DDDD論研究：論研究：論研究：論研究：「表面張力対流の基礎的研究「表面張力対流の基礎的研究「表面張力対流の基礎的研究「表面張力対流の基礎的研究 」」」」

定常定常定常定常MarangoniMarangoniMarangoniMarangoni対流、及び非定常対流、及び非定常対流、及び非定常対流、及び非定常MarangoniMarangoniMarangoniMarangoni対流に関する対流に関する対流に関する対流に関する実験及び数値解析による検討実験及び数値解析による検討実験及び数値解析による検討実験及び数値解析による検討実験及び数値解析による検討実験及び数値解析による検討実験及び数値解析による検討実験及び数値解析による検討

Si Si Si Si 単結晶の育成装置単結晶の育成装置単結晶の育成装置単結晶の育成装置

FZ法による法による法による法によるSi単結晶育成単結晶育成単結晶育成単結晶育成Cz法による法による法による法によるSi単結晶育成単結晶育成単結晶育成単結晶育成

るつぼるつぼるつぼるつぼ

加熱加熱加熱加熱

気液表面気液表面気液表面気液表面

FZ 法により育成した法により育成した法により育成した法により育成したSi 単結晶単結晶単結晶単結晶

不純物が少ない不純物が少ない不純物が少ない不純物が少ない

Cz 法により育成した法により育成した法により育成した法により育成したSi 単結晶単結晶単結晶単結晶

大口径大口径大口径大口径プロセス終了後のウエハプロセス終了後のウエハプロセス終了後のウエハプロセス終了後のウエハ

気液表面気液表面気液表面気液表面

大きな温度差を有す気液表面では表面張力対流（大きな温度差を有す気液表面では表面張力対流（大きな温度差を有す気液表面では表面張力対流（大きな温度差を有す気液表面では表面張力対流（Marangoni対流）が顕著対流）が顕著対流）が顕著対流）が顕著

背景背景背景背景

• Siの結晶品質は、結晶の熱履歴のみならず融液内の流れのパターン

温度分布、不純物濃度分布の時間変動の影響を強く受ける。

融液の熱流動を出来る限り正しく理解することが, 高品質, 大口径

半導体単結晶育成装置の設計・改良に必要不可欠である。

•浮力に基づく自然対流と、表面張力差に基づく対流(Marangoni対流）•浮力に基づく自然対流と、表面張力差に基づく対流(Marangoni対流）

が重畳しますので両者を分類して考察する必要がある。

• Marangoni対流の非定常的流れに関する理解は未だに十分とは言えず

実験的・理論的研究の必要性が高い。

目的目的目的目的

定常定常定常定常MarangoniMarangoniMarangoniMarangoni対流対流対流対流

･地上で純粋なMarangoni対流を評価する実験方法の確立

･数値解析モデル及び解析コードの開発 (Fortran)

･微小液柱（φ=3mm, L=3mm)NaNO3内に生じるMarangoni対流の考察

･まとめ１

定常定常定常定常MarangoniMarangoniMarangoniMarangoni対流、及び非定常対流、及び非定常対流、及び非定常対流、及び非定常MarangoniMarangoniMarangoniMarangoni対流に関する対流に関する対流に関する対流に関する実験、数値解析による理解実験、数値解析による理解実験、数値解析による理解実験、数値解析による理解

･まとめ１

･溶融NaOHの最大泡圧法を使用した表面張力測定

･微小液柱（φ=3mm, L=3mm)のNaOH内に生じるMarangoni対流の考察

･まとめ2

非定常非定常非定常非定常MarangoniMarangoniMarangoniMarangoni対流対流対流対流

･３次元数値解析モデル及び解析コードの開発 (Fortran)

･KCｌ液柱内、溶融Si液柱内に生じる３次元Marangoni対流の考察

･まとめ3

定常定常定常定常MarangoniMarangoniMarangoniMarangoni対流の検討対流の検討対流の検討対流の検討

実験： 地上で純粋なMarangoni対流を評価する方法の確立

浮力の影響を無視できるように、微小液柱（φ=2～

3mm, L=3mm)内の熱流動の観察

（Hot-thermo-couple法にて実験）

数値解析：コード開発、その計算結果、実験結果との比較

HotHotHotHot----thermothermothermothermo----couplecouplecouplecouple法法法法 を使用した実験装置を使用した実験装置を使用した実験装置を使用した実験装置

