Đề thi môn Toán cao cấp A1

ĐẠI HỌC KHOA HỌC Ngày ? -02-2009

KHOA TOÁN THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2008-2009

MÔN : PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN (4 TC)

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu I. (3đ) 1. Chứng minh rằng nếu

thì Dấu đẳng thức xảy ra khi

nào?

2. Dãy số thực xác định bởi

Chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới. Tìm .

3. Tính giới hạn

Câu II (1,5đ) Chứng minh

Câu III. (3,5đ)

1. Tính tích phân

2. Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng

3. Tính diện tích của hình phẳng hữu hạn giới hạn bởi hai đường cong

và trên đoạn

Câu IV. (2đ) Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm luỹ thừa

Duyệt Giáo viên tổng hợp đề

Nguyễn Đắc Liêm

ĐẠI HỌC KHOA HỌC Ngày 06-02-2009




Câu I. (2,5đ) Cho dãy được xác định như sau

1. Chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới.

2. Tìm 3. Tính giới hạn

Câu II. (1,5đ) Chứng minh

Câu III. (3 đ) 1. Cho chuỗi hàm luỹ thừa

a. Tìm miền hội tụ của chuỗi trên.

b. Tính tổng của chuỗi trên trong miền 2. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

Câu IV. (3đ)

1. Tính thể tích của vật thể tròn xoay thu được khi quay miền hữu hạn giới hạn

bởi hai parabol quanh trục 2. Chứng minh tính hội tụ và tính tích phân suy rộng

ĐẠI HỌC KHOA HỌC Ngày 21 -02-2009




Câu I. 1. (1,5đ) Cho dãy được xác định theo công thức truy hồi

Chứng minh là dãy tăng, bị chặn trên và tìm giới hạn của dãy khi .

3. (1,5đ) Tính giới hạn

Câu II (1,5đ) Chứng minh

Câu III.

1. (1đ) Tính tích phân

2. (1đ) Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng

3. (1,5đ) Tính độ dài cung của đường cong

Câu IV. (2đ) Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm luỹ thừa

Duyệt Giáo viên tổng hợp đề


ĐÁP ÁN

Câu I. 1. (1.5đ) Xét hàm là hàm tăng trên

có

và . Do

nên

, tức là Giả sử Do là hàm tăng nên tức là .

Theo nguyên lý qui nạp dãy là dãy tăng, bị chặn trên bởi

Gọi ta có suy ra hay Nhưng nên 3. (1.5đ)

Câu II (1.5đ) Xét hàm

với

. Có . Nên

Suy ra điều phải chứng minh.

Câu III.

1. (1đ)

2. (1đ)

3. (1,5đ)

Câu V. (2 đ). Đặt . Chuỗi đã cho trở thành . Có

Chuỗi phân kỳ khi Nên miền hội tụ của chuỗi là . Do đó miền hội tụ của chuỗi xuất phát

là

Khi

ta có

ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỀ SỐ 1


HỌC PHẦN : PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN (4 TC)

DÀNH CHO CÁC LỚP KHÓA K33


Câu 1. (1,5 điểm) Cho dãy số xác định bởi với mọi

. Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 2. (1,5 điểm) Tính giới hạn

Câu 3. (1,5 điểm) Viết khai triển Maclaurin của hàm

cho đến cấp 4 theo lũy thừa của .

Câu 4. (2 điểm) Gọi là phần mặt phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường cong

a. Tính diện tích của miền .

b. Tính thể tích của vật thể tròn xoay thu được khi quay quanh trục

Câu 5. (1,5 điểm) Tính tích phân suy rộng

Câu 6. (2 điểm) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

Tìm tổng của chuỗi lũy thừa trên trong miền hội tụ của của nó.

Ghi chú: Không được sử d ng tài liệu khi làm bài.

Giáo viên ra đề Duyệt đề Trần Đình Long

Nguyễn Dư Thái

Lê Anh Tuấn







Câu 1. (1,5 điểm) Cho dãy số xác định bởi

Chứng minh rằng là dãy tăng và bị chặn trên. Tìm giới hạn của nó.

Câu 2. (1,5 điểm) Chứng tỏ rằng với mọi , ta có

Câu 3. (1,5 điểm) Tính với .

Câu 4. Cho hàm số

ế

ế

a. (1,5 điểm) Tìm để hàm số khả vi tại và đồ thị hàm số tiếp xúc với

trục hoành.

b. (1 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số và trục hoành.

