Conjuntos n°1

FISICA ¡Más... que Vencedores!

CAPITULO. 1

NOCION DE CONJUNTOS

En matemática Conjunto y Elemento, son conceptos primitivos que NO se definen y se consideran conceptos fundamentales. Intuitivamente, un Conjunto es una colección o agrupación de objetos llamados Elementos.

Elementos: se dice así a cada una de las partes que constituyen un conjunto.

Notación de conjuntos:Los conjuntos se denotan generalmente por letras mayúsculas y sus elementos por letras minúsculas u otros símbolos, separados por comas o puntos y comas y encerrados entre llaves o corchetes. Ej. → A= {2, 3, 5, 7, 7, 7, 11, 13, 13}S = {Los Alumnos de la Academia milenio}T = { *, +, 2, , x }B = [3 ; 5> U {7}

CARDINAL DE UN CONJUNTO

Nos indica la cantidad de elementos diferentes o NO repetidos, que posee un conjunto dado.Se denota por: n(A) ; #(A) ; |A| ; cardinal (a) Sea: A = {a, e, i, o, u}

Entonces: n(A) = 5Que se lee: El cardinal de “A” es 5 Sea: B = {2, 2, 3, 4, 4, 5}B= {2, 3, 4, 5}Entonces: n(B) = 4Que se lee: El cardinal de “B” es 4

Sea: C = {a, b, {a}, {a, b}, {a, a, a}}C= {a, b, {a}, {a, b}}Entonces: n(C) = 4Que se lee: El cardinal de “C” es 4

D = {27, 47, 67, 87, ...4007} n(D)=200E = {a, a, a, 2, 2,{3,4},{2}} n(E)=4

Nota: Todo conjunto tiene representación cardinal.

DETERMINACION DE CONJUNTOS.

Determinar un conjunto es especificar o señalar, en forma precisa, quienes son los elementos que lo conforman, existen 2 formas principales para determinar conjuntos.1. Por extensión o en forma tabular.Cuando se indican explícitamente a cada uno de sus elementos, es decir, se mencionan en forma completa los elementos del conjunto.2. Por comprensión o forma constructivaCuando se mencionan una o más características comunes de los elementos.Forma general:

Ejemplo:Determinar por extensión y comprensión los siguientes conjuntos:Por Extensión:

1ACADEMIA PRE-UNIVERSITARIA MILENIO

TEORIA DE CONJUNTOS

01

Capítulo

Rodrigo Valdez Ccahuana

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS

Las Estaciones del año. Los números pares positivos de dos cifras. Los cuadrados de los números impares.

Academia Municipal - Anta

PROPIEDADES

*Propiedadreflexiva : A A*Propiedadantisimetrica :

Si : A B B A A B*Propiedadtransitiva :

Si : A B B C A C

Por Comprensión:

OBS: No todo conjunto se puede determinar por extensión y comprensión a la vez.

RELACION DE PERTENENCIA (ϵ)

Si un elemento está en un conjunto o forma parte de él, diremos que “pertenece” a dicho conjunto y lo denotaremos con el símbolo “” y en el caso de no pertenecer por “”.

La pertenencia sólo se da entre elemento y conjunto.

OBS. Todo conjunto puede ser elemento pero no todo elemento puede ser conjunto.

Ejemplo: Dado el conjunto A = {3, {5}, {n, 2}, m}

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

m A ( V ) 5 A ( F ) 8 A ( F ) 2 A ( V ) {5} A ( V ) { n } A ( V )

OBS:En el caso de que A= {a, b, {a}, {a, b}}, entonces: la proposición “a {a}” es una verdad absoluta independiente del conjunto A, sin

embargo teniendo en cuenta al conjunto A, la proposición “a {a}” es falsa, pues “a” y “{a}” son elementos del conjunto A; de manera similar ocurre en el caso “b {a, b}”

A={a, b, {a, b}} a ϵ {a, b} (F) b ϵ {a, b} (F)

A={c, d, {a, b}} a ϵ {a, b} (V) b ϵ {a, b} (V) a ∉ A

RELACIONES ENTRE

CONJUNTOS

1. INCLUCION (⊂)

A esta incluido en el conjunto B, si todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B.

La inclusión sólo se da entre conjunto y conjunto.Se denota: A BSe lee:"A está incluido en B""A está contenido en B""A es subconjunto de B"

A⊂B ⇔ (∀ x ∈ A ⇒ x ∈B)

Otras Propiedades:Si: A B A B = B A B = A A - B =

2 FISICA CON YURISITO

Academia

PRE – U.M.A

AB

{Verano, Invierno, Otoño, Primavera} { 10 , 12 , 14 , 16 , . . . . . ,98 } {02 , 12 , 32 , 52 }

{X / X es una estación del año} {2x/x N 5 x 49}

{(2n-1)2/n N n 3 }

FISICA ¡Más... que Vencedores! A B = B - A

Ejemplos:1) G = {Las gallinas} A = {Los animales} G A

2) M = {2, 5, a} N = {1, 2, 3, 5, a, b} P = {a, 2, b, 3, c, 1, 5, 6} M N N P entonces M PIMPORTANTE: 6 M (F) 6 ⊄ M (F)

3) Dado el conjunto:S = {0,1,{2},3}Indicar verdadero (V) o falso (F) {1} SS {2} SS 3 SS {2,0} SS {{2}} S

SOBS:

1. TODO conjunto está incluido en sí mismo o es subconjunto de sí mismo.

“ A : A A”2. El conjunto vacío está incluido

en TODO conjunto.“ A : A”

3. IGUALDAD

Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos sin importar el orden. A=B ⇔ A⊂B ∧ B⊂AEjemplo:

Si:

A = {x/x es una letra de la palabra AROMA}B = {x/x es una letra de la palabra MAROMA}

Entonces: A = {A, R, O, M}B = {M, A, R, O}

Luego: A = B

4. CONJUNTOS DIFERENTES

Cuando un conjunto tiene al menos un elemento que no posee el otro conjunto. A ≠ B ⇔ A⊄B ∨ B⊄A

5. CONJUNTOS COMPARABLES

Dos conjuntos diferentes A y B son comparables, cuando uno de los conjuntos está incluido en el otro, es decir.A es comparable a B A B B A

A es no comparable a B A B B AEjemplo: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}B = {2; 3; 5}Luego: A es comparable a B

OBS:TODO conjunto es no comparable consigo mismo.

6. CONJUNTOS DISJUNTOS.

Dos conjuntos diferentes A y B son disjuntos cuando no poseen ningún elemento en común(no hay intersección).A y B son disjuntos ⇔ ∃ x/x ϵ A ∧ x ∉ BEjemplo:

Z+ = {1,2,3,4,5,......}Z– = {-1,-2,-3,-4,-5,......} Z+ y Z - son disjuntos

Ejemplo 2:


B

A

Academia Municipal - Anta A = {1; 3; 5; 7} B = {0; 2; 8; 9}

OBS: Los conjuntos disjuntos son siempre diferentes, lo contrario no siempre se cumple.

7. CONJUNTOS JUNTOS(NO DISJUNTOS)

Son aquellos que tienen cierta cantidad de elementos comunes.

Ejemplo: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}B = {0; 2; 8; 9}

8. CONJUNTOS COORDINABLES O EQUIPOTENCIALES

Dos conjuntos serán coordinables cuando se pueda establecer una correspondencia uno a uno (biunívoca) entre todos y cada uno de los elementos del primer conjunto con los elementos del segundo conjunto.Dos conjuntos son coordinables si tienen el mismo número de elementos.A B n (A) = n (B)

OBS:I) Si dos conjuntos son

IGUALES entonces son EQUIVALENTES, lo contrario no siempre es cierto.

CLASES DE CONJUNTOS

a. CONJUNTO FINITO.

Si posee una cantidad limitada de elementos. b. CONJUNTO INFINITOSi posee una cantidad ilimitada de elementos diferentes.

CONJUNTOS ESPECIALES

1. CONJUNTO NULO O VACIO

Es aquel conjunto que NO posee elementos. Se le representa por: { } y se denota por el símbolo: .Ejemplo: V = {x Z / 7 < x <8}

V = = { }

OBS:El conjunto Nulo es subconjunto de todo conjunto (está incluido en todo conjunto) inclusive en sí mismo.El conjunto vacío es subconjunto propio de todo conjunto no vacíoTodo conjunto diferente del vacío tiene subconjuntos propios.

Cuidado:{}, {0}, {{ }}NO son conj. Vacíos.

2. CONJUNTO UNITARIO O SINGLETON (SINGULAR)

Es aquel que está constituido por UN solo elemento. Se le llama también “SINGUETON”.

Ejemplos:A = {0; 0; 0; 0} n(A) = 1B = {} n(B) = 1D = {{}} n(D) = 1E = [3;3] n(E) = 1

3. CONJUNTO UNIVERSAL


BA

BA

Academia

PRE – U.M.A

FISICA ¡Más... que Vencedores!Es un conjunto referencial que contiene a todos los conjuntos considerados y se le denota generalmente por “U”.

Ejemplo: Para los conjuntos:P = {Los pavos}G = {Las gallinas}

Los posibles conjuntos universales que contiene a los anteriores son:U1= {los animales}U2= {las aves}U3= {los aves gallináceas}

OBS. No existe un conjunto Universal absoluto.

4. CONJUNTO DE CONJUNTOS

Es aquel conjunto que posee como elementos al menos a un conjunto. Se le llama también “FAMILIA DE CONJUNTOS”.

Ejm.:C = {{x, y}, {a, b, c}, {m, n, p}}D = {2, 3, {2, 3}, {5}, {7, 9},}

OBS:Cuando al menos uno de sus

elementos es un conjunto se denomina CONJUNTO DE CONJUNTOS.Cuando todos los elementos de

un conjunto son conjuntos se denomina FAMILIA DE CONJUNTOS.

C y D son conjuntos de conjuntos. C es familia de conjuntos.

6. CONJUNTO POTENCIA O CONJUNTO DE PARTES (P(A))

Conjunto formado por todos los subconjuntos que se puedan formar con los elementos de un conjunto, incluido el conjunto nulo.

P(A)={Subconjuntos de A}

P(A)={x/x⊂ A }

Dado A = {1,2,3}

P(A)=

Subconjuntos Propios: son aquellos subconjuntos distintos al conjunto original

Importante:

n(P(A))=# d subconjuntos de (A)= 2n (A )

n(P(P(A)))= 22n( A)

# d subconj. Propios de (A)=2n (A ) – 1

# d subconj. No vacios de (A)=2n (A ) – 1# d subconj. Impropios de (A)=1Para A , conjunto diferente del vacio: #d subconj. Propios no vacíos de A=2n (A ) – 2NOTA: Todo conjunto es subconjunto de sí mismo pero no es subconjunto propio de sí mismo (impropio)

IMPORTANTE: la combinación de ‘m’ elementos agrupados de ‘k’, se establece:

C km = (

mk)

m!(m−k )!∗k !

Para conjuntos se tiene: n(A)=m, el # de subconjuntos con “k” elementos estará dado por:

Algunas propiedades de factorial y combinatoria:

n !=n (n−1 )!0! = 1 1! = 1 2! = 2

3! =1*2*3 = 6


{

ϕ⏟nulo

, {1 }, {2 }, {3⏟unitarios

}, {1,2 }, {1,3 },{2,3⏟binarios

},⏞subconjuntos propiosde A

{1,2,3 }⏟ternariosubconj .impropio


Total de elementos

binarios, terciarios, etc

n

kn! 4!

C 6n k ! k! 4 2 ! 2!

C0m = Cm

m = 1

C1n = Cm−1

m = m

C km = Cm−k

m

Ejemplo. Sea: A= {1; {2}; 3; 4} Hallar el número de subconjuntos binarios

Solución: Entendiendo por binarios al subconjunto formado por dos elementos del conjunto “A”, significa que pueden haber terciarios, cuaternarios, etc. esto lo hallamos aplicando una combinación.

También se puede aplicar el triangulo

1 n(A) 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 (10) (10) 5 1 1 6 15 20 15 6 1

DIAGRAMAS DE VENN - EULER:

Son regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas, que se utilizan para representar gráficamente las relaciones y operaciones entre conjuntos. El rectángulo representa generalmente al conjunto universal.

Diagrama de Lewis-Carrol:

Se utiliza generalmente para representar conjuntos disjuntos.

Ejemplo:En una reunión asistieron N personas, de las cuales se sabe que la cantidad de hombres excede a la de mujeres en 6. Si hay 15 mujeres bailando y entre los que no bailan hay 3 hombres por cada 2 mujeres. Cuántos hombres asistieron a la reunión.

Hom MujB 15 15NO B. 3P 2P

H H-6 N H - 6 = M Entonces: 3p – 6 = 2p p = 6Total de Hombres = 15 + 3p = 33

Diagrama Lineal: Se utiliza para representar la relación de inclusión entre conjuntos.

Ejemplo:A = {americanos} B = {bolivianos} P = {peruanos} C = {cusqueños}L = {limeños}

Solución:

OPERACIONES ENTRE

CONJUNTOS

UNION O REUNION (∪)

Dados los conjuntos A y B, la unión de ellos es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen al conjunto A o a B.


