Clase 20 Dinamica Rotacional (2)
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Logros Introduccion Torque Pro ducto vectorial Centro de masa Torque y aceleracion angular Rotacion de un cuerpo rgido sobre un eje movil Mom
Dinamica rotacional
Captulo 9
Clase 19
Captulo 9 Dinamica rotacional
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Logros Introduccion Torque Pro ducto vectorial Centro de masa Torque y aceleracion angular Rotacion de un cuerpo rgido sobre un eje movil Mom
1 Logros
2 Introduccion
3 Torque
4 Producto vectorial
5 Centro de masa
6 Torque y aceleracion angular
7 Rotacion de un cuerpo rgido sobre un eje movil
8 Momento angular
Captulo 9 Dinamica rotacional
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Logros Introduccion Torque Pro ducto vectorial Centro de masa Torque y aceleracion angular Rotacion de un cuerpo rgido sobre un eje movil Mom
Contenido
1 Logros
2 Introduccion
3 Torque
4 Producto vectorial
5 Centro de masa
6 Torque y aceleracion angular
7 Rotacion de un cuerpo rgido sobre un eje movil
8 Momento angular
Captulo 9 Dinamica rotacional
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Logros Introduccion Torque Pro ducto vectorial Centro de masa Torque y aceleracion angular Rotacion de un cuerpo rgido sobre un eje movil Mom
Definira el concepto de torque.
Captulo 9 Dinamica rotacional
C
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Definira el concepto de torque.
Definira el producto cruz o vectorial entre dos vectores.
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L I t d i T P d t t i l C t d T l i l R t i d id b j il M
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Definira el concepto de torque.
Definira el producto cruz o vectorial entre dos vectores.
Relacionara el torque con la aceleracion angular.
Captulo 9 Dinamica rotacional
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Definira el concepto de torque.
Definira el producto cruz o vectorial entre dos vectores.
Relacionara el torque con la aceleracion angular.
Comprendera que el movimiento de un cuerpo rgido se puede dividir enuno traslacional del centro de masa y otro rotacion alrededor del centro de
masa.
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Definira el concepto de torque.
Definira el producto cruz o vectorial entre dos vectores.
Relacionara el torque con la aceleracion angular.
Comprendera que el movimiento de un cuerpo rgido se puede dividir enuno traslacional del centro de masa y otro rotacion alrededor del centro de
masa.
Comprendera el concepto de rodar sin deslizar.
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Definira el concepto de torque.
Definira el producto cruz o vectorial entre dos vectores.
Relacionara el torque con la aceleracion angular.
Comprendera que el movimiento de un cuerpo rgido se puede dividir enuno traslacional del centro de masa y otro rotacion alrededor del centro de
masa.
Comprendera el concepto de rodar sin deslizar.
Enunciara el trabajo y la potencia en el el movimiento rotacional.
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Definira el concepto de torque.
Definira el producto cruz o vectorial entre dos vectores.
Relacionara el torque con la aceleracion angular.
Comprendera que el movimiento de un cuerpo rgido se puede dividir enuno traslacional del centro de masa y otro rotacion alrededor del centro de
masa.
Comprendera el concepto de rodar sin deslizar.
Enunciara el trabajo y la potencia en el el movimiento rotacional.
Definira el concepto de momentum angular.
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g q q y g p g j
Definira el concepto de torque.
Definira el producto cruz o vectorial entre dos vectores.
Relacionara el torque con la aceleracion angular.
Comprendera que el movimiento de un cuerpo rgido se puede dividir enuno traslacional del centro de masa y otro rotacion alrededor del centro de
masa.
Comprendera el concepto de rodar sin deslizar.
Enunciara el trabajo y la potencia en el el movimiento rotacional.
Definira el concepto de momentum angular.
Aplicara la conservacion del momentum angular.
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Definira el concepto de torque.
Definira el producto cruz o vectorial entre dos vectores.
Relacionara el torque con la aceleracion angular.
Comprendera que el movimiento de un cuerpo rgido se puede dividir enuno traslacional del centro de masa y otro rotacion alrededor del centro de
masa.
Comprendera el concepto de rodar sin deslizar.
Enunciara el trabajo y la potencia en el el movimiento rotacional.
Definira el concepto de momentum angular.
Aplicara la conservacion del momentum angular.
Aplicara los conceptos de rotacion a sistemas sencillos.
