Curso Propedéutico de Física Moderna I Instituto de Ciencias Físicas UNAM
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Curso Propedéutico de Física Moderna IInstituto de Ciencias Físicas UNAM
Semana 3 :Principios de mecánica Cuántica
Antonio M. Juárez Reyes, Instituto de Ciencias Físicas
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Temario, semana 6
Curso propedéutico, Física moderna 2008
ESTADO SÓLIDO
6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina *
6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Mandelung
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
6.4 Teoría de bandas. Teoría de conductores
6.5- Distribución de Fermi-Dirac
6.6 Teoría de semiconductores.
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
Curso propedéutico, Física moderna 2008
Monatomic gas CV, m (J K−1 mol−1) CV, m/R
He 12.5 1.50
Ne 12.5 1.50
Ar 12.5 1.50
Kr 12.5 1.50
Xe 12.5 1.50
¿Qué tan buena es la aproximación, para los gases ideales?
¡La aproximación es bastante buena!
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
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Compliquemos las cosas: ¿Qué ocurre con las moléculas diatómicas?
R.- Aquí tenemos que considerar otros grados de libertad: Rotaciones y vibraciones.
Energía rotacional
Energía vibracional
Clásica
Cuántica
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
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EN una molécula diatómica, existen:
3 grados de libertad translacional
3 grados de libertad rotacional
1 grado de libertad vibracional
(1 alrededor del eje principal es Muy pequeño y puede despreciarse)
En total hay 6 grados de libertad
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
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-- Los 3 grados vibracionales contribuyen con R/2 en energía molar total-- Los 2 grados rotacionales contribuyen con R/2 cada uno-- el vibracional con R (R/2 por el término cinético y R/2 por el potencial)
TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) = 7R/2 = 3.5R
Diatomic gas CV, m (J K−1 mol−1) CV, m / R
H2 20.18 2.427
CO 20.2 2.43
N2 19.9 2.39
Cl2 24.1 2.90
Br2 32.0 3.84
¿Qué se ve en la realidad?
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
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Diatomic gasCV, m (J K−1 mol−1)
CV, m / R
H2 20.18 2.427
CO 20.2 2.43
N2 19.9 2.39
Cl2 24.1 2.90
Br2 32.0 3.84
TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) = 7R/2 = 3.5R
Energía vibracional
Clásica
Cuántica
¿qué valores se obtienenSi uno considera el osciladorCuántico?
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
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TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) +R(vib) = 7R/2 = 3.5R
(clásico)
TOTAL= 3R/2 (trans) +R (Rot) = 5R/2 = 2.5R
(cuántico)
Diatomic gasCV, m (J K−1 mol−1)
CV, m / R
H2 20.18 2.427
CO 20.2 2.43
N2 19.9 2.39
Cl2 24.1 2.90
Br2 32.0 3.84Más cercano! ¿Por qué funciona mejor con moléculas ligeras que grandes?
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
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Modelos para sólidos
Clásico: Modelo de P.L Doulong y de A.T Petit (1819)- El producto del calor específico por el peso atómico del elemento sólido es independiente del elemento
Cuántico: Modelo de Einstein (1906) (Notas)-empleando el oscilador cuantizado y la distribucuón de boltzmann se obtienen acuerdos con calores específicos a alta y baja temperaturas.
Modelo clásico de conductividad de Drude
Estadística de Fermi-Dirac. Partículas idénticas.
Modelo de metales de Sommerfeld
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
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Modelos para sólidos
Clásico: Modelo de P.L Doulong y de A.T Petit (1819)-El producto del calor específico por el peso atómico del elemento sólido es independiente del elemento
1.- Se modela un sólido como un conjunto de átomos ligadosPor resortes, con un acoplamiento débil.
2.- Se sabe que el oscilador armónico lineal contribuye con R unidades al calor específico molar
3.-El modelo de sólido es un oscilador en 3 dimensiones, ergo: Cv = 3R = 5.96 Cal/mol oC
Richards 1893):
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Modelos para sólidosEn general hubo poca concordancia de la predicción de D-P aunque para algunos sólidos a temperatura ambiente, la ley de Doulong y Petit se cumpleRazonablemente (aunque falla miserablemente a bajas temperaturas)
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
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Modelos para sólidosEn general hubo poca concordancia de la predicción de D-P aunque para algunos sólidos a temperatura ambiente, la ley de Doulong y Petit se cumpleRazonablemente (aunque falla miserablemente a bajas temperaturas)
Para resolver estas discrepancias, Einstein ( 1906) desarrollóUn modelo de sólido, para evaluar el calor específico:
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
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Para resolver estas discrepancias, Einstein ( 1906) desarrollóUn modelo de sólido, para evaluar el calor específico:
PREMISAS
1. Cada átomo en la latiz es un oscilador armónico cuantizado
2. Los átomos vibran a la misma frecuencia
Temario, semana 6
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ESTADO SÓLIDO La Próxima semana
6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina *
6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Mandelung
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
6.4Teoría clásica de conducción (Modelo de Drude)
