Coleccion PuntoAparte LasEstructurasDeTensegrity

Las estructuras de Tensegrity

Juan Manuel Hoyos Mora

A lo largo de la historia de la arquitectura el problema de la separación de esfuerzos en las estructuras, disminuyendo material y peso, para aumentar su eficiencia ha sido una constante preocupación. En el último siglo se han adelantado tecnologías en este sentido, logrando que los materiales trabajen de manera más apropiada de acuerdo con su forma y cualidades. Ciertas estructuras se han desarrollado más que otras (reticulados, cáscaras, membranas), Otras han tenido pocas aplicaciones (tensegrity abierto), y otras como el tensegrity cerrado, no ha tenido casi ninguna aplicación arquitectónica concreta por falta de investigación en el tema enfocada a la arquitectura.

Mediante la elaboración de modelos estructurales a escala se analiza su proceso constructivo, configuración geométrica, comportamiento estructural y dinámico. Las nuevas tecnologías constituyen una herramienta indispensable en este tipo de investigaciones.

Este trabajo ha sentado las bases para futuras investigaciones demostrando la aplicabilidad y versatilidad de las estructuras tensegrity cerrado.

Juan Manuel Hoyos Nació en Bogotá y es arquitecto de la Universidad Nacional de Colombia, este trabajo de grado mereció la mención de “laureado” bajo la tutoría de la profesora Maria Claudia Villate. Ha participado en el grupo de investigación de morfología estructural. Actualmente adelanta la maestría “Tecnología en la arquitectura” en la Universidad Politécnica de Cataluña en la ciudad de Barcelona.

Colección Punto ApartePunto Aparte es la colección que abre la puerta a las publicaciones de las tesis de posgrado de la Facultad de Artes y en general del área de las Artes de la Universidad Nacional de Colombia, y cierra un ciclo que inicia con la consolidación de un amplio número de programas de posgrado en todas la áreas de estudio, desde variados programas de especialización y maestría hasta el doctorado en Arte y Arquitectura. Escribir para Punto Aparte es entonces una posibilidad que tienen los estudiantes de los programas de posgrado de mostrar al público el trabajo que durante dos o más años han desarrollado a partir de sus reflexiones y del diálogo académico con profesores y estudiantes. Es una invitación a hacer parte de éste diálogo académico en el cual se debaten y argumentan muchos puntos de vista con el único objetivo de construir por medio del arte, una sociedad más igualitaria.

Juan Manuel Hoyos


Las estructuras de Tensegrity constituyen una alternativa para la arquitectura al permitir nuevas posibilidades espaciales, en gran medida por su capacidad para vencer luces grandes con estructuras de poco peso. Por esta razón el grupo de investigación en Morfología estructural en la Universidad Nacional, del cual forma parte Juan Manuel Hoyos, ha profundizado en el estudio del tensegrity, especialmente en su aplicabilidad arquitectónica.

Este trabajo de investigación realizado se ha convertido en documento obligado de consulta por estudiantes de arquitectura, y sus conclusiones han servido de base para posteriores trabajos de fin de carrera. Es por esto que su publicación constituye un merecido reconocimiento a la importancia de este documento desde el punto de vista formativo, al poner al alcance de un grupo mayor de estudiantes y arquitectos los conceptos básicos necesarios para el desarrollo y aplicación de estas estructuras.

María Claudia Villate

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Juan Manuel Hoyos Mora


© Juan Manuel Hoyos Mora, 2009© Universidad Nacional de Colombia© Facultad de Artes. Sede Bogotá Colección “Punto Aparte” Primera edición,junio de 2009 Impreso y hecho en Colombia ISBN: 978-958-719-209-4

La Facultad de Artes no se responsabiliza por las ideas emitidas por los autores.

Todos los derechos reservados.Esta publicación no puede ser reproducida ni total ni par-cialmente, ni entregada o transmitida por un sistema de re-cuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sin el permiso previo del autor.

Rector: Moisés Wasserman Lerner Vicerrector Sede Bogotá: Fernando Montenegro Lizarralde Decano Facultad de Artes: Jaime Franky RodríguezDirector Centro de Divulgación y Medios: Alfonso Espinosa Parada

Tesis en Atquitectura. Dirección de tesis: Maria Claudia Villate. Diseño de identidad: Camilo Páez Diseño: Clara Forero y Ángela García Corrección de estilo: Javier Correa Correa.

