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m e a s u r e o f t h e r e p r e s e n t a t i v e a g e n t , w h i c h i s e q u a l t o t h e o j e c t i v e p r o b a b i l i t y m e a -

s u r e b y r a t i o n a l e x p e c t a t i o n s . I f w e c a l l o u r s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y m e a s u r e P a n d

o u r r i s k - n e u t r a l m e a s u r e Q , t h e n t h e e q u i v a l e n c e o f P a n d Q i s t h e s a m e a s

P A 0 Q A 0 ; 2 7 4

w h e r e A i s a p o s s i b l e r e a l i z a t i o n o f t h e r a n d o m v a r i a b l e o v e r w h i c h P a n d Q a r e

d e n e d .

T h i r d , a m e a s u r e i s a m a r t i n g a l e m e a s u r e w i t h r e s p e c t t o a p a r t i c u l a r p r o c e s s i f

i t c o n v e r t s t h e p r o c e s s t o a m a r t i n g a l e . R e m e m b e r t h a t a m a r t i n g a l e w i t h r e s p e c t t o

t h e i n f o r m a t i o n s e t F

t , 1

i s a s t o c h a s t i c p r o c e s s w i t h t h e p r o p e r t i e s ,

E j X

t

j 1 8 t

E X

t

j F

t , 1

= x

t , 1

:

2 7 5

N o w t h i n k a b o u t h o w w e h a v e d e n e d o u r n e w p r o b a b i l i t y m e a s u r e . O u r r i s k - n e u t r a l

m e a s u r e h a s t h e p r o p e r t y t h a t

E

Q

S

t + 1

e

, r t

= S

t

; 2 7 6

s o i t c o n v e r t s t h e p r o c e s s f o r t h e d i s c o u n t e d s t o c k p r i c e i n t o a m a r t i n g a l e . S i n c e o u r

r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t y m e a s u r e i s e q u i v a l e n t t o t h e s u b j e c t i v e p r o b a b i l i t y m e a s u r e

a n d s i n c e i t c o n v e r t s d i s c o u n t e d s t o c k p r i c e p r o c e s s e s t o m a r t i n g a l e s w e c a l l i t a n

e q u i v a l e n t m a r t i n g a l e m e a s u r e .

A s s o c i a t e d w i t h e v e r y c h a n g e o f m e a s u r e i s a m a p p i n g o f h o w t o g o f r o m o n e

m e a s u r e t o a n o t h e r m e a s u r e . T h i s m a p p i n g i s c a l l e d a R a d o n - N i k o d y m d e r i v a t i v e ,

a n d i t i s c o m m o n l y w r i t t e n a s

@ Q

@ P

. Y o u c a n t h i n k o f t h e R a d o n - N i k o d y m d e r i v a t i v e

a s t h e r a t i o o f t h e p r o b a b i l i t y d e n s i t i e s t h a t d e s c r i b e p r o b a b i l i t y u n d e r m e a s u r e Q

1 0 5

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a n d P . A R a d o n - N i k o d y m d e r i v a t i v e i s a c t u a l l y a s t r i c t l y p o s i t i v e r a n d o m v a r i a b l e .

H e u r i s t i c a l l y , i t i s a r a n d o m v a r i a b l e b e c a u s e y o u d o n ' t k n o w a t w h i c h p o i n t y o u

w i l l h a v e t o e v a l u a t e t h e r a t i o o f p r o b a b i l i t y d e n s i t i e s f o r a d r a w f r o m t h e s p a c e o f

p o s s i b l e o u t c o m e s u n t i l t h e d r a w h a s b e e n m a d e . T h i n k i n g o f t h e R a d o n - N i k o d y m

d e r i v a t i v e a s t h e r a t i o o f t w o d e n s i t i e s m a k e s i t c l e a r w h y i t i s i m p o r t a n t t o c h a n g e

f r o m o n e p r o b a b i l i t y m e a s u r e t o a n o t h e r m e a s u r e t h a t i s e q u i v a l e n t . I f s o m e s t a t e s

h a v e z e r o p r o b a b i l i t y u n d e r m e a s u r e P a n d p o s i t i v e p r o b a b i l i t i e s u n d e r Q t h e n t h e

R a d o n - N i k o d y m d e r i v a t i v e w i l l n o t b e d e n e d o v e r a l l p o s s i b l e s t a t e s .

