1

小波分析及其应用Wavelet Analysis and

It’s Applications

西南交通大学 电气工程学院

何正友（zheng_u@263.net)

2

0.1信号的时－频联合分析

3

0.1信号的时－频联合分析3.1多分辨分析原理

• 2.一定分辨率的逼近

1逼近的好坏与分辨率高低是一致的。

2高分辨率应包含低分辨率逼近。

3以小波来说， 越小，分辨率越高。ja 2=

当在某一个分辨度检测不到的现象，在另一个分辨度却很容易观察处

理。

参考：

M. Vetterli,

”Wavelets and Subband Coding “,

Prentice Hall PTR, 1995

4

图像压缩示意(真彩色图像)

阈值T(0、5、10、20)测试结果(1级分解)

阈值T(0、20、40、80)结果(3级分解)

http://matlabspace.myrice.com/myproject/report/reportfile/outputfile/color_nstdhaardec.jpghttp://matlabspace.myrice.com/myproject/report/reportfile/outputfile/threshtest_haar_T5.jpghttp://matlabspace.myrice.com/myproject/report/reportfile/outputfile/threshtest_haar_T20.jpg

5

图像压缩示意阈值T(0、20、40、80)结果(3级分解)阈值T(0、5、10、20)测试结果(1级分解)

http://matlabspace.myrice.com/myproject/report/reportfile/outputfile/color_nstdhaardec.jpghttp://matlabspace.myrice.com/myproject/report/reportfile/outputfile/threshtest_db9_T5.jpghttp://matlabspace.myrice.com/myproject/report/reportfile/outputfile/threshtest_db9_T20.jpg

6

数据嵌入核磁共振医学图象 (可无损恢复)(水印图象见下页)

(a)原始 (512×512×8) (b)小波域嵌入水印图象

7

水印图象(192×120×2 二值图象)

8

小波变换用于无损数据隐藏（交通图象）

原始图象 （1024×768） 信息隐藏后的伪装图象（1024×768）

同时隐藏 5 张（320×280）图象（见下页）

9

同时隐藏的 5 张（320×280）交通图象，可完全恢复

（1）上海延安路

（3） 上海

曲阳路

（2）外地

（4） 上海

曲阳路

（5） 上海

曲阳路

10

11

12

1.2 时频分析的必要性

1.2.2例子要 点

(a)线性调频信号

(b)正弦调制信号

©三次方相位

(d)双曲型信号

13

1.2 时频分析的必要性

1.2.2例子要 点

多分量信号

14

1.2 时频分析的必要性

1.2.2例子要 点

人类的语音(exp(ix)+1=0的发音）

语音分析是时频分析发展的一个重要原因

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1.2 时频分析的必要性

1.2.2例子要 点

机械故障诊断

机器将要出现故障

机器已经出现故障

锋利钻头

钻头有点钝

钻头很钝

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小波分析概述小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理

论深刻和应用十分广泛的双重意义。小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师

J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的统一的方法。－多分辨分析

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小波分析概述

建立多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲(Ten Lectures on Wavelets)》对小波的普及起了重要的推动作用。它与Fourier变换、窗口Fourier变换(Gabor变换)相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析(Multiscale Analysis)，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。

18

小波分析概述

小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。 电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图象和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构(或恢复)。从数学地角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理(图象可以看作是二维信号)，在小波分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。现在，对于其性质随实践是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。

19

小波分析概述

事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。

20

小波分析概述

(1)小波分析用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。(2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。(3)在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。

21

研究生讲座：小波分析及其应用

小波分析是近二十年出现的一种新的数学分析方法，它被数学家和工程师们独立地发现，是调和分析50年来发展的一个突破性进展，反映了大科学时代学科之间相互渗透、交叉、融合的趋势，是纯粹数学与应用数学及工程技术殊途同归的光辉典范。

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研究生讲座：小波分析及其应用

现有产品里成功应用小波分析算法的众多，如:

1.图像压缩，JPEG2000标准2.语音识别：众多语音识别处理软件3.故障诊断：各领域的故障诊断系统电力系统：公开应用的有多种产品。

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研究生讲座：小波分析及其应用

数学上讲：小波变换是一种数学工具，它把数据、函数或算子分割成不同频率的成分，然后去研究对应尺度的成分。

技术上讲：它是一种变换方法。笔者认为：小波变换更是一种思想，

一种可伸缩、可拓展的思想。

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研究生讲座：小波分析及其应用

1、小波的特点和发展2、小波分析在一维信号处理中的应用3 、小波分析在图象分析中的应用

图象特征抽取图象压缩数据隐藏和图象水印

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1、小波的特点和发展

“小波分析” 是分析原始信号各种变化的特性，进一步用于数据压缩、噪声去除、特征选择等。

例如歌唱信号：是高音还是低音，发声时间长短、起伏、旋律等。从平稳的波形发现突变的尖峰。小波分析是利用多种 “小波基函数” 对 “原始信号” 进行分解。

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小波的时间和频率特性

运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率”的变化。

• 时间：提取信号中“指定时间”（时间A或时间B）的变化。顾名思义，小波在某时间发生的小的波动。

• 频率：提取信号中时间A的比较慢速变化，称较低频率成分；而提取信号中时间B的比较快速变化，称较

高频率成分。

时间A 时间B

27

小波的时间和频率特性

• “Wavelet”新概念的产生－时频局部化的需要

•• ““迄今为止，通信理论的基础一直是信迄今为止，通信理论的基础一直是信号分析的两种方法组成的：一种将信号分析的两种方法组成的：一种将信号描述成时间的函数，另一种将信号号描述成时间的函数，另一种将信号描述成频率的函数（描述成频率的函数（FourierFourier分析）。分析）。这两种方法都是理想化的这两种方法都是理想化的……。然而，。然而，我们每一天的经历－特别是我们的听我们每一天的经历－特别是我们的听觉－－却一直是用时间和频率来描述觉－－却一直是用时间和频率来描述的信号。的信号。””

• 1946年D.Gabor

28

小波的成就

小波分析是纯数学、应用数学和工程技术

的完美结合。从数学来说是大半个世纪“调和分析”的结晶（包括傅里叶分析、函数空间等）。

小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。

在计算机应用、信号处理、图象分

析、非线性科学、地球科学和应用技

术等已有重大突破，预示着小波分析

进一步热潮的到来。

29

多分辨度分析（MRA）

• 1988年 Mallat 提出的多分辨度分析理论，统一了几个不相关的领域：包括语音识别中的镜向滤波，图象处理中的金字塔方法，地震分析中短时波形处理等。

• 当在某一个分辨度检测不到的现象，在另一个分辨度却很容易观察处理。例如：

30

31

参考：

M. Vetterli,”Wavelets and

SubbandCoding “,

Prentice Hall PTR, 1995

p.11

32

小波的3 个特点

• 小波变换，既具有频率分析的性质，又能表示发生的时间。有利于分析确定时间发生的现象。（傅里叶变换只具有频率分析的性质）

• 小波变换的多分辨度的变换，有利于各分辨度不同特征的提取（图象压缩，边缘抽取，噪声过滤等）

• 小波变换比快速Fourier变换还要快一个数量级。信号长度为M时， Fourier变换（左）和小波变换（右）计算复杂性分别如下公式：

MOMMO wf == ,log 2

33

小波基表示发生的时间和频率

“时频局域性” 图解：Fourier变换的基（上）小波变换基（中）

和时间采样基（下）的比较

傅里叶变换

(Fourier)基

小波基

时间采样基

34

Haar小波基母函数

（a）Haar “近似”基函数 （b）Haar “细节”基函数低频滤波系数 高频滤波系数

H0= [ 1 1] ×q H1= [ 1 -1] ×q= [ q q] =[ q -q]