Catalogación en la publicación Universidad Nacional de Colombia

Hoyos Mora, Juan Manuel, 1976- Las estructuras de tensegrity / Juan Manuel Hoyos – Bogotá : Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Artes, 2008 158 p. (Punto aparte) ISBN : 978-958-719-209-4

Presentada originalmente como la tesis del autor (Arquitecto, Universidad Nacional de Colombia, 2001) bajo el título : Tensegrity : estudio de posibilidades arquitectónicas de las estructuras tensegrity cerrado

1. Estructuras de tensegridad 2. Teoría de las estructuras 3. Estructuras espaciales I. Tít II. Ser.

CDD-21 721 / 2009


[6]

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Introducción

UNO. FundamentosConceptos básicosAntecedentes Geometría espacialGeometría fractal

DOs. MorfologíaMódulos tensegrityAgrupaciónOpciones de movimiento y/o plegado.

TREs. AplicabilidadLa escala Construcción Aproximaciones arquitectónicas

Anexo: proceso constructivo de tensegrity en guaduaConclusionesGlosario

Biblografía


Intr

oduc

ción

[


A lo largo de la historia de la arquitectura, la separación de esfuerzos en las estructuras, para disminuir la cantidad de material y peso y aumentar su eficiencia ha sido una constante preocupación. En el último siglo se han adelantado tecnologías en este sentido, logrando que los materiales trabajen de la mane-ra más apropiada de acuerdo con su forma y cualidades. Ciertas estructuras se han desarrollado más que otras, como es el caso de los reticulados planos (cerchas), espaciales, las cáscaras de concreto, las membranas. Otras, han tenido pocas aplicaciones, como los tensegrities abiertos; y otras, como las estructuras re-cíprocas y los tensegrities cerrados, no han tenido casi ninguna aplicación arquitectónica concreta por falta de investigación en el tema enfocada a la arquitectura.

Actualmente, en el ámbito mundial no se tiene claridad en aspectos fundamentales acerca de este sistema estructural, como son: su definición, clasificación, aplicación, quién los in-ventó...etc. Fuller los llamó “Tensegrity”; Snelson, “compresión flotante”, y Emmerich, “sistemas auto-tensionantes”. Aun cuan-do cada cual da un enfoque distinto y lo nombra diferente, acor-de con su oficio, siempre se trata del mismo sistema estructural. Cada uno, además, se considera su inventor. Hasta este punto de desarrollo del tensegrity cerrado no se tiene información al-guna de planteamientos arquitectónicos integrales construidos, sino tan solo algunas propuestas aisladas que no alcanzan el nivel de proyecto arquitectónico.

Otro tema que guarda estrecha relación con las estruc-turas livianas es el de la movilidad y adaptabilidad de la arquitec-tura, en un mundo que exige cada vez más aportes y avances tecnológicos, que nos permitan lograr mayor eficiencia, energética, reciclabilidad, versatilidad y confort en nuestros planteamientos arquitectónicos.

El trabajo busca avanzar en el conocimiento de las es-tructuras tensegrity, mostrar sus posibilidades, restricciones y al-cances, proponiendo aplicaciones que las conviertan en una op-ción válida y factible de hacer arquitectura. Para esto se parte de un análisis geométrico, formal y estructural, proponiendo posibi-lidades de movimiento y plegado de manera que se establezcan criterios básicos en cuanto a su configuración y funcionamiento.


8[juanmanuelhoyosmoRa

laes estructuras de Tensegrity

También se plantea una aproximación a la ejecución de este tipo de estructuras con un análisis de materiales, y detalles de unio-nes para ciertas propuestas planteadas.

Este trabajo hace parte de una serie de investigaciones en el área tecnológica del departamento de construcción, con el que se espera generar interés en los estudiantes de arquitectura, e incluso en los profesionales, para promover la profundización en estos temas y su materialización.

ObjetivOsGeneral

Avanzar en el conocimiento de las estructuras tensegri-ty, mostrar sus posibilidades, restricciones, alcances y proponer aplicaciones arquitectónicas que las conviertan en una opción válida y factible para hacer arquitectura.

Específicos- Explorar y analizar los fundamentos teóricos del tensegrity, a

nivel geométrico, estructural y constructivo, y el avance logra-do hasta el momento en esta tecnología.

- A partir de la elaboración de modelos de tensegrities y de su abstracción geométrica, analizar las posibilidades formales y de agrupación.

- Establecer los criterios básicos que permitan la plegabilidad de los tensegrities, y proponer algunas posibilidades.

- Identificar y proponer los materiales que permitan la realiza-ción de los tensegrities propuestos de manera óptima, identi-ficando sus cualidades y restricciones.