I n a c o n t i n u o u s - t i m e s e t t i n g , t h e R a d o n - N i k o d y m d e r i v a t i v e b e c o m e s a s t o c h a s t i c

p r o c e s s . A g a i n , i t i s s t o c h a s t i c b e c a u s e t h e p o i n t a t w h i c h t h e r a t i o o f d e n s i t i e s w i l l

b e e v a l u a t e d a t e a c h p o i n t i n t i m e i s n o t k n o w n u n t i l t h a t t i m e i s r e a c h e d . T h e

R a d o n - N i k o d y m p r o c e s s h a s t h e p r o p e r t i e s ,

E

Q

S

T

= E

P

"

@ Q

@ P

S

T

; 2 7 7

E

Q

S

t

j F

!

=

E

P

h

@ Q

@ P

S

t

j F

!

i

E

P

@ Q

@ P

j F

!

; ! t T : 2 7 8

T h e R a d o n - N i k o d y m p r o c e s s i s c l o s e l y r e l a t e d t o t h e s t o c h a s t i c d i s c o u n t f a c t o r

t h a t w e h a v e b e e n d i s c u s s i n g a l l s e m e s t e r . U s i n g 2 7 6 a n d 2 7 7 , t h e s t o c h a s t i c

d i s c o u n t f a c t o r t h a t s a t i s e s t h e p r i c e v e r s i o n o f E R m = 1 ,

S

t

= E

t

S

t + 1

m

t + 1

; 2 7 9

i s j u s t a R a d o n - N i k o d y m d e r i v a t i v e m u l t i p l i e d b y a d i s c o u n t f a c t o r o r d i v i d e d b y

e i t h e r R

f

o r e

r t

. I f w e w a n t t o b e f a n c y a n d h i g h t e c h , w e c a l l t h e s t o c h a s t i c d i s c o u n t

f a c t o r a R a d o n - N i k o d y m d e r i v a t i v e .

1 0 6

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1 3 . 2 N o - A r b i t r a g e R e s u l t s

S o w h a t d o w e u s e a l l o f t h i s s t u f o r ? W e n e e d i t t o d e n e t h e a b s e n c e o f a r b i t r a g e

i n c o n t i n u o u s t i m e . O u r n o t i o n o f a r b i t r a g e i n t h e d i s c r e t e - s t a t e , o n e p e r i o d w o r l d o f

e a r l i e r r e s u l t s w a s a p o r t f o l i o w i t h z e r o o r n e g a t i v e c o s t a n d a p a y o t h a t i s g r e a t e r

t h a n o r e q u a l t o z e r o a t l e a s t o n e s t a t e g r e a t e r t h a n z e r o f o r a z e r o - c o s t p o r t f o l i o .

N o w o u r n o t i o n o f a r b i t r a g e e x p a n d s a l i t t l e b i t . R a t h e r t h a n t a l k a b o u t p o r t f o l i o

r e t u r n s , w e t h i n k o f r e t u r n s t o d y n a m i c s t r a t e g i e s t h a t a r e d i c t a t e d b y a p r o c e s s

t 2

N

. T h e p r o c e s s t m u s t b e a d a p t e d , o r m e a s u r e a b l e a t t i m e t . T h i s i s

r e q u i r e d t o m a k e t h e s t r a t e g y w e l l d e n e d . A s t r a t e g y i s s e l f - n a n c i n g i f

t S t = 0 S 0 +

Z

t

0

d X t T ; 2 8 0

w h e r e t h e i n t e g r a l h e r e i s a s t o c h a s t i c i n t e g r a l a n d S t i s t h e N - d i m e n s i o n a l p r o c e s s

o f a s s e t p r i c e s . T h e i d e a h e r e i s t h a t a s e l f - n a n c i n g s t r a t e g y r e q u i r e s y o u t o p u t u p

s o m e m o n e y a t t h e b e g i n n i n g o f y o u r s t r a t e g y b u t i t d o e s n o t r e q u i r e a n y a d d i t i o n s o f

c a p i t a l . A s e l f - n a n c i n g s t r a t e g y i s a n a r b i t r a g e i f 0 S 0 0 a n d T S T 0

o r 0 S 0 0 a n d T S T 0 .