Câu 5. (1 điểm) Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng

Câu 6. (2 điểm) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

Tìm tổng của chuỗi lũy thừa trên trong miền hội tụ của của nó.



Nguyễn Dư Thái

Lê Anh Tuấn







Câu 1. (1,5 điểm) Cho dãy số xác định bởi

Chứng minh rằng là dãy giảm và bị chặn dưới. Tìm giới hạn của nó.

Câu 2. (1,5 điểm) Tính giới hạn

Câu 3. (2 điểm)

a. Khai triển Maclaurin hàm

đến cấp 6 .

b. Tính gần đúng

với sai số không vượt quá .

Câu 4. (2 điểm) Cho hàm số

ế

ế

Tìm để hàm số

a. liên tục tại .

b. khả vi tại

Câu 5. (1,5 điểm) Tính tích phân suy rộng

Câu 6. (1,5điểm) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa



Nguyễn Dư Thái

Lê Anh Tuấn


ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1 PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Câu 1. (1,5đ)

3 . (0,5 đ)

. (0,5 đ)

Suy ra tồn tại thỏa mãn (0,5 đ)

Câu 2. (1,5đ)

Câu 3. (0,5đ) (có thể giải bằng cách khai triển Maclaurin)

Câu 4. (2 đ)

Câu 5. (1,5đ)

Câu 6. (2đ)

Đặt . Chuỗi đã cho trở thành

. Khi chuỗi trên phân kỳ vì SHTQ không tiến đến 0. (0,5đ)

khi . Do đó

. Nên

(0,5đ)

Vậy

. Thay bởi , ta có

.

(0,5đ)

Làm đáp án: Nguyễn Đắc Liêm

ĐẠI HỌC KHOA HỌC THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2010-2011

KHOA TOÁN

HỌC PHẦN : PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN HÀM 1 BIẾN (4 TC)

DÀNH CHO CÁC LỚP KHÓA K34 (ĐỀ 1)(R)


Câu 1.

a) (1 điểm) Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất b) (1 điểm) Cho dãy số xác định bởi

. Chứng minh rằng là dãy giảm và bị chặn dưới. Tính

Câu 2. Tính các giới hạn

Câu 3. Cho

. Tìm các số để hàm

a) liên tục trên (1 điểm)

b) khả vi trên (1 điểm).

Câu 4. Tính các tích phân suy rộng

Câu 5. (2 điểm) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa

Giáo viên ra đề Giáo viên tổng hợp đề

Bùi Văn Hiếu

Ngô Phước Nguyên Ngọc

Nguyễn Dư Thái

Lê Anh Tuấn Nguyễn Đắc Liêm


KHOA TOÁN


DÀNH CHO CÁC LỚP KHÓA K34 (ĐỀ 2)


Câu 1.

a) (1 điểm) Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất b) (1 điểm) Cho dãy số xác định bởi .

Chứng minh rằng giảm và bị chặn dưới. Tính


Câu 3. Cho miền hữu hạn giới hạn bởi các đường: a) (1 điểm) Tính thể tích hình tròn xoay do quay quanh trục b) (1 điểm) Tính thể tích hình tròn xoay do quay quanh trục


Câu 5. (1,5 điểm) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa

Câu 6. (0,5 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực ta có


Bùi Văn Hiếu


Nguyễn Dư Thái



KHOA TOÁN




Câu 1.

a) (1 điểm) Chứng minh rằng với mọi ta có

b) (1 điểm) Chứng minh rằng

là dãy giảm và bị chặn dưới.


Câu 3. (2 điểm) Tính diện tích của hình phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường sau:

Câu 4. Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng

Câu 5. a) (0,5điểm) Khảo sự hội tụ của chuỗi số

b) (1,5 điểm) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa


Bùi Văn Hiếu


Nguyễn Dư Thái



KHOA TOÁN




Câu 1. Cho dãy số xác định bởi .

a) (1 điểm) Chứng minh là dãy tăng và bị chặn trên bởi 2

b) (1 điểm) Tính


Câu 3. Cho

. Tìm các số để hàm

a) liên tục trên (1 điểm)

b) khả vi trên (1 điểm).


Câu 5. (1,5 điểm) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa

Câu 6. (0,5 điểm) Cho là hàm liên tục và khả vi trong . Chứng minh rằng

trong , giữa hai nghiệm của phương trình tồn tại ít nhất một nghiệm của

phương trình


Bùi Văn Hiếu


Nguyễn Dư Thái


Đề thi môn Toán cao cấp A1

Documents

Transcript of Đề thi môn Toán cao cấp A1