- Realizar varias propuestas arquitectónicas a manera de apli-cación en tensegrity.


uno

Fund

amen

tos

[


11[Fundamentos

COnCeptOs básiCOsDefinición

El término tensegrity fue propuesto por el inventor ale-mán R. Buckminster Fuller al patentar en noviembre de 1959 las “Tensile-Integrity Structures”. Tensegrity es la conjunción de las palabras tensional integrity (integridad de tensiones); sin embar-go, en la actualidad no se ha establecido con absoluta claridad cuándo un sistema es tensegrity o no, y su definición está todavía en discusión. Fuller dice:

“Todas las estructuras, debidamente entendidas, desde el sistema solar hasta el átomo son estructuras tensegrity” (Fuller, 1975).

En el sistema solar existen unos elementos de masa (compresión) vinculados en el interior por energía en la perife-ria (tracción). Su funcionamiento es el mismo del tensegrity; no obstante, en la práctica resulta inmanejable pensar que todo es tensegrity. El mismo Fuller más adelante dice:

“Las estructuras neumáticas son puramente tensegrities” (Idem).

Aquí la disociación del trabajo estructural, compresión interna y tensión externa es clara y se asemeja mucho más al fun-cionamiento de los tensegrities. Sin embargo, las estructuras neu-máticas y los tensegrities son sistemas estructurales diferentes,

Figura 1. Fuller synergetics 641.01.




básicamente por la forma y distribución de sus elementos cons-titutivos. Y, finalmente, los define así:

“Los tensegrities describen el principio de relación estruc-tural en el cual la estabilidad de la forma se mantiene gra-cias a la continuidad de un sistema a tracción, mas no por el comportamiento aislado de elementos a compresión... En el tensegrity hay una confluencia de factores de óptimo traba-jo estructural” (Idem).

Otra aproximación es la de R. Conelly y A. Black en “Mathematics and tensegrity”, en el cual asocian la manera como trabajan en el rango elástico las telarañas (redes de cables) y los tensegrities, y su respuesta ante las deformaciones. Mencionan la ley de Hooke:

deformación = carga/módulo de elasticidady la convierten en términos de energía, al plantear que:

“la energía requerida para deformar cada cable es propor-cional al cuadrado de la longitud total de cables” (Conelly y Allen, 1998).

De esta manera asocian el trabajo estructural de los tensegrities y lo califican como “super estable” teniendo en cuen-ta que la red exterior de los tensegrities tiene los mismos esfuer-zos y se deforma igual que las mallas de cables (telarañas).

Figura 2. Telaraña. Figura 3. Tensegrity en dos dimensiones.


13[Fundamentos

Todo esto con la diferencia de que las telarañas no poseen elementos a compresión como los tensegrities; en ese caso, los apoyos externos de las telarañas estarían prestando la función de las barras del tensegrity. Además, el carácter estricta-mente espacial de los tensegrities los distingue de las mallas que pueden inscribirse dentro de una superficie.

Teniendo en cuenta lo anterior, se ha sintetizado la si-guiente definición:

Tensegrity: es una malla espacial de cables, rigidizada por elementos aislados sometidos a compresión.

Clasificación generalSe dividen en abiertos y cerrados:

AbiertosRequieren, para su estabilización y rigidez, elemen-

tos externos adicionales a los propios del tensegrity, como son: mástiles, anillos, tensores adicionales, cimentaciones con gran-des pesos muertos para ser sometidas a tracción, etc.

Todavía está en discusión si estas estructuras se deben considerar tensegrities, ya que no están enmarcadas claramente dentro de la definición. Sin embargo, la mayoría de aplicaciones en arquitectura pertenecen a este tipo.

Figura 4. Tensegrity abierto.




CerradosConservan su forma gracias a cierta disposición de

sus elementos a compresión y tracción, que los hacen “auto-tensionantes”1, es decir que estos esfuerzos se resuelven dentro del mismo sistema y no requieren elementos adicionales a las barras y los tensores.

En adelante me referiré exclusivamente a éstos.

Restricciones y requisitosConfiguración espacial

1D: es posible hacer la analogía de un tensegrity de una dimensión, conformando una estructura de dos elementos dispuestos sobre un eje que trabajen uno comprimido y otro traccionado. Este es el caso de las vigas post o pre-tensadas, en las que se aprovecha al máximo la resistencia del concreto a la compresión y del acero a la tracción.

2D: de la misma manera se puede aplicar el concep-to en dos dimensiones colocando dos barras articuladas, como una tijera, uniendo los extremos con tensores. De esta manera se logra un sistema estable e indeformable que separa los esfuer-zos de tracción y compresión.

1 Término propuesto por David Georges Emmerich. Ver capítulos 1, 2, 3.

Figura 5. Tensegrity cerrado.

Figura 6. Una dimensión.