T h e f u n t h i n g a b o u t d e n i n g n o - a r b i t r a g e a s w e h a v e a b o v e i s t h a t t h i s d e n i t i o n

a l l o w s f o r m u c h m o r e c o m p l e x s t r a t e g i e s t h a n t h e s i m p l e p o r t f o l i o s t h a t w e a l l o w e d

i n o u r o n e - p e r i o d r e s u l t s . I n p a r t i c u l a r , t h e r e a r e a s e t o f s t r a t e g i e s c a l l e d d o u b l i n g

s t r a t e g i e s " t h a t w i l l p r o d u c e a r b i t r a g e p r o t s i f s t r a t e g i e s a r e u n l i m i t t e d . T o a v o i d

d o u b l i n g s t r a t e g i e s , w e i m p o s e s o m e c o n s t r a i n t s o n s t r a t e g y p r o c e s s e s . T o i m p o s e t h e

c o n s t r a i n t s , w e d e n e s o m e s u b s e t s o f t h e s e t o f a l l a d a p t e d p r o c e s s e s , L S :

L

1

=

2 L :

Z

T

0

j t j d t 1 a : s :

; 2 8 1

1 0 7

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5/8

L

2

=

2 L :

Z

T

0

t

2

d t 1 a : s :

; 2 8 2

H

1

=

2 L

1

: E

Z

T

0

j t j d t

!

1 a : s :

; 2 8 3

H

2

=

2 L

2

: E

Z

T

0

t

2

d t

!

1 a : s :

; 2 8 4

W e w i l l a c t u a l l y j u s t u s e o n e o f t h e s e s e t s . W e l i s t t h e m a l l b e c a u s e D u e r e f e r s t o

s e v e r a l o f t h e s e s e t s i n t h e r e a d i n g s . I t i s a l s o n i c e t o s e e h o w t h e s e t s c o m p a r e i n

r e s t r i c t i v e n e s s . W i t h t h e s e s u b s e t s d e n e d , w e c a n d i s c u s s s e v e r a l d i e r e n t v e r s i o n s

o f a n o - a r b i t r a g e p r i c i n g r u l e l i k e w e d i d i n t h e s i m p l e s e t u p o f s e c i t o n 2 , b u t w e

w i l l j u s t c o n c e n t r a t e o n o n e :

N o - A r b i t r a g e a n d E q u i v a l e n t M a r t i n g a l e M e a s u r e . I f t h e p r i c e p r o c e s s S

m e a n i n g t h e m u l t i d i m e n s i o n a l v e c t o r o f a l l p r i c e s a d m i t s a n e q u i v a l e n t m a r t i n g a l e

m e a s u r e , t h e n t h e r e i s n o a r b i t r a g e i n

H

2

S :

W e w i l l n o t p r o v e t h i s t h e r e m . I t s p r o o f i s s o m e w h a t s i m i l a r t o t h e p r o o f t h a t w e

d i d w a y b a c k i n o u r s i m p l e n o - a r b i t r a g e r e s u l t s .