Hot-thermo-couple法の電気回路構成図プローブＣＣＤカメラによる白金微粒子の観察

白金微粒子

Φ 50µm 観察

熱電対を融着した

白金円板プローブ構造

Hot-thermo-couple法の電気回路構成図プローブＣＣＤカメラによる白金微粒子の観察

Ar雰囲気

各点における電圧波形

加熱

温度測定

液柱内での液柱内での液柱内での液柱内でのMarangoniMarangoniMarangoniMarangoni対流の発生機構対流の発生機構対流の発生機構対流の発生機構

σσ σσ[

N/m

]

T [ K ]Tc Th

一般的な流体の一般的な流体の一般的な流体の一般的な流体の

表面張力の温度表面張力の温度表面張力の温度表面張力の温度

0<∂∂

T

σ

表面張力の温度表面張力の温度表面張力の温度表面張力の温度依存性依存性依存性依存性

y

T

Tyx

w

∂∂

∂∂

=∂∂

=∂∂

−σσ

µ

Marangoni効果を表す式効果を表す式効果を表す式効果を表す式

Y

X

W-

∂∂

−=∂∂ Θ

Re

無次元化無次元化無次元化無次元化

(((( ))))

(((( )))) 2/TTT

TT

TT

Ta

TMa

/

chm

ch

m

++++====

++++−−−−

====

∂∂∂∂∂∂∂∂

−−−−====

====

ΘΘΘΘ

µαµαµαµα∆∆∆∆σ

ανPr

せん断力せん断力せん断力せん断力 温度勾配温度勾配温度勾配温度勾配

Re=Ma/Pr

微小液柱微小液柱微小液柱微小液柱NaNO3NaNO3NaNO3NaNO3内の内の内の内のMarangoniMarangoniMarangoniMarangoni対流のトレーサ観察結果対流のトレーサ観察結果対流のトレーサ観察結果対流のトレーサ観察結果

融点以下

620K

620K 640K

重力加速度

ベクトル方向

620K

640K

640K

640K

下加熱 上下等温加熱

軸対称流であること軸対称流であること軸対称流であること軸対称流であること 浮力対流の影響は小さい浮力対流の影響は小さい浮力対流の影響は小さい浮力対流の影響は小さい

数値解析モデル：数値解析モデル：数値解析モデル：数値解析モデル： ２次元軸対称モデル２次元軸対称モデル２次元軸対称モデル２次元軸対称モデル

仮定

１）液体は非圧縮性流体

２）上下板温度は一定

３）流れは軸対称

４）液表面での変形はないものとする

５）液表面からの輻射及び、周囲気体の自然対流による放熱考慮

６）表面張力の温度係数、粘度及び熱伝導率以外の物性値は一定

７）浮力の効果はBussinesq近似と同等な表現法を使用

２次元軸対称系の基礎方程式２次元軸対称系の基礎方程式２次元軸対称系の基礎方程式２次元軸対称系の基礎方程式

連続の式連続の式連続の式連続の式

運動方程式運動方程式運動方程式運動方程式

エネルギー方程式エネルギー方程式エネルギー方程式エネルギー方程式

境界条件境界条件境界条件境界条件

中心軸側中心軸側中心軸側中心軸側 表面側表面側表面側表面側

下部板下部板下部板下部板 上部板上部板上部板上部板

ＮＮＮＮaNO3aNO3aNO3aNO3の物性値の物性値の物性値の物性値

σσ σσ[

N/m

]

T [ K ]Tc Th

5106.5 −×−=∂∂

T

σ

数値解析フロー数値解析フロー数値解析フロー数値解析フロー 及び使用したメッシュ及び使用したメッシュ及び使用したメッシュ及び使用したメッシュ

SIMPLESIMPLESIMPLESIMPLE法法法法

連続の式を満たす連続の式を満たす連続の式を満たす連続の式を満たすまで圧力、速度をまで圧力、速度をまで圧力、速度をまで圧力、速度を補正する補正する補正する補正する

微小液柱微小液柱微小液柱微小液柱NaNO3NaNO3NaNO3NaNO3内の内の内の内のMarangoniMarangoniMarangoniMarangoni対流の解析結果対流の解析結果対流の解析結果対流の解析結果

620K 620K 640K

1G 0G 1G

Φmax =

8.65 mm3/s

Φmax =

8.55 mm3/s

Φmax =

-8.42 mm3/s

地上環境 無重力環境 地上環境

640K 640K 620K流れの

強さ 温度分布

下加熱 上加熱

微小液柱微小液柱微小液柱微小液柱NaNO3NaNO3NaNO3NaNO3内の内の内の内のMarangoniMarangoniMarangoniMarangoni対流の解析結果対流の解析結果対流の解析結果対流の解析結果

