UNIDAD 1: CONJUNTOS

La teoría de conjuntos juega un papel muy importante en campos de la

matemática como el cálculo, el análisis, el álgebra y la probabilidad. Gracias a los

conjuntos se pueden construir definiciones, propiedades y teoremas que

facilitan la comprensión y la formalización de muchos conceptos en las

diferentes áreas de la matemática. Los números naturales, los números

racionales y los números irracionales son ejemplos particulares de conjuntos. La

teoría de conjuntos también está presente en la teoría de funciones que ya

estudiamos, los conceptos de dominio, codominio y ámbito también son

conjuntos. La construcción de la teoría de conjuntos se debe al matemático

Georg Cantor [1845-1918] quién a finales del siglo XIX y principios del XX

realizó un estudio formal sobre el tema. En 1874, apareció el primer trabajo de

Cantor sobre la Teoría de conjuntos. Entre 1874 y 1897, demostró que el

conjunto de los números enteros tenía la misma cantidad elementos que el

conjunto de los números pares, ´este, y sus otros estudios sobre conjuntos

infinitos fueron considerados por su maestro Kronecker como de “locura

matemática” y gracias a su influencia logró que los descubrimientos de Cantor

Georg Cantor fueran rechazados por los matemáticos de la época. Las críticas

y acusaciones hechas por ciertos colegas envidiosos provocaron la depresión de

Cantor a tal punto que fue internado en varias ocasiones en hospitales

psiquiátricos. Georg Cantor fallece en Halle, una ciudad del centro de Alemania

el 6 de enero de 1918 a los 73 años de edad.

Definición de conjunto:

Un conjunto es simplemente un grupo o colección de cualquier clase de objetos

(números, letras, personas, libros,...). Los objetos que conforman un conjunto

se denominan elementos.

Los siguientes son ejemplos de conjuntos.

Ejemplo 1 Los días de la semana lunes, martes, miércoles, jueves, viernes,

sábado y domingo.

Ejemplo 2 Los números reales mayores a 30.

Ejemplo 3 Los cantones Nicoya, Escazú, Palmares, Paraíso, Belén, Parrita y

Pococí.

Ejemplo 4 Las universidades estatales de Costa Rica.

Ejemplo 5 Las vocales a, e, i, o , u.

Ejemplo 6 Las soluciones de la ecuación x 2 − x − 12 = 0.

Ejemplo 7 Los números 2, 4, 7, 8, y 11. Universidad Estatal a Distancia 4

Ejemplo 8 Los niños nacidos en un país del continente americano.

Usualmente los conjuntos se denotan con letras mayúsculas (A, C, W, X, Z,

Q,...) y si alguno de sus elementos son letras, estas se escriben con minúsculas.

Cada conjunto debe ser definido sin ambigüedades, es decir, dado un conjunto y

un objeto debe quedar claro si el objeto pertenece o no al conjunto. En los

ejemplos anteriores se presentan dos maneras en las que puede definirse un

conjunto. Observe que los conjuntos de los ejemplos impares se definieron

escribiendo explícitamente sus elementos mientras que en los ejemplos pares

los conjuntos se definen por medio de características o reglas que tienen los

elementos que permiten establecer si estos pertenecen o no al conjunto.

Notación por Extensión.

Esta notación se utiliza cuando se quiere escribir explícitamente los elementos

del conjunto. Los conjuntos se escriben con letras mayúsculas separando sus

elementos con comas y encerrándolos entre llaves { }. Con esta notación, los

conjuntos de los ejemplos impares dados anteriormente se escriben como

Ejemplo 9

A = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo}

B = {Nicoya, Escazú, Palmares, Paraíso, Belén, Parrita, Pococí}

M = {a, e, i, o, u}

N = {2, 4, 7, 8, 11}

Notación por Comprensión.

Se utiliza cuando los elementos de los conjuntos se describen por medio de sus

características. Un elemento cualquiera del conjunto se escribe por medio de

una letra minúscula (usualmente la letra x) separados por dos puntos seguido de

la característica que presenta los elementos del conjunto. Veamos algunos

ejemplos.