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Contenido
1 Logros
2 Introduccion
3 Torque
4
Producto vectorial
5 Centro de masa
6 Torque y aceleracion angular
7 Rotacion de un cuerpo rgido sobre un eje movil
8 Momento angular
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Una fuerza neta aplicada a un cuerpo le imparte una aceleracion y causaun movimiento traslacional.
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Una fuerza neta aplicada a un cuerpo le imparte una aceleracion y causaun movimiento traslacional.
Que se requiere para impartir una aceleracion angular a un cuerpo?
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Una fuerza neta aplicada a un cuerpo le imparte una aceleracion y causaun movimiento traslacional.
Que se requiere para impartir una aceleracion angular a un cuerpo?
Que se necesita para poner a girar un cuerpo estacionario o paradetenerlo si esta rotando?
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Una fuerza neta aplicada a un cuerpo le imparte una aceleracion y causaun movimiento traslacional.
Que se requiere para impartir una aceleracion angular a un cuerpo?
Que se necesita para poner a girar un cuerpo estacionario o paradetenerlo si esta rotando?
Una nueva cantidad fsica, torque, describe la accion de torsion o girodebido a una fuerza y determinara la aceleracion angular.
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Una fuerza neta aplicada a un cuerpo le imparte una aceleracion y causaun movimiento traslacional.
Que se requiere para impartir una aceleracion angular a un cuerpo?
Que se necesita para poner a girar un cuerpo estacionario o paradetenerlo si esta rotando?
Una nueva cantidad fsica, torque, describe la accion de torsion o girodebido a una fuerza y determinara la aceleracion angular.
Se examinara el trabajo y la potencia en el movimiento rotacional para
entender los problemas de como el eje giratorio de un auto transmiteenerga.
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Una fuerza neta aplicada a un cuerpo le imparte una aceleracion y causaun movimiento traslacional.
Que se requiere para impartir una aceleracion angular a un cuerpo?
Que se necesita para poner a girar un cuerpo estacionario o paradetenerlo si esta rotando?
Una nueva cantidad fsica, torque, describe la accion de torsion o girodebido a una fuerza y determinara la aceleracion angular.
Se examinara el trabajo y la potencia en el movimiento rotacional para
entender los problemas de como el eje giratorio de un auto transmiteenerga.
Un nuevo principio de conservacion muy util para entender la rotacion decuerpos tanto rgidos como no rgidos: conservacion del momentumangular.
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Una fuerza neta aplicada a un cuerpo le imparte una aceleracion y causaun movimiento traslacional.
Que se requiere para impartir una aceleracion angular a un cuerpo?
Que se necesita para poner a girar un cuerpo estacionario o paradetenerlo si esta rotando?
Una nueva cantidad fsica, torque, describe la accion de torsion o girodebido a una fuerza y determinara la aceleracion angular.
Se examinara el trabajo y la potencia en el movimiento rotacional para
entender los problemas de como el eje giratorio de un auto transmiteenerga.
Un nuevo principio de conservacion muy util para entender la rotacion decuerpos tanto rgidos como no rgidos: conservacion del momentumangular.
Se aplicara los conceptos rotacionales al estudio de los giroscopo odispositivo giratorio que desafa el sentido comun y no se caen cuandocreemos que deberan hacerlo, aunque en realidad su comportamiento seajusta perfectamente a la dinamica del movimiento rotacional.
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C id
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Contenido
1 Logros
2 Introduccion
3 Torque
4 Producto vectorial
5 Centro de masa
6 Torque y aceleracion angular
7 Rotacion de un cuerpo rgido sobre un eje movil
8 Momento angular
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Movimiento de un sistema rgido: Traslacional y rotacional:
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Movimiento de un sistema rgido: Traslacional y rotacional:
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Movimiento de un sistema rgido: Traslacional y rotacional:
Sobre el carrito actuan fuerzas (T1,N,w1), sobre el cuerpo colganteesta T2 y w2.
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Movimiento de un sistema rgido: Traslacional y rotacional:
Sobre el carrito actuan fuerzas (T1,N,w1), sobre el cuerpo colganteesta T2 y w2.
Sobre la polea actuan T1 y T2.
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Movimiento de un sistema rgido: Traslacional y rotacional:
Sobre el carrito actuan fuerzas (T1,N,w1), sobre el cuerpo colganteesta T2 y w2.