15[Fundamentos

3D: sin embargo, el tensegrity tiene como requisito in-dispensable el de ser tridimensional, ya que es la única manera de aislar los elementos a compresión entre sí. El mundo en que vivimos se rige por las leyes de las tres dimensiones y cualquier sistema lineal o plano tiene problemas de rigidez ante cargas per-pendiculares a su eje o a su plano; de esta manera, un trabajo estructural óptimo se logra estudiando la geometría del sistema en tres dimensiones y proponiendo estructuras espaciales que diso-cien tracción de compresión y aprovechen esta virtud estructural.

NudosCada barra debe estar sometida a compresión por mí-

nimo tres tensores en cada extremo, de tal manera que la fuerza resultante generada por los tensores corresponda con la direc-ción de la barra. El ángulo ideal para los tensores al proyectarlo en un plano es de 120º.

El esfuerzo de tracción que está soportando un cable depende de los ángulos entre él mismo y los otros tensores, y entre él y la barra o barras, así:

El esfuerzo es directamente proporcional a la sumatoria de los ángulos adyacentes al tensor, es decir que entre más aleja-dos se encuentren los cables adyacentes mayor es el esfuerzo.

Del mismo modo, el esfuerzo es directamente propor-cional al ángulo entre el tensor y la barra.

Figura 7. Dos dimensiones.

Figura 8. Tres dimensiones.




En los nudos en los que existen barras articuladas solo son necesarios dos tensores para transmitir las fuerzas por las barras.

Figura 9. Nudos barras y tensores.


17[Fundamentos

BarrasLas barras pueden sufrir falla por pandeo, por lo cual

se recomienda que su sección transversa sea mayor en el me-dio, preferiblemente huecas para concentrar el material en la pe-riferia y disminuir el radio de giro.

Cuando las barras, además de los tensores de los extremos, poseen tensores intermedios (que lógicamente no introduzcan flexión en el elemento) las condiciones de pandeo cambian, por lo cual la sección del elemento también varía.

En el caso A, la longitud de pandeo será igual a la lon-gitud del elemento (L), y la sección transversal se puede aproxi-mar a L/12.2

En el caso B, la longitud de pandeo del elemento varía en el eje “y”, es ahora la mitad (L/2), porque tiene dos tensores que restringen el pandeo en este plano; en el eje “x” la longitud de pandeo es la misma (L). Así, en el eje “y”, la sección transver-sal corresponde a (L/2)/12 = L/24.

En “x” las condiciones no cambian; siendo la longitud de pandeo L, la sección transversal es L/12.

TensoresLos elementos a tracción deben pre-tensionarse, hasta

que el material se elongue lo necesario y pueda desarrollar la resistencia requerida y evitar deformaciones no deseadas en el sistema.

El uso de tensores elásticos puede generar cierta ines-tabilidad formal (ver glosario), no otorga rigidez en el sistema ante cargas y permite grandes deformaciones. El tema de su aplicación a gran escala en arquitectura queda planteado para ser investigado, ya que existen algunas tipologías de tensegrity que requieren de elasticidad controlada de los tensores para po-der generar movimientos y/o plegabilidad.

2 Este es un valor aproximado que puede variar según el material y esfuerzo.




AnteCedentes

Buckminster FullerFue el primero en idear los tensegrities como sistema

estructural, dentro de su investigación geométrica y filosófica acerca de la sinergia. La sinergia (síntesis - energía) busca gene-rar sistemas en donde “la totalidad es mucho más que la suma-toria de sus partes” (Edmondson, 1987).

A partir de la exploración de la manera de separar los es-fuerzos de compresión y tracción, Fuller llegó a la conclusión teó-rica de generar una malla continua de cables, junto a una serie de elementos a compresión, de tal manera que estos últimos fueran cortos, mientras que los tensores no tuvieran límites de longitud.

El trabajo inicial estuvo enfocado a la construcción de domos geodésicos, logrando vencer la barrera de la escala en este tipo de estructuras; así se podrían construir domos de cual-quier dimensión.

Pronto se generaron otras tipologías a partir de las aris-tas, lados y diagonales de diferentes poliedros.

Figura 10. Richard Buchminster Fuller.


19[Fundamentos

Kenneth SnelsonBajo la inspiración de Buckminster Fuller y Joseph Al-

bers durante un curso en la universidad de “Black Mountain” en Carolina del Norte, Kenneth Snelson fue el primero en elaborar un modelo de tensegrity cerrado. Muchos autores como Tony Robins, Anthony Plug, Karl Erickson, John Braley lo catalogan como su inventor. El mismo Snelson afirma que Fuller se apoderó de su idea acuñando el nombre de “Tensegrity” al modelo que elaboró.

Figura 11. Esculturas Tensegrity de Kenneth Snelson.




El primer modelo de tensegrity lo llamó “compresion flo-tante”, en el cual unas barras se sostenían en el aire sin tocarse debido a la compresión ejercida por una malla de cables externa. Este ha sido el principio a partir del cual ha trabajado Snelson.