Ejemplo 10 En su notación por comprensión el conjunto del ejemplo 2 se

escribe como

P = {t : t es un número real mayor que 30}

Se lee “P el conjunto de todos los t tal que t es un número real mayor que 30.”

Ejemplo 11 El conjunto del ejemplo 2.4 se escribe como E = {x : x es una

universidad estatal de Costa Rica}

y se lee “E el conjunto de las x tal que x es una universidad estatal de Costa

Rica.”

Ejemplo 12 La expresión

X = {x : x 2 − x − 12 = 0}

Corresponde a la notación por comprensión del conjunto del ejemplo 2.6 que se

lee “X el conjunto de los x tal que x es solución de la ecuación x 2 − x − 12 = 0.”

Ejemplo 13 La notación por comprensión para el conjunto del ejemplo 2.8 es

Z = {x : x es un niño nacido en un país del continente americano}

Se lee “Z el conjunto de los x tal que x es un niño nacido en un país del

continente americano.

” Notación: Dado un conjunto A y un elemento x, si x pertenece al conjunto A

escribimos x ∈ A y si x no pertenece a A se escribe x ∉ A.

Ejemplo 14 Si E = {a, b, c, 2, 4, 7, 9} entonces c ∈ E, 7 ∈ E, h ∉ E, 3 ∉ E.

Definición 2 [Subconjunto] Sea A un conjunto. Otro conjunto B es

subconjunto de A si todo elemento de B también es elemento de A. Cuando B es

subconjunto de A se escribe B ⊆ A, que se lee como “B subconjunto de A” o “B

está contenido en A”. Si B no es subconjunto de A se escribe B ⊈ A.

Ejemplo 15 Como todo elemento del conjunto H = {1, 2, 3} también está en el

conjunto G = {−3, −1, 0, 1, 2, 3, 4} entonces H ⊆ G. Ejemplo 2.16 Si X = {x, b, n,

k}, Y = {y, x, b, a, n, m, k, h} y Z = {y, b, a, n, m, k, h} se cumple que X ⊆ Y , Z ⊆

Y , X ⊈ Z, Y ⊈ Z, Z ⊈ X, Y ⊈ X .

Observaciones

1. Según la definición 2.2, todo conjunto es subconjunto de si mismo, esto es, si

A es cualquier conjunto se cumple que A ⊆ A.

2. Note que B ⊈A si existe por lo menos un elemento x ∈ B tal que x ∉ A.

3. Si A ⊆ B y x ∈ B entonces también se cumple que x ∉ A.

Definición 3 [Igualdad de Conjuntos] Dos conjuntos A y B son iguales si todo

elemento de A es también elemento de B, y viceversa, todo elemento de B es

elemento de A. Es decir, A es igual a B, si A ⊆ B y B ⊆ A.

Ejemplo 17 Los conjuntos P = {2, 5, 6, 8, 9, 11} y W = {2, 5, 6, 8, 9, 11} son

iguales pues observe que P ⊆ W y W ⊆ P.

Ejemplo 18 En la igualdad entre conjuntos el orden de los elementos no es

relevante, solo interesa cuáles son sus elementos, de esta manera, los

siguientes conjuntos X = {−2, a, 5, 8} y W = {5, −2, a, 8} son iguales.

Ejemplo 19 Tampoco importa la cantidad de elementos que tienen los

conjuntos siempre y cuando se satisfaga la definición. Así pues, tenemos que

{3, 7} = {7, 3, 7}.

Definición 4 [Conjunto Universo] Para cualquier conjunto X siempre existe un

conjunto U que contiene a X. A tal conjunto U lo llamaremos conjunto universo.

La definición anterior nos garantiza que al considerar uno o varios conjuntos

siempre podemos suponer la existencia de un conjunto universo que contiene a

todos los conjuntos.

Ejemplo 20 El conjunto de números reales R sirve como conjunto universo en el

cual se pueden definir los conjuntos {−4, 0, 5, 8, 9} y {−14, 82, 12, 101}.