1G

下加熱

上下等温加熱

まとめ１まとめ１まとめ１まとめ１

実験法にHot-thermo-couple法を使用し、NaNO3微小液柱内(φ=2～3mm, L=3mm)のMarangoni対流の温度計測・制御、トレーサ観察実験を行った。

今回行った温度制御範囲では流れは軸対称流であることを確認した。

数値解析では、２次元軸対称系のモデルを仮定して、円筒座標系の連続の式、運動方程式、エネルギー方程式、境界条件を使用して解析を行った。析を行った。

実験、数値解析により、液柱の中心軸が重力方向とが一致する場合には、微小液柱内の流れは、自然（浮力）の影響のない、ほぼ純粋なMarangoni対流の挙動を示すことを確認した。

また、トレーサ観察により計測した流速と、数値解析により求めた流速が良く一致することを確認した。

微小液柱微小液柱微小液柱微小液柱NaOHNaOHNaOHNaOH内の内の内の内のMarangoniMarangoniMarangoniMarangoni対流のトレーサ観察結果対流のトレーサ観察結果対流のトレーサ観察結果対流のトレーサ観察結果

融点以下 融点以上（近傍）

重力加速度

ベクトル方向

融点以上 融点以上（近傍）

ＮＮＮＮaOHaOHaOHaOHの物性値の物性値の物性値の物性値

溶融NaOHの表面張力を

最大泡圧法で測定しT*=

723.1Kで極大値を示す特異

な性質を有すこと再確認した210214.1 −×−=

∂∂

T

σ210645.2 −×=

∂∂

T

σ

微小液柱微小液柱微小液柱微小液柱NaOHNaOHNaOHNaOH内の内の内の内のMarangoniMarangoniMarangoniMarangoni対流の実験＆解析結果対流の実験＆解析結果対流の実験＆解析結果対流の実験＆解析結果 ((((高温領域）高温領域）高温領域）高温領域）

760K

810K

760K

高温領域高温領域高温領域高温領域

∆T=50K

790K

780K

780K

∆T=30K

∆T=0K

0<∂∂

T

σ0>

∂∂

T

σ

微小液柱微小液柱微小液柱微小液柱NaOHNaOHNaOHNaOH内の内の内の内のMarangoniMarangoniMarangoniMarangoni対流の実験＆解析結果対流の実験＆解析結果対流の実験＆解析結果対流の実験＆解析結果 ((((低温領域）低温領域）低温領域）低温領域）

630K

680K

650K

低温領域低温領域低温領域低温領域

∆T=50K

680K

660K

660K

∆T=30K

∆T=0K

0<∂∂

T

σ0>

∂∂

T

σ

微小液柱微小液柱微小液柱微小液柱NaOHNaOHNaOHNaOH内の内の内の内のMarangoniMarangoniMarangoniMarangoni対流の実験＆解析結果対流の実験＆解析結果対流の実験＆解析結果対流の実験＆解析結果 ((((TTTT****近傍域）近傍域）近傍域）近傍域）

z

∆T=50K

0<∂∂

T

σ0>

∂∂

T

σ

z

0σ

表面張力

微小液柱微小液柱微小液柱微小液柱NaOHNaOHNaOHNaOH内の内の内の内のMarangoniMarangoniMarangoniMarangoni対流の実験＆解析結果対流の実験＆解析結果対流の実験＆解析結果対流の実験＆解析結果 ((((TTTT****近傍域）近傍域）近傍域）近傍域）

z

∆T=40K

0<∂∂

T

σ0>

∂∂

T

σ

z

0σ

表面張力

微小液柱微小液柱微小液柱微小液柱NaOHNaOHNaOHNaOH内の内の内の内のMarangoniMarangoniMarangoniMarangoni対流の実験＆解析結果対流の実験＆解析結果対流の実験＆解析結果対流の実験＆解析結果((((TTTT****近傍域）近傍域）近傍域）近傍域）

∆T=0K

0<∂∂

T

σ0>

∂∂

T

σ

z

0σ

∆T=0K

表面張力

まとめ２まとめ２まとめ２まとめ２

溶融NaOHの表面張力を最大法圧法によって測定した。その結果、溶融NaOHの表面張力は、T*=723.1Kで極大値を示し、融点（593K)からT*までの温度領域では >0、T*以上の温度域では通常流体と同様<0となることを確認した。

T>T*におけるMarangoni対流は、 NaNO3などと同様な挙動を示すことを計算および実験的に確認した

T<T*におけるMarangoni対流は、 >0を反映して通常と逆向きに流れる。

T∂∂σ

T∂∂σ

T∂∂σ

T<T*におけるMarangoni対流は、 >0を反映して通常と逆向きに流れる。また、通常流体のMarangoni対流に比して、流速が小さいこと実験及び数値解析によって確認した。

