Congruência de Triângulos
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Congruência de Triângulos
SEAM
17/03/2014
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Temos que dois triângulos são congruentes:
•Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos.
•Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos.
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Casos de congruência:
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1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes.
1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes.
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2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes.
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3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente.
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4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado.
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Através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar medidas. A esse método damos o nome de demonstração.
Dizemos que, em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.
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Pontos Notáveis de um Triângulo
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Cevianas Notáveis
As cevianas aqui estudadas serão: Mediana, Bissetriz Interna e Altura.O nome ceviana foi dado a esses seguimentos em homenagem ao matemático italiano Giovanni Ceva (1648-1734), que demonstrou teoremas importantes
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Definição de Ceviana: é todo segmento que tem uma das extremidades num vértice qualquer de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte ao lado oposto a esse vértice.
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Por convenção, os pontos médios dos lados opostos aos vértices A, B e C são denotados por Ma e Mb , respectivamente e os comprimentos das medianas relativas aos mesmos são denotados por ma e mb .
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Mediana e Baricentro
Num triângulo ABC, marquemos , ponto médio do lado BC.
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Tracemos o segmento :
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O segmento é uma mediana do triângulo ABC.
Mediana de um triângulo é um segmento com extremidades num vértice e no ponto médio do lado oposto.
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Um triângulo tem três medianas. Na figura, as três medianas são:
, mediana relativa ao lado BC ou ao vértice A; , mediana relativa ao lado AC ou ao vértice B; , mediana relativa ao lado AB ou vértice C.
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As três medianas de um triângulo encontram-se num ponto chamado baricentro do triângulo.
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Na figura, G é o baricentro do triângulo ABC.
Bissetrizes e incentro.
Num triângulo ABC, tracemos a bissetriz As, relativa ao ângulo Â. Chamemos de S1 o ponto de encontro da bissetriz com o lado BC.
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Destaquemos o segmento AS1. O segmento AS1 é uma bissetriz do triângulo ABC.
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Observe que:O segmento AS1 está contido na semirreta As (bissetriz do ângulo Â);S1 é a interseção do lado BC com a bissetriz do ângulo Â.
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Bissetriz de um triângulo é um segmento com extremidades num vértice e no lado oposto e que divide o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes.
Um triângulo em três bissetrizes. Na figura, as três bissetrizes são: As1, bissetriz relativa ao lado BC ou ao vértice A;BS2, bissetriz ao lado AC ou ao vértice B;CS3, bissetriz relativa ao lado AB ou ao vértice.
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As três bissetrizes de um triângulo encontram-se num ponto chamado incentro do triângulo.
Na figura, S é o incentro do triângulo ABC.
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Alturas e ortocentroNum triângulo ABC, tracemos pelo ponto A uma reta r perpendicular à reta que contém o lado BC.Chamemos de H1 o ponto de encontro da reta r com a reta BC:
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Destaquemos o segmento AH1:
O segmento AH1 é uma altura do triângulo ABC.O ponto H1 é a interseção da reta BC com a perpendicular a ela conduzida pelo ponto A. H1 também é chamado pé da altura.
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Altura de um triângulo é o segmento perpendicular à reta suporte de um lado, com extremidade nessa reta e no vértice oposto a esse lado.
Um triângulo tem três alturas. Observe:
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Nas figuras acima, as três alturas são:
AH1, altura relativa ao lado BC ou ao vértice A;BH2, altura relativa ao lado AC ou ao vértice B;CH3, altura relativa ao lado AB ou ao vértice C.
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As três alturas, ou os seus prolongamentos, encontram-se num ponto chamado ortocentro do triângulo.
Nas figuras, H é o ortocentro do triângulo ABC, o qual pode ser interno ao triângulo (quando o triângulo ABC é acutângulo) ou externo ao triângulo ABC é obtusângulo).
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Mediatrizes e circuncentroNum triângulo ABC, tracemos a reta perpendicular ao lado BC e passando por , ponto médio de BC.
A Reta é a mediatriz do lado BC.
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Um triângulo em três mediatrizes de lados. Na figura abaixo, as três mediatrizes são:
• , mediatriz de BC;• , mediatriz de AC;• , mediatriz de AB.
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As três mediatrizes dos lados de um triângulo encontram-se num ponto chamado circuncentro do triângulo.
Na figura, O é o circuncentro do triângulo ABC.
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EXERCÍCIOS
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1- No triângulo, determine os valores de x e y:
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2. Um triângulo tem dois de seus ângulos medindo 46° e 112° , respectivamente. Qual a medida do terceiro ângulo desse triângulo?
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4. Determine, na figura abaixo, as medidas x, y e z indicadas:
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5- Um triângulo é isósceles e dois lados medem 4 cm e 6 cm. Que medidas pode ter o terceiro lado?
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6- Se AS é bissetriz do triângulo ABC determine  e B nos casos:
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7- Calcule o valor de x nas figuras:
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8 -O segmento de reta s do triângulo abaixo é: a) Mediana b) Bissetrizc) Alturad) Incentro
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9 - O segmento de reta M do triãngulo abaixo é: a) Mediana b) Bissetrizc) Alturad) Incentro
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10 - Dada a figura abaixo, qual o nome do segmento de reta H? a) Medianab) Bissetrizc) Alturad) Ângulo
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11 - Marque V para verdadeiro e F para falso( ) Existe a possibilidade de desenhar um triângulo cuja medidas dos lados são respectivamente 6cm, 7cm e 13 cm.( ) A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º.
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( ) Altura é segmento de reta com origem em um dos vértices e perpendicular (forma um ângulo de 90º) ao lado oposto. ( )Mediana é um segmento que divide as bases do triângulo em duas partes iguais.
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( )Bissetriz também é um segmento de reta com origem em um dos vértices do triângulo com a outra extremidade no lado oposto a esse vértice. Sendo que ela divide ao meio o ângulo correspondente ao vértice.