Ejemplo 21 El conjunto universo no es único y lo podemos definir como

queramos siempre y cuando contenga a todos los conjuntos con los cuales se

está trabajando.

Si A = {−2, x, 1}, B = {a, −2, b} y C = {5} podemos definir infinitos conjuntos

universos, dos de ellos son U = {−2, 1, 5, a, b, x} y U = {−8, −2, 0, 1, 3, 5, 9, 11, a,

b, x, e, r, f}.

El conjunto universo U contiene a todos los conjuntos

Definición 5 [Conjunto Vacío] Llamaremos conjunto vacío a aquel que no tiene

elementos. El conjunto vacío se denota con el símbolo ∅.

El conjunto vacío presenta una propiedad que nos será muy útil en nuestra

construcción del algebra de conjuntos. Aunque la propiedad puede demostrarse

por el método de la contradicción no lo haremos, y solamente enunciaremos tal

propiedad.

Propiedad del Conjunto vacío

Para cualquier conjunto A se cumple que ∅ ⊆ A. Es decir, el conjunto vacío es

subconjunto de todo conjunto. Utilizando la notación por comprensión podemos

“disfrazar” al conjunto vacío. Los conjuntos dados en los siguientes 3 ejemplos

son diferentes representaciones del conjunto vacío.

Ejemplo 22 Como la ecuación √2� + 1 = −5 no tiene soluciones, entonces el

conjunto A = {x ∈ R : √2� + 1 = −5} no tiene elementos, es decir, A =

∅.

Ejemplo 23 H = {t ∈ R : t 2 < 0}

Ejemplo 24 S = {x ∈ R : 53x = 0}

Definición 6 [Complemento de un Conjunto] Sea A un conjunto y U su universo.

El complemento del conjunto denotado como �̅ o �� es el conjunto cuyos

elementos pertenecen a U y no pertenecen a A. Es decir,

�̅ = {x ∈ U : x ∉ A}

Ejemplo 25 Si U = {2, 4, 7, 9, 11} y A = {4, 7} entonces �̅ = {2, 9, 11}.

Ejemplo 26 Si U = {b, a, x, y, z, −3, 8, 6, h, −9, 12, 5}, B = {a, x, h, −3, 6, 12} y S

= {b, y, z, 8, 6, 12} entonces B = {b, y, z, 8, −9, 5} y S = {a, x, h, −3, 5, −9}.

Definición 7 [Familia de Conjuntos] Una familia de conjuntos es otro conjunto

en el que sus elementos son también conjuntos.

Ejemplo 27 El conjunto A = {{1, 2}, {a, b, c}, {4, t, 7, 8}} es una familia de

conjuntos y sus elementos son los conjuntos {1, 2}, {a, b, c} y {4, t, 7, 8}.

Ejemplo 28 El conjunto {{1, 2}, {1, {2}}, {{1}, 2}, {{1}}, {{2}}, {{1, 2}}}

Es también una familia de conjuntos y los elementos que conforman esta

familia son todos diferentes. Observe que los objetos 1 y {1} son distintos, el

primero es un número mientras que el segundo es un conjunto formado por un

único elemento, el número 1. Los elementos que conforman la familia anterior

no son iguales pues

{1, 2} es el conjunto formado por los números 1 y 2.

{1, {2}} es otro conjunto, formado por un número real y por el conjunto {2}.

{{1}, 2} es el conjunto formado por un número real y por el conjunto {1}.

{{1}} es una familia cuyo único elemento es el conjunto {1}.

{{2}} es la familia cuyo único elemento es el conjunto {2}.

{{1, 2}}} es la familia cuyo único elemento es el conjunto {1, 2}.

¿Cuáles de los siguientes conjuntos son iguales ∅, {∅}, {{∅}}? Justifique su

respuesta.

Definición 8 [Conjunto Potencia] Sea A ⊆ U. El conjunto potencia de A que

denotaremos por P(A) es la familia formada por todos los subconjuntos de A.

