CSAMT_Teori_01

8/12/2019 CSAMT_Teori_01

1/9

1

Control Source Audio-frequency

Magneto Tellurics (CSAMT)

(Oleh: Asep Harja)

A. Medan Harmonik dari suatu dipole listrik horisontal di permukaan untukkasus half-space uniform.

Definisi dari suatu sistem koordinat dalam half-space

Kita ambil sistem koordinat kartesian dan sistem koordinat silinder yang sepusat dan

posisi dipole listrik, berada di atas half-space, dan searah sumbu-x. Bila arus dipole

berbentuk sinusoid:

ti-

0

ti-

eH

eE

H

E 0 (1)

Dengan assumsi arus pergeseran yang dapat diabaikan karena dari sifat pertimbangan

kuasi-statik(Nabighian,1991), persamaan Maxwell dapat ditulis sebagai berikut:

0

0

x

ix

E

H

EH

HE

(2)

E dan H pada persamaan (2) menggambarkan medan dengan fungsi amplitudo

kompleks. Dari defenisi potensial vektor dari jenis listrik() :

x

z

h

r

P


2/9

2

AH x (3)

Karena medan elektromagnetik dalam half-space uniform bersifat relatif rumit, makauntuk menyederhanakan pencarian solusi digunakan potensial vektor listik.

Substitusi (3) ke M1 :

AE xx i

Atau (karena curl dari gradient nol)

E= iA U (4)

Dari M2 didapat :

Ukxx AAAE 22).(

Dimana konstanta propagasi didefenisikan ; k2= i-2, bentuk

adalah bentuk pergeseran yang dominan pada frekuensi tinggi dan dalam medium

nonkonduktif. Sedangkan adalah konduktivitas yang dominan pada frekuensi

rendah dan medium relatif konduktif. Dominasi bentuk konduktif terhadap bentuk

pergeseran adalah yang paling banyak terjadi pada material bumi pada frekuensi

CSAMT.Untuk kasus kuasi statik (>> ) , k2 = i, kmerupakan

bilangan gelombang.

Selanjutnya :

Div A= -U

Selanjutnya persamaan akan menjadi sederhana dalam fungsi Adan seluruh komponen

medan elektromagnetik dapat dinyatakan dalam bentuk potensial vektor A. Dari (3) dan

(4):

E= iA 1/ grad div U (5)

2A+k 2A = 0 (6)

Berbeda dengan kasusfull-spacehomogen yang konduktif, pada kasus half space, kita

akan mencari solusi dengan menggunakan dua komponen vektor potensial, yaitu

komponen horizontal Axdan komponen vertikal Az:

A = ( Ax,0,Az) (7)


3/9

3

Persamaan 6 menggambarkan perilaku medan di mana saja kecuali pada interface

dimana komponen tangensial dari medan bersifat kontinyu. Dalam sistem koordinatkartesian, jika z = h, kondisi syarat batas ini ditulis sebagai berikut:

E1x=E2x, E1y=E2y

H1x=H2x, H1y=H2y (8)

Dimana E1, H1 dan E2, H2 adalah medan-medan bagian atas dan bagian bawah dari

half-space. Agar memenuhi kondisi syarat batas, kita harus mendapatkan persamaan

berikut di permukaan bumi:

2

2

1

1

2

2

21

1

1

11

11

AA

AA

divy

divy

divxAidivxAixx

Dan

xzxzyy

zxzxzz

221121 , AAAAAA

dengan mengintegrasikan persamaan di atas terhadap x dan y, kita peroleh dua

kelompok syarat batas:

A1x = A2x,1 2x xA A

z z

(9)

A1z= A2z, 22

1

1

11AA

(10)

Jika syarat batas pada persamaan (9) tidak mengandung suku-suku Az, maka terlebih

dahulu kita selesaikan komponen horizontal Ax, kemudian gunakan persamaan (10)

untuk menemukan komponen vertikal dari vektor potensial, Az.