6.5- Distribución de Fermi-Dirac
6.6 Teoría de semiconductores.
Temario, semana 6
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ESTADO SÓLIDO
6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina *
6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Mandelung
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
6.4 Teoría de bandas. Teoría de conductores
6.5- Distribución de Fermi-Dirac
6.6 Modelo de Sommerfeld Capacidad calorífica de Metales
6.6 Teoría de semiconductores.
Temario, semana 6
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ESTADO SÓLIDO
6.1 Estructura de sólidos, estructura cristalina *
6.2 Energía de un átomo en una malla cristalina, afinidad electrónica y número de Mandelung
6.3 Capacidad Calorífica de Sólidos
6.4 Teoría de bandas. Teoría de conductores
6.5- Distribución de Fermi-Dirac
6.6 Teoría de semiconductores. Modelo de Kronig-Penney
Teoría de Bandas
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En un sistema atómico, los valores permitidos de energía están cuantizados
En un material sólido, los niveles de energía forman bandas
1 átomoMuchos átomos
Teoría de Bandas
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¿por qué se forman bandas al asociar átomos?
Recordemos cómo se forma una molécula al sumar dos átomos:
Sumando dos átomos en estado 1S se tienen dos combinaciones posiblesUna simétrica y otra antisimétrica:
Modelo de Kronig Penney
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Para 3 moléculas, la combinación lineal de orbitales da lugar a 3 niveles:
10 átomos:
Modelo de Kronig Penney
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Para un númeroGrande de átomos losNiveles desaparecenY en su lugar aparecenBandas.
Modelo de Kronig Penney
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Para justificar de manera más formal la aparición de bandas, revisaremosEl modelo de Kronig-Penney, para evaluar los niveles de energía permitidosEn un material.
1.- Consideramos un modelo unidimensional, en el que un electron sufre la influencia de los iones de la latiz
2 .- Modelamos un cristal como una serieDe potenciales periódicos de separación d
La región I es el espacio entre iones y la II el lugar donde se encuentran Los iones.
Modelo de Kronig Penney
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La región I es el espacio entre iones y la II el lugar donde se encuentran Los iones.
La dinámicaDel electrón estádada por:
V(r) = V(r + a)
Modelo de Kronig Penney
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Las soluciones en estas regiones son:
Modelo de Kronig Penney
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Se determinan a partir de condiciones de continuidadEn las fronteras de las regiones, en particular para Psi y paraSu derivada, así como de la normalización de PSI
EC1
Modelo de Kronig Penney
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Sin embargo, estas son solo soluciones para las regiones I y II, mientras queNosotros buscamos soluciones para toda la malla.
Con el fin de encontrar la solución general, recurrimos al teorema de Bloch:
Modelo de Kronig Penney
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TEOREMA DE BLOCH “Si x es un vector cualquiera en una latiz periódica e infinita, y ψ es solución a la ecuación de schroedinger para un potencial V(r), entonces, para una latiz que satisfaga V(r)=V(r+t) existe un vector de onda k en la latiz inversa, y una Función periódica uj(k) tales que:
Tiene la misma periodicidad del potencial
Se puede ver de la ecuación 1 que:
Es decir, la función de onda en x es igual a aquella desplazada en aUnidades, más un cambio de fase exp(ika)
Modelo de Kronig Penney
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Evaluando lafunción de onda en d y en a, tenemos:
Modelo de Kronig Penney
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Y de las derivadas, se puede probar que:
Modelo de Kronig Penney
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En suma, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
(1)
(2)
(3)
Modelo de Kronig Penney
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En suma, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
(1)
(2)
(3)
Para que este sistema tenga una solución no trivial, el determinante debeSer cero. Esto lleva a la siguiente condición
Modelo de Kronig Penney
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En suma, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
(1)
(2)
(3)
Para que este sistema tenga una solución no trivial, el determinante debeSer cero. Esto lleva a la siguiente condición
Modelo de Kronig Penney
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Para que este sistema tenga una solución no trivial, el determinante debeSer cero. Esto lleva a la siguiente condición
Esta condición establece constricciones sobre las energías posibles en el potencial, y los vectores de onda posibles.
Modelo de Kronig Penney
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Para que este sistema tenga una solución no trivial, el determinante debeSer cero. Esto lleva a la siguiente condición
Soluciones válidas
No hay soluciones que satisfagan el teoremaDe Bloch.
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NOTAS
Dependiendo de el valorDel gap de energía se tienen conductores, semiconductoresY aislantes.