Es decir P(A) = {E ⊆ U : E ⊆ A}

Recuerde que para todo conjunto A se cumple que ∅ ⊆ A y A ⊆ A, por tanto, ∅

y A siempre deben estar en el conjunto potencia P(A)

Número de elementos del Conjunto Potencia Si el número de elementos de A es

n, entonces el número de elementos de P(A) es 2�

Ejemplo 29 Como el conjunto X = {♠, ♣} tiene 2 elementos entonces su

conjunto potencia tiene 2�= 4 elementos.

Los subconjuntos de X son ∅, X, {♠} y {♣} entonces P(X) = {∅, A, {♠}, {♣}}.

Ejemplo 30

Para A = {2, 4, 9} los 2� = 8 subconjuntos de A que conforman el conjunto

potencia de A son ∅, A, {2}, {4}, {9}, {2, 4}, {2, 9}, {4, 9} y entonces

P(A) = {∅, A, {2}, {4}, {9}, {2, 4}, {2, 9}, {4, 9}}

Ejemplo 31 Dado que los 2� = 16 subconjuntos de A = {♥, F, z,} son

∅, A {♥}, {F}, {z}, {} {♥, F}, {♥, z}, {♥,}, {F, z}, {F,}, {z,} {♥, F, z}, {♥, F,}, {♥, z,},

{F, z,}

Entonces

P(B) = {∅, A, {♥}, {F}, {z}, {}, {♥, F}, {♥, z}{♥,}, {F, z}, {F,}, {z,}, {♥, F, z}, {♥, F,},

{♥, z,}, {F, z,}}

Operaciones de Conjuntos

Cuando a y b son números reales hemos aprendido a calcular su suma a+b, su

resta o diferencia a−b, su producto a·b y su cociente �

� (siempre que b sea

distinto de cero). Todos estos son números que obtenemos a partir de los

números a y b. Como ya sabemos estas operaciones son el pilar de la aritmética

y álgebra de los números reales. Ahora vamos a construir el álgebra de conjuntos.

A partir de dos conjuntos A y B construiremos nuevos conjuntos con las

operaciones unión, intersección y diferencia entre conjuntos. También

estudiaremos la diferencia simétrica la cual se define en términos de las

operaciones unión, intersección y diferencia.

Definición 1 [Unión de Conjuntos] La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto

A ⋃ B formado por todos los elementos que están en A o en B. Utilizando la

notación por comprensión de conjuntos tenemos que

A ⋃ B = {x ∈ U : x ∈ A o x ∈ B}

La expresión A ⋃ B se lee “A unión B”.

Para que un elemento pertenezca a A ⋃ B basta que dicho elemento esté en

alguno de los dos conjuntos A o B.

Si alguno de los elementos está en ambos conjuntos A y B solo se escribe una

sola vez

en la unión. En el siguiente ejemplo se describe esta situación.

Ejemplo 1 Si A = {−2, 0, 3, 6} y B = {−1, 0, 3, 7, 9} entonces

A ⋃ B = {−2, 0, 3, 6} [ {−1, 0, 3, 7, 9} = {−2,−1, 0, 3, 6, 7, 9}

Ejemplo 2 Para los conjuntos

P = {x, 1, y, 3, a, 5} Q = {a, 2, c, 3, 7, y} R = {y, 2, 4, b, c, 5}

se cumple que

P ⋃ Q = {x, 1, y, 3, a, 5} [ {a, 2, c, 3, 7, y} = {x, a, 1, 2, y, c, 3, a, 5, 7}

R ⋃ P = {y, 2, 4, b, c, 5} [ {x, 1, y, 3, a, 5} = {x, y, 1, 2, 4, 3, b, a, c, 5}

Q ⋃ R = {a, 2, c, 3, 7, y} [ {y, 2, 4, b, c, 5} = {a, 2, c, 3, 7, y, 4, b, 5}

Definición 3.2 [Intersección de Conjuntos] La intersección de dos conjuntos A

y B es el conjunto A⋂B formado por todos los elementos que están en ambos

conjuntos A

y B. Es decir

A ⋂B = {x ∈ U : x ∈ A y x ∈ B}

La expresión A ⋂ B se lee “A intersección B”.