Bila diassumsikan dipol berada pada kedalaman z = h. Sesuai dengan persamaan (6) dan

(9), komponen horizontal Axharuslah memenuhi persamaan :

2 2

1 1 1 0x xA k A jika z < 0 (11)

2 2

2 2 2 0x xA k A jika z > 0

dan

A1x = A2x, 1 2x xA Az z

jika z = 0


4/9

4

Pada bagian bawah half space, komponen Azdapat ditulis sebagai penjumlahan

dari :

02 2 2

sx x xA A A (12)

dengan 0

2xA adalah komponen potensial vektor untuk sumber dipol listrik pada kasus

full space homogen, dan suku 2

s

xA adalah potensial vektor yang merepresentasikan

efek medan sekunder. Potensial vektor untuk sumber dipol listrik dinyatakan sebagai

berikut :

2

20

2 0 2 0 2 0

20

ik R m z h

xe mA p p e J mr dmR m

(13)

dengan 204

Ip dx

dx adalah panjang dipol, I adalah arus,

22 2 2 2

2 2 2, m =R r z h m k m i

Oleh karena vektor potensial

0

2xA

tidak bergantung pada koordinat , kita

dapat nyatakan vektor potensial untuk medan total dan sekunder sebagai fungsi

koordinat r dan z saja. Dengan asumsi bahwa medan harus berkurang seiring dengan

bertambahnya jarak dari sumber dipol, ekspresi untuk komponen Ax dapat ditulis

sebagai berikut :

1

2 2

1 0 2 1 0

0

2 0 2 1 0

20

m z

x

m z h m z

x

A p C e J mr dm

mA p e D e J mr dmm

(14)

Untuk mendapatkan konstanta C1dan D1, substitusi persamaan di atas ke persamaan (9)

sehingga diperoleh persamaan berikut:

2

2

1 1

2

1 1 2 1

m h

m h

mC e D

m

m C me m D

(15)

Konstanta C1 dan D1dapat ditulis sebagai berikut :


5/9

5

2

2

1

1 2

2 11

2 2 1

2 m h

m h

mC e

m m

m mmD e

m m m

(16)

dengan 2 21 1m m k

Dengan demikian, ekspresi untuk komponen horizontal Ax adalah sebagai

berikut:

2 1

2 2

1 0 2 0

1 20

2 12 0 2 0

2 2 10

2 m h m z x

m z h m z h

x

mA p e e J mr dm

m m

m mmA p e e J mr dmm m m

(17)

Selanjutnya kita dapat menentukan ekspresi untuk komponen vertikal dari

vektor potensial Az, yang memenuhi persamaan gelombang :

2 2

1 1 1 0z zA k A jika z < 0 (18)

2 2

2 2 2 0z zA k A jika z > 0

serta syarat batas dari persamaan (10)

A1z= A2z

1 21 2

1 2

1 1x xz zA AA A

x z x z

Hasil yang diperoleh untuk Az ditulis sebagai berikut :

1

2

1 0 2 2 1

0

2 0 2 2 1

0

cos jika z0

m z

z

m z

x

A p C e J mr dm

A p D e J mr dm

(19)

Berbeda dengan komponen horizontal Ax, komponen vertikal Azbergantung pada sudut

azimutal karena Azuntuk HED pada kasusfull spacebernilai nol.

Dalam sistem koordinat silinder persamaan (18) dapat ditulis sebagai berikut :

011 2

2

2

22

2

2

2

z

zzzz AkA

rz

A

r

A

rr

A

Dapat dilihat bahwa fungsi pada persamaan (19) memenuhi persamaan ini tanpa harusmencari nilai koefisian C2 dan D2. Dengan mensubstitusi persamaan (19) ke (10), kita


6/9

6

dapatkan dua persamaan dimana nilai C2dan D2bisa ditentukan:

C2= D2

221

22

211

1

211

DmDem

mmCmmC hm

(20)

substitusi persamaan (16) ke (20), diperoleh :

221121

221

22

22

mmmm

emDC

hm

(21)