T*周辺の温度域において液柱内に3つ以上の複数のロールセルをもつMarangoni対流が生じることを、実験および数値解析によって確認した。

実験、数値解析で検討したのは、自分たちが最初である。

T∂

高高高高Pr流体（流体（流体（流体（KCｌ）、低ｌ）、低ｌ）、低ｌ）、低Pr流体（溶融流体（溶融流体（溶融流体（溶融Si)の液柱内に生じるの液柱内に生じるの液柱内に生じるの液柱内に生じる３次元３次元３次元３次元Marangoni対流対流対流対流

L

a

Cold

Hotad

iab

ati

c

free

su

rfa

ce σ+∆σ

σAspect ratio :As=L/a

非線形３次元数値解析非線形３次元数値解析非線形３次元数値解析非線形３次元数値解析

各々の各々の各々の各々のPr Pr Pr Pr 数数数数 ((((Pr=1.02, 0.01)Pr=1.02, 0.01)Pr=1.02, 0.01)Pr=1.02, 0.01)流体の液柱内３次元流れに及ぼすパラメータの影響流体の液柱内３次元流れに及ぼすパラメータの影響流体の液柱内３次元流れに及ぼすパラメータの影響流体の液柱内３次元流れに及ぼすパラメータの影響

３次元３次元３次元３次元Marangoni Marangoni Marangoni Marangoni 対流の特性，温度場，速度場の詳細対流の特性，温度場，速度場の詳細対流の特性，温度場，速度場の詳細対流の特性，温度場，速度場の詳細

遷移挙動遷移挙動遷移挙動遷移挙動

臨界条件臨界条件臨界条件臨界条件

数値解析モデル：数値解析モデル：数値解析モデル：数値解析モデル： ３次元モデル３次元モデル３次元モデル３次元モデル

01

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+Z

WV

RR

U

R

U

θ

( )2

2

22

2

2

2

211

Z

UU

R

U

RR

RU

RRR

P

Z

UW

R

VU

R

V

R

UU

U

∂∂

+∂∂

−∂∂

+

∂∂

∂∂

+∂∂

−=

∂∂

+−∂∂

+∂∂

+∂∂

θθ

θτ

VW

UVVVVU

V ∂++

∂+

∂+

∂

Continuity equation

Navier-stokes equation

R:

2

2

2

2

2

11

ZRRR

RRZW

R

V

RU

∂∂

+∂∂

+

∂∂

∂∂

=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ Θ

θΘΘΘ

θΘΘ

τΘ

Pr

( )2

2

22

2

2

2111

Z

VV

R

V

RR

RV

RR

P

R

Z

VW

R

UVV

R

V

R

VU

V

∂∂

+∂∂

+∂∂

+

∂∂

∂∂

+∂∂

−=

∂∂

++∂∂

+∂∂

+∂∂

θθθ

θτ

Θθ

θτ

Re/GrZ

WW

RR

WR

RRZ

P

Z

WW

W

R

V

R

WU

W

+∂∂

+∂∂

+

∂∂

∂∂

+∂∂

−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂

∂

2

2

2

2

2

11

θθθθ:

Z :

Energy equation

KCｌｌｌｌの液柱内に生じる振動型マランゴニ流の臨界条件と波数、モードの液柱内に生じる振動型マランゴニ流の臨界条件と波数、モードの液柱内に生じる振動型マランゴニ流の臨界条件と波数、モードの液柱内に生じる振動型マランゴニ流の臨界条件と波数、モード

Growth rate constant β β β β and ωωωω as a function of Re.

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

2000

4000

6000

8000

m=4

m=2m=2 m=1

As [ - ]

Re

[ -

]

Pr=1.02 and Bi=0

m=2

m=3

m=3

0 0.5 1 1.510-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Non-dimensional Time τ [ − ]τ [ − ]τ [ − ]τ [ − ]

| U

|(R

=1

, θ=

θ=

θ=

θ= π

/2,

Ζ=

0.5

) π

/2,

Ζ=

0.5

) π

/2,

Ζ=

0.5

) π

/2,

Ζ=

0.5

)

No

n-d

imen

sio

na

l S

urf

ace v

elo

cit

y

θθ θθ

444030002400

Ma

m=2X(ττττ)=FX(R,Z)exp((ββββ+iωωωω)ττττ)sin(mθθθθ)

