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NÚMEROS COMPLEXOS
MMAATTEE 3ª SÉRIE DO
OMPLEXOS
UNIDADE ESCOLAR T
EEMMÁÁTTIICCAA ––
DO E. M.
PPRROOFF..:: FFÁÁBBIIOO LLUUÍÍSS
TIJUCA II
–– II
3a SÉRIE – E. M.
NÚMEROS COMPLEXOS Resumo Teórico
Denomina-se número complexo z toda expressão da forma z = a + bi, onde “a” e “b” são números reais e i Obs.: i é denominada unidade imaginária.
� Forma Algébrica
∈=
∈=⇒+=
IR)zIm(b
IR)zRe(abiaz
Em que: “a” é a parte real de “z” e “b” é a parte imaginária de “z”.
� Igualdade
⇒+=+⇒=b
adicbiazz 21
� Adição
b()ca()dic()bia( +++=+++
� Multiplicação
ad()bdac()dic()bia( ++−=+⋅+
� Conjugado
Sendo biaz += um número complexo, define
complexo conjugado de “z” o complexo az =
� Divisão
22
21
2
1
zz
zzzz
⋅
⋅=
� Potências de “i”
Para n ∈ IN, temos:
i4n = 1 i4n+1 = i
i4n+2 = – 1 i4n+3 = – i
COLÉGIO PEDRO II
LISTA DE E
Prof.: Fábio LuísNome: _____________________________________________________ nº _____
toda expressão da onde “a” e “b” são números reais e i2 = – 1.
IR
IR
Em que: “a” é a parte real de “z” e “b” é a parte imaginária de “z”.
=
=
d
c
i)d+
i)bc+
um número complexo, define-se como
bia − .
� Representação Geométrica
Todo número complexo z = a + bi pode ser associado a um ponto P ( a ; b ) do plano cartesiano.
O ponto “P” é denominado A distância “ρ” de “P” até a origem “O” é denominada
módulo de “z” e indicamos: z =
Denomina-se argumentoângulo “θ”, formado pelo semimedido no sentido anti-horário, conforme indicado na figura:
)zarg(=θ
� Forma Trigonométrica ou Polar
(cosz ⋅ρ=
onde “ρ” é o módulo e “
� Multiplicação
[cos(zz 12121 θ⋅ρ⋅ρ=⋅
� Divisão
[cos(zz
12
1
2
1 −θ⋅ρ
ρ=
� Potenciação
[ n(cosz nn ⋅ρ=
� Radiciação
+θ⋅ρ=
n2
cosz nn
As raízes n-ésimas de “z” têm módulo igual a
seus argumentos são obtidos da expressão
substituindo k por números inteiros de 0 até n
COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR TIJUCA II
EXERCÍCIOS – NÚMEROS COMPLEXOS – 3a SÉRIE
Fábio Luís Turma: _______ _____º turnoNome: _____________________________________________________ nº _____
θ
ρ
Im
b
O
NÚMEROS COMPLEXOS
PROF.: FÁBIO LUÍS
Representação Geométrica
Todo número complexo z = a + bi pode ser associado a um ponto P ( a ; b ) do plano cartesiano.
O ponto “P” é denominado afixo ou imagem de “z”. ” de “P” até a origem “O” é denominada
22 babia +=ρ=+
argumento do complexo “z” a medida do ”, formado pelo semi-eixo real positivo Ox com OP,
horário, conforme indicado na figura:
Forma Trigonométrica ou Polar
)seni(cos θ⋅+θ
” é o módulo e “θ” é o argumento de “z”.
Multiplicação
])sen(i) 2121 θ+θ⋅+θ+
Divisão
])sen(i) 212 θ−θ⋅+θ
Potenciação
])n(seni)n θ⋅+θ
Radiciação
π+θ⋅+
π
nk2
senin
k2
ésimas de “z” têm módulo igual a n ρ e
seus argumentos são obtidos da expressão n
k2 π+θ ,
números inteiros de 0 até n – 1 .