其中： 7071.02 ≈=q

35

Haar小波的基函数

第 1 行基函数是取平均（近似），第 2-8 行基函数是取变化（细节）。

细节包括变化速率和发生的时间。

H0= [ 1 1] ×q

H1= [ 1 -1] ×q

尺度函数

近似基函数

小波函数

细节基函数7071.02 ≈=q

36

小波分析发展历史

雏形：1910 haar正交基和1938年Littlewood对

Fourier级数建立的L-P理论，即二进制频率划分

• 1975年，Calderon发现的再生公式已接近于小波分解

• 1981年，Stromberg证明了小波函数的存在性• 1982年，Battle在量子场论中用到了类似于小波分解的理论

• 1984年，Morlet和Grossman根据地震数据分析和要求，提出了连续小波变换的几何体系

• 1984-1988年间，Meyer,Battle,Lemarie分别给出了具有衰减特性的小波基函数，使得小波变换得以进一步发展

37

小波分析发展历史• 1987年Mallat将计算机视觉领域的多尺度分析思想引入小波分析中，提出多分辨分析的概念，统一了在此之前Stromberg,Meyer,Lemarie和Battle等提出的具体小波构造，给出了用于信号分解和重构的小波变换快速算法—Mallat算法

• 1988年Daubchies将Mallat多分辨分析与P.Burt和H.Adeson的塔形分析方案相结合，证明并给出了具有有限支集—紧支正交小波基

• 1990年，C.K.Chui和C.Cohen 进而研究了非正交小波基的构造方法

• 1992年，H.Zou等人又提出了“多带”小波的变换理论

• 1994年，Goodman,多小波的概念，同时满足光滑、紧支、对称、正交。

• 第二代提升小波、整数小波。

38

小波基可以通过给定滤波系数生成

• 小波基（尺度函数和小波函数）可以通过给定滤波系数生成。

• 有的小波基是正交的，有的是非正交的。有的小波基是对称的，有的是非对称的。

• 小波的近似系数和细节系数可以通过滤波系数直接导出，而不需要确切知道小波基函数，这是 I. Daubechies 等的重要发现，使计算简化，是快速小波分解和重建的基础。

39

小波基函数和滤波系数(Haar--正交，对称)

“近似”基函数

“反变换” 低频和

高频 “滤波系数”

“细节”基函数

Haar小波

“正变换” 低频和

高频 “滤波系数”

40

小波基函数和滤波系数(db 2--正交，不对称 )

“近似”基函数 “细节”基函数

db小波

“反变换” 低频和

高频 “滤波系数”

“正变换” 低频和

高频 “滤波系数”

41

小波基函数和滤波系数(db 4--正交，不对称)

42

小波基函数和滤波系数(sym 4--正交，近似对称)

43

小波基函数和滤波系数(bior 2.4 –双正交，对称)

44

小波基函数和滤波系数(bior 6.8 –双正交，对称)

45

2、小波分析在一维信号处理中的应用

小波变换就是将 “ 原始信号 s ” 变换 成“ 小波 系数 w ” ，w=[wa , wd]

包括近似(approximation)系数wa与细节(detail)系数wd

近似系数wa---平均成分（低频）

细节系数wd---变化成分（高频）

46

小波原始信号分解过程：

原始信号s可分解成小波近似 a 与小波细节d 之和。

s = a+d

小波系数 w = [ wa , wd ] 的分量，乘以基函数，形成小波分解：

小波近似系数wa ×基函数A=近似分解 a ---平均

小波细节系数wd ×基函数D=细节分解 d---变化

47

小波分解和小波基

小波基D

小波基A

原始信号

小波系数wd

小波系数wa正变换：原始信号在小波基上，获得 “小波系数”分量

反变换：所有“小波分解” 合成原始信号

例如：小波分解 a=小波系数 wa ×小波基A

48

离散小波变换公式

正变换

反变换

其中： 是小波基函数

参考“数字图象处理”英文版,电子工业出版社,2002年（R.C. Gonzalaz,”Digital Image Processing”，p.375)

( ) ( )