Sobre la polea actuan T1 y T2.
Que pasa si se aplica una sola fuerza a la polea?, rota?
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Movimiento de un sistema rgido: Traslacional y rotacional:
Sobre el carrito actuan fuerzas (T1,N,w1), sobre el cuerpo colganteesta T2 y w2.
Sobre la polea actuan T1 y T2.
Que pasa si se aplica una sola fuerza a la polea?, rota?
Que diferencias encuentra entre el carrito y la polea?
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Una fuerza que actua sobre un cuerpo pueden afectar su movimiento detraslacion: Movimiento del cuerpo como un todo a traves del espacio.
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Una fuerza que actua sobre un cuerpo pueden afectar su movimiento detraslacion: Movimiento del cuerpo como un todo a traves del espacio.
Que aspectos de una fuerza determinan que tan eficaz es esta para
provocar o modificar el movimiento rotacional?
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Una fuerza que actua sobre un cuerpo pueden afectar su movimiento detraslacion: Movimiento del cuerpo como un todo a traves del espacio.
Que aspectos de una fuerza determinan que tan eficaz es esta para
provocar o modificar el movimiento rotacional?La magnitud y direccion de la fuerza son importantes, pero tambien lo es laposicion del punto de aplicacion, p. ej., llave inglesa para aflojar un tornillo
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Una fuerza que actua sobre un cuerpo pueden afectar su movimiento detraslacion: Movimiento del cuerpo como un todo a traves del espacio.
Que aspectos de una fuerza determinan que tan eficaz es esta para
provocar o modificar el movimiento rotacional?La magnitud y direccion de la fuerza son importantes, pero tambien lo es laposicion del punto de aplicacion, p. ej., llave inglesa para aflojar un tornillo
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Una fuerza que actua sobre un cuerpo pueden afectar su movimiento detraslacion: Movimiento del cuerpo como un todo a traves del espacio.
Que aspectos de una fuerza determinan que tan eficaz es esta para
provocar o modificar el movimiento rotacional?La magnitud y direccion de la fuerza son importantes, pero tambien lo es laposicion del punto de aplicacion, p. ej., llave inglesa para aflojar un tornillo
Todas las fuerzas tienen la misma
magnitud, pero:
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Una fuerza que actua sobre un cuerpo pueden afectar su movimiento detraslacion: Movimiento del cuerpo como un todo a traves del espacio.
Que aspectos de una fuerza determinan que tan eficaz es esta para
provocar o modificar el movimiento rotacional?La magnitud y direccion de la fuerza son importantes, pero tambien lo es laposicion del punto de aplicacion, p. ej., llave inglesa para aflojar un tornillo
Todas las fuerzas tienen la misma
magnitud, pero:
Fc: Se aplica a lo largo del mango.
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Una fuerza que actua sobre un cuerpo pueden afectar su movimiento detraslacion: Movimiento del cuerpo como un todo a traves del espacio.
Que aspectos de una fuerza determinan que tan eficaz es esta para
provocar o modificar el movimiento rotacional?La magnitud y direccion de la fuerza son importantes, pero tambien lo es laposicion del punto de aplicacion, p. ej., llave inglesa para aflojar un tornillo
Todas las fuerzas tienen la misma
magnitud, pero:
Fc: Se aplica a lo largo del mango.
Fa: Se aplica cerca del tornillo y, portanto, es mas difcil rotarlo.
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Una fuerza que actua sobre un cuerpo pueden afectar su movimiento detraslacion: Movimiento del cuerpo como un todo a traves del espacio.
Que aspectos de una fuerza determinan que tan eficaz es esta para
provocar o modificar el movimiento rotacional?La magnitud y direccion de la fuerza son importantes, pero tambien lo es laposicion del punto de aplicacion, p. ej., llave inglesa para aflojar un tornillo
Todas las fuerzas tienen la misma
magnitud, pero:
Fc: Se aplica a lo largo del mango.
Fa: Se aplica cerca del tornillo y, portanto, es mas difcil rotarlo.
Fb: Se aplica en el extremo del man-go y, por tanto, es mas eficaz de ro-tarlo.
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La medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza para causar o alterarla rotacion de un cuerpo se denomina torque.
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La medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza para causar o alterarla rotacion de un cuerpo se denomina torque.