UNIDADE ESCOLAR TIJUCA II
ÉRIE E. M.
Turma: _______ _____º turnoNome: _____________________________________________________ nº _____
P ( a , b )
a Re
3a SÉRIE – E. M.
EXERCÍCIOS PARTE 01 1. Complete os espaços com as partes reais e imaginárias dos complexos a seguir:
a)
=
=→+=
_____)zIm(
____)zRe(i43z
b)
=
=→
−=
_____)zIm(
____)zRe(
5i43
z
c)
=
=→−=
_____)zIm(
____)zRe(i4z
d)
=
=→+−=
_____)zIm(
____)zRe(7i3z
e)
=
=→=
_____)zIm(
____)zRe(7z
f)
=
=→
−=
_____)zIm(
____)zRe(
3i
z
-----------------------------------------------------------------------------------2. Observe os complexos representados no Plano ArgandGauss.
a) Escreva cada complexo na forma (a + bi).
_________z1 = _________z2 =
_________z3 = _________z4 =
_________z5 =
b) Efetue as operações:
i) _________zz 21 =+
ii) _________z.4z.2 32 =−
1. Complete os espaços com as partes reais e imaginárias dos
----------------------------------------------------------------------------------- 2. Observe os complexos representados no Plano Argand-
_________
_________
3. Calcule a e b reais, para que
-----------------------------------------------------------------------------------4. Qual o valor de k
( )( )i3k.i25z +−= seja um número real?
-----------------------------------------------------------------------------------5. Sendo i a unidade imaginária, determine o valor numérico da
soma 2732 i...iii1 +++++
-------------------------------------------------------------------------------6. Seja o número complexo:
103102101 iiiz ++=
Calcule 2z .
-----------------------------------------------------------------------------------7. Resolva, em C, cada equação:
05x4x)a 2 =++
05x2x)b 2 =+−
08x12x9)c 2 =+−
-----------------------------------------------------------------------------------
8. O número imi3
−
+ possui a parte imaginária nula. Calcule o
valor do número real m. -----------------------------------------------------------------------------------
9. Sabendo que z3z2z +++
valor de z. ( z é conjugado de z -----------------------------------------------------------------------------------10. Determine:
−
+
i35i2
Re)a
+
+−
i33i3
Re)b
−
+ i
21
i21
Im)c
Fonte: http://www.professorwaltertadeu.mat.br em maio de 2012.
NÚMEROS COMPLEXOS
PROF.: FÁBIO LUÍS
reais, para que ( ) ( ) biai31i54 +=+−−+ .
----------------------------------------------------------------------------------- para que o número real
seja um número real?
----------------------------------------------------------------------------------- a unidade imaginária, determine o valor numérico da
.
-----------------------------------------------------------------------------------
106105104103 iii +++ .
----------------------------------------------------------------------------------- 7. Resolva, em C, cada equação:
-----------------------------------------------------------------------------------
possui a parte imaginária nula. Calcule o
-----------------------------------------------------------------------------------
i28320z4 +=+ , determine o
z).
-----------------------------------------------------------------------------------
http://www.professorwaltertadeu.mat.br
3a SÉRIE – E. M. NÚMEROS COMPLEXOS
PROF.: FÁBIO LUÍS
PARTE 02
11. Para que o número z = ( x – 2i ).( 2 + xi ) seja real, devemos ter ( x ∈ IR ) tal que:
a) x = 0 b) x = ± 1/2 c) x = ± 2 x d) x = ± 4 e) n.d.a.