L

P

C

B

A

Academia

PRE – U.M.A

vacío unitario binario ternario cuaternario

FISICA ¡Más... que Vencedores!A∪B = {x/x ϵ A ∨ x ϵ B}Posiciones relativa A B:

Si: B ⊂ A ⇒ A∪B = AA∪B=B∪A (conmutativa)A∪(B∪C) = (A∪B)∪C (asociativa)A∪A =A (idempotencia)A∪𝕌 = 𝕌 (elemento universo)A∪ ϕ = A (elemento neutro)

INTERSECCION (∩)

Dados los conjuntos A y B la intersección de ellos es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen al conjunto A y a B A∩B = {x/x ϵ A ∧ x ϵ B}Posiciones relativas A B:

Si: B ⊂ A ⇒ A∩B = B Si A y B son conj. Disjuntos ⇒ A∩B = ϕ

A∩B = B∩A (conmutativa)A∩ (B∩C) = (A∩B)∩C (asociativa)A∩A =A (idempotencia)A∩𝕌 = A (elemento universo)A ∩ϕ = ϕ (elemento neutro)

A∪ (B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) A∩ (B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) A∪ (A∩C) = A A∩ (A∪B) = A

(A∪B)⊂C ⇔ A⊂ C y B⊂ CSi: A⊂B y C⊂D ⇒ (A∪C)⊂(B∪D)

Importante:n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)

DIFERENCIA (−¿)

Dados los conjuntos A y B, la diferencia de ellos es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen a A, pero no a B.

A - B = {x/x ϵ A ∧ x ∉ B}Posiciones relativas A - B:

Si A ≠ B ⇒ A - B≠ B - ASi A = B ⇒ A – B= B – A = ϕSi A ⊂ B ⇒ B – A = ϕSi A y B son conjuntos disjuntos


U

AB

U

BA

U

B A

U

B A

UBA

UA B

U

B A

U

AB

U

BA

Academia Municipal - AntaA – B= AB – A =B

DIFERENCIA SIMETRICA (∆ )

Dados los conjuntos A y B, la diferencia simétrica es aquel conjunto cuyos elementos pertenecen solo a A o a B.A∆B = {x/ x ϵ (A-B) ∨ x ϵ (B-A)}A∆B = {x/ x ϵ A ∨ x ϵ B ∧ x ∉ (A∩B)}

Posiciones relativas A B:

Si B ⊂ A ⇒ A ∆ B = A-B Si A y B son conjuntos disjuntos A∆ B= A∪B A ∆ B = (A-B) ∪ (B-A) A ∆ B = (A∪B)-(A∩B) A ∆ A = 𝜙 A ∆ ϕ = A

COMPLEMENTO (C(A))

Dado un conjunto A, el complemento de A es aquel conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal (U), pero no al conjunto A.

CA = A = A’ = Ac = {x/x ϵ 𝕌 ∧ x ∉ A} = 𝕌 –ADiagrama A':

(Ac)c =A (involucion)

ϕc= 𝕌 U c = ϕ

A – B= A ∩ Bc

Leyes de Morgan

(A∪B)c = Ac∩ Bc

(A∩B)c = Ac∪ Bc

Caso particular de absorción

Ac ∪ (A ∩ B) = Ac ∪ B

Ac ∩ (A ∪ B) = Ac ∩ B

Ejemplo. Sean los conjuntos:A = {7,8,2,3}B = {2,3,9}U = {2,3,4,7,8,9}Calcular:

i. A B ii. A Biii. A - B iv. B - Av. A B vi. A'vii. B' viii. (A B)c

Solución:

i. A B = { }ii. A B = { }iii. A – B = { }iv. B – A = { }v. A B = { }vi. A' = { }vii. B'= { }viii. (A B)c = { }

IMPORTANTE: ∨ <> o, u indican unión


4.

U

B A

9.3.8.

2.7.

U

B A

Academia

PRE – U.M.AU

A B

U

B A

U

A


41

15

Estudian Trabajan

y z w

∧ <> y, e indican intersección ∀ → para todo ; ∄→no existe

PRODUCTO CARTESIANO

Dado dos conjuntos A y B no nulos, el conjunto producto "AxB" es aquel conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados, donde las primeras componentes pertenecen al conjunto A y las segundas componentes al conjunto B.Se define:

A x B = {(a ,b) /a A b B}

EJEMPLO:A = {1, 2, 3} B = {a, b}A x B = {(1;a),(1;b),(2;a),(2;b),(3;a),(3;b)}B x A = {(a;1),(a;2),(a;3),(b;1),(b;2),(b;3)}Obs:

Ax B B x A A BAx B = Bx A A = B

n(Ax B)= n(A).n(B)

1 Si:

Hallar la suma de los términos del conjunto:

a) b) c)

d) e)

Solución:

Luego:

Nos Piden: Rpta.

2 Si: Señale la expresión falsa:

a)

b)

c)

d)

e)

Solución:Se observa en el conjunto A que los elementos

5 y 9 pueden formar un conjunto ,

luego , lo falso seria (d).

Rpta.

3 De un grupo de 41 personas 15 no estudian ni trabajan, 28 no estudian y 25 no trabajan ¿Cuántos trabajan y estudian?

a) b) c)

d) e)

Solución:

Del grafico, se tiene:


Problemas Resueltos


17

z

con bigote calvos

x 3 y

13 4

15 x 35 x

25 x

R A

B

x

3515

25

19 x 23 xx

F T

x

y

z

a b

c

I 25 F 32

A 33

5

*

….. ( I )

*

* Reemplazando en ( I )

Rpta.

4 De un grupo de 17 personas, 13 tienen bigote, 4 son calvos y 3 son calvos que usan bigotes. ¿Cuántos no son calvos ni usan bigotes?a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Solución:

Formando ecuaciones:

Rpta. 5 Se tienen 65 banderas que tienen por lo menos dos colores. 25 tienen rojo y azul, 15 banderas rojo y blanco y 35 tienen blanco y azul. ¿Cuántas banderas tienen los 3 colores mencionados?a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

Solución:“x”: # banderas que tienen 3 coloresNo hay banderas de un solo color

De la figura se tiene que:

Rpta.

6 Cotos come fréjoles y/o tallarines en su almuerzo, cada día, durante el mes de febrero de 1988. Si come 19 días fréjoles y 23 días tallarines. ¿Cuántos días come fréjoles con tallarines?a) 12 b) 8 c) 10d) 14 e) 13

Solución:

Rpta.

7 En un grupo de 55 personas, 25 hablan Ingles, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan dos de estos idiomas?a) 40 b) 37 c) 25d) 22 e) 38

Solución:


Academia

PRE – U.M.A


Del grafico se tiene que:

…. ( I )

…. ( II )

( I ) en ( II )

Rpta.

8 ¿Cuántos subconjuntos se formaran con 6 elementos?a) 63 b) 64 c) 61d) 68 e) n.a.

Solución:Recordado que:

Rpta. 9 Sean A y B dos conjuntos contenidos en un

universo, si: . ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?

a)

b)

c)

d)

e)

Solución:

Como:

Quiere decir que A y B son conjuntos disjuntos, para las alternativas se tendrá que:

(Verdadero)

(Falso)

(Verdadero)

(Verdadero)

(Verdadero)

Rpta.

10 Si:

Determinar el conjunto dado por compresión

a)

b)

c)

d)

e)

Solución:

Lo elementos son de la forma:

Donde:

Rpta.

11 Cuantos sub conjuntos tiene “A”

a) 16 b) 8 c) 32



A246

13

57

9

8

B

U

d) 64 e) n.a.

Solución:

Reemplazando en:

Total de sub conjuntos es:

Rpta.

12 Hallar: , si:

a) 14 b) 11 c) 16d) 13 e) 15

Solución:Por pares ordenados iguales

Luego piden:

Rpta.

13 Si: Señale la expresión falsa:

a) b)

c) d)

e)

Solución:Se observa en el conjunto “A” que los

elementos 5 y 9 pueden formar un conjunto

.

Luego:

14 La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B se define:

Si se define los conjuntos:

¿Cuántos elementos tiene ?

a) b)

c) d) e) n.a.

Solución:

Rpta.

15 Dado:

y

Unitarios


Academia

PRE – U.M.A


20

x

10

5

H 28 M 15

40 x x y 35 y

46x

y

C I F

Hallar: a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

Ssolución:

De donde:

Luego: Rpta.

16 Si:

Calcular: a) 1 024 b) 2 048 c) 360d) 512 e) 256

Solución:

Rpta.

17 En un aula de 43 alumnos, 5 son mujeres que estudian R.M. y 28 son hombres y el número de hombres que no estudian R.M. es el doble del número de mujeres que tampoco lo hace. ¿Cuántos hombres estudian R.M.?a) 6 b) 7 c) 8d) 10 e) n.a.

Solución:

El número de mujeres que no estudian R.M.

es: El número de hombres que estudian R.M.

esta dado por:

Rpta.

18 De 80 personas que hablan alguno de los idiomas: castellano, Inglés y Francés, se tiene que 40 hablan castellano, 46 hablan Ingles, 35 hablan Francés, además los que hablan Castellano no participan nunca en el Francés. ¿Cuántos hablan dos de dichos idiomas?a) 16 b) 48 c) 41d) 50 e) n.a.

solución:

Hablan Ingles:

Hablan Castellano:

Hablan Francés:

Hablan 2 Idiomas:

Luego:

De donde se tiene que:

Rpta.



C 85 T 70

A 75 P 80

vw

z

p

q

ym

na

bc

d xn

s

C 85 T 70

A 75 P 80

a

bc

d10

21 En una ciudad de cada 100 hombres, 85 son casados 70 son abonados al teléfono, 75 tienen auto y 80 son propietarios de su

casa ¿Cuál es el número mínimo de personas que al mismo tiempo son casados, poseen teléfono oculto y casa propia.a) 5 b) 10 c) 65d) 25 e) 45

Solución:

Se pide calcular el número mínimo de

Graficando:

Luego piden:

Siendo , entonces el valor de “x” el mínimo valor se tiene:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Sumando (1) (2) (3) y (4)

( )La ecuación (5) se multiplica por 3

Tenemos (agrupando convenientemente)

Luego: ( )-

Como “x” mínimo entonces es mínimo es

decir = 0.

Entonces: Graficando:

Como =0 entonces:

Luego:

Finalmente:

En el problema el “x” mínimo es igual: (son 4


Academia

PRE – U.M.A


A

B

C

A

B

C

conjuntos)

Rpta.

22 Cuál de las siguientes alternativas le corresponde al diagrama mostrado, si”x” es el complemento de “x” en el universo.

I

II

III a) I b) II c) IIId) I y III e) Todas

Solución:

(1)=

(2)= Luego:

Rpta.

23 Se tiene los conjuntos A, B, C subconjuntos de los números naturales, A es el conjunto de los múltiplos de 3, B es el conjunto de los

múltiplos de 4v menores que 24 y C es el conjunto de los divisores de 48. Hallar la suma de los elementos de la diferencia:

a) 2 b) 4 c) 5d) 6 e) 3

Solución:

Por lo tanto la suma de los elementos:

Rpta.

24 Se tiene 2 conjuntos A y B tal que la unión de A y B tiene 36 elementos, el número de elementos de A es a la mitad del número de elementos de B. Los elementos comunes de A y B son la mitad de los elementos no comunes, hallar el número de elementos de B.

a) 12 b) 24 c) 32 d) 30 e) 80

Solución:

(1)

Se sabe:


1 2


Además:

De (1) y (2)

Rpta.

25 Sea:

Indicar la suma de los elementos de M.a) 170 b) 85 c) 165d) 129 e) 119

Solución:Como: x ϵ ℤ ⋀ -7 ≤ x ≤ 9 Los valores de x, serán: x = {{-7; -6 ; … 8; ; 9}

Para que la expresión: ( x2+12

) sea un

número entero, los valores de x son: -7 ; -5 ; -3 ;… ; 7; 9 (sólo números impares)

Reemplazando cada uno de los valores de x, los elementos diferentes de M, son: M= {25; 13; 5; 1 ; 41

∑elementos=25+13+5+1+41= Rpta.

26 Determinar por comprensión, el siguiente conjunto:

D = {47;912

;1619

;2528

;…;400403

}

a) D={ x2

x2+3/ x ϵ Z ⋀2<x<21 }

b) D={ x2

x2+3/ x ϵ Z ⋀2<x<20 }

c) D={ x2

x2+3/ x ϵ Z ⋀7<4 x+3<83}

d) D={ x2

x2+3/ x ϵ Z+¿ ⋀ x<21 }¿

e) D={ x2

x2+3/ x ϵ Z ⋀2≤ x≤20 }

Solución:Los elementos, en forma equivalente:D =

{ 22

22+3;32

32+3;42

42+3;…;

202

202+3}

El conjunto D, por comprensión, es:

D={ x2

x2+3/ x ϵ Z ⋀2≤ x≤20 } Rpta.

27 Se define la operación “” entre conjuntos: A*B = A ⋂ BSi: U ={ x ϵ ℤ ⋀ -2 ≤ x ≤ 2, conjunto universal; M={(x-2)/ 5 < x ≤ 6 ; x ϵ ℤ};

N = { x ϵ ℤ / 1 ≤ x +2 ≤ 3};P= ϕ

Hallar: P*(M*N)a) b) U c) Md) N e) {-1; 0}

Solución:Los respectivos elementos:


Academia

PRE – U.M.A


La operación:

Luego:

Finalmente:

Resulta: Rpta.

28 ¿Cuántos tipos de jugo surtido se pueden preparar, si se dispone de 6 clases de fruta?a) 56 b) 57 c) 60d) 63 e) 64

Solución:Sea el conjunto, que contiene 6 clases de fruta:

Hallamos el total de jugos surtidos:

Rpta.

29 Se tiene “n” pinturas de “n” colores básicos y se desea obtener 1013 nuevos tonos, combinando partes iguales de 2; 3; 4; 5; …; n colores. Hallar “n”.a) 5 b) 7 c) 8d) 10 e) 9

Solución:Con “n” colores básicos, la cantidad de nuevos tonos, son:

Por dato:

Rpta.

30. Se define el operador de la siguiente

forma: A y B son conjuntos no nulos.Determinar si las siguientes proposiciones son V o F.

I.

II.

III.

IV.

a) VFVF b) FVFV c) FFFFd) VVFF e) VVVF

Solución:

Como:Luego:

A’ ∩ (B’ ∪ A)

(A U B)1’ U ϕ Analizando cada proposición:I. A # U = A’

II.

III.

IV.