Para que un elemento pertenezca a A ⋂ B debe estar en ambos conjuntos A y

B.

Ejemplo 3 Para los conjuntos A y B del ejemplo 1 tenemos que

A ⋂ B = {−2, 0, 3, 6} \ {−1, 0, 3, 7, 9} = {0, 3}

Ejemplo 3.4 Para los conjuntos del ejemplo 3.2 se cumple que

P ⋂ Q = {x, 1, y, 3, a, 5} \ {a, 2, c, 3, 7, y} = {y, 3, a}

R ⋂ P = {y, 2, 4, b, c, 5} \ {x, 1, y, 3, a, 5} = {y, 5}

Q ⋂ R = {a, 2, c, 3, 7, y} \ {y, 2, 4, b, c, 5} = {2, c, y}

Definición 3 [Conjuntos Disjuntos] Dos conjuntos A y B son disjuntos si su

Intersección es igual al conjunto vacío, es decir, si A ⋂ B = ∅

Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen elementos en común.

Ejemplo 5 Si X = {−3,−1, 0, 4, 5} y Y = {−2, 1, 3, 7, 9} entonces X ⋂ Y = { }

Ejemplo 6 Como los conjuntos S = {4, h, 6, g} y T = {f, 2, r,m, b, 8} no tienen

elementos en común también son disjuntos.

Definición 3.4 [Diferencia de Conjuntos] La diferencia de dos conjuntos A y

B es el conjunto A − B formado por todos los elementos que están en A y no

están en B.

De esta manera

A − B = {x ∈ U : x 2 A y x ∉ B}

La expresión A − B se lee “A menos B”.

Otra forma de definir la diferencia de dos conjuntos A y B es

A − B = {x ∈ A : x ∉ B}

Un elemento x pertenece a A − B si está en A y no está en B.

Ejemplo 7 Para los conjuntos

S = {−2, x,w, 3, a, 6} T = {−1,−2, a, 7, b} K = {0, x, 3, b, 6}

tenemos que

S − T = {−2, x,w, 3, a, 6} − {−1,−2, a, 7, b} = {x,w, 3, 6}

T − S = {−1,−2, a, 7, b} − {−2, x,w, 3, a, 6} = {−1, b}

S − K = {−2, x,w, 3, a, 6} − {0, x, 3, b, 6} = {−2,w, a}

K − S = {0, x, 3, b, 6} − {−2, x,w, 3, a, 6} = {0, b}

T − K = {−1,−2, a, 7, b} − {0, x, 3, b, 6} = {−1,−2, a, 7}

K − T = {0, x, 3, b, 6} − {−1,−2, a, 7, b} = {0, x, 3, 6}

Ejemplo 8 El conjunto B − A está formado por los elementos que están en B y

no están en A.

Si A = { @ , $ , Φ , ۞, ֎ , ₡ } y B = { ₡ , ֎ , ♂ , φ , ♣ , ⌂}

entonces

B − A = {@ , $ , Φ , ۞, ֎ , ₡} − { ₡ , ֎ , ♂ , φ , ♣ , ⌂ } = {@ , $ , Φ , ۞ }

Otra notación para el complemento de un conjunto

Recordando las definiciones de complemento y diferencia entre conjuntos se

tiene que

U − A = {x ∈ U : x ∉ A} y �̅ = {x ∈ U : x ∉ A}, es decir, los conjuntos

U − A y �̅ son iguales. Por tanto, U − A es otra notación que se utiliza para

denotar al complemento del conjunto A.

Definición 5 [Diferencia Simétrica de Conjuntos] La diferencia simétrica de

dos conjuntos A y B es el conjunto A ⨁ B formado por todos los elementos que

están en la unión pero no en la intersección de A y B. Es decir

A ⨁ B = (A ⋃ B ) - (A ⋂ B)

La expresión A ⨁ B se lee “A diferencia simétrica B”.

Un elemento x pertenece a A ⨁ B si está en A ⋃ B y no está en A ⋂ B.

