Produit vectoriel
description
Transcript of Produit vectoriel
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Produit vectorielProduit vectoriel
Mise en situation
Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur. Cela
signifie que pour définir le produit, il faut donner la direction,
le sens et le module du vecteur obtenu.
Lorsque les vecteurs algébriques sont exprimés dans la base
orthonormée usuelle, le produit vectoriel de deux vecteurs peut
être obtenu par un calcul de déterminant.
Nous verrons d’abord le produit vectoriel de deux vecteurs
algébriques de R3 en cherchant à déterminer un vecteur
perpendiculaire à deux vecteurs donnés. Nous généraliserons
par la suite par l’interprétation géométrique de ce produit.
Mise en situation
Deux vecteurs sont perpendiculaires si et seulement si leur produit
scalaire est nul. On doit donc avoir :
Soit u = (a; b; c) et v = (d; e; f), deux vecteurs de R3.
Déterminons un vecteur w = (x; y; z) perpendiculaire à u et à v.
(x; y; z) • (a; b; c) = 0
(x; y; z) • (d; e; f) = 0
ce qui donne
le système homogène :
ax + by + cz = 0
dx + ey + fz = 0
≈L1
aL2 – dL1
Tous les vecteurs satisfaisant à la condition (ae – db)y = –(af – dc)z sont perpendiculaires aux deux vecteurs donnés. Il y en a donc une infinité.
Parmi tous ces vecteurs, considérons celui pour lequel :
S
y = –(af – dc) et z = (ae – db)
En substituant dans la première équation, on trouve x = (bf – ce).
Sa b c 0
d e f 0
a b c 0
0 ae – db af – dc 0
Le vecteur retenu est : = (x; y; z) = (bf – ce; –(af – dc); ae – db)wOn constate que chaque composante de ce vecteur a la forme d’un cofacteur d’ordre 2. De plus, en écrivant le vecteur comme combinaison linéaire de la base orthonormée usuelle, on obtient :
= (bf – ec)w i – (af – dc) j k+ (ae – db)
w =
i j k
a b c
d e f
Cette combinaison linéaire a la forme d’un déterminant d’ordre 3, soit :
S
Produit vectoriel
Soit u = (a; b; c) et v = (d; e; f), deux vecteurs de R3.
i j ka b cd e f
Définition
Théorème
Soit u = (a; b; c) et v = (c; d; e), deux vecteurs de R3.
S
Perpendicularité du vecteur obtenu par le produit vectoriel
Produit vectoriel de vecteurs algébriques
Le produit vectoriel de ces deux vecteurs, noté u v, est défini par :
u v =
Alors, w = u v est un vecteur perpendiculaire au plan défini par les vecteurs u et v.
=
Exemple 9.3.1
i j k3 –2 5
2 4 –3
S
Déterminer un vecteur w perpendiculaire aux vecteurs u = (3; –2; 5) et v = (2; 4; –3).
(6 – 20) –
(–9 – 10) + (12 + 4)
= –14 i + 19 j + 16
Le vecteur cherché est donc : w = (–14; 19; 16).
Remarque
Les composantes du vecteur à gauche du symbole d’opération occupent la deuxième ligne et celles du vecteur à droite du symbole d’opération occupent la troisième ligne.
En permutant ces deux lignes, on change le signe, donc le sens, du vecteur obtenu.
i
k
j ku v =
=
Exercice
i j k2 –3 –4
–3 2 2
S
Déterminer un vecteur w perpendiculaire aux vecteurs u = (2; –3; –4) et v = (–3; 2; 2).
(–6 + 8) – i j (4 – 12) + k(4 – 9)
= 2 i + 8 j – 5 k
Le vecteur cherché est donc : w = (2; 8; –5).
Vérifier que le vecteur obtenu est bien perpendiculaire aux vecteurs donnés.
S
On peut vérifier la perpendicularité des vecteurs par le produit scalaire. u •w
= v •w =
(2; –3; –4) • (2; 8; –5) = 4 –24 + 20 = 0
(–3; 2; 2) • (2; 8; –5) = –6 + 16 – 10 = 0
Puisque les deux produits scalaires sont nuls, le vecteur obtenu est bien perpendiculaire aux deux vecteurs donnés.
u v =
Produit vectoriel
Propriétés
du produit vectoriel
1. Anticommutativité
2. Associativité pour la multiplication par un scalaire
3. Distributivité sur l’addition vectorielle
Pour tout vecteur u, v et w et pour tout scalaire p et q :
u v = –(v u)
pu qv = pq(u v)
wu (v + w) = u v + u wu =(v + w) u w + v
u v 2
u v 2
Module du produit vectorielSoit u = (a; b; c) et v = (d; e; f), deux vecteurs de R3. Alors :
= (bf – ec) i – (af – dc) j k+ (ae – db)
Déterminons le carré du module du produit vectoriel.