Rpta.


x B A '


31 Dados los conjuntos:

;

Si “m” es el número de subconjuntos no vacíos de A que son disjuntos con B y “n” el número de subconjuntos no vacíos de B que son disjuntos con A. Hallar: m + n a) 20 b) 26 c) 34d) 40 e) 38

Solución:Subconjuntos no vacíos de A, disjuntos con B:

Subconjs no vacíos de B, disjuntos con A:

Rpta.

32 Dados los conjuntos:

Siendo: y

¿Qué podemos afirmar del conjunto C?a) Es un conjunto vacíob) Es un conjunto singletónc) El cardinal es 2d) El cardinal es 3

Solución:Como: A = BTenemos: 2n = 5n → n = 0

De:

Rpta.

33 Dados los conjuntos A, B y C subconjuntos del conjunto de los números naturales:

;

;

¿Cuántos elementos tiene C?a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5Solución:

De:

Los valores de x: Los elementos de A: A = {2; 4; 6; 8; 10} Hallamos B, si y A: y = {2; 4; 6; 8; 10}

Hallamos cada elemento:

Los elementos de B:

Hallamos C, si mB:

Los valores de “m” que hacen 2m+13

un

número natural: m = {4; 3}Luego, los elementos de C: C = { 3; 5}

Rpta.

34 Si el conjunto “A” es unitario. Hallar “a.b”. A= {a + b ; 12 ; 3b-2a+1}a) 55 b) 35 c) 16


Academia

PRE – U.M.A

FISICA ¡Más... que Vencedores!d) 10 e) 20

Solución:Todos los elementos = 12a + b = 12 3b – 2a + 1 = 123b – 2a = 11Resolviendo:a = 5b = 7

a . b = Rpta.

35 Cuántos subconjuntos tiene: A = {x2 + 1/ x Z ; -3 x < 5}a) 64 b) 32 c) 4d) 8 e) 16

Solución: x {-3 , -2; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}

(x2 + 1) {10; 5; 2; 1; 2; 5; 10; 17} A = {10; 5; 2; 1 ; 17}

N° Sub-conj =2n(A) = 25 = Rpta.

36 De un total de 51 personas 30 gustan del cine y 18 sólo del cine, 22 del teatro. ¿A cuántos no les gusta ni el cine ni el teatro? a) 5 b) 7 c) 8d) 10 e) 9

Solución:

Rpta.

36 De un grupo de 70 personas: 32 hablan inglés; 26 español; 37 francés, 6 inglés y español; 9 español y francés; 12 inglés

y francés. ¿Cuántos hablan sólo un idioma? Si hay 2 personas que hablan los 3 idiomas? a) 45 b) 74 c) 48d) 15 e) 47Solución :

Hablan solo un idioma: 16+13+18 = Rpta.

1. Si A={a , {a }, {∅ } ,∅ }; ¿cuántas de las siguientes proposiciones siguientes son verdaderas?I. {a }∈ AII. {a }⊂ AIII. { {a } }⊂ AIV. ∅∈ AV. { {a } , {∅ }}⊂A

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

RESOLUCION:Tenemos: A={a , {a }, {∅ } ,∅ }Entonces, revisemos las alternativas:


Busca

Total(51)

11

18 12 10

T(22)C(30)

18

7102

Total (70)

F(37)

16 4 13

E(26)C(32)

Solucionario CEPRU

UNSAAC

BuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBuscaBusca


I. {a }⏞elemento

∈ A⏞conjunto

(V)

+ Cuando nos pida pertenencia, tienes que encerrar en un círculo TODO EL ELEMENTO (así este encerrado en 1, 2, 3… llaves {{{…}}} ), luego debes de buscar en el conjunto.

II. {a }⏞conjunto

⊂ A⏞conjunto

(V)

Cuando nos pida inclusión, tienes que encerrar en un círculo DENTRO DE UNA LLAVE { }, luego debes de buscar en el conjunto.

III. {{a } }⏞conjunto

⊂ A⏞conjunto

(V)

IV. ∅⏞elemento

∈ A⏞conjunto

(V)

V.

VI. { {a } , {∅ }}⏞conjunto

⊂ A⏞conjunto

(V)

Rpta: 5 son verdaderas.

2. Determine por extensión el conjunto: A={x3−1/ x∈Z∧ x3=x }a) {0 ,4 } b) {4 } c)

{−3 ,4 }d) {−3 } e) {−2 ,−1 ,0 }RESOLUCION:

Tenemos: A={x3−1/ x∈Z∧ x3=x }x3=x

x3−x=0x ( x2−1 )=0

x (x−1 ) ( x+1 )=0Los valores de “x” que Z ; son:

x={−1 ,0 ,1}

Entonces, reemplazando los valores de “x” en “A”:

A={x3−1}A={−2 ,−1 ,0 }

Rpta: A={−2 ,−1 ,0 }

3. Determine por extensión el conjunto: A={2x /2 x−1∈N∧ x<3/2 }

a) {1 ,2 } b) {0 ,2 } c)

{0 ,1 ,2}d) {0 ,1 } e) {}RESOLUCION:Tenemos: A={2x /2 x−1∈N∧ x<3/2 }

x<32…×2

2 x<3…−12 x−1<2

Los valores de “2 x−1” que N ; son:2 x−1={0 ,1 }

Los valores de “x” que satisfacen a“2 x−1” que N ; son:

x={12;1 }

Entonces, reemplazando los valores de “x” en “A”: A={2x } entonces A={1 ,2}

Rpta: A={1 ,2}

4. Determine la suma de los elementos del conjunto:

A={x3+1/x∈Z∧−2< x<2 }a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

e) 7

RESOLUCION:Tenemos:

A={x3+1/x∈Z∧−2< x<2 }20 FISICA CON YURISITO

Busca

Academia

PRE – U.M.A

Busca

Busca

Busca





FISICA ¡Más... que Vencedores!Los valores de “x” que Z ; son:

x={−1 ,0 ,1}Entonces, reemplazando los valores de “x” en “A”:

A={x3+1}A={0 ,1 ,2 }

Rpta: A={0 ,1 ,2 }

5. Determine la suma de los elementos del conjunto:

A={x+ 2/ x+12 ∈N∧2<x<7}a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

RESOLUCION:Tenemos:

A={x+ 2/ x+12 ∈N∧2<x<7}2<x<7…+13<x+1<8…÷232< x+12

<4

Los valores de “(x+1)/2” que N ; son:x+12

={2 ,3 }

Los valores de “x” que satisfacen a “(x+1)/2” que N ; son:

x={3;5 }Entonces, reemplazando los valores de “x” en “A”:

A={x+2 }A={5 ,7 }

⟹∑ Elem (A )=5+7=12 Rpta: 12

6. Dados los conjuntos:A={x /x∈N∧6<x<20 }

B={2x+12 ∈Z ∕ 2<x<9}Calcule n ( A )+n (B)a) 16 b) 18 c) 15 d) 20 e) 19

RESOLUCION:Sea:

i. A={x /x∈N∧6<x<20 }Los valores de “x” que Z ; son:

x={7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12,13 ,14 ,15 ,16 ,17 ,18 ,19}Luego, reemplazando los valores de “x” en “A”:

A={x }A={7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 ,16 ,17 ,18 ,19 }Entonces:

n ( A )=13

ii. B={2x+12 ∈Z ∕ 2<x<9}2<x<9…×24<2 x<18…+15<2 x+1<19…÷252< 2 x+1

2< 192

Los valores de “(2 x+1)/2” que Z ; son:

B={3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 }Entonces:

n (B )=7Luego:

n ( A )+n (B )=13+7=20 Rpta: 20

7. Hallar la suma de los elementos del conjunto: B={6 x /3 x−8∈Z+¿∧x<4 }¿


Academia Municipal - Antaa) 20 b) 6 c) 50

d) 60 e) 42

RESOLUCION:Tenemos: B={6 x /3 x−8∈Z+¿∧x<4 }¿

x<4…×33 x<12….−83 x−8<4

Los valores de “3 x−8” que Z+¿¿ ; son:3 x−8={1 ,2,3 }

Los valores de “x” que satisfacen a“3 x−8” que Z+¿¿; son:

x={3; 103;113

}

Entonces, reemplazando los valores de “x” en “B”:

B= {6 x }B= {18 ,20 ,22 }

⟹∑ Elem (B )=18+20+22=60 Rpta: 60

8. Si: A={x /x∈Z∧10<x<20 }B= { y+5 ∕ y∈Z∧(√ y+15)∈ A }

¿Cuál es la suma de los elementos de B?

a) 52 b) 53 c) 54 d) 55 e) 56

RESOLUCION:Sea:

i. A={x /x∈Z∧10<x<20 }Los valores de “x” que Z ; son:

x={7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12,13 ,14 ,15 ,16 ,17 ,18 ,19}Luego, reemplazando los valores de “x” en “A”:

A={x }A={7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12 ,13 ,14 ,15 ,16 ,17 ,18 ,19 }

ii.

B= { y+5 ∕ y∈Z∧(√ y+15)∈ A }

Para: √ y ; y≥0Los valores de “y” que cumplan con

(√ y+15)∈ A

y={0 ,1 ,4 ,9 ,16 }Entonces, reemplazando los valores de “y” en “B”:

B= {y+5 }B= {5 ,6 ,9 ,14 ,21 }

⟹∑ Elem (B )=5+6+9+14+21=55 Rpta: 55

9. Sean:

A={ x2+23

∕ 0<x<7∧ x+1∈Z }

B={x2 ∕ 1≤ x+34

≤2∧ x∈Z }

C={x ∕ x∈ A∧ x∈B }Hallar n [P (C )]a) 0 b) 1 c) 2 d) 8 e) 4

RESOLUCION:Sea:

i.

A={ x2+23

∕ 0<x<7∧ x+1∈Z }

0<x<7…+11<x+1<8

Los valores de “x+1” que Z ; son:x+1={2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 }

Los valores de “x” que satisfacen a“x+1” que Z; son:

x={1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 }Entonces, reemplazando los valores de “x” en “A”:

A={x2+23 }22 FISICA CON YURISITO

Academia

PRE – U.M.A


A={1 ,2 , 113 ,6 ,9 ,383 }

ii. B={x2 ∕ 1≤ x+34

≤2∧ x∈Z }

1≤x+34

≤2…×4

4 ≤x+3≤8…−31≤x ≤5

Los valores de “x” Z; son:x={1,2 ,3 ,4 ,5 }

Entonces, reemplazando los valores de “x” en “B”:

B= {x2 }B= {1 ,4 ,9 ,16 ,25 }

iii. C={x ∕ x∈ A∧ x∈B }El conjunto tiene por elementos a la intersección de elementos del conjunto A y B.Luego:

C={1 ,9 }Entonces:

n (C )=2Nos pide:

n [P (C ) ]=2n(C)=22=4 Rpta: 4

10. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto A? A={x ∕ x∈Z∧−7<4 x+1<21 }

a) 63 b) 7 c) 15 d) 31 e) 3

RESOLUCION:Tenemos:A={x ∕ x∈Z∧−7<4 x+1<21 }

−7<4 x+1<21…−1−8<4 x<20…÷4

−2<x<5Los valores de “x” que Z ; son:

x={−1 ,0 ,1,2 ,3 ,4 }Luego, reemplazando los valores de “x” en “A”:

A={x }A={−1 ,0 ,1 ,2,3 ,4 }

Entonces:

n ( A )=6Nos pide:

Subconj¿ (A )=2n ( A )−1=26−1Subconj¿ (A )=64−1=63

Rpta: 63

11. Sabiendo que: n ( A∪B )=13,

n [P (A ∩B ) ]=2 y n [P (A−B ) ]=64. El número de elementos del conjunto A∆ B, es:

a) 7 b) 15 c) 14 d) 10 e) 12

RESOLUCION:Tenemos: n ( A∪B )=13

n [P (A ∩B ) ]=2n [P (A−B ) ]=64

i. n [P (A ∩B ) ]=2n (A∩ B)=2⟹n (A ∩B )=1

Nos pide:n ( A∆ B )=n (A∪B )−n (A∩B )

n ( A∆ B )=13−1=12 Rpta: 12

12. Si: A∩B≠∅ y además


Academia Municipal - Antan [P (A∪B ) ]=256, n ( A )−n (B )=1,

n ( A∩B )=3. Hallar n(B).

a) 5 b) 3 c) 7 d) 8 e) 6

RESOLUCION:Tenemos: n [P (A∪B ) ]=256

n ( A )−n (B )=1…in ( A∩B )=3

n [P (A∪B ) ]=2n (A∪ B )=28

⟹n (A∪B )=8n ( A∪B )=n ( A )+n (B )−n (A ∩B )n ( A )+n (B )=n (A∪B )+n ( A∩B )

n ( A )+n (B )=8+3

n ( A )+n (B )=11…iiSumando las ecuaciones:

n ( A )+n (B )=11n ( A )−n (B )=12n (A )=12n ( A )=6…iii

Reemplazando iii en ii6+n (B )=11n (B )=5

Rpta: 5

13. Si un conjunto A tiene 18 elementos, otro conjunto B tiene 24 elementos. ¿Cuántos elementos tendrá A∪B, sabiendo que A∩B tiene 15 elementos?

a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28

RESOLUCION:Datos: n ( A )=18

n (B )=24n ( A∩B )=15

Nos pide:n ( A∪B )=n ( A )+n (B )−n (A ∩B )

n ( A∪B )=18+24−15n ( A∪B )=27

Rpta: 27

14. Si n ( A∪B )=35 y n ( A )+n (B )=48. El número de elementos de A∆ B es:

a) 23 b) 22 c) 13 d) 21 e) 35

RESOLUCION:Tenemos: n ( A∪B )=35… .. i

n ( A )+n (B )=48… ..iiReemplazando i y ii en:

n ( A∪B )=n ( A )+n (B )−n (A ∩B )35=48−n (A ∩B )

n ( A∩B )=13Nos pide:

n ( A∆ B )=n (A∪B )−n (A∩B )n ( A∆ B )=35−13=22

Rpta: 22

15. Si: n [P (A ) ]=128, n [P (B ) ]=16

y n [P (A ∩B ) ]=8. Entonces calcular

n [P (A∪B ) ].a) 128 b) 1024 c) 64 d) 32 e) 256

RESOLUCION:

Tenemos: n [P (A ) ]=128n [P (B ) ]=16

n [P (A ∩B ) ]=824 FISICA CON YURISITO

Academia

PRE – U.M.A


i. n [P (A ) ]=2n ( A)=27

⟹n (A )=7

ii. n [P (B ) ]=2n(B)=24

⟹n (B )=4

iii.n [P (A ∩B ) ]=2n (A∩ B)=23

⟹n (A )=3Nos pide:

n [P (A∪B ) ]=2n (A∪ B )

Entonces:n ( A∪B )=n ( A )+n (B )−n (A ∩B )

n ( A∪B )=7+4−3n ( A∪B )=8

Luego, reemplazando:

n [P (A∪B ) ]=28=256 Rpta: 256

16. Sean dos conjuntos comparables, cuyos cardinales se diferencian en 3. Además la diferencia de los cardinales de sus conjuntos potencia es 112. Indicar el número de elementos que posee el conjunto que incluye al otro.

a) 7 b) 13 c) 9 d) 4 e) 2

RESOLUCION:

Interpretando:

n ( A )=xn (B )=x+3

n [P (B ) ]−n [P (A ) ]=112n [P (B ) ]−n [P (A ) ]=1122n (B)−2n (A )=1122x+3−2x=1122x(23−1)=112

2x(7 )=1122x=162x=24

⟹ x=4Nos pide:

n (B )=x+3n (B )=4+3=7

Rpta: 7

17. Dados tres conjuntos A, B y C tal que: n ( A∆ B )=22, n (B∆C )=16, n (C ∆ A )=14 y n ( A∪B∪C )+n ( A∩B∩C )=30. Calcular n ( A∩B∩C ).a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32

RESOLUCION:Tenemos:

n ( A∆ B )=22n (B∆C )=16n (C ∆ A )=14

n ( A∪B∪C )+n ( A∩B∩C )=30

n ( A∆ B )=n (A )+n (B )−2n (A ∩B )=22n (B∆C )=n (B )+n (C )−2n (B∩C )=16n (C ∆ A )=n (C )+n (A )−2n (C∩ A )=14Sumando las tres ecuaciones, resulta:2n (A )+2n (B )+2n (C )−2n (A ∩B )−2n (B∩C )−2n (C∩ A )=52Luego:n ( A )+n (B )+n (C )−n ( A∩B )−n (B∩C )−n (C∩ A )=26… .. i

n ( A∪B∪C )=30−n ( A∩B∩C )… ..iiReemplazando i y ii; en:

n ( A∪B∪C )=n ( A )+n (B )+n (C )−n (A∩B )−n (B∩C )−n (C∩ A )+n ( A∩B∩C )

30−n (A∩B∩C )=26+n (A∩B∩C )2n (A ∩B∩C )=4


Academia Municipal - Antan ( A∩B∩C )=2

Rpta: 2

18. De un grupo de 41 jóvenes, 15 no estudian ni trabajan, 28 no estudian y 25 no trabajan. ¿Cuántos solamente estudian?a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

RESOLUCION:

Del grafico:X+15=25X=10

Rpta: 10 jóvenes.

19. De un grupo de 385 estudiantes, 1/3 de los que prefieren solo futbol, practican futbol y natación, 1/2 de los prefieren solo natación, practican futbol y natación, y los que no practican ninguno de los dos deportes es igual al número de los que los que practican un solo deporte (futbol y natación). ¿Cuántos practican exactamente los dos deportes?a) 210 b) 105 c) 70 d) 175 e) 35

RESOLUCION:

Del gráfico:Homogenizando las fracciones:33x+13x+ 23x+ 33x+ 23x=385

3+1+2+3+23

x=385

113x=385 => x=105

Nos pide:Estudiantes que practican exactamente dos deportes.

x+ 23x=(105 )+ 2

3(105 )=175

Rpta: 175 estudiantes.

20. A una fiesta de promoción asistieron 30 alumnos, de los cuales, 12 son varones y de estos 5 no están bailando. ¿Cuántas mujeres no están bailando? (se baila en pareja)

a) 9 b) 10 c) 13 d) 12 e) 11

RESOLUCION:

Del gráfico:7+x=18x=11

Rpta: 11 mujeres que no están bailando.

21. En una ciudad se determinó que el 30% de la población no leen la revista A, que el 60% no lee B y que el 40% leen A o B


41

15

Y

28

AX

25

TE

385

x+ 23x

23x

13xx

NF

Academia

PRE – U.M.A

SE BAILA EN PAREJA

BAILA EN

Son 7 los varones

que bailan

No bailan

Bailan

Hay 30 alumnos, por tanto hay 18 mujeres

1812

M

5 x

7 7

V

FISICA ¡Más... que Vencedores!pero no ambas. Si 2940 leen A y B. ¿Cuántas personas hay en la población?

a) 6000 b) 3500 c) 4200 d) 8400 e) 12600

RESOLUCION:

Del gráfico:T=a+b+c+2940

a+c=60%b+c=30%a+b=40%

sumando las tres ecuaciones2a+2b+2c=130%2(a+b+c)=130%a+b+c=65%

Luego; la población total 100%, entonces las 2940 personas son el 35%.Por tanto, por regla de tres simple:

2940→35%T→100%

De donde:

T=2940×100%35%

T=8400 Rpta: hay 8400 personas.

22. A una fiesta asistieron 315 peruanos, de los cuales 100 hablan

alemán, 145 Ingles y 123 hablan solo castellano. ¿Cuántas hablan dos idiomas?

a) 130 b) 137 c) 126 d) 139 e) 14

RESOLUCION:

Nos pide; peruanos que hablen dos idiomas, como ya hablan castellano entonces tienen que hablar solo uno de los idiomas más.

a+c=?Del gráfico:

a+b+c+123=315a+b=100…ib+c=145…ii

Tenemos:a+b+c=192…iii

Por sistema de ecuaciones i y ii:a+2b+c=245

b+(a+b+c )=245b+192=245

b=53Reemplazando en iii:

a+(53)+c=192a+c=139

Rpta: 139 peruanos hablan dos idiomas.


30%60% a

x

c

b2940

40% BA

a

315

123

cb

40% B=145A=100

Como todos son Peruanos, entonces todos hablan el castellano; es la razón de que se

considere como conjunto universo.





















































































































Academia Municipal - Anta23. De 50 personas se sabe que:5 mujeres tienen 17 años.16 mujeres no tienen 17 años.14 mujeres no tienen 18 años.10 varones no tienen 17 ni 18 años.¿Cuántos varones tienen 17 o 18 años?a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 19

RESOLUCION:

Del gráfico:a+b+5+x+ y+10=50…i

a+5=14…iia+b=16…iii

En ii.a=9

Reemplazando en iii.(9 )+b=16b=7

Como ya tenemos los valores de a y b, remplazamos en i.

(9)+(7)+5+ x+ y+10=50x+ y=50−31x+ y=19

Rpta: 19 varones tienen 17 o 18 años.

24. Cien espectadores escuchan a tres cantantes, 40 aplauden al primero, 39 aplauden al segundo y 48 al tercero, 10 aplauden a los tres, 9 aplauden solo a los dos primeros, 19 solo al tercero, 21 espectadores no aplauden, ¿Cuántas

personas aplaudieron por lo menos a dos cantantes?a) 19 b) 21 c) 38 d) 42 e) 27

RESOLUCION:

Nos pide; personas que aplaudieron por lo menos a dos cantantes.

c+d+9+10=?Del gráfico:

c+d+10+19=48c+d=48−29c+d=19

Finalmente:c+d+9+10=(19 )+9+10=38

Rpta: 38 personas que aplaudieron por lo menos a dos cantantes.

25. De un grupo de 55 personas: 25 hablan Inglés, 32 hablan Francés, 33 Alemán y 5 los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan solo dos idiomas?

a) 20 b) 25 c) 30 d) 27 e) 22


y

5

ba

16

14

18

Hay 50 personas

M

10x17

V

2119

b

d10

c

a

100

T=48

9

S=39P=40

Academia

PRE – U.M.A


RESOLUCION:

Nos pide; personas que hablan solo dos idiomas.

a+b+c=?Del gráfico:

x+ y+z+a+b+c+5=55…ix+a+b+5=25y+a+c+5=32z+b+c+5=33

Luego:x+a+b=20…iiy+a+c=27…iiiz+b+c=28…iv

x+ y+z+a+b+c=50…v

sumando las ecuaciones ii, iii y ivx+ y+z+2 (a+b+c )=75…vi

Finalmente; reemplazando v en vi, tenemos:

x+ y+z+a+b+c⏟50

+a+b+c=75

50+a+b+c=75a+b+c=25 Rpta: 25 son las personas que

hablan solo dos idiomas.

26. En una encuesta a 60 personas se recogió la siguiente información, 7 personas consumen el producto A y B,

pero no C, 6 personas consumen los productos B y C, pero no A, tres personas consumen el producto A y C, pero no B, 50 personas consumen al menos uno de estos productos y 11 personas consumen el producto A y B. ¿Cuántas personas consumen solamente un producto?

a) 34 b) 39 c) 23 d) 30 e) 10

RESOLUCION:

Nos pide; personas que consumen solamente un producto.

x+ y+z=?Del gráfico:

x+ y+z+7+a+3+6+10=60a+7=11

Luego:x+ y+z+7+a⏟

11

+3+6+10=60


z

y

c5

b

x

55

A=33

a

F=32I=25

Ya que 50 personas consumen al menos un producto quedara 10 que no consume ni uno.

11

10z

y

6a

3

x

60

C

7

BA

Academia Municipal - Antax+ y+z+11+3+6+10=60

x+ y+z+30=60x+ y+z=30

Rpta: 30 personas consumen solamente un producto.

27. De un total de 120 alumnos se observa lo siguiente: 45 aprobaron física, 46 química, 38 aprobaron matemática, 7 aprobaron física y química, 8 aprobaron química y matemática, 10 aprobaron matemática y física y 12 no aprobaron ningún curso. ¿Cuántos aprueban al menos dos cursos?

a) 17 b) 22 c) 13 d) 24 e) 25

RESOLUCION:

Nos pide; alumnos que aprueban al menos dos cursos.

a+b+c+w=?Del grafico:

x+ y+z+a+b+c+w+12=120x+a+b+w=45…iy+a+c+w=46….iiz+b+c+w=38…iii

x+ y+z+a+b+c+w=108…iv

sumando las ecuaciones i, ii y iiix+ y+z+2 (a+b+c+w )=129…v

Reemplazando iv en v, tenemos:

x+ y+z+a+b+c+w⏟108

+a+b+c+2w=129

108+a+b+c+2w=129a+b+c+2w=21…

Tenemos que hallar el valor de w .

a+w=7b+w=10c+w=8

a+b+c+3w=25…Luego; reemplazando en

a+b+c+2w⏟21

+w=25

21+w=25w=4

Finalmente; reemplazamos ese valor en a+b+c+w+(4 )=21a+b+c+w=17

Rpta: 17 alumnos aprueban al menos dos cursos.

28. De un grupo de 80 alumnos: Todos los varones tienen más de 22 años. Hay 49 mujeres y 25 son casadas. 16 alumnos casados tienen más de 22 años. 10 mujeres casadas tienen más de 22 años. 60 alumnos tienen más de 22 años.Sin considerar a las mujeres mayores de 22 años, no se casaron x alumnos. Hallar x.

a) 25 b) 30 c) 35 d) 40 e) 45

RESOLUCION:


12

10

8

7

z

y

cw

b

x

120

M=38

a

Q=46F=45

Academia

PRE – U.M.A

FISICA ¡Más... que Vencedores! -22 años + 22 años

Mujeres

Varones

49

y

25

16

V

8060

Del gráfico: y + 60 + 80 ⇒ y =20 49 + V =80 ⇒ V =31 b+10 =25 ⇒ b =15 c+10=16 ⇒ c = 6 a+b=20 a+ 15 = 20 ⇒ a=5 20 + 10 + e = 49 ⇒ e = 19 c+d=31 ⇒ d=25

nos piden: # de alumnos que no se casaron, sin considerar a las mujeres mayores de 22 años.⇒ a + d = 5 + 25 =30

Rpta: 30

29. En un salón de clases de 90 alumnos, el número de varones excede al número de mujeres en 10. El número de varones calqueños es el doble de mujeres urubambinas y el número de mujeres calqueñas excede en 10 al número de varones urubambinos. ¿Cuántos varones urubambinos existen en el salón de clases?

a) 7 b) 18 c) 21d) 4 e) 10

RESOLUCION:Elnumero de varones= x+10Elnumero demujeres=x

tenemos: x+10+x=90x=40⇒ Numerode varones=50

Numerodemujeres=40Utilizando el diagrama de Lewis carroll

Del gráfico:2a+ y=50y+10+a=40

Despejando y:y=50−2ay=30−a

Igualando “y”50−2a=30−a

a=20Hallando “y” en cualquiera de las ecuaciones:

y=50−2ay=50−2 (20 )

y=10 Rpta: 10 varones urubambinos.

30. De 100 alumnos, 44 no estudian matemáticas, 25 no estudian lenguaje y 15 no estudian ninguno de los dos cursos. ¿Cuántos estudian matemáticas y lenguaje?

a) 35 b) 31 c) 46d) 44 e) 15

RESOLUCION:


Urubambinos

Calqueños

Hay 90 alumnos

4050

M

y a

2a y+10

V

100

15

75-xx56-x

Leng=75Mate=56


Del grafico:56−x+x+75−x+15=10056+75−x+15=100

x=46 Rpta: 46 alumnos estudian matemáticas y lenguaje.