Ejemplo 9 Si M = {−3,−2,−1, 0, 2, 3, 4, 5, 8} y N = {−5,−2, 0, 1, 2, 3, 7, 8} se

tiene que

M ⨁ N = (M ⋃ N) − (M ⋂ N)

= {−5,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8} − {−2, 0, 2, 3, 8}

= {−5,−3,−1, 4, 5, 7}

Ejemplo 10 Para los conjuntos

X = {a, x, f, h, k, t, r} Y = {f, h, b, n, l,m, r, a} Z = {c, b, n, k, j, h, g, t}

se cumple que

(i) Y ⨁ X = (Y ⋃ X) − (Y ⋂ X)

= {f, h, b, n, l,m, r, a, x, k, t} − {a, f, h, r}

= {b, n, l,m, x, k, t}

(ii) X ⨁ Z = (X ⋃ Z) − (X ⋂ Z)

= {a, x, f, h, k, t, r, c, b, n, j, g} − {h, k, t}

= {a, x, f, r, c, b, n, j, g}

(iii) Z ⨁Y = (Z ⋃ Y ) − (Z ⋂ Y )

= {c, b, n, k, j, h, g, t, f, h, l, m, r, a} − {h, b, n}

= {c, k, j, g, t, f, h, l,m, r, a}

DIAGRAMAS DE VENN-EULER

Existen representaciones gráficas para ilustrar las relaciones entre los

conjuntos y es mediante los llamados Diagramas de Venn-Euler,

El objetivo en esta sección es ilustrar por medio de diagramas de Venn los

conjuntos que hemos estudiado hasta el momento. Los conjuntos se ilustran por

medio de óvalos o círculos incluidos en un rectángulo el cual representa el

conjunto universo U donde están definidos los conjuntos. Cada uno de los

conjunto representan áreas coloreadas o sombreadas.

El concepto de subconjunto por medio de Diagramas de Venn

Cuando A y B son conjuntos con A ⊆ B, los conjuntos se dibujan uno incluido en

el otro, en este caso A contenido en B tal y como se ilustra a continuación.

Diagrama de Venn para el complemento de un conjunto

El complemento de un conjunto A es el área del conjunto universo (el

rectángulo) que está fuera del conjunto A (el área circular).

Diagrama de Venn para la unión de conjuntos

La unión de dos conjuntos A y B representa el área que está en alguno de los

dos conjuntos A o B.

Diagrama de Venn para la intersección de conjuntos

La intersección de dos conjuntos A y B es el área que comparten los dos

conjuntos A

y B.

Diagrama de Venn para la diferencia de conjuntos

La diferencia de dos conjuntos A y B es el área que está dentro del conjunto A

y fuera de B.

Diagrama de Venn para la diferencia simétrica de conjuntos

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es toda el área A ⋃B excepto

su intersección A ⋂ B.

Cada una de las representaciones anteriores nos permite construir diagramas

de Venn para conjuntos más complejos los cuales son el resultado de

combinaciones de las operaciones entre conjuntos que hemos estudiado.

Ejemplo 1 Para representar en un diagrama de Venn el conjunto �� ⋂ (A ⨁ B)

podemos primero representar ��, luego A ⨁ B y después construir la

representación la intersección de estos conjuntos.

Sabemos que gráficamente el conjunto �� ⋂ (A ⨁ B) es el área que comparten ��

y A ⨁ B. Se observa en las dos gráficas anteriores que dicha área corresponde

a

Observe que el diagrama anterior también es el del conjunto A − B, entonces,

por medio de diagramas de Venn hemos justificado que se cumple la igualdad

�� ⋂ (A ⨁ B) = A – B

Ejemplo 2 Paso a paso y por medio de diagramas de Venn ilustramos que es

cierta la igualdad

�̅⋂(�⨁�)�������������� = �⋃��

Ejemplo 3 También podemos hacer representaciones gráficas de conjuntos

formados por 3 conjuntos A,B, C. A continuación presentamos las

representaciones gráficas del conjunto

(A ⋂ �̅) ⋃ ((A ⋃ C) ⋂B).