O n e n a l r e s u l t t h a t i s o f t e n u s e f u l i s k n o w n a s G i r s a n o v ' s t h e o r e m . G i r s a n o v ' s

t h e o r e m b a s i c a l l y s a y s t h a t y o u c a n t a k e a B r o w n i a n m o t i o n p r o c e s s w i t h a n y s o r t

o f d r i f t a n d , u n d e r s o m e t e c h n i c a l c o n d i t i o n s , n d a m e a s u r e t h a t c o n v e r t s y o u r

p r o c e s s t o a n o t h e r B r o w n i a n p r o c e s s w i t h a d i e r e n t d r i f t . C h a n g i n g m e a s u r e u s u a l l y

a m m o u n t s t o c h a n g i n g d r i f t . W e w i l l u s e a s p e c i a l c a s e o f G i r s a n o v ' s t h e o r e m :

D i u s i o n I n v a r i a n c e P r i n c i p l e . L e t X 2

d

b e a n I t o p r o c e s s w i t h d X =

t

d t +

t

d W . I f X i s a m a r t i n g a l e w i t h r e s p e c t t o a n e q u i v a l e n t p r o b a b i l i t y m e a s u r e Q t h e n

t h e r e i s a s t a n d a r d B r o w n i a n m o t i o n

W i n

d

u n d e r Q s u c h t h a t d X =

t

d

W ; t 2

0 ; T .

W e w i l l a p p l y t h e c o n c e p t s t h a t w e h a v e j u s t d i s c u s s e d w i t h a n e x a m p l e b e l o w .

1 0 8

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1 3 . 3 E x a m p l e : T h e B l a c k - S c h o l e s M o d e l

T o i l l u s t r a t e t h e u s e f u l n e s s o f t h e r i s k - n e u t r a l p r i c i n g t e c h n i q u e s , w e w i l l d e r i v e t h e

B l a c k - S c h o l e s m o d e l o n e m o r e t i m e . W e b e g i n b y a g a i n a s s u m i n g t h a t t h e s t o c k p r i c e

p r o c e s s f o l l o w s g e o m e t r i c B r o w n i a n m o t i o n ,

d S

S

= d t + d W 2 8 5

T h i s t i m e , r a t h e r t h a n c o n s t r u c t a c o n t i n u o u s - t i m e h e d g e , w e a p p l y t h e r i s k - n e u t r a l

r e s u l t s d i r e c t l y . U s i n g G i r s a n o v ' s t h e o r e m , w e c a n c o n v e r t t h e p r o c e s s f o r t h e s t o c k ' s

p r i c e t o a n e q u i v a l e n t B r o w n i a n m o t i o n p r o c e s s w i t h d r i f t e q u a l t o t h e r i s k - f r e e r a t e ,

d S

S

= r d t + d

W ; 2 8 6

w h e r e

W i s a s t a n d a r d W i e n e r p r o c e s s . N o w w e k n o w t h a t u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l

m e a s u r e w e c a l c u l a t e t h e c a l l o p t i o n ' s v a l u e b y t a k i n g t h e e x p e c t a t i o n o f t h e o p t i o n ' s

t e r m i n a l v a l u e ,

C = e

, r t

E

Q

m a x S

,k ; 0

= e

, r t

E

Q

S , k j S k , k

Q S k ; : 2 8 7

w h e r e Q S k i s t h e p r o b a b i l i t y u n d e r Q t h a t S k .

T o c a l c u l a t e t h e t e r m s a b o v e , w e w i l l n e e d s o m e d i s t r i b u t i o n a l i n f o r m a t i o n f o r S .

S i n c e t h e s t o c k p r i c e f o l l o w s g e o m e t r i c B r o w n i a n m o t i o n , w e k n o w t h a t s t o c k p r i c e s

a r e l o g n o r m a l l y d i s t r i b u t e d u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l m e a s u r e . I n p a r t i c u l a r ,

E

Q

S

t

j S

0

= S

0

e

r t

; 2 8 8

E

Q

l n S

t

j S

0

= l n S

0

+ r t ,

2

t = 2 2 8 9

1 0 9

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V a r

Q

l n S

t

j S

0

=

2

t : 2 9 0

W e a l s o k n o w s o m e o f t h e p r o p e r t i e s o f t h e l o g n o r m a l d e n s i t y . I n p a r t i c u l a r , i t i s a

s t a n d a r d r e s u l t s e e I n g e r s o l l ' s m a t h e m a t i c a l i n t r o d u c t i o n t h a t i f a r a n d o m v a r i a b l e ,

Z ; i s l o g n o r m a l l y d i s t r i b u t e d w i t h

E Z = e

+

2

= 2

;

V a r l n Z =

2

;

2 9 1

t h e n

E Z j Z a

P r Z a

=

Z

1

a

z f z d z = e

+

2

= 2

N

, l n a +

+

!