• 信号 s 有M个样本，J 级小波变换：

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )nDnA

nDwnAwndnans

JjnDnswnAnsw

wwwwMn

jJ

J

jjjdJJa

J

jiJ

jjd

JJa

dJdJaJ

,

1,,,

],,,[.,,1

11

1

∑∑==

+=+=

=⋅=⋅=

==

L

LL

小波分解

小波系数

49

一维信号小波变换例子

Haar小波，例子：

16点信号: [ 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9]通过MATLAB实现(wavemenu) 波形图小波正变换：小波系数：

小波近似系数（加）；小波细节系数（减）

小波反变换：可以由分解信号恢复原始信号。

有2种：近似分解；细节分解

50

一维信号的二级小波变换系数

原始信号

2级小波系数 w2=[wa2 , wd2 , wd1 ]

* Haar是正交变换。除以常数，目的使变换后平方和不变。例如：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−+++−++=

−−−−=

=

=

2]62113411[2]8636[2]16282328[

]9331895658738956[

1

2

2

d

d

a

www

s

( ) ( ) ( ) ( ) 2062121262288956 22222222 =++−+=+++

16位

2级近似系数

2级细节系数

1级细节系数

16位

51

一维信号的二级小波变换分解

2级近似分解 （原始信号每4个平均值）

2级细节分解 （原始信号每2个平均的差值）

1级细节分解 （原始信号单数和双数的差值）

恢复信号

]9331895658738956[ˆ

2]6622111133441111[

4]8888666633336666[

4]16161616282828282323232328282828[

122

1

2

2

=++=

+−+−−+−+−++−−+−+=

++−−++−−++−−++−−=

=

ddas

d

d

a

52

一维信号的二级小波变换系数和分解

原始信号

2级小波系数

w2=[wa2 , wd2 , wd1 ]

2级近似分解 （原始信号每4个平均值）

2级细节分解 （原始信号每2个平均的差值）

1级细节分解 （原始信号单数和双数的差值）

恢复信号 ]9331895658738956[ˆ

2]6622111133441111[

4]8888666633336666[

4]16161616282828282323232328282828[

2]62113411[2]8636[2]16282328[

]9331895658738956[

122

1

2

2

1

2

2

=++=

+−+−−+−+−++−−+−+=

++−−++−−++−−++−−=

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−+++−++=

−−−−=

=

=

ddas

d

d

a

www

s

d

d

a

53

原始信号 16点

16点原始信号 [ 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 ]

54

两级小波系数16点原始信号

小波系数 2]62113411[

2]8636[

]9331895658738956[

1

2

−−+++−++=

−−−−=

=

d

d

w

w

s

原始信号 (红)

两级小波系数

wd1

wd2

|wd2 |

|wd1 |

55

16点信号的Haar小波近似值和细节分解

两级分解

2]6622111133441111[

4]8888666633336666[

4]16161616282828282323232328282828[

]9331895658738956[

1

2

2

122

+−+−−+−+−++−−+−+=

++−−++−−++−−++−−=

=

=++=

d

d

a

ddas

56

小波去噪声

一般噪声特点：

（1）高频成分（细节），（2）幅度小：用阈值；

去噪声过程：

去除原始信号高频成分（细节）中幅度小于阈值部分。

对2级小波，设定2个阈值，称“阈值2” 和 “阈值1” 。

去除1级噪声：去除1级小波细节分解中小于“阈值1”部分。去除2级噪声：去除2级小波细节分解中小于“阈值2”部分。

恢复：将小波近似分解，加上去噪声后小波细节分解，即获得去除噪声的信号

57

噪声去除

( )( )

4]18161515282828282323232328282828[2]62113411[

2]8636[

2]16282328[

]9331895658738956[

122

1

2

2

=++=−−+++−++=

−−−−=

=

=

ddasw

w

w

s

dn

d

d

a

两级分解

噪声去除，

括号内保留部分数据

原始信号 (红),去噪后 (黄)

wd1两级小波系数

wd2

58

小波去噪声16点 [6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 ]

|wd1 | 1级去噪前绝对值

|wd1 | 1级去噪后绝对值

|wd2 | 2级去噪后绝对值

|wd2 | 2级去噪前绝对值

原始信号 (红),去噪后 (黄)