31. De un grupo de 80 personas, 30 leen la revista A, 70 leen la revista B y 20 leen las revistas A y B. ¿Cuántos no leen ninguna de las dos revistas?

a) 2 b) 3 c) 7d) 0 e) 1

RESOLUCION:

Del gráfico:10+20+50+ x=80

x=0 Rpta: nadie lee ninguna de las dos revistas.

32. Si N es un número capicúa de tres cifras es igual a 23 veces a la suma de sus cifras diferente, entonces el valor de las suma de sus cifras de N, es:

a) 12 b) 6 c) 8d) 10 e) 11

RESOLUCION: Tenemos:

N=aba… ..i

N=23× (a+b )….. iiIgualando iy ii.

aba=23× (a+b )101a+10b=23a+23b78a=13b… (÷13 )

6a=1bEntonces: a=1

b=6

Luego: N=161Nos pide:

∑ cifras=1+6+1=8 Rpta: 8

33. Dos conjuntos comparables, cuyos cardinales se diferencian en 4 y la diferencia de los cardinales de sus conjuntos potencia es 60. El cardinal de la intersección de dichosa conjuntos, es:

a) 6 b) 4 c) 1d) 2 e) 8

RESOLUCION: Planteamos el problema:

n ( A )−n (B )=4…i2n (A )−2n(B )=60…ii

Entonces de iy ii.n ( A )=4+n (B )

Reemplazamos en ii. 24+n (B)−2n (B )=6024 .2n (B )−2n (B )=602n (B )(2¿¿4−1)=60¿

2n (B ) (15 )=602n (B )=4

⟹n(B)=2Del grafico sabemos que:

n ( A∩B )=n (B)=2 Rpta: 2


Academia

PRE – U.M.A

10

80

x

5020

B=70A=30


34. En un salón del CEPRU de 80 alumnos; 42 son mujeres, 20 alumnos del salón no aprobaron aritmética y 25 varones aprobaron aritmética. El número de mujeres que n aprobó aritmética, es:

a) 7 b) 13 c) 35d) 6 e) 25

RESOLUCION: Utilizando el diagrama de Lewis Carroll

Del cuadro tenemos que el total de varones es:V=80−42=38

Los varones que no aprobaron aritmética serán:V (NAA )=38−25=13

Entonces las mujeres que no aprobaron aritmética serán:

x=20−13⇒ x=7 Rpta: 7

35. Dados los conjuntos unitarios: A={√a+√b ,4 }; B= {2√b−3√a ,3 }. Calcular el valor de a+b.

a) 5 b) 13 c) 8d) 6 e) 10

RESOLUCION:Como el conjunto A es unitario, entonces:

√a+√b=4⟹√a=4−√b2√b−3√a=3⟹2√b−3 (4−√b )=3

2√b−12+3√b=35√b=15… (÷5 )

√b=3

√b2=32b=9

⟹√a=4−3=1a=1

Nos pide hallar:a+b=1+9=10

Rpta: 10

36. En un salón de clases hay 100 alumnos entre cusqueños y abanquinos. El número de varones excede al número de mujeres en 18. El número de varones cusqueños es el doble del número de mujeres abanquinas y el número de mujeres cusqueñas excede en 10 al número de varones abanquinos. ¿Cuántos varones abanquinos hay en la clase?

a) 7 b) 9 c) 12d) 3 e) 8

RESOLUCION: Utilizando el diagrama de Lewis carroll

De los datos sabemos que:V=M+28

2 x+ y= y+10+xEntonces las mujeres que no aprobaron aritmética serán:

x=20−13x=7

Rpta: 7


Problemas Propuestos

20NAA

AA

Hay 80 alumnos

4238

M

13 x

25

V

y

20M

Cusqueños

Hay 100 alumnos

x+ y2 x+ y+10

Abanquinos

y+10 x=28

2 x=56V

Problemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas PropuestosProblemas Propuestos


1 Una persona come huevo o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de Enero. Si come tocino 25 mañanas y huevos 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come huevos y tocinos?

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14 2 En un grupo de 55 personas, 25 hablan ingles, 32 francés, 33 alemán y 5 de los tres idiomas. ¿Cuántas personas del grupo hablan sólo 2 de estos idiomas?

a) 15 b) 20 c) 25d) 30 e) 35

3 El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos de frutas de manzana, fresa y piña es la siguiente: 60% gustan manzana, 50% gustan fresa, 40% gustan piña, 30% gustan manzana y fresa, 20% gustan de fresa y piña, 15% gustan de manzana y piña, 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas encuestadas no gustan de ninguno de los jugos de frutas mencionado?

a) 10% b) 11% c) 12%d) 13% e) 15%

4 ¿Cuántas de las siguientes operaciones con conjuntos son conmutativos?I) UniónII) IntersecciónIII) Diferencia

IV) Diferencia simétricaV) Producto cartesiano

a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) Todas

5 Sean: y ¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son ciertas?

* *

* *

*

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) n.a.

6 ¿Cuántos subconjuntos se pueden formar con 6 elementos?

a) 32 b) 23 c) 46d) 64 e) 128

7 Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:I. Cuando el conjunto A contiene uno o más

elementos que no contiene B, diremos que B es un subconjunto propio de A.

II. Todo conjunto es subconjunto del conjunto universal

III. Al conjunto universal se le designa el valor de 1

IV. El conjunto vació es subconjunto e todo conjunto.

a) VFVV b) FVVV c) VVVVd) VVFV e) FVFV

8 Si se determina por comprensión el conjunto:

Se tiene:

a)

b)

c)

d) e) n. a.


Academia

PRE – U.M.A


AB

C

9 Dado el conjunto:

¿Cuál es su valor determinado por extensión?

a)

b)

c)

d) e) n.a.

10 ¿A que operación de conjuntos corresponde el siguiente gráfico?

a)

b)

c)

d)

e)

11 Si el conjunto:

se interfecta con el conjunto de los números naturales, el número de elementos de la intersección es:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e)n.a.

12 En un salón de clases de 65 alumnos, 20 son mujeres, donde a 53 la biblioteca les presta en libro de química a cada uno y 8 mujeres tuvieron que comprar el libro. ¿Cuántos hombres se compraron el libro de química, si se supone que todos los alumnos tienen el libro?

a) 2 b) 3 c) 4d) 6 e) 5

13 Al encuestar a un grupo de alumnos se observó que la mitad de ellos postulan a San Marcos, los 7/12 postulaban a Villarreal, 1/6 postulaba a ambas universidades y los 220 alumnos restantes aun no decidían donde postular. ¿Cuántos fueron los alumnos encuestados?

a) 2 340 b) 3 250 c) 2 640d) 3 520 e) 3 125

14 En un aula 80 alumnos han rendido 3 exámenes de ellos 42 aprobaron el primero, 38 el segundo, 49 el tercero, 18 los tres exámenes; además 10 aprobaron solamente los 2 primeros. ¿Cuántos alumnos aprobaron por lo menos 2 exámenes?

a) 28 b) 29 c) 30d) 31 e) 32

15 El conjunto: equivalente a:

a)

b)

c)

d) e) El conjunto universal

16 El 65% de la población de una ciudad no ve el canal A de Tv. Y el 50% no ve el canal B, si el 55% ve el canal A o el canal B, pero no los dos canales, el porcentaje de la población que ve ambos canales es:

a) 20% b) 18% c) 13%d) 12% e) n.a.

17 De 81 personas se sabe que 48 van a la playa, 42 al cine, 50 al teatro, 21 a la playa y al cine, 18 al cine y al teatro, 35 a la playa y al teatro, además todos van por lo menos a un lugar. ¿Cuántas personas van a los 3 lugares?


Academia Municipal - Antaa) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15 18 Ciertos datos obtenidos en un estudio de un grupo de 1 000 empleados referente a la raza, sexo y estado civil, arrojaron los siguientes resultados: 322 son hombres, 470 son casados, además habían 42 varones de color, 147 personas de color eran casados y habían 25 hombres de color casados. ¿Cuántas mujeres eran solteras?

a) 129 b) 219 c) 294d) 315 e) 351

19 Durante el mes de febrero de 1984 Raúl Peralta fue a ver a su novia Pilar en las mañanas o en las tardes o en ambas horas, si 14 días lo vio en la mañana y 20 días la vio en las tardes. ¿Cuántos días la vio en ambas horas?

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

20 Determinar A por extensión:

a)

b)

c)

d)

e)

21 Sean A y B dos conjuntos tales que:

Hallar:

a) 36 b) 34 c) 28d) 32 e) 30

22 Para un conjunto “x”, el número de elementos de “x” dentamos por n(x) y P(x) denota al conjunto de subconjuntos de “x”, según esto, si n(A)=4; n(B)=3 y

. Hallar la suma:

a) 50 b) 48 c) 63d) 52 e) 20

23 Dado el conjunto y los subconjuntos A, B y C, se tiene los siguientes datos: n(U)=44 ; n(A)=21 ; n(B)=17

;

;

y

.

Hallar:

a) 30 b) 28 c) 29d) 25 e) 20

24 Si ; ; y

, el numero máximo de elementos de es k y el número máximo de elementos de es “h”. Hallar el valor de “h.k”

a) 60 b) 65 c) 25d) 40 e) 83

25 Un club consta de 78 personas, de ellas 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23 voley, además 6


Academia

PRE – U.M.A

FISICA ¡Más... que Vencedores!figuran en los tres deportes y 10 no practican ningún deporte. Si “x” es el total de personas que practican exactamente un deporte “y”, el total de personas que practican exactamente dos deportes; Hallar “x-y”

a) 12 b) 18 c) 20d) 15 e) 17

26 Supóngase que Mary come huevos o tocino en el desayuno cada mañana durante el mes de enero (31 días). Si come tocino durante 25 mañanas y huevos durante 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas come solamente huevos?

a) 7 b) 6 c) 9d) 5 e) 10

27 De 120 personas de una universidad obtuvo la información: 72 alumnos estudian el curso A, 62 alumnos estudian

el curso B, 36 alumnos estudian el curso C, 12 alumnos estudian los tres cursos. ¿Cuántos alumnos estudian exclusivamente 2 cursos?

a) 25 b) 20 c) 9d) 28 e) 22

28 De un grupo de 40 personas, se sabe que: 15 de ellas no estudian ni trabajan; 10 personas estudian y 3 personas estudian y trabajan. ¿Cuántas de ellas realizan solo una de las dos actividades?

a) 22 b) 24 c) 28d) 27 e) 26

29 Si los conjuntos A y B son tales que:

; y

; Hallar:

a) 30 b) 39 c) 40d) 28 e) 38

30 De una encuesta hecha a 135 personas para establecer preferencias de lectura de las revistas A, B y C se obtienen los siguientes resultados: Todos leen alguna de las 3 revistas; todos menos 40 leen A; 15 leen A y B pero no C; 6 leen B y C pero no A; 10 leen solo C. El número de los que leen A y C es el doble del número de los que leen las 3 revistas. El número de los que leen solo B es el mismo que el total de los que leen A y C. Según todo esto, hallar el número de los que leen A solamente.

a) 58 b) 42 c) 56d) 37 e) 60

31 Si:

Hallar:

a) N b) M c)

d) e)

32 Si:

Hallar:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

33 Siendo:

¿Calcular la suma de los elementos de ?

a) 18 b) 16 c) 21



A BU

5 2 713 46C

d) 20 e) n.a.

34 De un grupo de 40 personas se sabe que: 24 bailan, 10 mujeres cantan, 8 personas no cantan ni bailan y 7 mujeres cantan y bailan. ¿Cuántos hombres sólo cantan?

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6

35 En un instituto de 77 alumnos, se sabe que de los 3 idiomas que enseñan, los que estudian sólo un idioma son 28 más, de los que sólo estudian 2 idiomas.

Si además son 3 las personas que estudian los 3 idiomas. ¿Determinar cuantos estudian solo dos idiomas?

a) 20 b) 21 c) 24d) 25 e) 23

36 Un club tiene 48 jugadores de fútbol, 25 de básquet y 30 de béisbol. Si el total de jugadores es 68 y sólo 6 de ellos figuran en los 3 deportes. ¿Cuántos figuran exactamente en 1 deporte?

a) 36 b) 37 c) 38d) 39 e) 40

37 Según la figura. Cuales son las zonas que representan a:

a) 5b) 5c) 5 , 2d) 5 , 2 , 3 e) n.a.

38 En un salón se hizo una encuesta, donde 3/5 postulan a la S.M; 9/20 postulan a la U.N.F.V.; 1/4 postulan a las 2 universidades y 24 postulan sólo a la UNI. ¿Cuántos alumnos postulan a S.M.?

a) 72 b) 84 c) 64d) 48 e) 75

39 En un evento, el 60% de los participantes hablan Ingles y el 25% portugués, si el 20% de los que hablan Ingles, también hablan portugués, además 1 200 hablan sólo Ingles. ¿Cuántos participan en la reunión?

a) 620 b) 520 c) 650d) 340 e) n.a.

1. 2. 3. 4 5. 6. 7. 8. 9.

c c a b d d c e e

10.

11. 12. 13 14. 15. 16. 17. 18.

d b c c d e e e c

19.

20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.

b d b d c b a b d

28.

29. 30. 31. 32. 33. 34. 35 36.

a e c b c a d e d

37.

