçõesadicionaisdomeuproblemadecisório?
Valor Esperado da Informação Adicional
!"#" = %&(# = #()×" +,-.///#1(
VEIA=VECE– VE
Onde:
VECE=ValorEsperado comexperimentação
VE=ValorEsperado
VEIA=ValorEsperado dainformação adicional
Valor Esperado da Informação Adicional
!"#" = %&(# = #()×" +,-.///#1(
VEIA=VECE– VE
Paranosso exemplo:
VECE=P(P)*VE(P) +P(N)*VE(N)
VE(P)=R$89.220,00P(P)=0,52P(N)=0,48 VE(N)=R$35.000,00
VECE=R$63.194,40Portanto: e VE=R$44.000,00
VEIA= R$19.194,40
Valor Esperado da Informação Adicional
§ OvalordeR$19.194,40representaovalorpotencial dainformação adicional (daexperimentação);
§ Ao compararmos este valorcomos R$10.000,00decusto dorelatório (pesquisa comanalistaeconômico),percebemos que valeapena realizaroestudo epagar por ele,pois:§ VEIA>Custo daexperimentação
Valor Esperado da Informação Adicional
§ Ao relacionarmos oVEIPeoVEIApodemos obter umamedida deeficiência.
§ Umíndicede100%representariainformaçãoperfeita;§ Portanto,ovalordaeficiênciaterácomolimiteinferior
“0”ecomolimitesuperior“1”
Eficiência =VEIAVEIP =0,6855
§ Índicesaltospodemindicarqueainformaçãoé“tãoboa”quantoainformaçãoperfeitaequeinformaçõesadicionaisnãolevarãoamelhoresresultados.
Teoria da Utilidade
• Embora aregra dedecisão doVEsejaamplamenteutilizada,àsvezesaalternativacomoVEmaisaltonãoéaalternativamaispreferidapelotomadordedecisão;
• Porexemplo,suponhaqueocustodedoisinvestimentosfosseexatamenteomesmo,equeosresultados(payoffs)fossem:
Decisão Estado1 Estado 2InvestimentoA R$150k - R$30k
InvestimentoB R$70k R$40k
P(b)=0,50 P(r)=0,50
Teoria da Utilidade
VE(A)=R$60.000
VE(B) =R$55.000
Decisão Estado1 Estado 2InvestimentoA R$150k - R$30k
InvestimentoB R$70k R$40k
P(b)=0,50 P(r)=0,50
Teoria da Utilidade
• Deacordo comaregra dedecisãodeVE,deveríamosrealizar oinvestimento A,porque ela temomaior VE;
• Noentanto,oinvestimento Arepresentauminvestimentomuitomais arriscado que oinvestimentoB;
• Embora oinvestimento Ageraria omaior VEalongoprazo,podemosnãoter os recursos financeiros parasuportar aspotenciais perdas deR$30.000por ano,oque poderia ocorrer acurto prazo comessa alternativa;
• ATeoria daUtilidade oferece umamaneira deincorporaraspreferências dotomadordedecisãoemrelaçãoaorisco,deformaaidentificaraalternativamaisdesejável.
Função de Utilidade
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
Utilidade
Resultado/Payoff ($)
Avesso aoRisco
Neutro
Propenso aoRisco
Função de Utilidade
• Paraincorporar afunção deutilidade numproblema dedecisão sobrisco é necessário,inicialmente,construir afunção,apartir damodelagem depreferências dodecisor;
• Portanto,cada decisor terá (ou poderá ter)uma função deutilidade diferente.
• Comoconstruir afunção deutilidade?
Função de Utilidade
• Relembrandonosso exemplo anterior:
• Atribuaovalordeutilidade0paraopiorresultadoe1paraomelhor:
• U(-30k)=0eU(150k)=1
Função de Utilidade
• Paraencontrarmos autilidade associada ao valorde$70,000,identifique qual ovalordaprobabilidade pque torna odecisor indiferente entre:
• Alternativa1:Receber$70kcomcerteza;
• Alternativa2:Receber$150kcomprobabilidadep eperder$30kcomprobabilidade(1-p);
• Ouseja,qualvalordep fariacomqueambasalternativasfossemindiferentes?
• Assumimosque,porexemplo,umvalordep =0,9fariaambasasalternativasindiferentes.