----------------------------------------------------------------------------------- 12. Qual é o menor valor de m, real, para que o produto
( 2 + mi ).( 3 + i ) seja um imaginário puro?
a) 5 b) 6 x c) 7 d) 8 e) 10
----------------------------------------------------------------------------------- 13. Se f(z) = z2 – z + 1, então f(1 – i) é igual a:
a) i b) – i + 1 c) i – 1 d) i + 1 e) – i x
-----------------------------------------------------------------------------------
14. O número complexo z, tal que 5z + z = 12 + 16i, é igual a:
a) – 2 + 2i b) 2 – 3i c) 1 + 2i d) 2 + 4i x e) 3 + i
-----------------------------------------------------------------------------------
15. Para i = 1− , os valores reais de a e b tais que
263 ii
iia − = 3 + bi são, respectivamente:
a) 0 e 3/2 b) – 4 e 1 x c) 3/2 e 0 d) 3/2 e 2 e) – 6 e 2
----------------------------------------------------------------------------------- 16. O valor de ( 1 + i )10 , onde i é a unidade imaginária, é:
a) 64i b) 128i c) 32i x d) – 32i e) n.d.a.
----------------------------------------------------------------------------------- 17. Sendo z1 = 2 + 3i e z2 = 5 + 8i, então o valor de z1.z2 é:
a) 10 + 24i b) 10 + 31i c) – 14 + 31i x d) – 14 + 24i e) 7 + 11i
18. O número complexo 1 – i é raiz da equação x2 + kx + t = 0
( k, t ∈ IR ) se e somente se:
a) k = t = – 2 b) k = t = 2 c) k = – 2 e t = 2 x d) k = 2 e t = – 2 e) k + t = 1
-----------------------------------------------------------------------------------
19. O determinante
iii
11i
111
32 −
− , onde i é a unidade
imaginária, é igual a:
a) – 2 – 2i b) – 2 + 2i x c) 2 + 2i d) – 2i e) – 2
-----------------------------------------------------------------------------------
20. i1i1
−
− é igual a:
a) 2i b) 4i c) 3i d) i x e) – 2i
-----------------------------------------------------------------------------------
21. Dado o número complexo z = 1 – i, tem-se que 2z
1 é igual
a:
a) 2i b) i c) i/2 x d) – i e) – 2i
-----------------------------------------------------------------------------------
22. A soma dos números complexos i1i55
+
+ e
i120−
é:
a) 2
i525 +
b) 10 + 10i x c) – 10 – 10i d) 15 + 10i e) 30 + 20i
----------------------------------------------------------------------------------- 23. É dado um número complexo z = (x – 2) + (x + 3)i, onde x
é um número real positivo. Se z = 5, então:
a) z é um número imaginário puro; x b) z é um número real positivo; c) o ponto de imagem de z é ( – 1 , 2 ); d) o conjugado de z é – 1 + 2i; e) o argumento principal de z é 180o.
3a SÉRIE – E. M. NÚMEROS COMPLEXOS
PROF.: FÁBIO LUÍS
24. O conjugado de i
i2 − vale:
a) 1 – 2i b) 1 + 2i c) 1 + 3i d) – 1 + 2i x e) 2 – i
----------------------------------------------------------------------------------- 25. Sendo i a unidade imaginária, o valor da expressão
2032
50232
i...ii
i...iiiy
+++
++++= é:
a) i b) – i c) 1 d) – 1 e) 1 – i x
----------------------------------------------------------------------------------- 26. ( ITA-SP ) O número natural n tal que
(2i)n + (1 + i)2n = – 16i, onde i é a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, vale:
a) n = 6 b) n = 3 x c) n = 7 d) n = 4 e) não existe n nestas condições.
