Cours 11 4.2 LES PLANS. Au dernier cours nous avons vus Léquation vectoriel et léquation normale...
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cours 11
4.2 LES PLANS
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Au dernier cours nous avons vus
✓ L’équation vectoriel et l’équation
normale d’une droite dans le plan.
✓ L’équation vectoriel d’une droite
dans l’espace.
✓ La distance entre un point et une
droite.
✓ La distance entre deux droites.
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Aujourd’hui, nous allons voir
✓ Diverses équations que décrivent
un plan.
✓ L’intersection de deux plans.
✓ L’angle entre deux plans.
✓ La distance entre un point et un
plan.
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Dans l’espace, pour décrire un plan, il faut
un point et deux vecteurs
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L’équation vectoriel d’un plan est donné par:
d’où on tire les équations paramétriques.
paramètres:
Où les vecteurs et sont des vecteurs directeurs du plan.
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Si on connaît un vecteur normal au plan
et un point du plan alors, on a que pour tous les autres points du plan,
et donc
d’où
le vecteur
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On nomme cette équation, l’équation normale du plan.
On la note habituellement sous la forme suivante:
L’avantage de cette équation est qu’on y lit directement un vecteur normal
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On peut aussi décrire le plan par le fait que
et sont coplanaire.
Ça nous redonne l’équation normale du plan
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Si deux plans se croisent, alors
l’intersection sera une droite.
Auquel cas la direction de cette droite est
donnée par:
car donc
doncet
Intersection de deux plans
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Intersection de deux plans
Si deux plans ne se croisent pas,
alors leurs vecteurs normaux sont parallèles.
Et donc, on a que
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On nomme l’angle entre deux plans,
l’angle dièdre.
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L’angle entre deux plans correspond à l’angle entre les vecteurs normaux.
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est aussi la distance entre deux plans parallèles.
Distance entre un point et un plan.
La distance entre un point et un plan,
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Normal vs. directeur
Si on a des vecteurs directeurs d’un plan, il est facile d’en trouver un vecteur normal.
???
Existe-t-il un vecteurperpendiculaire à et qui ne soit pas
dans le plan?
NON!
Ici, on peut prendre n’importe quel vecteur
non nul!
Et l’inverse maintenant?
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Exemple:Trouver l’équation vectoriel du plan d’équation
On a que est un vecteur normal au
plan.
Et un point?
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Aujourd’hui, nous avons vu
✓ L’équations vectoriel et
l’équation normale d’un plan.
✓ L’intersection de deux plans.
✓ L’angle entre deux plans.
✓ La distance entre un point et
un plan.
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Devoir: p. 149 # 1 à 22