Função de Utilidade
• Deacordocomométododaloteriaequivalente,umvalordeppodeserutilizadoparaestimarovalordeU(M);
• Ouseja:
• Sep=0.9,ovalordeU(70k)=0.9
• Continuamosesteprocedimentoparaidentificarosoutrospontosdacurvadeutilidade
Função de Utilidade
• Agora,identificamosovalorparaU(40k);• Fazemosapergunta:qualseriaovalordep que
fariacomqueambasasalternativasfossemindiferentes:• Alternativa1:Receber$40.000comcerteza;• Alternativa2:Receber$150.000comprobabilidade
p ouperder$30.000comprobabilidade(1-p)• Assumimos,queporexemplo,umvalorde p =0.65
fariaambasasalternativasindiferentes;• Portanto,deacordoaométododaLE,ovalorde
U(40k)=0.65.
Matriz de Resultados - Utilidades
• Agora,substituimos osvaloresdasutilidadesnamatrix dedecisãoanterior.
Decisão 1 2A 1 0
B 0.90 0.65
EstadosdaNatureza
p =0,50 1-p=0,50
ValorEsperadodecadadecisão:
E(B)=(0.5*0.9)+(0.5*0.65)=0.775
E(A)=(1*0.5)+(0*0.5)=0.5
AgoraBoferece amaior utilidade
Função Utilidade Exponencial
• Emumproblemadedecisãocomplicadocomváriosvaloresderetornopossíveis,podeserdifíciledemoradoparaumtomadordedecisãodeterminarosvaloresdiferentesparap* quesãonecessáriosparadeterminarautilidadedecadaretorno.
• Porexemplo,seotomadordedecisãoforavessoaorisco,afunçãoutilidadeexponencialpodeserusadacomoumaaproximaçãodafunçãoutilidaderealdotomadordedecisão;
• Estafunçãorepresentaumcomportamentoclássicodeaversãoaorisco.
Função Utilidade Exponencial
U(M ) =1− e−MR
Onde:R =Tolerânciaaorisco,porpartedotomadordedecisãoM=Valormonetáriodoretorno(resultadooupayoff)
Função Utilidade Exponencial
• Para isto, é preciso determinar um valor razoável parao parâmetro de tolerância ao risco R.
• Um método usado para fazer isso envolve adeterminação do valor máximo de R, pelo qual otomador de decisão está disposto a participar de umjogo de azar com os seguintes resultados possíveis:• Ganhar $ R com probabilidade 0.5;• Perder $ R/2 com probablidade 0.5
• Portanto, um tomador de decisão disposto a aceitaresse risco apenas com valores muito pequenos de R éavesso ao risco.
Função Utilidade Exponencial• Para o exemplo anterior, assumimos um valor de R =
$60.000;• Aplicandoa função de utilidadeexponencial:
Decisão 1 2A 0.92 -0.65
B 0.69 0.49
EstadosdaNatureza
p =0,50 1-p=0,50
ValorEsperadodecadadecisão:
E(A)=(0.5*0.92)- (0.5*0.65)=0.13
E(B)=(.69*0.5)+(0.49*0.5)=0.59
Aalternativa Bcontinuaoferecendoomelhor resultado
Matriz de ResultadosUtilidades com função Exponencial
Exercício
§ Utilizeaafunçãoexponencialdautilidadeparacalcularamelhoralternativa,combasenaárvorededecisão;
§ AssumaumvalorR =22000.
Decisão MercadoBom MercadoRuimApartamento R$50k R$30k
Sala Comercial R$100k - R$40k
Depósito R$30k R$10k
EstadosdaNatureza
P(b)=0,60 P(r)=0,40
Bibliografia
1. Ragsdale, Cliff T. (2015). Modelagem de Planilha e Análise de Decisão: Uma introdução prática a business analytics. Cengage Learning. 616p. Cap. 14. Análise de Decisão.
2. Hillier, F.S.; Lieberman, G.J. (2015). Introduction to operations research. 10th ed. Cap16. Decision Analysis, p. 682-730.
Bibliografia
3. Taylor, B. W. (2013). Introduction to management science. Prentice Hall. Cap12. Decision Analysis, p.545-560 (Decision under risk).
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