-----------------------------------------------------------------------------------
27. Simplificando 49100
50101
)2i()i2(
)i2.()i2(
−−−
−+, obtém-se:
a) 1 b) 2 + i c) 2 – i d) 5 e) – 5 x
----------------------------------------------------------------------------------- 28. O valor de (1 + i)12 – (1 – i)12, onde i2 = – 1, é igual a:
a) – 128i b) – 128 c) 128 d) 128i e) 0 x
-----------------------------------------------------------------------------------
29. Sendo i a unidade imaginária, o valor de 4
i1i1
−
+ é:
a) 1 x b) i c) – 1 d) – i e) 2i
-----------------------------------------------------------------------------------
30. O valor de a que torna real o quociente i34
ai23−
− é:
a) – 3/2 b) – 9/8 c) zero d) 2/3 e) 9/8 x
31. Sendo i a unidade imaginária e dada a matriz
−−
+=
−
x22i
y)i1(A
1
com det A = 3i, então o valor de x + y
é igual a:
a) 3 b) 7 c) 12 d) 9 x e) 5
-----------------------------------------------------------------------------------
32. Sendo i1
z+
– i
1z − = 2i ( i é a unidade imaginária ), o
módulo complexo x será:
a) 2 6
b) 3 2 x f) 9
g) 3 h) n.r.a.
-----------------------------------------------------------------------------------
33. O conjunto solução da equação i33z2z z 2
+=−+ é:
a) { 1 + i ; 2 + i } b) { –1 + i ; 2 + i } x c) { 1 + i ; – 2 + i } d) { 1 – i ; 2 + i } e) { 1 – i ; 2 – i }
----------------------------------------------------------------------------------- 34. ( PUC-RJ ) Considere os números complexos z = 2 – i e
w = i2
5+
. Então, se w indica o complexo conjugado de w:
a) z = – w
b) z = w
c) z = – w d) z = 1/w e) z = w x
-----------------------------------------------------------------------------------
35. Seja o número complexo z = i1i1
+
−. Então z1980 vale:
a) 1 x b) – 1 c) i d) – i e) – 2i
----------------------------------------------------------------------------------- 36. O número complexo z que verifica a equação
iz + 2 z + 1 – i = 0 é:
a) – 1 + 2i b) – 1 + i c) 1 – i d) 1 + i e) – 1 – i x
3a SÉRIE – E. M. NÚMEROS COMPLEXOS
PROF.: FÁBIO LUÍS
37. Se u = 3 + 2i e v = 1 + i, então vu + é:
a) 5 x
b) 26
c) 29 d) 7 e) 15
-----------------------------------------------------------------------------------
38. Dados os complexos z1 = 4+ 3 i e z2 = 1 + 3i, efetuando
2
1
z
z, obtemos:
a) – i72
738
+
b) 5 + 3 i
c) i5
375
32 −−
+
d) i10
31210
334 ++
− x
e) i835
83
+
----------------------------------------------------------------------------------- 39. Seja o número complexo z = 1 + 2xi, onde x ∈ IR+. Se o
módulo de z é igual a 7, então x pertence ao intervalo:
a) ] – ∞ ; 1 [ b) [ 1 ; 3 ] c) ] 3 ; 5 [ x d) [ 5 ; 8 ] e) ] 8 ; + ∞ [
-----------------------------------------------------------------------------------
40. Se z é um número complexo tal que 24z . z = , então o módulo de z é:
a) 2 3
b) 2 6 x c) 5 c) 12 d) 24
----------------------------------------------------------------------------------- 41. O produto de todos os números complexos com
representação geométrica na reta y = x e módulo 8 é igual a:
a) 8
b) 8 c) – 8i x
d) i 8
e) 8 + 8i
42. O conjugado de z = 22 ii 2i + é:
a) 1 + 2i b) 1/2 + i c) 1 – 2i d) 1/2 – i x e) 1 – i
-----------------------------------------------------------------------------------
43. Calculando i815 −− obtemos:
a) 2 – 2i e 2 + 2i b) 1 – 4i e – 1 + 4i x c) 1 + 4i e 4 – i d) – 2 + 2i e – 2 – 2i
-----------------------------------------------------------------------------------
44. Se u = cos x + i sen x e uz
2
= 32, então z vale:
a) 4 2 x
b) 3 2
c) 2 2 d) 2
e) 2 ----------------------------------------------------------------------------------- 45. No plano de Gauss, o afixo do número complexo
z = ( 1 + i )4 é um ponto do:
a) eixo real x b) eixo imaginário c) 1º quadrante d) 3o quadrante e) 4o quadrante
----------------------------------------------------------------------------------- 46. Seja o número complexo z = a + bi, onde a, b ∈ IR. Se
( 2 + ai ).( 2 + bi2 ) = 8 – 4i3, o afixo de z é um ponto de Gauss pertencente ao:
a) eixo das abscissas b) eixo das ordenadas c) 4o quadrante x d) 3o quadrante e) 2o quadrante
-----------------------------------------------------------------------------------
47. Uma forma trigonométrica do complexo i33z −= é:
a) – 2 3 ( cos 60o + i sen 60o ) b) cos 45o + i sen 45o
c) 2 3 ( cos 300o + i sen 300o ) x
d) 2 3 ( cos 30o + i sen 30o )
3a SÉRIE – E. M. NÚMEROS COMPLEXOS
PROF.: FÁBIO LUÍS
48. Na figura abaixo, o ponto P é o afixo de um número
complexo z no plano de Argand-Gauss. A forma trigonométrica de z é:
a) 4( cos 300o + i sen 300o ) x b) 4( cos 60o + i sen 60o ) c) 16( cos 330o + i sen 330o ) d) 2( cos 300o + i sen 300o ) e) cos ( – 60o ) + i sen ( – 60o )
-----------------------------------------------------------------------------------
49. A forma trigonométrica do número i
i1+ é:
a)
π+
π
4seni
4cos
22
b)
π+
π
45
seni4
5cos2
c)
π+
π
47
seni4
7cos2 x
d)
π+
π
4seni
4cos2
e)
π+
π
43
seni4
3cos2
-----------------------------------------------------------------------------------
50. Seja o número complexo i21
23
z −−= . O argumento
principal do conjugado de z é:
a) 30o b) 45o c) 60o d) 120o e) 150o x
----------------------------------------------------------------------------------- 51. Seja z um número complexo, cujo módulo é 2 e cujo
argumento é 3π
. A forma algébrica do conjugado de z é:
a) i31− x
b) i3 −
c) i3 +
d) i31+ -----------------------------------------------------------------------------------
52. Seja “z” o produto dos números complexos 3 + 1 e
( )i 3123
+ . Então o módulo e o argumento de “z” são,
respectivamente:
a) 4 e 30o b) 12 e 80o
c) 6 e 90o d) 6 e 90o x
53. Se os números complexos z1 e z2 são tais que
z1 = 2 ( cos 135o + i sen 135o ) e z2 = z1 – 2, então o módulo de z2 é igual a:
a) 2 2
b) 2 3
c) 2 23
d) 4 + 2 2
e) 2 22 + x -----------------------------------------------------------------------------------
54. Seja a igualdade 2
3seni
3cosi
4b
2a
π+
π=− , onde i é a
unidade imaginária. Se a e b são números reais, então o produto a.b é igual a:
a) – 3
b) 43
−
c) 63
d) 23
e) 2 3 x -----------------------------------------------------------------------------------
55. Dado o número complexo 16
seni16
coszπ
+π
= , o valor de
z12 é:
a) 22
i22
+− x
b) 22
i22
−−
c) – 2 + i
d) – 1 + i 2
e) – 2 + i 2 -----------------------------------------------------------------------------------
56. O módulo e o argumento do complexo ( 3 + i )8 são, respectivamente:
a) 44 e 4π/3 x b) 28 e 8π/3 c) 48 e 8π/9 d) 38 e 5π/4 e) n.r.a.