Sus esculturas evidencian el planteamiento de elemen-tos aislados a compresión y una red continua a tracción en la que es clara la eficiencia estructural que se desarrolla en cuanto a ahorro de material y reducción de cargas.

Snelson ha sido de los pocos en desarrollar este sis-tema estructural a escala humana y su principal difusor en todo el mundo.

Las estructuras tensegrity de Snelson son recorribles en un primer piso, mas no en niveles superiores; es decir que sola-mente soportan su peso propio, consistente en barras y tensores, y tampoco tienen cerramiento alguno.

Exploraciones más recientes se enfocan al átomo, cuya relación con los tensegrities es muy grande y había sido planteada por Fuller anteriormente; Snelson toma el magnetismo como medio para generar tensión o atracción entre los elemen-tos. En este caso los elementos a compresión se localizan en la periferia, y son atraídos o traccionados hacia el interior.

David Georges Emmerich(1925-1996). Arquitecto e ingeniero francés, represen-

tante de los estudios de morfología estructural en arquitectura. De-sarrolló los tensegrity de manera paralela a Fuller y Snelson, y los denominó estructuras “auto-tensionantes” (“autotendantes”) en 1958, en las cuales “tracción y compresión se equilibraban para formar una configuración poliédrica ligera indeformable y autoes-table, preludio para una arquitectura sin cimentación, desarrollada a partir de la combinación geométrica de sus componentes.

El principio de estas estructuras autotensionantes es el de la “morfogénesis”: las formas son unos “seres geométricos en el espacio” que se organizan según sus propias leyes. Su auto constitución se desenvuelve dentro del principio de la auto-construcción y la utopía de una sociedad dentro de la cual cada uno podría construir su propio hábitat. En fin, sus investigacio-nes llaman a profundizar su equivalencia con la práctica artística


21[Fundamentos

contemporánea, orientada a las investigaciones minimales, modulares y seriales de la forma” (Emmerich).

Tiene una posición no moderna: “el poder se ha au-sentado de los castillos, concentrándose en la industria de don-de vienen ahora nuestras modernas habitaciones urbanas: unas máquinas para habitar según una utilización optima del espacio,

Figura 12. Modelos tensegrity de David Georges Emmerich.




la vegetación y la luz. En contraste a esta expansión técnica, las maquetas de Emerich son contemporáneas pero no modernas: más que ser productos funcionales son “Auto tensionantes”. Ellas se pueden recoger y desplegar, transportarse: un nomadis-mo abierto a múltiples culturas.

Estos trabajos tienen muchas posibilidades para un nuevo arte de ocupar el espacio más por el deseo de construir e instalarse en cualquier lugar que por el deseo de poseer”.

Kwan y PellegrinoIntroducen el concepto de cables pasivos y activos, el cual

hace referencia a la posibilidad de aumento de longitud de los ca-bles activos con el propósito de generar inestabilidad en el sistema y hacerlo plegable hacia un plano. Y además estudian la posibilidad de plegado mediante el acortamiento de las barras, lo que ofrece una disminución mucho mayor del volumen del tensegrity plegado. Esto sugiere otra manera de aplicar las cualidades de liviandad de los tensegrities para hacerlos retráctiles y/o transportables.

Mouard Bouderbala y René MotroDe la escuela de arquitectura de Languedoc-Roussi-

llon en Montpellier, proponen dos modos de plegar los tense-grities aplicando el concepto de “cables pasivos y activos” de

Figura 13. Sergio Pellegrino.Figura 14. Tensegrity desplegable R.


23[Fundamentos

Kwan y Pellegrino, alargando los tensores. Desarrollan el sistema de alargamiento de los tensores para dos tensegrities: dipirámi-de de base cuadrada (diagonales) y cubo construido por sus aristas. En las figuras se muestra la plegabilidad de tensegrities agrupados linealmente (mástil) y de la agrupación en un plano. Mediante la elongación de los tensores se obtiene la inestabili-dad del sistema y su plegamiento en un plano. Un inconveniente es que la cantidad de cables activos es igual a la de módulos agrupados.

GeOmetríA espACiAl

Definiciones básicasPoliedro: sólido conformado por caras planas. Es cón-

cavo cuando el volumen se situa a un mismo lado del plano de cualquiera de sus caras. Las intersecciones entre las caras se llaman aristas, y el punto en el cual se tocan las aristas se llama vértice. Son poliedros:

Prismas y antiprismas infinitosPirámides, dipirámides y deltoedros infinitosSólidos platónicos 5Sólidos arquimédicos 13Sólidos catalanes 13Sólidos de Johnson 92

Figura 15. Cuboctaedro.




