Co wymyślił Co wymyślił Pitagoras?Pitagoras?

Twierdzenie PitagorasaTwierdzenie Pitagorasa

Menu

Kim był Pitagoras?

Podstawoweinformacje o trójkątach

Odkrywamy regułę

Twierdzenie Pitagorasa

Zadania utrwalające

Kontakt z autorem

Pitagoras

Pitagoras urodził się około 572 r. p.n.e. na wyspie Samos, a zmarł około 497 r. p.n.e. w Metaponcie. Około 532 roku p.n.e. opuścił wyspę Samos i wyemigrował do kolonii jońskich w Italii. Osiedlił się w Krotonie, gdzie założył związek pitagorejski. Tam także rozwinął działalność naukową, filozoficzną i polityczną. Następnie zamieszkał w Metaponcie, gdzie przebywał aż do śmierci.

Gdyby prawdziwe było stwierdzenie matematyka niemieckiego L. Kroneckera, że „liczby całkowite stworzył Bóg, a wszystkie pozostałe ludzie”, wówczas grecki filozof Pitagoras byłby właśnie jednym z tych ludzi.

PitagorasDziś trudno dokładnie ustalić, co szkoła pitagorejska zawdzięcza swemu mistrzowi, a co jego uczniom. Dlatego też mówić raczej należy o dokonaniach pitagorejczyków i nie przypisywać wszystkich odkryć samemu tylko założycielowi szkoły. Pitagorejczycy odkryli m.in. liczby niewymierne.Legenda głosi, że odkrył je sam Pitagoras, w związku z odkryciem twierdzenia o przeciwprostokątnej trójkąta (tzw. twierdzenia Pitagorasa). Liczby te nazwał „alogoj” (niewyrażalne). Ukrywał ten fakt przed współczesnymi. Pod przysięgą „tetraktis” zwierzył się swoim najbardziej wtajemniczonym uczniom, ale jeden z nich nie wytrzymał i zdradził tajemnicę. Podobno uczeń ten został przykładnie ukarany przez bogów: zginął w czasie burzy w odmętach morza. Pitagoras nie chciał zdradzić tak ważnego odkrycia, ponieważ podważało ono cały jego światopogląd filozoficzny, według którego liczba rządzi nie tylko miarą i wagą, ale także wszystkimi zjawiskami zachodzącymi w przyrodzie i jest treścią harmonii panującej we wszechświecie.

Pitagoras – najważniejsze faktyPitagoras żył w VI w. p.n.e. Założył szkołę, w której zajmowano się wieloma dziedzinami wiedzy, m.in. matematyką.

Pitagorejczycy odkryli twierdzenie o przeciwprostokątnej trójkąta.

Legenda głosi, że Pitagoras ofiarował bogom 100 wołów jako wyraz wdzięczności za odkrycie własności trójkątów prostokątnych.

Uczniowie Pitagorasa odkryli także, że pierwiastek z dwóch jest liczbą niewymierną. Odkrycie to starannie ukrywali przed współczesnymi.

Rodzaje trójkątów

• Podział trójkątów ze względu na boki

Każdy bok ma inną długość, każdy kąt ma inną miarę. Jaki to trójkąt?

Co najmniej dwa boki są równej długości. Kąty przy podstawie mają równe miary. Jaki to trójkąt?

Wszystkie boki są równe i równe są wszystkie kąty. Jaki to trójkąt?

TRÓJKĄT RÓŻNOBOCZNY

TRÓJKĄT RÓWNORAMIENNY

TRÓJKĄT RÓWNOBOCZNY

ramięramię

podstawa

Rodzaje trójkątów

• Podział trójkątów ze względu na kąty

Każdy kąt wewnętrzny trójkąta jest kątem ostrym. Jaki to trójkąt?

Trójkąt, który ma jeden kąt prosty. Jaki to trójkąt?

Trójkąt, który ma jeden kąt rozwarty. Jaki to trójkąt?

TRÓJKĄT OSTROKĄTNY

TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY

TRÓJKĄT ROZWARTOKĄTNY

przeciwprostokątna

przy

pros

toką

tna

przyprostokątna

Odkrywamy regułęPrzyjrzyjmy się trójkątowi prostokątnemu o bokach długości 3, 4 i 5.