Se dice que Fa genera un torque sobre un punto O (eje de rotacion), Fb
genera el maximo torque sobre O y Fc no genera ninguna torque sobre O.
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La medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza para causar o alterarla rotacion de un cuerpo se denomina torque.
Se dice que Fa genera un torque sobre un punto O (eje de rotacion), Fb
genera el maximo torque sobre O y Fc no genera ninguna torque sobre O.
Para calcular el torque,supongamos que uncuerpo puede giraralrededor de un eje
que es perpendicular alplano de la figura ypasa por el punto O.
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La medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza para causar o alterarla rotacion de un cuerpo se denomina torque.
Se dice que Fa genera un torque sobre un punto O (eje de rotacion), Fb
genera el maximo torque sobre O y Fc no genera ninguna torque sobre O.
Para calcular el torque,supongamos que uncuerpo puede giraralrededor de un eje
que es perpendicular alplano de la figura ypasa por el punto O.
Sobre el cuerpo actuantres fuerzas: F1,F2 yF3, en el plano de la
figura.
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La medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza para causar o alterarla rotacion de un cuerpo se denomina torque.
Se dice que Fa genera un torque sobre un punto O (eje de rotacion), Fb
genera el maximo torque sobre O y Fc no genera ninguna torque sobre O.
Para calcular el torque,supongamos que uncuerpo puede giraralrededor de un eje
que es perpendicular alplano de la figura ypasa por el punto O.
Sobre el cuerpo actuantres fuerzas: F1,F2 yF3, en el plano de la
figura.
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La medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza para causar o alterarla rotacion de un cuerpo se denomina torque.
Se dice que Fa genera un torque sobre un punto O (eje de rotacion), Fb
genera el maximo torque sobre O y Fc no genera ninguna torque sobre O.
Para calcular el torque,supongamos que uncuerpo puede giraralrededor de un eje
que es perpendicular alplano de la figura ypasa por el punto O.
Sobre el cuerpo actuantres fuerzas: F1,F2 yF3, en el plano de la
figura.
La tendencia de F1 a causar una rotacion alrededor de O depende de F1 ydel brazo de palanca l1 o distancia perpendicular entre O y la lneade accion de la fuerza o lnea sobre la que esta el vector de fuerza.
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El torque es directamente proporcional tanto a F1 como a l1 y, por tanto,se define con respecto a un punto O como F1l1.
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El torque es directamente proporcional tanto a F1 como a l1 y, por tanto,se define con respecto a un punto O como F1l1.
F2 tambien causa torque, F2l2, sin embargo, F3 no, por que?
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El torque es directamente proporcional tanto a F1 como a l1 y, por tanto,se define con respecto a un punto O como F1l1.
F2 tambien causa torque, F2l2, sin embargo, F3 no, por que? No hay
brazo de palanca.
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El di i l F l
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El torque es directamente proporcional tanto a F1 como a l1 y, por tanto,se define con respecto a un punto O como F1l1.
F2 tambien causa torque, F2l2, sin embargo, F3 no, por que? No hay
brazo de palanca.F1 tiende a causar rotacion antihoraria alrededor de O, mientras que F2tiende a causar rotacion horaria.
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El t di t t i l t t F l t t
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El torque es directamente proporcional tanto a F1 como a l1 y, por tanto,se define con respecto a un punto O como F1l1.
F2 tambien causa torque, F2l2, sin embargo, F3 no, por que? No hay
brazo de palanca.F1 tiende a causar rotacion antihoraria alrededor de O, mientras que F2tiende a causar rotacion horaria.
Los fsicos prefieren el termino torque, mientras que los ingenierosprefieren el termino momento de torsion o par de torsion.
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El t di t t i l t t F l t t
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El torque es directamente proporcional tanto a F1 como a l1 y, por tanto,se define con respecto a un punto O como F1l1.
F2 tambien causa torque, F2l2, sin embargo, F3 no, por que? No hay
brazo de palanca.F1 tiende a causar rotacion antihoraria alrededor de O, mientras que F2tiende a causar rotacion horaria.
Los fsicos prefieren el termino torque, mientras que los ingenierosprefieren el termino momento de torsion o par de torsion.
El torque siempre se define con referencia a un punto especfico, e. d., si secambia de posicion ese punto, el torque de cada fuerza puede cambiar.