Hipersólidos: son los sólidos de cuarta dimensión. Son 6: hipertetraedro, hipercubo, hiperoctaedro, hiperdodecae-dro, hipericosaedro e hipercuboctaedro.

Ángulo poliedro: es la sumatoria de los ángulos de las aristas que confluyen en un vértice. En los sólidos convexos este ángulo siempre es menor de 360o. Al desarrollar en un plano estas caras el ángulo formado por las aristas que no se tocan es el faltante que, sumado al ángulo poliedro (o diedro), da 360o.

El ángulo poliedro del icosaedro es 300o, faltan 60o para ser plano.

Cuando el ángulo poliedro es 360o se tiene un plano. Si éste es mayor de 360o se tiene una superficie anticlástica, no desarrollable en un plano con curvatura en sentidos opuestos.

Teorema de Euler: en todo poliedro convexo el núme-ro de las caras C más el número de vértices V es igual al número de aristas A mas dos.

C + V = A + 2

Nomenclatura: el prefijo tiene raíz griega, y se refiere a la cantidad de caras que tiene el sólido.Tettares tetra tresHexa hexa seisDodeka dodeca doceEikosa icosa veinteOkto octa ocho

Figura 16. Icosaedro. Figura 17. Ángulo poliedro.


25[Fundamentos

El sufijo edro viene del griego hedra, que significa cara o base. El sufijo kis significa el número de subdivisiones ya sea de una cara o de una arista así un “dodecaedro pentakis” con-siste en dividir en 5 las 12 caras del dodecaedro dando como resultado 60 caras de triángulos isóceles.

Truncación: procedimiento a través del cual se corta un polígono o sólido, bien sea por un vértice o por una arista.

Estelación: en dos dimensiones es el procedimiento mediante el cual se le coloca un triángulo sobre cada uno de los lados de un polígono. En tres dimensiones consiste en la colo-cación de una pirámide sobre las caras de un poliedro.

Figura 18. Dodecaedro pentakis.

Figura 19. Cubo truncado.

Figura 21. Pentágono truncado

Figura 20. Cubo estelado

Figura 22. Pentágono estelado




Frecuencia: consiste en la división de los lados de un polígono y su proyección en un círculo.

O bien en la división de las caras de un sólido (po-liedro) y su proyección en una esfera, cuando se trata de tres dimensiones.

O también en la división de los volúmenes de un hiper-sólido y su proyección en una hiperesfera.

Primera frecuencia Segunda frecuencia Tercera frecuencia

Dualidad: es la particular correspondencia entre el nú-mero de caras con el número de vértices en dos poliedros. Es decir que cada centro de cada cara de un sólido constituye un vértice del poliedro dual.

Son duales:

El cubo y el octaedro

Figura 23. Frecuencia.

Figura 24. Dualidad.


27[Fundamentos

Los sólidos catalanes son los duales de los sólidos ar-quimédicos.

Figura 25. El dual del tetraedro es él mismo

Figura 26. El dodecaedro y el icosaedro

Figura 27. Las dipirámides son duales de los prismas

Figura 28. Los deltoedros son duales de los antiprismas

El dual del tetraedro es él mismo

El dodecaedro y el icosaedro

Las dipirámides son duales de los prismas

Los deltoedros son duales de los antiprismas




Prismas y antiprismasLos prismas son poliedros conformados por dos po-

lígonos iguales, llamados bases, situados en planos paralelos, unidos por paralelogramos que conforman las caras laterales del prisma. Al extruir un polígono regular se obtiene un prisma.

Al extruír el mismo polígono y además rotarlo se ob-tiene un antiprisma, que puede tener caras planas (triángulos) o alabeadas (paraboloides hiperbólicos).

Pirámides y dipirámidesLas pirámides son sólidos que tienen por base un po-

liedro cualquiera y, siendo sus caras triangulares, se juntan en un solo punto llamado vértice. Al unir dos pirámides por el polígono de base el sólido resultante es una dipirámide.

La apotema es la línea perpendicular a uno de los la-dos de la base desde el vértice de la pirámide.

Son regulares cuando la base es un polígono regular y las caras laterales son triángulos isósceles iguales.