Ejemplo 4 Representación gráfica del conjunto �̅ − (��⋃�̅)��������������

ALGEBRA DE CONJUNTOS

En esta sección presentamos las propiedades que constituyen el álgebra de la

teoría de conjuntos. Las propiedades más básicas involucran al complemento de

un conjunto y a las operaciones unión e intersección. Los conjuntos A,B,C

utilizados en las propiedades son arbitrarios, esto quiere decir que las

propiedades se cumplen para conjuntos cualesquiera.

Recuerde que U es el conjunto universo. Se debe aclarar que las propiedades

enumeradas no son todas, de hecho, el objetivo es demostrar otras

identidades más complejas a partir de las que se le presentan a continuación.

Leyes de Impotencia

Estas propiedades enfatizan que al operar un mismo conjunto bajo las

operaciones unión e intersección obtenemos el mismo conjunto.

Leyes Conmutativas

No importa el orden con que se operen dos conjuntos bajo las operaciones

unión e intersección.

Leyes Asociativas

La unión y la intersección de tres o más conjuntos pueden realizarse agrupando

los conjuntos como se desee.

Leyes Distributivas

La primera propiedad es la ley distributiva de la unión con respecto a la

intersección y la segunda propiedad la de la intersección con respecto a la

unión.

Leyes del Complemento

La primera propiedad nos dice que el complemento del conjunto universo U no

tiene elementos. Cuando comenzamos el tema de conjuntos mencionamos que

cada conjunto debe estar bien definido, es decir, dado un elemento y un conjunto

debe quedar claro si el elemento pertenece al conjunto o no. Como un elemento

no puede estar y no estar al mismo tiempo en un mismo conjunto, el siguiente

conjunto

No puede tener elementos y así

Justificamos la segunda propiedad de la siguiente manera. Observe que

es decir, el complemento de ; es el conjunto formado por los elementos de U que

no están en �, pero como vacío no tiene elementos todo los elementos de U

cumplen con no estar en ; y entonces

La tercera de las propiedades del complemento nos señala que si A es cualquier

conjunto, entonces todo elemento de U debe estar en A o en �̅, no puede ocurrir

que x pertenezca a U y que x no esté en ninguno de los dos conjuntos A y �̅.

La cuarta propiedad dice que los conjuntos A y �̅ son disjuntos, o sea que no

tienen elementos en común. Si x está en un conjunto no está en el otro, y

viceversa, si no está en uno está en el otro.

Ley del Doble Complemento

La propiedad resalta que el resultado de calcular el complemento del

complemento del conjunto A es el mismo conjunto A.

Leyes de Elementos Neutros

El conjunto vacío es el elemento neutro con respecto a la operación unión de

conjuntos.

Al realizar la unión de cualquier conjunto A y , se obtiene como resultado el

mismo conjunto

A. Algo similar sucede con la intersección, solo que ahora es el conjunto universo

quien es el elemento neutro. Cuando se realiza la intersección de cualquier

conjunto A y U, se obtiene como resultado el mismo conjunto A.

Observe que estos conjuntos y U cumplen el papel que el cero y el 1 cumplen

en los números reales. El cero es el elemento neutro de los números reales con

respecto a la operación suma y el 1 es el neutro con respecto a la

multiplicación.

Leyes de Elementos Absorbentes o Dominantes

En la unión el conjunto universo “domina” a los demás conjuntos, pues al realizar

la unión entre A y U se obtiene de nuevo el conjunto universo U. Por otro lado,

en la intersección quien “domina o absorbe” a los demás conjuntos es el conjunto

vacío, ya que la intersección de cualquier conjunto A y da como resultado el

conjunto vacío.

Leyes de De Morgan

La primera propiedad dice que el complemento de la unión de dos conjuntos es

igual a la intersección de los complementos de los conjuntos, mientras que la

segunda propiedad señala que el complemento de la intersección de dos

conjuntos es igual a la unión de los complementos de los conjuntos.