-----------------------------------------------------------------------------------
57. Se z =
π+
π
4seni
4cos2 , então z8 vale:
a) – 16i b) – 16 c) 8i d) 16 x e) 16i
Im(z)
2Re(z)
–2 3 P
3a SÉRIE – E. M. NÚMEROS COMPLEXOS
PROF.: FÁBIO LUÍS
58. Seja z = 3 + i, onde i = 1− . Um dos valores de n tal
que zn seja real é:
a) 2 b) 6 x c) 10 d) 3 e) 11
-----------------------------------------------------------------------------------
59. O módulo do número complexo ( )( )4
8
i44
i22z
−
+= é igual a:
a) 2
b) 2 2 c) 4 x
d) 4 2 e) 8
-----------------------------------------------------------------------------------
60. O menor valor n > 0, de modo que
n
i21
23
+ seja real
positivo, é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 8 e) 12 x
----------------------------------------------------------------------------------- 61. ( ITA-SP ) Seja z um número complexo satisfazendo
Re(z) > 0 e ( z + i )2 + z + i 2 = 6. Se n é o menor natural para o qual zn é um imaginário puro, então n é igual a:
a) 1 b) 2 x c) 3 d) 4 e) 5
----------------------------------------------------------------------------------- 62. As raízes quadradas do número 3 + 4i, onde i representa
a unidade imaginária, são:
a) { 2 + i ; – 2 – i } x b) { 1 + i ; – 1 – i } c) { 3 + i ; – 3 – i } d) { 4 + i ; – 4 – i } e) n.r.a.
-----------------------------------------------------------------------------------
63. Calculando ∑=
120
10n
ni obtemos:
a) 1 b) i c) – 1 d) – i x e) 0
64. Calculando ∑=
⋅
100
1n
n ) in ( obtemos:
a) 50.( 1 – i ) x b) 50.( 1 + i ) c) 25.( 1 – i ) d) 25.( 1 + i ) e) 100.( 1 – i )
----------------------------------------------------------------------------------- 65. Os números complexos z tais que z2 = i são:
a) – 22
–22
i e 22
+ 22
i x
b) – 22
+22
i e 22
– 22
i
c) 22
+22
i e 22
– 22
i
d) 22
+22
i e –22
+ 22
i
e) – 22
–22
i e 22
– 22
i
----------------------------------------------------------------------------------- 66. O conjunto de todas as raízes complexas da equação
x3 = – 1 é:
a) { – 1 } b) { 1 ; – 1 }
c)
+−+− 21
23
; 2i
23
; 1
d)
π
+ππ
+π
−3
5isen
35
cos ; 3
isen 3
cos ; 1 x
e)
π
+π
− 3
isen 3
cos ; 1
----------------------------------------------------------------------------------- 67. Calculando o valor de n ( n ∈ IN ) na igualdade na
igualdade ( 2i )n + ( 1 + i )n = – 16i obtemos:
a) 2 b) 3 x c) 4 d) 5 e) 6
-----------------------------------------------------------------------------------
68. ( UFF ) Sendo i a unidade imaginária, para que xi4ix4
z−
−= ,
x ∈ IR seja um número real, é necessário que x seja igual a:
a) ± 1/4 b) ± 1 x
c) ± 2 d) ± 4
e) ± 3 2
3a SÉRIE – E. M.
PARTE 03 69) (RURAL-99) Sendo a = 2 + 4i e b = 1
a
b é:
(A) 3 (B) 2 (C)
(D) 2 2 (E) 1 + 2
70) (UNI-RIO) A forma algébrica do número complexo
z = 2 cis 135º
(A) 2 + 2i (B) − +2 2i (C) -1 +
(D) -2 (E)2
2
2
2+ i
71) (UFF-97) Considere os números complexos
q, vértices de um quadrado com lados
eixos e centro na origem, conforme a figura abaixo.
Pode-se afirmar que o número m + n + p + q: (A) é um real não nulo.
(B) é igual a zero. (C) possui módulo unitário.
(D) é um imaginário puro.
(E) é igual a 1+ i.
72) (Rural-2000-2ªF) Em um jogo de sinuca, uma mesa
está localizada com centro na origem do plano
complexo, conforme mostra a figura abaixo.
Im
R
m n
p q
Sendo a = 2 + 4i e b = 1 - 3i , o valor de
5
A forma algébrica do número complexo
1 + 3i
Considere os números complexos m, n, p e , vértices de um quadrado com lados paralelos aos
eixos e centro na origem, conforme a figura abaixo.
m + n + p + q:
Em um jogo de sinuca, uma mesa
está localizada com centro na origem do plano
mostra a figura abaixo.