Figura 29. Prismas

Figura 30. Antiprismas

Figura 31. Pirámides y dipirámides


29[Fundamentos

Sólidos platónicosSon aquellos cuyas caras están constituidas por un

solo poliedro regular (todas las aristas tienen la misma longitud). Son 5:

1. Tetraedro (3,3) tres triángulos por vértice2. Cubo (Hexaedro) (4,3) tres cuadrados por vértice3. Octaedro (3,4) cuatro triángulos por vértice4. Icosaedro (3,5) cinco triángulos por vértice5. Dodecaedro (5,3) tres pentágonos por vértice

Tetraedro Cubo Octaedro Icosaedro Dodecaedro

Poliedro Caras Aristas VérticesÁngulo Poliedro

Tetraedro 4 6 4 180° 3 x 360°

Cubo 6 12 8 270° 3 x 90°

Octaedro 8 12 6 240° 4 x 60°

Icosaedro 20 30 12 300° 5 x 60°

Dodecaedro 12 30 20 324° 3 x 108°

Figura 32. Sólidos platónicos




Sólidos arquimédicosAquellos cuyas caras están constituidas por polígonos

regulares diferentes. Surgen de la truncación parcial y total de los vértices y aristas de los sólidos platónicos. Dependiendo del número de aristas que lleguen a un vértice se determina el nú-mero de lados del polígono o cara adicional. Los nombres de los sólidos arquimédicos fueron propuestos por Johannes Kepler, así como el de los prismas y antiprismas. Son en total 13 y su obtención se logra a través de 4 métodos: truncación parcial, total, doble y snubbing.Truncación parcial de los sólidos platónicos

Se truncan los vértices de los sólidos platónicos, de tal manera que el sólido quede conformado por dos polígonos regulares y aristas de la misma longitud. Son cinco:

Tetraedro truncado

Cubo truncado

Octaedro truncado

Icosaedro truncado

Dodecaedro truncado

Figura 33. Truncación parcial de los Sólidos arquimédicos.


31[Fundamentos

Truncación completa de los sólidos platónicosSon solo dos, ya que de la truncación completa del

cubo y el octaedro se llega al mismo sólido: el cuboctaedro. Lo mismo sucede con el dodecaedro y el icosaedro, que confor-man el icosidodecaedro. La truncación total del tetraedro es el octaedro.

Poliedro Caras Aristas VérticesÁngulo Diedro

Tetraedro truncado 8 18 12 300°

Cuboctaedro 14 24 12 300°

Octaedro truncado 14 36 24 330°

Cubo truncado 14 36 24 330°

Rombicuboctaedro 26 48 24 330°

Cuboctaedro truncado 26 72 48 345°

Icosidodecaedro 32 60 30 336°

Icosaedro truncado

32 90 60 348°

Dodecaedro truncado 32 90 60 348°

Cubo SNUB 38 60 24 330°

Romb-icosidodecaedro 62 120 60 348°

Icosidodecaedro truncado

6 180 120 354°

Dodecaedro SNUB 92 150 60 348°

Cubocaedro

Inscrito en un cubo Inscrito en un octaedro

Icosidodecaedro

Figura 34. Truncación completa de los Sólidos arquimédicos.




Doble truncación de los sólidos platónicosSe truncan parcial o totalmente el cuboctaedro y el ico-

sidodecaedro. Si la truncación es total se le antepone el prefijo “rombi...”; si la truncación es parcial se le antepone “gran rom-bi...”, o simplemente el nombre del sólido más la palabra trunca-do. Así se obtienen cuatro sólidos más:

De la truncación parcial el cuboctaedro truncado y el icosidodecaedro truncado.

Cuboctaedro truncado


Figura 35. Doble truncación de los Sólidos arquimédicos.


33[Fundamentos

Y de la truncación total el rombicuboctaero y el rombi-cosidodecaedro.

SnubbingSe obtiene a través de la rotación de las caras del te-

traedro, el cubo y el octaedro, de tal manera que cada polígono correpondiente a cada cara queda rodeado de triángulos

Rombicuboctaero

Rombicosidodecaedro

Cubo snub

Izquierdo Derecho

Dodecaedro snub

DerechoIzquierdo

Figura 36. Doble truncación de los Sólidos arquimédicos.

Figura 37. Snubbing.




Sólidos catalanesSon los duales de los arquimédicos, 13 en total:

Tetraedro triakis Cubo tetrakis

Dodecaedro rómbico

Octeaedro triakis

Icositetraedro trapezoidal

Octaedro exakisFigura 38. Sólidos catalanes.


35[Fundamentos

Octaedro exakis

Sólido Arquimédrico

Sólido Catalán Caras Aristas Vértices

Tetraedro truncado Tetraedro triakis 12 18 8

CuboctaedroDodecaedro róm-bico

12 24 14

Octaedro truncado Cubo Triakis 24 36 14

Cubo truncado Octaedro triakis 24 36 14

RombicuboctaedroIcositetraedrotra-pezoidal

24 48 26

Cuboctaedro truncado

Octaedro hexakis 48 72 26

IcosidodecaedroTriacontaedro rómbico

30 60 32


Dodecaedropentakis

60 90 32

Dodecaedro truncado

Icosaedro triakis 60 90 32

Cubo SNUBIcositetraedro pentagonal

24 60 38

Rombicos idode-caedro

Hexacontaedro teapezoidal

60 120 62


Icosaedro hexakis 120 180 62

Dodecaedro SNUBHexacontaddro pentagonal

60 150 90




Triacontaedro rómbico

Icositetraedo pentagonal

Dodecaedro pentakis

Hexacontaedro trapezoidal

Icosaedro triakis

Icosaedro hexakis

Hexacontaedro pentagonalFigura 39. Sólidos catalanes.