3

4

5

Teraz zbudujmy na bokach tego trójkąta kwadraty i obliczmy ich pola.

P1 = 32 = 9

P2 = 42 = 16

P3 = 52 = 25

Przyjrzyjmy się otrzymanym liczbom.

Odkrywamy regułę

Popatrzmy, jak jest w innych trójkątach prostokątnych. a

b

c

PrzyprostokątnePrzeciw-

prostokątnaPola kwadratów

a b c P1 = a2 P2 = b2 P3 = c2

3 4 5 9 16 25

5 12 13 25 144 169

6 8 10 36 64 100

9 12 15 81 144 225

11 60 61 121 3600 3721

CO TO ZA REGUŁA? JUŻ

WIEM!!!

9 + 16 = 25

25 + 144 = 169

36 + 64 = 100

81 + 144 = 225

121 + 3600 = 3721

c

b

a

Twierdzenie Pitagorasa

b2

c2

a2

a2 + b2 = c2

Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma pól kwadratów

zbudowanych na przyprostokątnych jest równa

polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.

Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości

przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

Można to powiedzieć także i w taki sposób:

Zadania utrwalająceWskaż prawidłowy

zapis.

y

z

x

o

kw

A

B

C

x2 + y2 = z2

x2 + z2 = y2

y2 + z2 = x2

o2 + w2 = k2

k2 + w2 = o2

o2 + w2 = k2

|AB|2 + |BC|2 = |AC|2

|AC|2 + |BC|2 = |AB|2

|AB|2 + |AC|2 = |BC|2

Zadania utrwalająceKtóry zapis jest niepoprawny?

q

rp

p2 + q2 = r2

K

L

M

|KL|2 + |KM|2 = |ML|2

b

a c

a2 + b2 = c2

Zadania utrwalające

Oblicz długość trzeciego boku.

4 cm

?

3 cm

Rozwiązanie

8 dm

?

10 dm

Rozwiązanie

?

9 m12 m

Rozwiązanie

Rozwiązanie

4 cm

?

3 cm

32 + 42 = 9 + 16 = 25

525

Długość trzeciego boku trójkąta wynosi 5 cm.

Rozwiązanie

Długość trzeciego boku trójkąta wynosi 6 dm.

8 dm

?

10 dm

102 = 100

82 = 64

100 – 64 = 36

636

Rozwiązanie

Nie da się obliczyć długości trzeciego boku – TO NIE JEST TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY!

?

9 m12 m

Zadania utrwalające

Prawdziwe jest także twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.

5 cm, 13cm, 12 cm

Kiedy będziesz znał odpowiedź, naciśnij spację lub kliknij myszką!

8 m, 9 m, 13 m

Jeżeli suma kwadratów długości dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi długości

trzeciego boku, to trójkąt jest prostokątny.Który trójkąt o bokach podanej

długości jest trójkątem prostokątnym?

7 cm, 24 cm, 25 cm

9 dm, 12 dm, 15 dm

15 mm, 9 mm, 17 mm

1 cm, 2 cm, 3 cm

6 dm, 8 m, 10 cm

Zadania utrwalające

Tam za murem dziewczynaa pod ręką drabina,

co pięć metrów długości ma.

W fosie krążą rekiny.Żal przecudnej dziewczyny,co za murem z rozpaczy łka.Czy zwykłemu chłopczynie,na wspomnianej drabinie

te przeszkody pokonać się da?

Dane wierszyk pominie,znajdziesz je przy rycinie.

Policz sprytnie,odpowiedz raz dwa!

Rozwiązanie

Wiersz i ilustracja pochodzą z podręcznika dla klasy 2 gimnazjum

z serii Matematyka z plusem (Gdańskie Wydawnictwo

Oświatowe)

Rozwiązanie

Niestety, chłopczynie nie uda się pokonać przeszkód

w postaci muru i rekina. Aby pięciometrowa drabina wystarczyła na pokonanie

przeszkody, mur nie mógłby być wyższy niż 4 m.

Autorka

Prezentacja multimedialna dla klasy II gimnazjum

Anna TupajPubliczne Gimnazjum im. Jana Pawła II w Tyczynie

annatupaj@op.pl

Brawo!

Niestety…