Após uma tacada do centro 0, a bola preta segue na
direção de Z = 1 + i, bate em A, indo em seguida
até B e parando, conforme demonstra a figura abaixo.
Encontre o ponto Z1 = a + bparado se a tacada tivesse sido dada, com a
mesma intensidade, na direção e sentido do conjugado
de Z.
73) (UFRJ-2004-PE) z é um número complexo tal que
Calcule: 1 + z + z2 + z3 + z4 + z
74) (UFRJ-2009-PE) No jogo
números complexos z e
respectivamente. O tiro certeiro de
complexo t tal que tz = w.
Considere a mira z e o alvo w
Determine o tiro certeiro de
75) (UERJ-2005-2ªf) João desenhou um mapa do quintal
de sua casa, onde enterrou um cofre. Para isso, usou um
sistema de coordenadas retangulares, colocando a
origem O na base de uma mangueira, e os eixos OX e OY
com sentidos oeste-leste e sul
Cada ponto (x, y), nesse sistema, é a representação de
um número complexo z= x + iy , x
Para indicar a posição (x1, yorigem, João escreveu a seguinte observação no canto
do mapa:
x1 + iy1 =( 1 + i )
Calcule:
a) as coordenadas (x1, y1);
b) o valor de d.
NÚMEROS COMPLEXOS
PROF.: FÁBIO LUÍS
Após uma tacada do centro 0, a bola preta segue na
i, bate em A, indo em seguida
e parando, conforme demonstra a figura abaixo.
= a + bi, onde a bola branca teria
parado se a tacada tivesse sido dada, com a
mesma intensidade, na direção e sentido do conjugado
é um número complexo tal que z7 = 1 , z ≠ 1
+ z5 + z6
No jogo Batalha Complexa são dados
e w, chamados mira e alvo
respectivamente. O tiro certeiro de z em w é o número
w indicados na figura acima. Determine o tiro certeiro de z em w.
João desenhou um mapa do quintal
de sua casa, onde enterrou um cofre. Para isso, usou um
de coordenadas retangulares, colocando a
origem O na base de uma mangueira, e os eixos OX e OY
leste e sul-norte, respectivamente.
), nesse sistema, é a representação de
um número complexo z= x + iy , x∈R , y∈R e i2
= -1.
, y1) e a distância d do cofre à
origem, João escreveu a seguinte observação no canto
=( 1 + i )9
3a SÉRIE – E. M. NÚMEROS COMPLEXOS
PROF.: FÁBIO LUÍS
76) (UFRJ-2001-PE)
Determine o menor inteiro n≥ 1 para o qual ( )n
i+3 é
um número real positivo.
77) (UNIRIO-2009-2ªF) Na figura abaixo, os vértices A, B,
C e D do quadrado de lado 2 e centro 0 representam, no
plano de Argand-Gauss, as raízes quartas do número
complexo z.
Se o ângulo entre o segmento OA e o eixo real é de 15º,
determine, na forma algébrica, o número complexo z .
78) (UERJ – 2010- 2ª FASE) As seis soluções da equação
z6 + z
3 + 1 = 0 são números complexos que possuem
módulos iguais e argumentos distintos.
O argumento θ, em radianos, de uma dessas soluções
pertence ao intervalo
π
π,
2 .
Determine a medida de θ.
79) O holandês Escher (1898-1972) usava construções
geométricas em suas obras, como o “limite circular IV”
(fig. 1). Parte da imagem central foi ampliada e colocada
num plano de Argand-Gauss (fig. 2), com destaque para
a figura que é simétrica em relação à reta r. Supondo
z = 4 (cos75° + i sen75º), o complexo w é igual a:
(A) i322 + (B) i2222 +
(C) i232 + (D) ( ) ( )i2626 −++