1 级细节小波系数

2 级细节小波系数

0.707×[1,1,-4,3,1,1,-2,-6]

0.5×[-6,-3,-6,-8]

两级小波系数

阈值1wd1

wd2 阈值2

59

Haar小波去噪声（16点信号）

16点原始信号 [ 6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 ]

小波去噪声

两级分解

60

一维信号的小波变换例子 2 （电压曲线）

通过MATLAB实现(wavemenu) 波形图

( MATLAB \ toolbox \ wavelet \ wavedemo\leleccum.mat )

是 “电网监视的电压曲线”， 有4570个点

Haar小波变换

61

haar 小波

(s= a2+ d2+d1)

(wavemenu) leleccum Level 2(s-原始信号，a2-近似，d1-d2细节)

1 级细节分解 (奇偶数值的差)

2 级细节分解 (前2和后2的差)

原始信号 (红)

2 级近似分解值

2 级小波分解

波形中的毛刺 (见下页)

621 级细节分解 (奇偶数值的差)

2 级细节分解 (前2和后2的差)

原始信号 (红)

2 级近似分解值

2 级小波分解（放大）

波形中的毛刺

63

图-5 haar(s= a5+ d5+..+d1)

(wavemenu) leleccum Level 5

a5-近似， d5-d1细节

附录-5 (wavemenu) leleccum haar Level 5

leleccum.mat 是有36560个点的一维电压信号(s-原始信号，a1-近似，d1-细节)

信号前2和后2的差---细节2

信号奇偶数值的差---细节1

原始信号

信号---近似值

5 级小波分解

64

小波去噪声 leleccum haar 小波两级小波系数

1 级细节小波系数

2 级细节小波系数

黄虚线表示阈值

wd1

wd2

原始信号 (红), 去噪后 (黄)

|wd1 | 1级去噪前绝对值

|wd1 | 1级去噪后绝对值

|wd2 | 2级去噪后绝对值

|wd2 | 2级去噪前绝对值

65

小波压缩 leleccum haar

黄虚线表示阈值

1 级细节小波系数

2 级细节小波系数

wd1

wd2

原始信号 (红), 压缩后 (黄)两级小波系数

|wd1 | 1级去噪前绝对值

|wd1 | 1级去噪后绝对值

|wd2 | 2 级去噪后绝对值

|wd2 | 2 级去噪前绝对值

66

小波压缩效果 leleccum haar

黄色虚线—全局阈值（自动分配两级阈值）

紫色线—相对能量百分比（能量尽量保持）

绿色线—零数目百分比 (零数目愈大，压缩愈明显)