Dengan demikian kita dapatkan persamaan untuk komponen vertikal dari vektor

potensial Az:

dmmrJmmmm

eempA

dmmrJmmmm

eempA

zmhm

z

zmhm

z

1

0 221121

2

21022

1

0 221121

2

21021

22

12

2cos

2cos

(22)

Pada kasus ini, bagian atas sebagai insulator dan dipol berada di permu-

kaan bumi pada h = 0, kemudian dengan definisi m1=m dan m2=m1maka kita

dapatkan :

dmmrJemm

mpA

dmmrJemm

mpA

m zz

m zx

1

0 1

01

0

0 1

01

2cos

2

jika z < 0 (23)

dmmrJemm

mpA

dmmrJemm

mpA

zm

z

zmx

1

0 1

02

0

0 1

02

1

1

2cos

2

jika z > 0 (24)

dengan

dxI

p

40 imkmm

222

1 (25)

Untuk mendapatkan medan listrik di permukaan, kita tentukan pernyataan-pernyataan

untuk div A, Mengikuti persamaan (23) dan (24):Div A1 = 0


7/9

7

dan

dmmrJmcosp2div 1002

A

jika z = 0 (26)

Integral ini adalah 1/r2, sehingga

cosr

p2div

2

0x1 A (27)

Dengan defenisi : div A = U

Di permukaan bumi, fungsi potenial U akan coincide dengan potensial medan stationer

( = 0) pada seluruh frekuensi. Sehingga :

cosr4

Idx2cosr

p2U 220 (28)

Dengan menggunakan persamaan (28) di atas dan persamaan (5), pernyataan untuk

kelakuan medan elektromagnetik di penghantar half-space dalam koordinat silinder:

Ar

AiE rr

1

z

Ar

A

rH zr

1

ArAiE

1

r

A

z

A

H

zz

(29)

Az

AiE zz

1

rz

ArA

rrH

1

dengan

cosxr AA sinxAA (30)

Kita mempunyai pernyataan berikut untuk komponen mendatar dari intensitas medan

listrik:

2

0 1

00r

r

1

r

1dm

mm

)mr(mJicosp2E

(31)

3

0 1

00

r

11dm

mm

)mr(mJisinp2E

(32)

Diketahui:

ikr1e1rk1

dm)mr(Jmm

m ikr32

00

1

(33)


8/9

8

Karena itu :

ikr1e1r

cosp2E ikr

3

0r

(34)

ikr1e2r

sinp2E ikr

3

0

(35)

Kemudian untuk komponen vertikal dari medan listrik dalam medium penghantar akan

mendekati nol saat titik pengukuran dilakukan di permukaan. Kemudian untuk medan

magnet :

dm)mr(Jmm

mmdm)mr(Jmm

msinr2

IdxH0

0

1

1

0

1

1

r

(36)

Dengan menggunaka identitas dari fungsi Bessel didapat0:

22002

1100r KIKI4

rkKIKI

rsin

r4

IdxH

(37)

Dengan menggunaka identitas deret :

2

ikrK2

ikrI2

ikrK2

ikrIikr2

ikrk2

ikrI6sinr4

IdxH 1001112r

(38)

Dan untuk komponen medan dalam arah :

dm)mr(Jmm

m2dm)mr(J

mm

mm2cos

r2

IdxH

0

'1

1

2

0

0

1

1

(39)

Seperti untuk Hr, menggunakan identitas didapat:

cos2

ikrK2

ikrIr2

IdxH 112

(40)

Dan untuk komponen vertikal dari medan magnet :

dm)mr(Jmmdm)mr(Jmr

sin2

IdxH

0

01

0

02

z

(41)

Dengan identitas :

22ikr42z

rk

3

1ikr1e1sin

rk2

Idx3H

(42)


9/9

9

B. Penyelesaian Dipole Listrik Horisontal (Bumi homogen)Untuk dipole listrik panjang dl searah sumbu-x dan dibumikan di permukaan bumihomogen half-space dalam pendekatan kuasi statik (>>) dan jarak titik ukur dari

transmiter r

CSAMT_Teori_01

Documents

Transcript of CSAMT_Teori_01