38. 39.

a a e


Academia

PRE – U.M.Aclaves


PROBLEMAS TIPO ADMISIÓN

De los siguientes conjuntos:

N= {x+2/x∈Z∧ x3−x=0}Y= {x ∕ x∈N∧ x2−4=0}

D= {x2+2 /x∈N∧−2<x<2}A={x2−1/ x∈N∧ x2−6 x−7=0}El número de conjuntos unitarios es:a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

1. Si A = {∅; 1; 2; {3}} y P(A) es el conjunto potencia de A, indique cuales de las siguientes expresiones son verdaderas.I. {∅} ϵ P(A) II. {{∅}} ϵ P(A) III. 1 ⊂ P(A) IV. {3} ϵ P(A) a) Solo I b) solo III c) II, III d) solo II e) I, IV

2. En relación al conjunto A = {{1}, {2,3}, 5,4}, identifica las proposiciones verdaderas o falsas.I. 1 ϵ AII. {2,3} ⊂ A III. {5} ∉ A IV. {4, {2,3}} ⊂ A La secuencia correcta es:

a) FFFV b) VFVV c) VVVV d) FVVV e) FFVV

3. Dado el conjunto unitarioA = {4x – y; 14; 5x + y +1}. El valor de (x2- y), es:

a) 7 b) 4 c) 14 d) 11 e) 8

4. Dado los siguientes conjuntos:A= {x/x ϵ ℕ, x2 - 25 = 0}B = {0}C = {x/x ϵ ℤ, x2 + 4 = 0}D = {x/x ϵ ℕ, 2 < x ≤3}E = {x/x ϵ ℕ, x + 2 = 0}El número de conjuntos unitarios es:

a)4 b)2 c)3 d)5 e)1

5. Dado los conjuntos:A = {x+1/x ϵ ℕ ⋏ x<7}

B = {2y-1/y ϵ A ⋏ y+32

ϵ ℕ}

La suma de los elementos del conjunto B, es:

a) 23 b) 28 c) 26 d) 27 e) 25

6. En un examen de algebra aplicado a 73 estudiantes, se observa que la séptima parte de las mujeres, son de colegios particulares y las5/12 de los varones, son flacos. El número de varones es:

a) 47 b) 48 c) 60 d) 24 e) 12

7. En una reunión de 48 personas: 6 mujeres tienen 19 años, 15 mujeres no tienen 21 años, 19 mujeres no tienen 19 años, 10 varones no tienen 19 ni 21 años. El número de varones que tienen 19 y 21 años, es.



a) 13 b) 10 c) 11 d) 12 e) 14

8. Dado el conjunto unitario A = {3x-3y+2; x+y; 14}, el número de subconjuntos propios del conjunto B= {x; 2x-8; y; 2y; 3}, es:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 14 e) 15

9. En un examen de algebra aplicado a 73 estudiantes, se observa que la séptima parte de las mujeres, son de colegios particulares y las5/12 de los varones, son flacos. El número de varones es:

a) 47 b) 48 c) 60 d) 24 e) 12

10. En una encuesta sobre consumo de alimentos, se obtuvo que:

El 60% consume el producto A.El 50% consume el producto B.

El 80% consume los productos A o B, pero no ambos. Si 200 encuestados no consumen ninguno de los productos, el número de encuestados que consume el producto A, es:

a) 2000 b) 3600 c) 2800 d) 2400 e) 4000

11. Si A tiene el doble de elementos que B y posee 992 subconjuntos más que B, hallar el número de elementos que tiene A∪B, sabiendo que además A y B tienen en común solo 3 elementos.

a) 15 b)9 c)7 d) 11 e) 12

12. De un grupo de 60 jóvenes, 20 no estudian ni trabajan, 32 no estudian y 35 no trabajan. El número de jóvenes que solo trabajan es:

a) 15 b) 10 c) 12 d) 13 e) 25

13. A una fiesta de promoción asistieron 90 alumnos, de los cuales 50 son varones y de estos 30 bailan. El número de mujeres que no bailan es:

a) 15 b) 10 c) 20 d) 30 e) 25

14. Si el conjunto A tiene 16 subconjuntos, B tiene 8 subconjuntos y A∩B tiene 4 subconjuntos, entonces el número de subconjuntos de A∪B es:

a) 16 b) 64 c)8 d) 4 e) 32

15. Si el conjunto A tiene 2 elementos, ¿Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto potencia de P(A)?

a) 15 b) 26 c) 31 d) 16 e) 63

16. La suma de los elementos del conjunto A=

{2x/2x+13

∈ ℤ ∧ 2< x <8} es:

a) 22 b) 20 c) 16 d) 38 e) 40

17. Dados los conjuntos:A= {x ϵ ℝ / 3 < x ≤ 4}B= {x ϵ ℝ / 3x+1 ≤ 2x+1 ≤ 3x + 4}El menor entero que satisface (A∪B), es:

a)4 b)-3 c)1 d)-2 e)0

18. Dados los conjuntos

A= {x ϵ ℝ/ x

x−1 < 12

} y

B= {x ϵ ℝ/2 ≤ x + 2 ≤ 3}, Hallar (A∩B)


Academia

PRE – U.M.A

FISICA ¡Más... que Vencedores!a)]-1; 0] b) [0; 1] c) [0; 1[ d)]0; 1[ e)]0; 1]

19. Dados los intervalos A= [0; 5]; B=]3; 5] y C= [2; 5[, Hallar el conjunto solución de E=A-(B∩C).

a) [0; 2] ∪ {5} b) [0; 3] c) [0,2] d) [0; 3] ∪ {5} e) [0; 3] ∪ {4}

20. Si U= {x/x ϵℕ, x ≤ 10}, A∩B= {3,9}, A∩C= {9,10}, (C∪B)C = {1; 2} y además

(A∪B∪C )C= ∅. Hallar la suma de los elementos del conjunto A.

a) 23 b) 22 c) 20 d) 25 e) 26

21. Hallar el conjunto solución de:

≥7a) <-∞;-4] ∪ [-√2;√2] ∪ [4;∞>

b)<-∞;-6]∪[-√2;√2]∪[4;∞>

c)<-∞;-6>∪[-√2;√2]∪[4;∞>

d)<-∞;-4]∪[-√2;√2]∪[4;∞>

e)<-∞;-4>∪[-√2;√2]∪[4;∞>

22. De un grupo de 70 mujeres:- 24 tienen ojos azules, pero no tienen 15 años.- 8 no tienen ojos negros ni azules y son mayores de 18 años. - De las que no son mayores de 18 años, 14 no tienen ojos negros ni azules.¿Cuántas quinceañeras tienen ojos azules, si ellas son la tercera parte de todas las que tienen ojos negros?

a)4 b)8 c)7 d)6 e)5

23. Calcular el cardinal del conjunto (A∩B∩C), si: n(U)=93, n(C)=46,

n[(B∩C)-A]=7, n[(A∪B∪C)’]=0, n(A)=n(B)=41, n[(A∩B)-C]=9 yn[A-(B∪C)]=18.

a)9 b)7 c)5 d)8 e)6

24. En la olimpiada universitaria de la UNSAAC intervienen atletas en 15 disciplinas, se sabe que:- 9 atletas obtuvieron medallas de oro y plata.-8 atletas medallas de plata y bronce.- 7 atletas medallas de oro y bronce.Si 2 atletas obtuvieron una medalla de oro cada uno, el número de atletas que obtuvieron simultáneamente medallas de oro, plata y bronce, son:

a)7 b)3 c)5 d)4 e)6

25. En una encuesta sobre consumo de alimentos, se obtuvo que:El 60% consume el producto A.El 50% consume el producto B.El 80% consume los productos A o B, pero no ambos. Si 200 encuestados no consumen ninguno de los productos, el número de encuestados que consume el producto A, es:

a) 2000 b) 3600 c) 2800 d) 2400 e) 4000

26. Dado los conjuntos:A = {x+1/x ϵ ℕ ⋏ x<7}

B = {2y-1/y ϵ A ⋏ y+32

ϵ ℕ}

La suma de los elementos del conjunto B, es:

a) 23 b) 28 c) 26 d) 27 e) 25

27. Dado los conjuntos:U= {x/x ϵℕ y 0<x<10}A = {x/x ϵ U y “x” es un divisor de 12}


Academia Municipal - AntaB= {x/x ϵ U y “x” es impar}Hallar cuantos elementos tiene (AΔB)’

a) 1 b) 4 c) 2 d) 3 e) 5

28. En la recta numérica, dado los intervalos: A = {x ϵ ℝ / x < 2}B = {x ϵ ℝ / x > 4} C = [2; 4] calcular [(A∪B)∩C]c

a) < 2; 4] b) [2; 4 > c) ℝ d) ∅ e) [4;+∝ > 29. Sean los conjuntos A, B y C los subconjuntos no vacíos de un conjunto universo U. si A ⊂ B y (B∩C)= ∅, al simplificar: E= {[(A∩B)c-B] ∩C}∪(C-A) ∪(A-B)Se obtiene:

a) (A∪B)c b) U c)C d) ∅ e) A∩Bc

30. Sean los conjuntos: A= {x ϵℕ/x2+5x-6=0} B= {x ϵℕ/0<X<6} si P(A) y P(B) son conjuntos potencias de A y B respectivamente entonces el valor de:E= n[P(A)]+ n[P(B)], es:

a) 34 b) 32 c) 33 d) 16 e) 17

31. Dados los conjuntos:A= {(x-2) ϵℕ/ϵℚ, 0<x<6}B= {(x-1) ϵℤ/ϵℕ, -2≤x<7}C= {(x-3) /ϵℚ, -1≤x≤5}Son densos:

a) A, B y C b) A y C c) solo B d) solo A e) solo C 32. Dados los conjuntos:

A= {x/x ϵℕ ⋏ 0≤ x < 5}B= {x+1 / xϵ ℤ ⋏ -4< x < 2}

El cardinal del conjunto A△B es:

a) 3 b) 5 c) 7 d)

8 e) 4

33. En los conjuntos expresados por comprensión, escribir (V) si es verdadero o (F) si es falso.A= {1+ (-1)n/n ϵℕ} es finitoB= {x ϵℕ/-2<x<0} es unitario

C= {2x−13

ϵ ℕ/2<x<5} es vacío

La secuencia correcta es:

a) VFF b) FFV c) FVF d) VVV e) VVF

34. El cardinal del conjunto finito A = {x/ 2x+34

ϵ ℕ ∧ 12

≤ x <172

}, es:

a) 5 b)0 c) 2 d)4 e)3

35. Dados los conjuntos: A= {xϵ ℝ/-1 ≤ x ≤ 3}B= {xϵ ℝ/7≤2x+1<17}C= {xϵ ℝ/x+2 =x+2}, Hallar (A∩B)∩C

a) ϕ b) [-1; 8> c) <-1; 8] d) [-1; 3] e) {3}

36. Dado el conjunto universal:U= {x/x ϵ ℕ ⋏ x ≤ 9} y los conjuntosA= {x/x ϵ ℕ ⋏ x < 6}, B= {1; 3; 5; 7; 8} y C= {2n/n ϵ ℕ ⋏ < 5}, La suma de los elementos de: (A-B)△ (C∪B), es:

a) 21 b) 20 c) 18 d) 15 e) 27

37. Dados A= {x ϵ ℝ / -10 < x ≤ 5} y B= {x ϵ ℝ / -3≤ x < 6}

Hallar (A∩B)’- (A-B)’

a) [-10; 3> b) <-10; -5> c) [3; 10> d) <-10; -3> e) <-


Academia

PRE – U.M.A

FISICA ¡Más... que Vencedores!10; -3>

38. Dado los conjuntos:A= {(x+1)/xϵℤ ⋏ 1 ≤ x ≤ 5}B= {x/x2 -6x+8 =0}C= {(x-1)/ xϵ ℕ ⋏ x<5}El resultado de: (A-B) ∩C, es:

a) {3; 5} b) {3} c) {1} d) {3; 6} e) {2}

39. Dado los intervalos:A= <-∞; 0], B= [-5; 10] y C= <-2;+∞>Hallar: (A∩B)-C

a) [-5;-2] b) [-5; 0] c) [-5;-2> d) <-5;-2] e) <-5;-2>

40. Dado el conjunto universal U= {x ϵℕ/ 1≤ x ≤16} y los subconjuntos A= {1, 2, 3, 4}, B = {1, 4, 13, 14} y C= {4, 5, 13, 14}En las proposiciones escribir (V) si es verdadero o (F) si es falsa:I. 1ϵ A∩BII. 4 ∉ A∩CIII. B∩C ⊂AC La secuencia correcta es:

a) FFF b) VVF c) VFF d) VFV e) FFV

PRACTICA DOMICILIARIA

1. Determinar por extensión los siguientes conjuntos:

a)

b)

c)

d)

e)

2.

a)

b)

c) {-2; -1; 0; 1; 2; 3}

d) {0; 2/3; 3/2; 2}

e) {0; 1/2; 2/3; 3/2; 2}

3. 2x

C x º; x 103

a) {0; 3; 6; 9}

b) {0; 2; 4; 6}

c) {0; 2/3; 4/3; 2; 5/3; 10/3; 4; 14/3; 16/3; 6}

d) {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

e) { 0 }

4. D x 1 Z x º; 100 x 11

a) {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}

b) {0; 1; 2; 3}

c) {-3; -2; -1; 0}



d) {-10; -9; -8; -7; -6; . . . ;3}

e) { }

5. E 3(x 1) 2 x 1

a) {-2; -1; 0; 1}

b) {0; 1; 2; 3; . . . ; 9}

c) {-9; -8; -7; . . . ; 0}

d) {0; 1; 2; 3; 4}

e) { 0 }

6. F x 3 2 x 4

a) {0; 1; 2}

b) {-2; -1; 0; 1; 2}

c) {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}

d) {0; 1; 2; 3; 4}

e) {-1; 0; 1}

7.2 x 1

G x 3 32

a) {25; 26; 27; . . . ; 48}

b) {-25; -24; -23; . . . ; 48}

c) {0; 1; 2; 3; . . . ; 49}

d) {0; 1; 2; 3; . . . ; 48}

e)

8. {0; 1; 2; 3; 4; 5} Corresponde a?

a) A x x 6

b) B= x x 5

c) C= (2x) 1 x 3

d) D= x x 25

e)

x-1E= 2x 3 x 6

x

9. {0; 1/2; 2/3; 3/4 ; . . . ; 100/101}

Corresponde a

a) x

A= x ; x 100x+1

b) x-1

B= x ; x 102x

c) 0x+1

C= x ; 10 x 99x+2

d) a y be) todas las anteriores

10. Cuantas de las siguientes proposiciones son conjuntos nulos o vacíos.

I A 0

II x 1F x 1

x 1

III C

IV D x /x x

V E x/x x

VI G

VII H

VIII B

IX I x /x

X xJ x /x 0

XI K x /x 2 x 2

XII L x /x 1

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8


Academia

PRE – U.M.A


11. Si el conjunto

A 3a 1; 5b 3; 22 a) 5 b) 7 c) 10d) 12 e) 18

12. SI el conjunto B 7a 1; 5b 3; 3(a b) 4

es un singleton. Hallar (b-a) .

a) 6 b) 1 c) 0d) 2 e) 10

13. Si el conjunto 2C a 1; 8; b 1

, tiene un solo elemento, Hallar el menor

valor de (a b) .a) 52 b) 46 c) 16d) 14 e) 18

14. Hallar (x+y) si A y B son unitarios:

A x y; 5 y B x y; 3

a) 3 b) 5 c) 17d) – 1 e) 23

15. Hallar (a+b) si A y B son iguales: A 2a 3;15 y B 7b 1; 25

a) 32 b) 25 c) 15d) 13 e) 12

16. Si A B además A 3a b: 40 y

B 22; 5b a . Hallar (2a 3b) .

a) 10 b) 15 c) 62d) 24 e) 31

17. Si A y B son equivalentes, además A 2y x; 7

y B 5x 4y; x y 2

. Hallar

(2x y 1) .a) 4 b) 6 c) 5d) 8 e) 10

18. Si: A B además A 2x y; 2y 2

y B 3y x 1; x y 3;10(x y)

.

