Dpto. Matemticas IES Antares 29 de Abril 2015 Matemticas I 1 Bach Grupo: .. 2 Control 3 evaluacin Nombre y apellidos:

Se podr restar hasta 0,5 por la mala presentacin (no poner nombre, usar lpiz o typex, presentar los conceptos desordenados o sin mrgenes) y 0,1 por cada falta ortogrfica.

Indica claramente la solucin y explica brevemente que haces en cada ejercicio

NOTA

1. Dada f(x)=3x2: a) (0,25 puntos) Calcula su funcin derivada. b) (0,75 puntos) Escribe la ecuacin de la recta tangente a f en x=(-2) c) (1 punto) Aplica la definicin de funcin derivada para que te de la funcin del apartado a

2. (1 Punto) Resolver los siguientes lmites de funciones:

3. A) Estudiar la funcin f(x)= : (0,5 puntos)el dominio, simetra (1 puntos)continuidad y asntotas, las ramas infinitas (1 puntos)signo, crecimiento, y puntos especiales: cortes con los ejes, extremos (0,5 puntos) curvatura y puntos de inflexin

B) (0,5 punto) Con toda la informacin dibujar la grfica de la funcin dada

4. (2 Puntos) Hallar y simplificar la derivada de las siguientes funciones:

5. (1 puntos) Halla los vrtices de un cuadrado de centro (0,0), dado el vrtice A(3,1)

Soluciones.- 1. Dada f(x)=3x2:

a) (0,25 puntos) Calcula su funcin derivada. f(x)=32x=6x

b) (0,75 puntos) Escribe la ecuacin de la recta tangente a f en x=(-2) Esta recta pasa por el punto (-2,f(-2))=(-2,12) Tiene de pendiente f(-2)=6(-2)=-12 La recta es y-12=-12(x+2) En forma explcita es y= -12x-12

c) (1 punto) Aplica la definicin de funcin derivada para que te de la funcin del apartado a

(x)=

2. (1 Punto) Resolver los siguientes lmites de funciones:

3. A) Estudiar la funcin f(x)= : DOM (f)=R-{-1} No es simtrica f(-x)= = Continua en R-{-1} Asntota vertical en x=-1

Cuando x tiende a infinito, hay una asntota horizontal en y=0

SIGNO: f(x)= (-,-1) (-1,0) (0,+)

- - +

+ + +

f(x) - - + Es positiva en (0,+) y negativa en (-,-1)U(-1,0) Cortes (0,0)

CRECIMIENTO: f(x)=

(-,-1) (-1,1) (1,+) -1 - - - x-1 - - +

- + +

-

+

-

La funcin crece en el intervalo (-1,1) y decrece en (-,-1)U(1,+) Extremos: En x=1, hay un mximo Punto(1,f(1))=(1,1/4) En x=-1, la funcin no esta definida

CURVATURA: y puntos de inflexin

f(x)=

(-,-1) (-1,2) (2,+)

- - +

+ + +

-

-

+

U

La funcin es cncava en (-,-1)U(-1,2) y convexa U en (2,+) Hay punto de inflexin en x=2 Punto (2,f(2))=(2,2/9).

B) (1 punto) Con toda la informacin dibujar la grfica de la funcin dada

4. (2 Puntos) Hallar y simplificar la derivada de las siguientes funciones: a)f(x)=sen(3x+1) cos(3x+1)

b)

c)

d) f(x)=

5. (2 puntos) Halla los vrtices de un cuadrado de centro (0,0), dado el vrtice A(3,1)

Este ejercicio se puede hacer de varias maneras: Usando complejos.- A(3,1) es el afijo del nmero 3+i que en forma polar es

mdulo argumento cumple que tg =1/3. como est en el primer cuadrante, debe ser 60 o Radianes

Como el cuadrado es de centro (0,0) basta con hacer un giro de 90, es decir multiplicar por . As A(3,1) B= (3+i)( )= B=(-1,3) C= = =(3+i) (-1)=-3-i C=(-3,-1) D= =(3+i)(-i)= D=(1,-3)

Usando vectores.- Por ser un cuadrado de centro O:. 1) =-(3,1) Por tanto C=(-3,-1) 2) y deben ser perpendiculares a y tener el mismo mdulo que , Los vectores normales (-1,3) y (1,-3) cumplen esto*..

A=(3,1) B=(-1,3) C=(-3,-1) D=(1,-3)

*Tambien se pueden ver como soluciones del sistema ( =0 y | |=| |) (3x+y=0 y )