; 2 9 2

w h e r e N a g a i n i n d i c a t e s t h e c u m u l a t i v e n o r m a l d i s t r i b u t i o n . W e a l s o k n o w t h a t

l n S

t

i s n o r m a l l y d i s t r i b u t e d .

W e w a n t t o c o m b i n e t h e s e r e s u l t s t o c a l c u l a t e 2 8 7 , s p e c i c a l l y t h e q u a n t i t i e s ,

E

Q

S

,k

jS k a n d Q S k . U s i n g o u r d i s t r i b u t i o n a l r e s u l t s ,

C = e

, r t

"

S

0

e

r t

N

l n S

0

+ r t ,

2

t = 2 , l n k

p

t

+

p

t

!

, k Q S k

: 2 9 3

W e c a n s e e i m m e d i a t e l y t h a t t h e c u m u l a t i v e n o r m a l d i s t r i b u t i o n i n 2 9 3 i s e v a l u a t e d

a t t h e q u a n t i t y t h a t w e p r e v i o u s l y d e n e d a s d

1

. U s i n g t h e f a c t t h a t l n S

t

i s n o r m a l l y

d i s t r i b u t e d , t h e q u a n t i t y Q S k c a n b e w r i t t e n a s

Q S k = N

l n S

0

+ r t ,

2

t = 2 , l n k

p

t

!

= N d

2

: 2 9 4

T h u s , w e h a v e a g a i n t h e B l a c k - S c h o l e s f o r m u l a ,

C = S

0

N d

1

= e

, r t

k N d

2

: 2 9 5

1 1 0

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8/8

T h i s c o n c l u d e s o u r d e r i v a t i o n o f t h e B l a c k - S c h o l e s m o d e l u s i n g r i s k - n e u t r a l p r i c i n g

a r g u m e n t s . T h i s d e r i v a t i o n i s i n s o m e w a y s m o r e s a t i s f y i n g t h a n t h e c o n t i n u o u s - h e d g e

a r g u m e n t t h a t w e g a v e b e f o r e . W e d e r i v e d t h e m o d e l w i t h o u t h a v i n g t o w a v e h a n d s

a b o u t t h e h e a t t r a n s f e r e q u a t i o n . T h i s d e m o n s t r a t e s h o w u s e f u l r i s k - n e u t r a l p r i c i n g

c a n b e .

T h i s r i s k - n e u t r a l d e r i v a t i o n a l s o s h e d s s o m e l i g h t o n t h e i n t e r p r e t a t i o n o f t h e

t e r m s

N d

1

a n d

N d

2

. W e a l r e a d y s a i d t h a t

N d

1

i s e q u a l t o t h e o p t i o n ' s d e l t a ,

o r t h e d e r i v a t i v e o f t h e o p t i o n p r i c e w i t h r e s p e c t t o t h e s t o c k p r i c e . N o w w e k n o w

t h a t N d

2

r e p r e s e n t s t h e p r o b a b i l i t y , u n d e r t h e r i s k - n e u t r a l m e a s u r e , t h a t t h e c a l l

o p t i o n n i s h e s i n t h e m o n e y .

1 3 . 4 H o m e w o r k P r o b l e m

1 . F i n d a n e x p r e s s i o n f o r t h e R a d o n - N i k o d y m d e r i v a t i v e i n t h e s i m p l e w o r l d t h a t

w e d i s c u s s e d i n S e c t i o n 2 o f t h e n o t e s t h i s s h o u l d n o t b e h a r d .

1 1 1