= (bf – ec)2 + (af – dc)2 + (ae – db)2
= b2f2 + e2c2 + a2f2 + d2c2 + a2e2 + d2b2 – 2bfec – 2afdc – 2aedb
En ajoutant et en retranchant a2d2 + b2e2 + c2f2 au membre de droite, on obtient :
= b2f2 + e2c2 + a2f2 + d2c2 + a2e2 + d2b2 + a2d2 + b2e2 + c2f2– (a2d2 + b2e2 + c2f2 + 2bfec + 2afdc + 2aedb)
En factorisant, on a ainsi :
= (a2 + b2 + c2)(d2 + e2 + f2) – (ad + be + cf)2
SSS
i j k
a b c
d e f
= u 2 v 2 – (u • v)2
En développant le membre de droite, on obtient :
Puisque 0° ≤ ≤ 180°, sin > 0 et on peut conclure que :
, où est l’angle entre les vecteurs.
u v 2
= u v sin
= u 2 v 2 – (u • v)2
= u 2 v 2 – u 2 v 2 cos2
= u 2 v 2 (1 – cos2 )
= u 2 v 2 sin2
u v
u v 2
u v =
Module du produit vectorielThéorème
Soit u = (a; b; c) et v = (d; e; f), deux vecteurs de R3.
Module du produit vectoriel
= u v sin , où est l’angle entre les vecteurs.
Remarque
Les vecteurs algébriques de R3 étant représentés graphiquement par
des vecteurs géométriques dont l’origine coïncide avec l’origine d’un
système d’axes, les résultats sur la direction et le module du produit
vectoriel sont également valides pour les vecteurs géométriques
de R3.
Alors, le module du produit vectoriel u v est donné par :
u v
Plaçons la main droite pour qu’elle pointe dans le sens du vecteur à
gauche du symbole d’opération et de telle sorte que l’on puisse fermer
la main en tournant vers le vecteur qui est à droite du symbole
d’opération.
Produit vectoriel des vecteurs orthonormés
i j k1 0 00 1 0
= 0 i – 0 j k+ 1i j =
SSSS
i j k0 1 00 0 1
= 1 i – 0 j k+ 0j k = i j k0 0 11 0 0
= 0 i + 1 j k+ 0k i = i j k0 1 01 0 0
= 0 i + 0 j k– 1j i =
Considérons d’abord le produit i j. Considérons maintenant le produit j k. Considérons maintenant le produit k i. Considérons maintenant le produit j i.
Le pouce indique alors le sens du produit vectoriel.
On peut de la même façon, considérer les autres produits. La règle de
la main droite permet toujours d’indiquer le sens du produit
vectoriel.
Pour simplifier la réflexion considérons les vecteurs de la base orthonormée.
Il nous reste à préciser le sens du produit vectoriel u v.
Sens du produit vectorielThéorème
Soit u = (a; b; c) et v = (d; e; f), deux vecteurs de R3.
Sens du produit vectoriel
Pour appliquer la règle de la main droite, on tend celle-ci dans le sens du vecteur à gauche du symbole d’opération de telle sorte que l’on puisse fermer la main en tournant vers le vecteur qui est à droite du symbole d’opération. Le pouce indique le sens du produit vectoriel.
Pour appliquer la règle du tire-bouchon ou la règle de la vis, on imagine un tire-bouchon dont la pointe doit tourner du vecteur à gauche du symbole vers le vecteur à droite du symbole d’opération. Le tire-bouchon ira alors dans le sens du produit vectoriel.
Alors, le sens du produit vectoriel u v est donné par la règle de la main droite (ou règle de la vis ou règle du tire-bouchon).
Produit vectorielThéorème
Soit u et v deux vecteurs géométriques.
Produit vectoriel de vecteurs géométriques
• sa direction est perpendiculaire au plan défini par u et v;
• son sens est obtenu en appliquant la règle de la main droite en tournant de u vers v;
• sa longueur est égale au produit des modules des vecteurs u et v et du sinus de l’angle entre ces vecteurs.
v donne un vecteur w tel que :Alors, le produit vectoriel u
Produit vectoriel nul
Théorème
Soit u et v deux vecteurs non nuls.