67

3 、小波分析在图象处理中的应用

图象是二维信号，其小波变换相当于二次一维信号的小波变换：。

（1）第一次一维信号的小波变换相当于图象的行变换。

（2）第二次一维信号的小波变换相当于图象的列变换。

小波变换用于图象压缩有良好的效果 ， 已 形 成 图 象 压 缩 的 标 准 如JPEG2000。

68

小波变换用于图象特征抽取

第1级

斜线细节

第1级

水平细节

第1级

垂直细节

水平细节近似

图象

垂直细节

斜线细节

69

第1级 L1斜线细节

第1级 L1水平细节

第1级 L1垂直细节

第2级 L2细节

近似图象

第3级 L3

小波系数分级方块表示法

70

第 3 级 L3分辨率

第 2 级 L2分辨率

第 1 级 L1分辨率

小波系数分级树形表示法

71

小波变换用于图象压缩

• 采用小波进行压缩。作“小波变换”后，统计特

性有改善，消除行和列之间的相关关系。

• 有损压缩：根据视觉原理，不同分辨率小波系数进行比特分配。然后转换到一维作熵编码，

如算术编码或霍夫曼编码。

• 无损压缩：选择“整数小波变换”，无舍入误差

。但不能进行比特分配。

72

小波变换用于图象压缩

第 3 级 L3 水平、斜线、垂直细节

第 2 级 L2 水平、斜线、垂直细节

第 1 级 L1 水平、斜线、垂直细节

两阈值线之间的直方图被去除（有损压缩）

73

小波变换用于无损数据隐藏

无损数据隐藏：是基于无损压缩：选择“整数小波变换”，无舍入误差。例如可以采用第二代小波。

无损数据隐藏：避免在嵌入数据后小波反变换时图象灰度的溢出。小波变换前要作预处理，作直方图调整，将图象中灰度出现少的数据，合并入隐藏数据。

第一个无损数据隐藏是1999年科达公司发表的一个专利。由于法律上原因，医学图象数据隐藏必须是无损的。此外、无损数据隐藏在电子银行、电子政务、电子商务、图象建档等有广泛的用途。

74

数据嵌入核磁共振医学图象 (可无损恢复)(水印图象见下页)

(a)原始 (512×512×8) (b)小波域嵌入水印图象

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水印图象(192×120×2 二值图象)

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小波变换用于无损数据隐藏（交通图象）

原始图象 （1024×768） 信息隐藏后的伪装图象（1024×768）

同时隐藏 5 张（320×280）图象（见下页）

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同时隐藏的 5 张（320×280）交通图象，可完全恢复

（1）上海延安路

（3） 上海

曲阳路

（2）外地

（4） 上海

曲阳路

（5） 上海

曲阳路

小波分析及其应用 �Wavelet Analysis and�It’s Applications��西南交通大学 电气工程学院�� 何 正 友� （zheng_u@263.net)0.1信号的时－频联合分析 0.1信号的时－频联合分析 图像压缩示意图像压缩示意数据嵌入核磁共振医学图象 (可无损恢复) � (水印图象见下页) � � (a)原始 (512×512×8) (b)小波域嵌入水印图象�水印图象� (192×120×2 二值图象) 小波变换用于无损数据隐藏（交通图象）同时隐藏的 5 张（320×280）交通图象，可完全恢复 1.2 时频分析的必要性 1.2 时频分析的必要性 1.2 时频分析的必要性 1.2 时频分析的必要性 小波分析概述小波分析概述小波分析概述小波分析概述小波分析概述研究生讲座：小波分析及其应用研究生讲座：小波分析及其应用研究生讲座：小波分析及其应用研究生讲座：小波分析及其应用1、小波的特点和发展小波的时间和频率特性小波的时间和频率特性小波的成就多分辨度分析（MRA） 小波的3 个特点小波基表示发生的时间和频率 Haar小波基母函数Haar小波的基函数小波分析发展历史小波分析发展历史小波基可以通过给定滤波系数生成小波基函数和滤波系数(Haar--正交，对称)小波基函数和滤波系数(db 2--正交，不对称 )小波基函数和滤波系数(db 4--正交，不对称) 小波基函数和滤波系数(sym 4--正交，近似对称) 小波基函数和滤波系数(bior 2.4 –双正交，对称)小波基函数和滤波系数(bior 6.8 –双正交，对称)2、小波分析在一维信号处理中的应用小波原始信号分解过程：小波分解和小波基离散小波变换公式一维信号小波变换例子一维信号的二级小波变换系数一维信号的二级小波变换分解一维信号的二级小波变换系数和分解原始信号 16点两级小波系数16点16点 信号 的Haar小波近似值和细节分解小波去噪声噪声去除小波去噪声16点 [6 5 9 8 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9 ]Haar小波去噪声 （16点信号）一维信号的小波变换例子 2 （电压曲线） 附录-5 (wavemenu) leleccum haar Level 5小波去噪声 leleccum haar 小波小波压缩 leleccum haar小波压缩效果 leleccum haar3 、小波分析在图象处理中的应用小波变换用于图象特征抽取 小波变换用于图象压缩小波变换用于图象压缩小波变换用于无损数据隐藏数据嵌入核磁共振医学图象 (可无损恢复) � (水印图象见下页) � � (a)原始 (512×512×8) (b)小波域嵌入水印图象�水印图象� (192×120×2 二值图象) 小波变换用于无损数据隐藏（交通图象）同时隐藏的 5 张（320×280）交通图象，可完全恢复