溶融溶融溶融溶融Siの液柱内に生じる３次元定常マランゴニ流の臨界条件との液柱内に生じる３次元定常マランゴニ流の臨界条件との液柱内に生じる３次元定常マランゴニ流の臨界条件との液柱内に生じる３次元定常マランゴニ流の臨界条件と波数、モード波数、モード波数、モード波数、モード

2000

4000

6000

8000

Re

[ -

]

Pr=0.02 Rec1 Chen et al. (1998)

m=2

Pr=0.01 Rec1 This work

●●●● Pr=0.01 Rec1 Levenstam et al. (1995)

22080

0 1000 2000 3000 4000 5000-20

0

20

40

60

80

β [

− ]

β [

− ]

β [

− ]

β [

− ]

Pr=0.01

208015801255

1005

●●●● As=1 (m=2)▲▲▲▲ As=1.2 (m=2)□□□□ As=1.4 (m=2)◇◇◇◇ As=1.8 (m=1)

Re [ - ]

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

2000

As [ - ]

m=2

m=1Rec1

2

2

12

10-4

10-3

10-2

10-1

100

Su

rface

Vel

oci

ty

U

θθ θθma

x

[ -

]

Re=5000

Re=3000

Re=1500

[ - ]⊿⊿⊿⊿ττττ

Re=2200

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

As=1

1960

溶融溶融溶融溶融Siの液柱内に生じる３次元振動方マランゴニ流のの液柱内に生じる３次元振動方マランゴニ流のの液柱内に生じる３次元振動方マランゴニ流のの液柱内に生じる３次元振動方マランゴニ流の臨界条件と波数、モード臨界条件と波数、モード臨界条件と波数、モード臨界条件と波数、モード

6000

8000

10000

12000

Re

[

- ]

Pr=0.01 Re c2 This workPr=0.01 Re c2 Levenstam et al. (1995)

Rec2

Pr=0.012+1

2+1

2T

T: Torsional convection+m: Wave number of disturbance

Pr= 0.01 and Re=3250

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 22000

4000

As [ - ]

2T

2T2T 1T

2000 4000 6000 8000 10000 12000-30-20-10

010203040

β [

− ]

β [

− ]

β [

− ]

β [

− ]

Pr=0.01

4628301524962865

●●●● As=1 ☆☆☆☆ As=1.6▲▲▲▲ As=1.2 ◇◇◇◇ As=1.8□□□□ As=1.4 ○○○○ As=2

Rec2=97106650

Re [ - ]

10-3

10-2

10-1

100

101

∆τ [ − ]∆τ [ − ]∆τ [ − ]∆τ [ − ]

UR

(R

=0,

θ =9

θ =9

θ =9

θ =9

π/8,

π/8,

π/8,

π/8,

Ζ=0

.979

)

Ζ

=0.9

79)

Ζ=0

.979

)

Ζ

=0.9

79)

Re80006500

0.0 0.05 0.10 0.15 0.20

As=1

Pr=0.01,As=1.8 and Re=4000

Complex oscillatory flow

2T 1T

まとめ３まとめ３まとめ３まとめ３

Pr=1.02(KCl)、、、、Pr=0.01(溶融溶融溶融溶融Si)の断熱状態の液柱内に生じるマランゴニ対流の３次元の断熱状態の液柱内に生じるマランゴニ対流の３次元の断熱状態の液柱内に生じるマランゴニ対流の３次元の断熱状態の液柱内に生じるマランゴニ対流の３次元数値解析を実行した。数値解析を実行した。数値解析を実行した。数値解析を実行した。

１．１．１．１． Pr=1.02の液柱内に生じるマランゴニ対流は、Rec（∆Tc)を超えると軸対称流から ３次元振動流へ遷移し、Pr=0.01の液柱では、遷移条件を２つ有し、Rec1 (∆Tc1) を超えると、 流れは軸対称流から３次元定常流へ遷移し、 Rec２(∆Tc２)を超えると、 ３次元振動流へ遷移する ことを確認した。。。。

２．２．２．２．マランゴニ対流の３次元微小擾乱成分は、時間に関して指数関数的に成長し、顕在化するまでには比較的長い発達期間を必要とする。

３．３．３．３．Pr=1.02の場合の３次元流への不安定化はHydro-thermal instability によるものであり、Pr=0.01

の場合はHydro-dynamic instability によるものである。

４．４．４．４．両Prの場合とも振動流の形態が液柱のAsによって変化する。しかし、Pr=1.02とPr=0.01 の振動形態は異なる。

５．５．５．５．両Prの場合とも遷移条件は、既往の線形安定論による結果及び、数値解析による結果と良好に一致する。