Las demostraciones de estas propiedades son consecuencias inmediatas de las

definiciones de las operaciones entre conjuntos.

Ejercicios

Presentamos la siguiente lista de ejercicios correspondiente al tema de

conjuntos.

Ejercicio 1 ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son iguales?

a. {x : x es una letra de la palabra AMOR}

b. {O, R, M, A}.

c. El conjunto de letras de la palabra MORA.

d. {x: x es una letra de la palabra ROMA}

Ejercicio 2 Para B = {5, 9}, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son

verdaderas?

Ejercicio 3 Para X = {a, {b, c}, c}, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son

verdaderas?

Ejercicio 4 Determine el conjunto potencia P(A) del conjunto A = {1, x, 4, y}

.

Ejercicio 5 Determine las familias , y

para los conjuntos A = {1, 2} y B = {2, 3}.

Ejercicio 6 Calcule P( ), es decir, el conjunto potencia del conjunto vacío.

Ejercicio 7 Construya diagramas de Venn de dos y tres conjuntos para

representar

los siguientes conjuntos.

Ejercicio 8 Para los conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5, 9} y C = {1, 2, 6, 7}.

a. Verifique que se cumplen las leyes conmutativas y asociativas para las

operaciones unión e intersección.

b. Verifique también que se cumplen las siguientes leyes

La Conmutatividad de la Diferencia Simétrica

La Asociatividad de la Diferencia Simétrica

La distributividad de la intersección con respecto a la diferencia simétrica

Ejercicio 9 Halle dos conjuntos A y B tales que

Ejercicio 10 Determine los conjuntos M y N que cumplen con todas las

siguientes propiedades.

Ejercicio 11 Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}, P = {1, 4, 5, 7, 10, 11},

Q = {1, 2, 6, 7, 12}, R = {2, 5, 6, 13}, S = {1, 2, 3} Calcule los siguientes

conjuntos.

Ejercicio 12 Para los conjuntos U = {a, b, c, e, g, h, m, n, p, r, s, x, y, z},

A = {a, b, c, e, p, x, y}, B = {a, c, g, h, r, s}, C = {b, e, h, n, s, p, x, z} determine:

Ejercicio 13 Para los conjuntos U = {0, 1, a, e, x, y, b, c, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9},

X = {0, 3, 7, a, y, c}, Y = {1, 2, 7, x, y, c}, Z = {0, 4, 5, 8, a, e, y, x}

determine:

Ejercicio 14 Suponga que X = {m, n, r, t} Y = {r, t, e, f} Z = {m, r, e, g}

Calcule

Ejercicio 15 Suponga que P = {1, 3, 5, 7} Q = {2, 4, 5, 7} R =

Calcule

Ejercicio 16 Suponga que X = {x, y, z} Y = {x, y,w} Z = {y, z,w}

Calcule

Ejercicio 17 Verifique que cuando A = {1, 2} B = {1, 3} C = {2, 4} es falsa

la igualdad

Ejercicio 18 Suponga que U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} A = {0, 1, 2, 5} B = {1, 2, 3,

4} C = {1, 3, 5}

Calcule

Ejercicio 19 Suponga que U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} X = {0, 1, 2, 3} Y = {1, 2, 3}

Z = {1, 3}

Calcule

Ejercicio 20 Sea el conjunto universo U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} y los subconjuntos

de U definidos como R = {x 2 U : 1 _ x _ 3}, S = {x 2 U : x es par y 2 _ x < 5}

y T = {x 2 U : x es impar}. Calcule

Ejercicio 21 Para los conjuntos U = {1, 2, 3, 4, 5} F = {2, 3} G = , H = {2,

4, 5}

Verifique si se cumple o no la siguiente igualdad

Ejercicio 22 Suponga que U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} P = {1, 3, 7, 8} Q = {1,

2, 3, 7, 9} R = {7, 8, 9, 10}

Calcule

Ejercicio 23 Sea el conjunto universo U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y los

subconjuntos de U definidos como X = {0, 2, 6} Y = {0, 2, 5, 7} Z = {1,

8, 9} W =

Compruebe que se cumple la igualdad