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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Comportamiento Global de Curvas Integrales PVI Definici´on Una EDO de primer orden y 0 (t)= f (t, y(t)) es AUTONOMA, si el dato f no depende de la variable independiente t. Ejemplo Las siguientes EDO son autonomas ... El comportamiento cualitativo de una curva integral es uno de los aspectos mas importantes en el estudio de las EDO. Tal comportamiento es m´as f´acil de comprender cuando la EDO que estudiamos es AUTONOMA. Ejemplo. Consideremos el PVI (P 1 ) y 0 (t)= y y(x 0 )= y 0 . Primero observemos que la curva y ≡ 0 es soluci´on para la EDO considerada. Por lo tanto si y 0 = 0, el PVI correspondiente (P 0 ) y 0 (t)= y y(x 0 )=0. tiene ´ unica solici´on, a saber y ≡ 0. Observe que en este caso la soluci´on de (P 0 ) est´a definida en todo R (en este caso se dice que el intervalo maximal de definici´on de la curva integral correspondiente es todo R). Volviendo al PVI (P 1 ), el teorema de Existencia y Unicidad dice que existen dos regiones donde podemos asegurar existencia y unicidad, a saber: R 1 = {(x, y) ∈ R 2 : y> 0} y R 2 = {(x, y) ∈ R 2 : y< 0} As´ ı, si en (P 1 ) y 0 > 0, la correspondiente curva integaral para el PVI es creciente, puesto que y 0 (t) > 0. En este caso, parece claro concluir que si que si llamamos y 1 = y 1 (t) a la curva integral para (P 1 ), entonces lim t→+∞ y 1 (t)=+∞ yadem´as lim t→-∞ y 1 (t)=0. (1) En efecto, si v´ ıa variable separable buscamos la soluci´on al PVI (P 1 ), obtendremos que y(t)= k e t . Si la condici´on inicial fuese y(0) = 1, sigue que k = 1 y la ´ unica soluci´on del PVI considerado, es y 1 (t)=e t ; 1
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Ecuaciones diferenciales
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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONFACULTAD DE CIENCIAS
FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA
Comportamiento Global de Curvas Integrales PVI
Denicion Una EDO de primer orden y0(t) = f(t; y(t)) es AUTONOMA, si el dato f nodepende de la variable independiente t.
Ejemplo Las siguientes EDO son autonomas ...
El comportamiento cualitativo de una curva integral es uno de los aspectos mas importantesen el estudio de las EDO. Tal comportamiento es mas facil de comprender cuando la EDO queestudiamos es AUTONOMA.
Ejemplo. Consideremos el PVI
(P1)
y0(t) = yy(x0) = y0:
Primero observemos que la curva y 0 es solucion para la EDO considerada. Por lo tanto siy0 = 0, el PVI correspondiente
(P0)
y0(t) = yy(x0) = 0:
tiene unica solicion, a saber y 0. Observe que en este caso la solucion de (P0) esta denidaen todo R (en este caso se dice que el intervalo maximal de denicion de la curva integralcorrespondiente es todo R).
Volviendo al PVI (P1), el teorema de Existencia y Unicidad dice que existen dos regiones dondepodemos asegurar existencia y unicidad, a saber:
R1 = f(x; y) 2 R2 : y > 0g y R2 = f(x; y) 2 R2 : y < 0gAs, si en (P1) y0 > 0, la correspondiente curva integaral para el PVI es creciente, puesto quey0(t) > 0. En este caso, parece claro concluir que si que si llamamos y1 = y1(t) a la curvaintegral para (P1), entonces
limt!+1
y1(t) = +1 y ademas limt!1
y1(t) = 0: (1)
En efecto, si va variable separable buscamos la solucion al PVI (P1), obtendremos que
y(t) = k et:
Si la condicion inicial fuese y(0) = 1, sigue que k = 1 y la unica solucion del PVI considerado,es
y1(t) = et;
1
-
como es sabido, en este caso, la graca de la curva integral es:
Observe que si la condicion inicial es tal que y0 < 0, entonces la curva integral es siempredecreciente; por ejemplo, si
(P1)
y0(t) = yy(0) = 1:
entonces la correspondiente curva integral es y1(t) = et; en este caso la condicion (1), setransforma en
limt!+1
y1(t) = 1 y ademas limt!1
y1(t) = 0:
La graca de la curva integral es
2
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Observacion: A la vista del ejemplo que sigue, el comportamiento cualitativo de las curvasintegrales puede variar \demasiado" en problemas que pareceiran ser similares.
Ejemplo 2 Consideremos el PVI
(P2)
y0(t) = y2
y(1) = 1
Observe que la funcion trivial y 0 satisface la EDO dada; sin embargo ella no satisface lacondicion inicial y(1) = 1.
De otra parte, es facil ver que y(t) = 1ct donce c es una constante real arbitraria satisface la
EDO considerada; ademas, si queremos que y(1) = 1, debe tenerse que c = 2. As, la funcion
u(t) = 12t .
satisface el PVI considerado. Observe que en este caso la curva integral u = u(t) esta denidaen ]1; 2[ y resulta que
limt!2
u(t) = +1;esto es , la curva integral \explota" rapidamente, en contraste con el ejemplo 1. Ademas,observe que limt!1 u(t) = 0: La gr"aca de la curva integral en este caso, es:
Ejercicio: Compare la ultima graca con la curva integral del PVI (P1) del Ejemplo 1.
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