Contenido Transporte reactivo monosoluto Transporte reactive multisoluto.
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Contenido
Transporte reactivo monosolutoTransporte reactive multisoluto
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Contenido
Transporte reactivo monosolutoTransporte reactive multisoluto
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Cambio de masa = entrada - salida
Ecuación de continuidad conservativa
t t t x x x
t t t x x x
adv dif dis
dif dis
c c A x j j A t
c c j j
t xc
jt
j j j j
qc c c
D D
x
jx jx+x
A
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Condiciones de contorno
Tres tiposFijar concentración
Fijar caudal másico (adv.+dif.+dis.)
Fijar relación caudal-concentración
= fijar concentración = 0, = q fijar caudal
ctec contorno
contornocontornocontornocqctej
contornocontornoccj
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Transporte reactivo 'monosoluto' (1)
Adsorción
Desintegración
Ecuación de continuidad
ckc dads
ckr desdes
adsads
desads
rt
c
rrcLt
c
)(
ccL disdif DDq ()
¡¡ Ojo unidades !!
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Transporte reactivo 'monosoluto' (2)
Sumamos las dos ecuaciones de continuidad
Sustituimos ecuaciones para adsorción y desintegración
desads rcLt
c
t
c
)(
ckcLt
ck desd
)(1
Factor de retardo (Rd)
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Transporte reactivo 'monosoluto' (3)
Ejemplos 1D sin dispersión o difusión
Conservativo
Retardo
Desintegración
Retardo +Desintegraciónx t
c
c
c
c
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Contenido
Transporte reactivo monosolutoTransporte reactive multisoluto
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Transporte reactivo multisoluto
Más solutos (especies químicas), más reacciones
Notación con matrices y vectoresAlgo de teoría de matrices y vectoresAplicación a transporte reactivo
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Matriz por matriz
Ejemplo
Ojo, No. de columnas de A = No. de filas de BAB BA
65
43
21
A
42
31B
3917
2511
115
46352615
44332413
42312211
AB
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Matriz por matriz, particularidad
Ejemplo
21 AAA
2
1
B
BB
2211 BABAAB
3917
2511
115
2412
168
84
155
93
31
42
6
4
2
31
5
3
1
AB
65
43
21
A
42
31B
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Matriz de unidad (I)
Tiene 1 en el diagonal y ceros en los demás elementos
Particularidades
100
010
001
I
AIA AAI
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Matriz transpuesta (AT)
Filas y columnas se intercambianEjemplo
Particularidades
642
531
65
43
21T
T T TAB B AII t
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Sistemas lineales
Escribir sistema de ecuaciones lineales como
A debe ser cuadrática (no. filas/ecuaciones = no. columnas/incógnitas)
A es singular y no se puede resolver el sistema cuando una ecuación es combinación de otras
A es invertible o linealmente independiente cuando se puede resolver el sistema
bAx
451
430
021
A
6
5
43
21
2
1
x
x
643
52
21
21
xx
xxp.e.
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Matriz inversa (A-1)
DefiniciónPodemos escribirA debe ser cuadrática y linealmente
independienteEjemplo
Particularidades
IAA 1
5.05.1
12
43
21 1AA
10
01
43
21
5.05.1
12Porque
CABCAB 1
11 T T A AII 1
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Subespacios vectoriales
X 1
X 2
X 3
2
1
1
0
v
1
0
2
1
v
1
1
2
w
Subespacio 2D definido por combinación lineal de v1 y v2: a1v1 + a2v2
(v1 y v2 linealmente independiente)
Subespacio 1D definido por combinación lineal de w: bw
1
2
0 2 1
1 1 0
t
t
vU
v
1 1 2 tS w
Subespacios son ortagonales si
tUS 0
Rango = 2
Rango = 1Suma de rangos máximos de subespacios ortagonales = número total de dimensiones
U es núcleo de S
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Escribir reacciones químicas como matriz
Por convenioCoeficiente estequiométrico positivo: productoCoeficiente estequiométrico negativo: reactante
EjemploR1: HCO3
- = CO32- + H+
R2: X2Ca +2Na+ = 2XNa + Ca2+
R3: H2O = H+ + OH-
R4: CaCO3(s) = Ca2+ +CO32-
SqMatriz estequiométrica Especie química
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Escribir reacciones químicas como matriz
3
2
2
2-3
-
-3
2
CaCO
OH
CaX
CO
OH
H
XNa
Na
HCO
Ca
1001000001
0100110000
0010002201
0001010010
R4
R3
R2
R1
Sq
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Escribir ley de acción de masas como matrizUsar logaritmos
En notación de matrizlog loge S a k
Vector de actividades de todas las especies químicas
Vector de constantes de equilibrio
3.10)HCOlog()COlog()(Hlog
10)HCO(
)CO)((H
-3
2-3
3.10-3
-23
K
Matriz estequiométrica para reacciones en equilibrio
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Ejemplo ley de acción de masa como matriz
5.8
0.14
8.0
3.10
)log(CaCO
O)log(H
Ca)log(X
)log(CO
)log(OH
)log(H
log(XNa)
)log(Na
)log(HCO
)log(Ca
1001000001
0100110000
0010002201
0001010010
3
2
2
2-3
-
-3
2
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Especies primarias/secundarias
Si hay Ns especies y Nr reacciones químicas podemos escribir las actividades de Nr especies secundarias en función de (Nc = Ns– Nr) especies primarias mediante leyes de a. m.