Produit vectoriel nul
= 0° ou = 180°
u et vont la même direction (ou sont colinéaires).
S
u v sin = 0 sin = 0, car u ≠ 0 et v≠ 0
Considérons u et v, deux vecteurs géométriques non nuls tels que
u v = 0, Alors :
Alors, u v = 0 si et seulement si les deux u et v ont la même direction (ou sont colinéaires).
v = 0u u v = 0
Par la règle de la main droite, le sens du produit est le même que le vecteur e2.
Exemple 9.3.2
Effectuer, en utilisant cette base, les produits vectoriels indiqués. Exprimer le vecteur obtenu en fonction des vecteurs de la base.
Dans la figure ci-contre, les vecteurs géométriques e1, e2 et e3 forment une base.
a) Le produit vectoriel donne un vecteur perpendiculaire au plan défini par e1 et u. S
De plus, e1 = 1, u = 22 + 22 = 8 = 2 2 et sin 45° = 22
On a donc, e1 u = 2.
u = 2e2Par conséquent, e1
e1 u = 2 e2
Sb) En exprimant les vecteurs u et v en fonction des vecteurs de la
base, on obtient :
En utilisant les propriétés et le fait que sin 0° = 0 et sin 90° = 1, on obtient :
u = 2 e1 + 2 e3 et v = 2 e1 + e2
= 2 e1 – 4 e2 – 2 e3
= 4 (0) + 2 (–e3) + 4 (–e2) + 2 (e1)
a) e1 u b) u v
u v = (2 e1 + 2 e3) (2 e1 + e2 ) = 4 (e1 e1) + 2 (e1e2) + 4 (e3e1) + 2 (e3e2)
Interprétation géométrique du module
Dans le produit vectoriel, le
module est égal au produit des
modules et du sinus de l’angle
entre ceux-ci.
Théorème
Soit u et v deux vecteurs de R3.
Aire du parallélogramme
Alors, le module du produit vectoriel u v donne l’aire du
parallélogramme construit sur les vecteurs u et v.
= (2 e2 – e3) (2 e1 – e3 ) AB AD= 4 (e2 e1) – 2 (e2e3) – 2 (e3 e1) + (e3 e3)
Exemple 9.3.3
Utiliser le produit vectoriel pour calculer l’aire du parallélogramme ABCD.
Dans la figure ci-contre, les vecteurs géométriques e1, e2 et e3 forment une base orthonormée.
SSLe produit vectoriel donne alors :
= 2 e1 + 2 e2 + 4 e3
= 4 (e3) – 2 (–e1) – 2 (–e2) + 2 (0)
En exprimant ces vecteurs dans la base, on a :
Pour déterminer l’aire du parallélo-gramme, il faut calculer le module du produit vectoriel AB AD.
AB = 2 e2 – e3 et AD = 2 e1 – e3 On a donc : = 2 e1 + 2 e2 + 4 e3
Le module est alors :
Par conséquent, l’aire du parallélogramme est d’environ 4,90 unités d’aire.
= 22 + 22 + 42 = 24 ≈ 4,90
AB AD
AB AD
Exemple 9.3.4Effectuer le produit vectoriel u v , sachant que :
SS
Le produit vectoriel est donné par :
Calculer l’aire du parallélogramme construit sur ces vecteurs.
On sait que ce vecteur est perpendiculaire aux deux vecteurs donnés et que son module donne l’aire du parallélogramme construit sur ceux-ci.
Par conséquent, l’aire du parallélogramme est d’environ 19,05 unités d’aire.
u = 2 i– 3 j + k et v = –5 i+ 2 j + 3 k
i j k2 –3 1
–5 2 3= (–9 – 2) i – (6 + 5) j k+ (4 – 15)
= (–11)2 + (–11)2 + (–11)2 = 3 112 ≈ 19,05
= –11 i – 11 j k–11
u v
u v =
ConclusionLe produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur perpendiculaire
aux deux vecteurs dont on effectue le produit, dont le sens est donné
par la règle de la main droite et dont le module est égal au produit
des modules et du sinus de l’angle entre les vecteurs.
Lorsque les vecteurs sont donnés dans la base orthonormée usuelle,
on peut trouver ce vecteur, exprimé dans cette même base, en
effectuant le calcul d’un déterminant.
Le module du produit vectoriel donne l’aire du parallélogramme
construit sur ceux-ci.
LectureAlgèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature. Section 9,3, p.256-273.Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 8.3, p.205-211.
ExercicesAlgèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature. Section 9.4, p. 274-277.Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 8,4, p.212-213.