Hallar 2 2(x y ) .

a) 1 b) 9 c) 25d) 36 e) 4

19. Cuantos subconjuntos tiene el siguiente

conjunto A 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9;10

a) 64 b) 128 c) 1024d) 256 e) 512

20. Cuantos subconjuntos tiene: B 2; 3; 3; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 2; 6

a) 1024 b) 4096 c) 8d) 16 e) 32

21. Cuantos elementos tiene el conjunto potencia de

1 8 6 12C 2; 2 ; ; ; ; 3; 4

4 3 6

a) 2 b) 4 c) 8d) 128 e) 25622. Cual es el cardinal del conjunto potencia

de:

D @; *; ; ; x;

a) 32 b) 64 c) 128d) 256 e) 512

23. Hallar la cantidad de elementos del conjunto potencia, del conjunto potencia del conjunto A, sabiendo además que es unitario. A 2a 3; 7; 5b 3; x y


Academia Municipal - Antaa) 0 b) 1 c) 2d) 4 e) 8

24. Sea B 3; 2; 5; 3; 2; 5; 5; 5; 3; 2; 5; 2; 3

Calcular el cardinal del conjunto potencia, del conjunto potencia, del conjunto potencia de B.

a) 2048 b) 128 c) 1024d) 256 e) 512

25. Si A= {x ∈ℕ/x-3=x-3} hallar An(P )

a) 0 b) 1 c) 2d) no se puede determinar. e) 4

26. Si: 2A x /x 2 x 5

Hallar An(P(P(P )))

a) 102 b)

162 c) 4d) 8 e) 256

27. Hallar n(P(P(P(P(A)))) si:

2A x /x x 10 .

a) infinito b) 1 c) 8d) 16 e) 1024

28. Cuantos subconjuntos propios tiene B si. B (3x) º / 1 x 1

a) 0 b) 1 c) 3d) 7 e) 15

29. Cuantos subconjuntos propios tiene H si.

x 2H 2(1 x) º 2 5

3

.a) 15 b) 255 c) 31d) 127 e) 63

30. Cuantos subconjuntos propios tiene el

conjunto potencia de A, si

3xA 1 x 1 3

2

a) 1282 1 b)

642 1

c) 1282 d) 127 e) 128

31. Cuantos subconjuntos binarios o de dos elementos tiene

A 1; 2; 3; 5; 6; 7; 8a) 4 b) 8 c) 16d) 35 e) 21

32. Cuantos subconjuntos cuaternarios tiene el conjunto

A a; ; ; J ulia; 2,56; *;@a) 10 b) 17 c) 26d) 70 e) 35

33. de un grupo de 10 profesores de educación física se les ordena que formen grupos de 5. ¿De cuantas maneras distintas se podrán agrupar?

a) 142 b) 502 c) 63d) 252 e) 126

34. Un comando técnico esta formado por 7 entrenadores de voley y se les pide que formen grupos de por lo menos 2 en cada grupo. ¿De cuantas maneras diferentes se formarán?

a) 255 b) 63 c) 121d) 21 e) 120

35. Se juntan 9 chicas y se les ordena ocupar los sillones de una mueblería con, a lo más 3 chicas en cada sillón. ¿De cuantas maneras diferentes se ocuparán los sillones?

a) 129 b) 78 c) 46d) 36 e) 130


Academia

PRE – U.M.A

FISICA ¡Más... que Vencedores!36. cuantas de las siguientes proposiciones

son verdaderas si:

A 2; 3 ; 4 ;

I. 3 A

II: 2 A

III. 5 A

IV. A

V. {4} A

VI.{3} Aa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

37. No decir cuántas de las proposiciones no son verdaderas si.

A a; a ; 5; 3;7.

I. a AII. {a}}∈AIII. {a} ⊂AIV.{{a}} ⊂AV. 5 ∈ A

VI. 3 A

VII. 10 AVIII. {7; 3}∈ A

IX. 5 A

a) 7 b) 3 c) 6d) 4 e) 5

38. Afirmar o negar (V) o (F) las siguientes proposiciones. A= {a; 1; ϕ; { ϕ; ϕ }; {{{7}}}}.

I. A

II. A

III. A

IV. ; ; A

V. B

VI. 1 A

VII. 7 AVIII. {{{{{7}}}}}∈ A

IX.

a) VFVFVFVFF b) VFFFVVFVFc) VFVFVFFFF d) VVVVVFFFFe) VVVVVFFFV39. Cuantas de las siguientes proposiciones

no son falsas si:A = {1; { ϕ }; {{3}}; {2; {3}}}

I. 1 A

II. A

III. { ; } A

IV. A{{ }} P

V. A{2} P

VI. A{1} P

VII. {2;{3}} A

VIII. A{{2;{3}}} P

IX. A{{ };1} P

X. A{{{ }}} P

XI. A{ } P

XII. AP

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

40. Cuantas de las siguientes proposiciones no son falsas.

I. cA U A

II. (((A)')')' A

III. ' U

IV. U'={ }

V. A B=(A-B) (B-A)

VI. (A B)'=(A' B')

VII. (A B)' (A' B')

VIII. (A B)-(A B)=(A-B) (B-A)

IX. A'=B-A

X. B A=(A B)'

XI. A' A U

XII. (A ' A) (A ')' U

XIII. cA' A A



A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

XIV. cA A U

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

41. Sean: A {1; 2; 5; 8; 9} , B {2; 3; 6; 7; 8} , C {1; 3; 4; 6; 8; 9} y U {1; 2; 3; . . . ; 10} .

Hallar c[(A B) C] [(B C) A]

a) {2; 3; 4; 5; 7; 8; 10}

b) { }

c) {2; 4; 5; 7; 8}

d) {1; 2; 4; 5; 7; 8}

e) {2; 4; 5; 7; 8; 10}

42. Sean:A {x/x son impares positivos menores que 20}B {x/x son primos menores que 20}

C {3x-2 x , x 8}

a) {9; 15; 19}

b) {1; 2; 7; 15; 22}

c) { }

d) {2; 3; 5; 7; 13; 17}

e) {1; 4; 7; 10; 13; 16; 22}

43. Sean lo conjuntos:A {(2x) º / x 6}

B {(3x-1) º / -30 x<4} C {2x+1 / x º; x 6}

Hallar.

c c c c c c c[(A B C) (A (B C))] [(A B ) (B C ) ]

a) {1; 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13}

b) {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 13}

c) {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

d) { }

e) U

44. Sean los conjuntos:A {x N / x es divisor de 12} B {x N / x es divisor de 18} C {x N / x es divisor de 16}

Calcular n[(A B) (B C)] .

a) 1 b) 4 c) 7d) 5 e) 0

45. A cuál de las alternativas corresponde la siguiente operación.

c[(A B) C] (A B) .

a) b)

c) d)

e)

46. A cuál de las alternativas corresponde el siguiente gráfico.


C

BA

C

BA

Academia

PRE – U.M.A


A

B

C

a) c c(A B) (B C)

b) c(B A) (B C)

c) c(A B) (B C)

d) c c(B A) (A B)

e) c c(A B) (B C)

47. Que operación corresponde a la zona no sombreada.

a) c c[(A B) (C A)] [B (C A)]

b) c c[(A B) (B C)] [(A B) C]

c) c{ [(A B) C] [(C A) B]}

d) c c(A B C) (B A C)

e) c c[A (B C)] [C (B C)]

48. De un grupo de 60 personas se sabe que 28 gustan del voley y 42 del billar. ¿Cuántos gustan de ambos?

a) 15 b) 5 c) 30d) 10 e) 20

49. De un grupo de 53 personas se supo que 38 gustan de Hamburguesas y 43 de pan. ¿Cuántos gustan únicamente de uno de ellos?

a) 13 b) 15 c) 25d) 20 e) 28

50. En un salón de con 75 alumnos, 32 prefieren algebra, 24 aritmética y 8 ambos cursos. Decir cuantos no prefieren ninguno.

a) 27 b) 40 c) 75d) 8 e) 14

51. De un grupo de 94 personas se obtuvo la siguiente información: 48 gustan de aritmética, 52 de algebra, 60 de R.M. y 5 ambos cursos. ¿Cuántos gustan de tan solo 2 de ellos?

a) 56 b) 66 c) 76d) 46 e) 86

52. A un partido de Basquetbol asistieron 120 personas donde se observó que: 64 tomaban refrescos, 58 comían hot dog, 72 comían churros y 10 los tres productos. ¿Cuántos comían solo un producto?

a) 66 b) 76 c) 46d) 86 e) 56

53. En un aula de 70 personas se obtuvo la siguiente información: 30 gustan de algebra, 25 de aritmética, 48 de R.V., 8 de algebra y aritmética solamente, 7 de aritmética y R.V. exclusivamente. ¿Cuántos gustan de los tres al mismo tiempo?

a) 5 b) 10 c) – 2d) 6 e) 3

54. De un grupo de 80 personas se sabe que: 30 visten de color azul, 42 de verde, 38 de rojo, 10 de azul y verde, 9 de verde y rojo y 12 de azul y rojo. ¿Cuántos visten únicamente de un solo color?

a) 1 b) 30 c) 42d) 51 e) 35



55. En unas olimpiadas donde participaron 100 atletas para competir en 10 disciplinas se supo que: 7 obtuvieron medallas de oro y plata, 4 de plata y bronce, 5 de oro y bronce y 3 las tres medallas. ¿Cuántos no ganaron medallas?

a) 10 b) 31 c) 93d) 74 e) 83

56. A una fiesta ingresaron 512 personas todas están bailando menos 28 caballeros y 10 damas. ¿Cuántas damas hay en la reunión?

a) 247 b) 147 c) 233d) 474 e) 265

57. De un grupo de personas se sabe que el 71% no leen la revista A, el 67% no leen la revista B, el 24% leen la revista A o la revista B pero no las dos a la vez. ¿Qué porcentaje no leen ninguna de las dos revistas?

a) 19% b) 24% c) 57%d) 29% e) 33%

58. De un grupo de 44 alumnos se sabe que: Todos aquellos que prefieren matemáticas

prefieren también lenguaje. Los que prefieren historia no prefieren

matemáticas. 8 prefieren dos cursos.¿Cuántos prefieren un solo curso si estos son el doble de los que no prefieren ninguno de estos cursos?

a) 18 b) 24 c) 25d) 36 e) 28

59. En un salón se encuentran 52 alumnos de los cuales 30 son hombres, 12 mujeres no tienen 18 años. Si 30 personas tienen 18

años. ¿Cuántos hombres tienen 18 años?

a) 10 b) 12 c) 22d) 20 e) 30

60. De 150 personas que fueron encuestadas se obtuvo los siguientes resultados:

70 son mujeres. 85 personas beben café. 18 mujeres no beben café.

¿Cuántos hombres no beben café?

a) 35 b) 33 c) 47d) 51 e) 29

61. Un gordito ingresa a un restaurant en el cual se venden 5 platos distintos de comida y piensa; “Me gustan todos pero debo llevar como mínimo 2 de ellos y como máximo 4”. ¿De cuantas maneras diferentes puede escoger el gordito?

a) 25 b) 20 c) 23d) 30 e) 26

62. Siendo A y B dos conjuntos comparables

tal que B A con B y C disjuntos. ¿Cuántos elementos tiene (B - A) si (B ⋃ C) tiene 25 elementos y (A ⋃ C) tiene 13 elementos?

a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

63. Sean A y B dos conjuntos tales que: n(A B) n(A) 4 n(A B) 10

n(B) 12Hallar n (A ⋃ B)

a) 48 b) 16 c) 18d) 24 e) 8

64. Si A y B son dos conjuntos incluidos en el universo tales que:


Academia

PRE – U.M.A


n(A) 12n(B) 16n(A ∩ BC) = 7Calcular n(A ∪ B)

a) 18 b) 20 c) 23d) 17 e) 16

65. Si:n(A ∪ B) =57n(A ∩ B) = 29 n(B A) 16 Hallar n(B) – n(A)

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 8

66. Hallar n(B - A) si:

(A B)n[P ] 128

(A B)n[P ] 64 n(A B) 182 a) 6 b) 7 c) 13d) 14 e) 16

67. Si: A B Cn(P ) n(P ) n(P ) 448 .Hallar. n(B) + n(A) + n(C)

a) 21 b) 22 c) 23d) 24 e) 25

68. Sabiendo que n(B) + n(A) = 50;

n(A)n(B)

=73

además n(A B) 2n(B) .