Rescribimos la ley de acción de masas
Despejamos a2
Ojo, S2 debe ser invertible
1 1 2 2log log log log loge S a k S a S a k
21 SSS
2
1
a
aa
*
1*
1211
122
loglog
logloglog
kaS
kSaSSa
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Especies primarias/secundarias ejemplo
1-001000001R4
01-00110000R3
001-00022-01R2
000101001-0R1
CaCOOHCaXCOOHHXNaNaHCOCa 322-2
3--
32
S
01-0011CaCO
110000OH
0022-01CaX
01-0010CO
OHHXNaNaHCOCa
000001
110000
002201
010010
1001
0100
0010
0001
3
2
2
-23
--3
2
1
11
2* SSS
Primarias Secundarias
S1 S2
Nr
NrNc = Ns–Nr
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Especies primarias/secundarias ejemplo
8.1
0.14
8.0
3.10
5.8
0.14
8.0
3.10
1001
0100
0010
0001
loglog
1
12
* kSk
8.1
0.14
8.0
3.10
)OHlog(
)Hlog(
)XNalog(
)Nalog(
)HCOlog(
)Calog(
010011
110000
002201
010010
)log(CaCO
O)log(H
Ca)log(X
)COlog(
-
-3
2
3
2
2
2-3
*1
*2 logloglog kaSa
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Especies primarias/secundarias comentariosHay más posibles conjuntos de
primarias/secundarias, cambiando columnas en Se
No todos los conjuntos son posible (S2 debe ser invertible)
En nuestro ejemploNo es posible como primarias: CO3
2- (en lugar de Ca2+), HCO3
-, Na+, XNa, H+, OH-
Es posible como primarias: Ca2+, CO32- (en lugar
de HCO3-), Na+, XNa, H+, OH-
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Velocidad de reacción (reaction rate)
Una reacción aA + bB = AaBb
En notación matricial
Para reacciones cinéticas r es una función de todas las concentraciones:ley cinética
Para reacciones en equilibrio no hay expresión explícita
art
cA
brt
cB
rt
cbaBA
cinética
Tk kt
c
S r
k r f c
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Velocidad de reacción
Nuestro ejemplo con todas las reacciones en cinética:R1: HCO3
- CO32- + H+
R2: X2Ca + 2Na+ 2XNa + Ca2+
R3: H2O H+ + OH-
R4: CaCO3(s) Ca2+ + CO32-
2
-3
1
2
-3
2-43
2
2
3
0 1 0 1Ca
1 0 0 0HCO
0 2 0 0Na
0 2 0 0XNa
1 0 1 0H
0 0 1 0OH
1 0 0 1CO
0 1 0 0X Ca
0 0 1 0H O
0 0 0 1CaCO
Tk
r
r
r
r
S r
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Ejemplos leyes cinéticas
Disolución/precipitación
Monod
k mkxc
mkmki
m N
k
NN
im
pimk
RT
Ea
mmm akeAr1 1
1
)(O
)(O)OCH(
22
222
o
o kr