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Computación Cuántica. Los códigos correctores no controlan los errores isótropos
Jesús Lacalle ([email protected]))
Grupo de Modelización Matemática y Biocomputación
ETS de Ingeniería de Sistemas Informáticos
Universidad Politécnica de Madrid
Contenido de la charla
1. Fundamentos de la Computación Cuántica2. Características de los qubits3. Códigos correctores4. Limitaciones de los códigos correctores5. Los códigos correctores no controlan los errores isótropos 6. Conclusiones7. Líneas de trabajo actuales
Fundamentos de la Computación Cuántica
Representación de la información (qubits):
|0, |1 y, en general, q = a0|0 + a1|1
• Bit clásico: 0 ó 1
• Bit cuántico (qubit):
(a0 y a1 números complejos tales que |a0|2 + |a1|2 = 1)
Fundamentos de la Computación Cuántica
Representación de la información (qubits):
|00, |01, |10, |11 y, en general,
• 2-qubit:
(a0, a1, a2, y a3 números complejos tales que
q = a0|00 + a1|01 + a2|10 + a3|11
|a0|2 + |a1|2 + |a0|2 + |a1|2 = 1)
Fundamentos de la Computación Cuántica
Representación de la información (qubits):
2-qubit: [|00, |01, |10, |11]
• Base de computación:
qubit: [|0, |1]
n-qubit: [|0…0, …, |1…1]
……….
Fundamentos de la Computación Cuántica
Representación de la información (qubits):
• Principio de superposición:
Un n-qubit puede incluir cualquier subconjunto de cadenas de bits de longitud n
• Puertas cuánticas de un qubit:
Fundamentos de la Computación Cuántica
Transformación de la información (puertas cuánticas):
Negación (X): X|0=|1 y X|1=|0
X=0 11 0
0 1 a0 a1
1 0 a1 a0=
• Puertas cuánticas de un qubit:
Fundamentos de la Computación Cuántica
Transformación de la información (puertas cuánticas):
Cambio de fase (Z): Z|0=|0 y Z|1=|1
Z=1 00 1
1 0 a0 ao
0 1 a1 a1=
• Puertas cuánticas de un qubit:
Fundamentos de la Computación Cuántica
Transformación de la información (puertas cuánticas):
Puerta general: U tal que UU = I
a10 a11
a00 a01U=
a00 a00* + a01 a01
* = 1
a10 a10* + a11 a11
* = 1
a00 a10* + a01 a11
* = 0
• Puertas cuánticas de dos qubits:
Fundamentos de la Computación Cuántica
Transformación de la información (puertas cuánticas):
Negación controlada (C):
C|0x=|0x, C|10=|11 y C|11=|10
C=
1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0
• Conjunto universal de puertas cuánticas:
Fundamentos de la Computación Cuántica
Transformación de la información (puertas cuánticas):
Puertas de un qubit + C
• Paralelismo cuántico:
Fundamentos de la Computación Cuántica
Transformación de la información (puertas cuánticas):
Una puerta cuántica puede actuar sobre cualquier subconjunto de cadenas de bits de longitud n
Fundamentos de la Computación Cuántica
Lectura de la información (medida cuántica):
q = a0|0 + a1|1 tal que a0 0 y a1 0• qubit:
El resultado solo puede ser 0 ó 1
Ambos resultados deben ser posibles
Conclusión: la medida es aleatoria
Prob(0) = |a0|2 y Prob(1) = |a1|2
Características de los qubits
Los n-qubits son continuos
Puntos en una esfera de dimensión real 2n+1-1
La física cuántica no permite la autocorrección para ningún conjunto discreto de n-qubits
Características de los qubits
No es posible crear cuencas de atracción dentro de las que el n-qubit se transforme automáticamente (autocorrección) en el estado discreto que las representa
Códigos correctores
Corrigen errores continuos
Limitaciones de los códigos correctores
No corrigen todos los errores
Los errores no corregidos se hacen indetectables
El conjunto de errores corregidos tienen medida 0
Los códigos correctores no controlan los errores isótropos
Error isótropo || ||2 = 2 2 cos()
Varianza: V() = E[2 2 cos()]
Propiedades:
La función de distribución de solo depende de 0 V() 4 Si 1 y 2 son independientes:
V(1 + 2) = V(1) + V(2) 2
V(1) V(2)
Los códigos correctores no controlan los errores isótropos
Ejemplo:
N
V(N) = 2(1 ) 1
0
(0,1)d = 2n
Los códigos correctores no controlan los errores isótropos
Corrección:
No se reduce la varianza del error
El error se hace indetectable
Los códigos correctores no controlan los errores isótropos
V( ) = V() + 4 E[cos()sin2d+2k-2()](2)d-1
(2d-2d’-2)!! k=1
(2k)!! (2d+2k-3)!!(2k-3)!! (2d-2d’+2k-2)!!
d = 2n d’ = 2m
V() > V()
1. Los códigos correctores solo corrigen exactamente conjuntos de errores de medida 0
2. Los errores no corregidos exactamente se vuelven indetectables
3. Los códigos correctores no controlan los errores isótropos4. Los códigos correctores no corrigen errores de
características similares a los errores isótropos5. Los circuitos correctores generan una componente de error
isótropa al ligar dos a dos lo qubits del código
Conclusiones
1. Demostrar la conjetura de que la distribución N es reproductiva: N(1) + N(2) N(12)
2. Obtener una cota inferior de la componente de error isótropa que genera un circuito corrector
Líneas de trabajo actuales
Bibliografía
1. García-López, J., Modelos continuos de error en computación cuántica, Primer Congreso Internacional de Matemáticas en Ingeniería y Arquitectura, Madrid, junio de 2007.
2. Lacalle, J.; Pozo Coronado, L.M., Variance of the sum of independent quantum computing errors, Quantum Information & Computation 19 (15-16), 1294-1312 (2019)
3. Lacalle, J.; Pozo Coronado, L.M., Fonseca de Oliveira, A.L., Quantum codes do not fix isotropic errors, preprint (2020)