37[Fundamentos

GeOmetríA frACtAlEl término fractal fue propuesto por el matemático fran-

cés Benoit Mandelbrot en la década de 1970, y se deriva del verbo latino frangere, que significa romper.

A comienzos del siglo XX, el matemático Hausdorff in-trodujo un concepto antiguo, “la dimensión”, planteando que no solamente existían 1, 2 y 3 dimensiones, sino que había dimen-siones intermedias, no enteras, para ciertos conjuntos. En 1974, con la reciente aparición de las computadoras, Mandelbrot reto-mó el estudio de Hausdorf y de otros como Henri Poincaré, Pierre Fatou y Gastón Julia, para introducir las complicadas fórmulas propuestas a comienzos de siglo. Como resultado de esta in-vestigación surge la denominada geometría fractal, que plantea sustanciales diferencias con la geometría euclidiana.

Un fractal se forma gracias a la aplicación de una fór-mula o patrón en un objeto, por infinito número de veces (itera-tivamente), de manera que genera una mutación en el mismo, dependiendo del grado de iteración a que se llegue. Esta fórmula permite que se cumpla el principio de la autosemejanza, que puede darse cada cierto número de iteraciones o bien en cada una de ellas.

Figura 40. Geometría fractal.




Una peculiaridad de los objetos fractales es que su área es un valor conocido pero su perímetro es infinito. El ejemplo clásico es preguntarse cuánto mide el perímetro de una isla. De-pendiendo de la escala a que se mire, el valor varía. A medida que nos acercamos y medimos con más detalle encontramos que las distancias se hacen cada vez mayores y tienden al infi-nito. Experimentos que se han hecho al iterar un fractal muchas veces llegan a la conclusión de que su área aumenta hasta cierta iteración a partir de la cual es constante, mientras que el períme-tro sigue aumentando de manera infinita.

Otra característica es la dimensión fractal de estos ob-jetos, que se trata más adelante en el capítulo de agrupación.

Estos entes geométricos han servido para explicar mejor las estructuras de la naturaleza y su funcionamiento, ya que éstas funcionan de manera conjunta, es decir que guardan una estrecha relación entre ellas de manera que una depende de otra, y así todo tiene relación con todo. Así, el término fractal puede ser sustantivo en tanto es una parte, una fracción de algo; o adjetivo en tanto está fraccionado en n número de partes.

Si nuestra arquitectura quiere partir de la observación de la naturaleza, un camino interesante por analizar e introducir en el oficio es el de la fractalidad.

Figura 41. Conjunto de Mandelbrot.


39[Fundamentos

ConclusionesTensegrity es una malla espacial de cables, rigidizada

por elementos aislados sometidos a compresión. Hay separa-ción total de estos dos esfuerzos opuestos.

La manera más económica de transmitir esfuerzos es a través de elementos a tracción; por tal razón, la virtud estructural del tensegrity se logra gracias a la gran cantidad de cables a tracción y pocos elementos a compresión.

Las ventajas del tensegrity se aprecian más en los ten-segrity cerrados, ya que éstos conforman una unidad estructural autónoma que se autocomprime y autotensa en cualquier posi-ción de manera independiente a la gravedad.

Requisito indispensable para aislar elementos a trac-ción y compresión es la tridimensionalidad.

Fuller patenta en 1959 las estructuras tensegrity (ten-sional integrity).

K. Snelson, un alumno ocasional de Fuller, estudiante de artes, elabora los primeros modelos de tensegrity.

D. G. Emmerich, francés, patenta en 1958 las estructuras “autotensionantes”, que en esencia son los mismos tensegrity.

La única manera de entender la configuración espacial de las estructuras es a partir de la geometría espacial.

Existen cinco sólidos regulares llamados platónicos. A partir de la truncación de éstos se obtienen los 13 semi-regulares o arquimédicos. Los duales de esos últimos son los sólidos ca-talanes, también 13. A través de su manipulación se llega a los sólidos de Johnson, que son 92.

Desde su invención se han realizado investigaciones en el tema y propuestas teóricas, pero casi ninguna aplicación concreta conocida.


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