Determinar n(A ∪ B)

a) 40 b) 41 c) 43d) 45 e) 48

69. Dados los conjuntos A y B se tiene que A ⊂ B además: 3 n(A) = 2 n(B) y n(A ∪ B) = 18. ¿Cuántos elementos tiene A?

a) 6 b) 8 c) 12d) 16 e) 18

70. Si para dos conjuntos A y B se cumple:

n(A) n(B) 16

(A B)n[P ] 4096

¿Cuántos subconjuntos propios tiene E? si:

c c cE [(A B) (A B) ]

a) 7 b) 31 c) 63d) 15 e) 3

PRACTICA DOMICILIARIA II

1. A={(x-3)N/x Z,-2 x 4}a) {-5,-4,-3,-2,-1,0,1}b) {-5,-4,-3,-2,-1,0}c) {-5,-4,-3,-2,-1}d) {-5,-4,-3,-2}


Academia Municipal - Antae) {0,1}

2. B={(x+1)/x Z,-1 x 1}a) {0,1}b) {0,1,2}c) {-1,0,1}d) {-1,0,1,2}e) {-2,-1,0}

3. C={(x+2)N/x Z,-5 x -3}a) {-3,-2,-1}b) {-3,-2}c) {-1,-2}d) { }e) {1,2,3}

4. D={(x+3)/xN,-3 x 0}a) {-6,-5,-4}b) {0,1,2}c) { }d) {0,1,2,3}e) {1,2}

5. E={(2-x)N/-3<2x+1<3}a) {-3,-2}b) {2,3}c) {3,4}d) {4,5}e) { }

6. D={(x+4)N/-2<3x+1<0}a) {0,1,2}b) {1,2}c) {4,5,6}

d) {5,6}e) { }

7. C={2xN/-2 x+3 4}a) {0,4}b) {0,1,2}c) {1,2}d) {2,4}e) {2}

8. C={3xN/-2 x+1 3}

a) {0,1,2,3}b) {0,1, ... ,6}c) {0,1, ... , 5}d) {1,2, ... ,5}e) {1,2, ... ,6}

9. C={(5x+1)N/-3 x+3 6}a) {0,1, ... ,14}b) {1,2, ... ,15}c) {0,1,2,...,15}d) {0,1,...,16}e) {0,1,2,...,13}

10. C={4(x-3)N/-1 x-1 3}a) {0,1,2,3}b) {0,1,2,3,4}c) {1,2,3,4}d) {2,3,4}e) {2,3}

11. Si: K={ x N/2< 3 X+15

< 8}

a) {1,2}b) {2,4}c) {3,4}d) {4,9}e) {2,3}

12. Determinar en forma constructiva el siguiente conjunto C={8,27,64}

a) {x/xN; 8 x 64}b) {2x/xN; 4 x 32}c) {x2/xN; 2 x 4}d) {x3/xN; 5 x 5}e) {x3/xN; 2 x 4}

13. Determinar en forma constructiva el siguiente conjunto B={2,4,6,8}a) {2x+2/xN; 0 x 3}b) {2x/xN; 1 x 4}c) {2x-2/xN; 2 x 5}d) {2x/xN; 0<x<5}


Academia

PRE – U.M.A

FISICA ¡Más... que Vencedores!e) todas.

14. Si U={x/x son los naturales}A={2x/xU x<6}

B={x+42

/xA}

C={2 y+13

/ yB}

¿Cuál es conjunto cardinal de C?

a) 1 b) 2 c) 5d) 3 e) 4

15. Cuántas proposiciones son verdaderas en: A={2,3,{4}, ϕ}

I. 2 A IV. ϕ AII. {2} A V. ϕ AIV. {3} A VI. {2,3} A

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

16. Cuántas proposiciones son falsas en: B={ 3, {3}, 0, {{4}}, 5 }

I. 3 ∈ B IV.{0}∈B VII. {0,3}∈BII. {3} ∈B V.{{4}}⊂B VIII. {{3}}∈BIII. {3}⊂B VI. ϕ ⊂B IX. {{3},3}⊂B

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

17. Cuántas proposiciones son verdaderas en: C={ 2, 3, {2,3}, ϕ, {2} }

I. ϕ ∈ C IV. {2}∈C VII. {2, ϕ}∈CII. ϕ ⊂ C V. {2,3}⊂C VIII. {{2}}⊂CIII. {3}⊂C VI. { ϕ }∈B IX. {3,2}∈C

a) 4 b) 5 c) 7d) 8 e) 6

18. Cuántas proposiciones son falsas en:D={1, {2}, 3, {4}, 0}I. {2} ∈ D IV. {0}∈ DII. {1,3}∈ D V. 0⊂ DIV. {{4}}⊂ D VI. {3}⊂ D

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

19. ¿Cuánto vale (a+b+c), si los siguientes conjuntos son unitarios?

A = {a + c, 5}; B = {a – b, 6} y C = {b – c, 7}

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 16

20. Hallar ( a + b – c ) si el siguiente conjunto es un Singleton.

B = { a ; b + c ; a – c + 4 ; 7 }

a) 6 b) 15 c) 3d) 2 e) 1

21. Hallar el cardinal del conjunto:K = { 2x∈ N / -1< x+3 < 4 }

a) 8 b) 9 c) 7d) 2 e) 1

22. ¿Cuántos subconjuntos tiene?B = { 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3 }

a) 16 b) 8 c) 4d) 3 e) 7

23. ¿Cuántos subconjuntos tiene?F = { (x+1) ∈N/ x∈Z ; 7<x< 1}

a) 0 b) 1 c) 3d) 5 e) 2

24. ¿Cuantos subconjuntos tiene?C = { ϕ , { ϕ } }

a) 2 b) 4 c) 8d) 1 e) 16

25. Si A = { 2, 3 }, hallar n(P(P(A)))

a) 4 b) 8 c) 16d) 32 e) 64

26. Si: A = { (x+1) / xN; 2 x < 3 },


Academia Municipal - Antahallar n( P ( P ( P ( P ( A ) ) ) ) ).

a) 23 b) 216 c) 232

d) 264 e) 24

27. Se tiene dos conjuntos comparables A y B cuyos cardinales son números impares consecutivos. Calcular el mayor valor de n(P(A)); si n(P(B)) este comprendido entre 100 y 200.

a) 64 b) 128 c) 1024d) 512 e) 648

28. si A y B son conjuntos disjuntos con cardinales que son números consecutivos. Calcular n(A)+ n(B) si: n(P(A)) + n(P(B)) = 3072

a) 20 b) 22 c) 21d) 28 e) 23

29. Dados los conjuntos unitarios:A = {(√ x+√ y), 8}

B = {(√ x+√ y), 4}, hallar ( x + y )

a) 20 b) 30 c) 40d) 45 e) 25

30. Si: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }B = { 2, 4, 6, 8 } C = { 3, 4, 5, 6 }; hallar.

[(A B) (B C)] (C–B)

a) {3} b) {3,5} c) {5}d) { } e) {4,5}

31. Si: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }B = { 2, 4, 6, 8 }C = { 1, 3, 4, 8, 9 }, hallar.

[(A B) (B C)] [(B–C) (C B)]

a) {4} b) {2,6} c) {2,4,8}d) {8} e) {2;6;8}

32. Si: A = {1, 2, 3, 4}B = {2, 4, 6, 8}

C = {1, 3, 5, 7}; hallar.

[(A B)C– (B C)]C–[(B–C) (A–B)]

a) {5,7} b) {6,8} c) {7,8}d) {5,8} e) { }

33. Si: A = { 1, 2, 4, 6 }B = { 2, 4, 6, 7 }C = { 1, 4, 6, 9 }

D = [(AC C)C (B C)C]C

E= [(B–C) (C–B)];

Hallar (D E)

a) {2,6} b) {3,5} c) { }d) {1,3} e) {4}

34. Dados los conjuntos:

A = { 0, { }}

B = { 0, , { }, {0} }

C = P( A B )

D = P( B – A ); hallar (C D) .

a) { } b) {{0, { } }; }

c) { { }, {{0}} } d) {{ ,{0}}}

e) { ,0}

35. Indicar cual de las siguientes afirmaciones son correctas:

I. Si (A–B) (B–A)=A B

entonces: A B= .

II. Si A – B = , entonces A BIII. Si A = { 3, 5 }, entonces 3 A

a) solo I b) solo II c) solo IIId) solo I y II e) todas.

36. Hallar n(P(A B) ), si.

A = { x = ab / 2 < a < b < 7 }


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PRE – U.M.A


B = { x = ab / a < b < 5 }

a) 2 b) 64 c) 128d) 256 e) 512

37. Para dos conjuntos A y B:n(A) n(B)=1; n(AC–BC)=7

n(A B)=4; n(AC BC)=11Calcular n(BC)

a) 17 b) 18 c) 19d) 20 e) 21

38. Una persona come huevos y/o tocinos en su desayuno cada mañana

durante el mes de enero. Si come tocino 25 mañanas y huevos 18 mañanas ¿Cuántas mañanas comió huevos y tocino?

a) 31 b) 43 c) 15d) 12 e) 20

39. De los 60 alumnos que componen un aula; 32 juegan fútbol y 25 juegan vóley, cuantos juegan exclusivamente un deporte, si 10 no practican ninguno?

a) 25 b) 18 c) 50d) 43 e) 46

40. En un grupo de 100 personas se sabe que 40 gustan del curso de Aritmética, 30 de Álgebra y 60 de Geometría. Si a 3 personas les gusta los 3 cursos. ¿A cuántas personas les gusta exactamente 2 cursos?

a) 24 b) 16 c) 14d) 30 e) 34

41. En un grupo de 120 personas se sabe que 70 leen el “Comercio”; 60 “Ojo”; 30 “La Republica”, si cuatro leen los 3 diarios. ¿Cuántos leen por lo menos 2 de ellos?

a) 32 b) 34 c) 36d) 38 e) 40

42. En un grupo de 100 personas se ve que 60 visten de color rojo; 40 de amarillo y 30 de negro. Si 5 visten de los tres colores ¿Cuántas personas visten exactamente de un color?

a) 35 b) 20 c) 75d) 85 e) 65

43. En una institución se determinó una encuesta en el cual se ve que el 30% de sus alumnos les gusta Álgebra y que al 50% les gusta Aritmética. Si los que solo les gusta Aritmética es el

44% del total de alumnos y que a 780 alumnos no les gusta, ni Álgebra ni Aritmética. determinar a cuantos alumnos les gusta Aritmética.

a) 100 b) 1500 c) 3000d) 960 e) 2200

44. De un cierto grupo de estudiantes 9 conocen bastante bien los cursos de Aritmética y Álgebra pero no de Geometría, 8 saben solo Aritmética y 4 responden solo Álgebra; 31 saben Geometría o Álgebra de los cuales 7 saben Aritmética pero no Álgebra y 2 saben Álgebra y Geometría pero no Aritmética. Si 4 alumnos conocen los 3 cursos bastante bien. ¿A cuántos alumnos se ha hecho referencia?

a) 55 b) 33 c) 39d) 40 e) 48

45. En los tres primeros exámenes de una academia de 100 alumnos, 40 de ellos aprobaron el primero; 39 el segundo y 48 el tercero, aprobaron 10 los tres exámenes. 21 no aprobaron examen alguno, 9 aprobaron los 2 primeros exámenes, pero no el tercero; 19 no aprobaron los 2 primeros exámenes, pero


Academia Municipal - Antasi el tercero. Calcúlese cuantos alumnos aprobaron por lo menos 2 exámenes.

a) 19 b) 28 c) 38d) 40 e) 48

46. De un total de 120 alumnos se observa lo siguiente: 45 aprobaron física, 46 química; 38 matemáticas, 7

aprobaron física y química; 8 aprobaron química y matemática; 10 aprobaron matemática y física; y 12 no aprobaron ninguno de ellos. ¿Cuántos aprobaron al menos 2 cursos?

a) 17 b) 22 c) 13d) 24 e) 15

47. En un colegio, 100 alumnos han rendido 3 exámenes: de ellos 30 aprobaron el primero, 39 el segundo y 48 el tercero; 15 no aprobaron ninguno, 15 aprobaron los dos primeros; 11 aprobaron el segundo y el tercero; y 12 aprobaron el primero y el tercero. ¿cuántos aprobaron los 3 cursos?

a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10

48. En una reunión de 100 personas, 60 son mujeres; sabiendo que la mitad de los presentes hablan inglés y que 28 mujeres no hablan inglés, ¿cuántos hombres no hablan inglés?

a) 32 b) 24 c) 22d) 18 e) 26

49. De un grupo de 100 personas que van a una fiesta, 40 son mujeres; 2/5 de los asistentes bailan. Hallar la diferencia de la cantidad de varones

que no bailan y mujeres que no bailan.a) 40 b) 60 c) 10d) 20 e) 30

50. De 500 alumnos de un colegio, 100 siempre caminan para ir al colegio, 280 alumnos usan bicicleta y 285 alumnos usan el servicio de la combi. ¿Cuántos alumnos utilizan siempre la combi?.

a) 40 b) 110 c) 115d) 125 e) 120

51. De 100 estudiantes se sabe que 73 estudian Historia y de las 40 mujeres, 12 no estudian Historia. ¿Cuántos hombres no estudian Historia?

a) 28 b) 15 c) 14d) 12 e) 31

52. De cierto número de figuras geométricas se sabe que 60 son cuadriláteros; 40 son rombos, 30 son rectángulos. ¿Cuántos son cuadrados?

a) 10 b) 12 c) 8d) 1 e) 6


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