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El torque es directamente proporcional tanto a F como a l y por tanto
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El torque es directamente proporcional tanto a F1 como a l1 y, por tanto,se define con respecto a un punto O como F1l1.
F2 tambien causa torque, F2l2, sin embargo, F3 no, por que? No hay
brazo de palanca.F1 tiende a causar rotacion antihoraria alrededor de O, mientras que F2tiende a causar rotacion horaria.
Los fsicos prefieren el termino torque, mientras que los ingenierosprefieren el termino momento de torsion o par de torsion.
El torque siempre se define con referencia a un punto especfico, e. d., si secambia de posicion ese punto, el torque de cada fuerza puede cambiar.
En general, se define el torque de una fuerza como:
=F l (1)
Captulo 9 Dinamica rotacional
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El torque es directamente proporcional tanto a F1 como a l1 y por tanto
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El torque es directamente proporcional tanto a F1 como a l1 y, por tanto,se define con respecto a un punto O como F1l1.
F2 tambien causa torque, F2l2, sin embargo, F3 no, por que? No hay
brazo de palanca.F1 tiende a causar rotacion antihoraria alrededor de O, mientras que F2tiende a causar rotacion horaria.
Los fsicos prefieren el termino torque, mientras que los ingenierosprefieren el termino momento de torsion o par de torsion.
El torque siempre se define con referencia a un punto especfico, e. d., si secambia de posicion ese punto, el torque de cada fuerza puede cambiar.
En general, se define el torque de una fuerza como:
=F l (1)
La unidad es N
m, pero esta combinacion no es J, por que no estrabajo ni energa.
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El torque es directamente proporcional tanto a F1 como a l1 y por tanto
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El torque es directamente proporcional tanto a F1 como a l1 y, por tanto,se define con respecto a un punto O como F1l1.
F2 tambien causa torque, F2l2, sin embargo, F3 no, por que? No hay
brazo de palanca.F1 tiende a causar rotacion antihoraria alrededor de O, mientras que F2tiende a causar rotacion horaria.
Los fsicos prefieren el termino torque, mientras que los ingenierosprefieren el termino momento de torsion o par de torsion.
El torque siempre se define con referencia a un punto especfico, e. d., si secambia de posicion ese punto, el torque de cada fuerza puede cambiar.
En general, se define el torque de una fuerza como:
=F l (1)
La unidad es N
m, pero esta combinacion no es J, por que no estrabajo ni energa.
Veremos que es un vector y, por tanto, se debe introducir un nuevoproducto entre dos vectores: F y r.
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Sea una fuerza F que se aplica en un punto P descrito por un vector de
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Sea una fuerza Fque se aplica en un punto Pdescrito por un vector deposicion r con respecto al punto elegido O.
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Sea una fuerza F que se aplica en un punto P descrito por un vector de
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Sea una fuerza Fque se aplica en un punto Pdescrito por un vector deposicion r con respecto al punto elegido O.
Hay varias formas de calcular la torca de esta fuerza:
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1 Determine el brazo de palanca l y use =F l.
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D i l b d l l F l
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1 Determine el brazo de palanca l y use =F l.
2 Calcule el angulo entre los vectores ry F; el brazo de palanca es
r sen[], e. d., =rFsen[]
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D i l b d l l F l
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1 Determine el brazo de palanca l y use =F l.
2 Calcule el angulo entre los vectores ry F; el brazo de palanca es
r sen[], e. d., =rFsen[]
3 Represente F en terminos de una componente radial Frad en la direccionde r y una componente tangencial Ftan perpendicular a r.
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1 D t i l b d l l F l
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1 Determine el brazo de palanca l y use =F l.
2 Calcule el angulo entre los vectores ry F; el brazo de palanca es
r sen[], e. d., =rFsen[]
3 Represente F en terminos de una componente radial Frad en la direccionde r y una componente tangencial Ftan perpendicular a r.
Tangencial porque si el cuerpo gira, el punto donde actua la fuerza se
mueve en un crculo, y esta componente es tangente a ese crculo.
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1 Determine el brazo de palanca l y use F l
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1 Determine el brazo de palanca l y use =F l.
2 Calcule el angulo entre los vectores ry F; el brazo de palanca es
r sen[], e. d., =rFsen[]
3 Represente F en terminos de una componente radial Frad en la direccionde r y una componente tangencial Ftan perpendicular a r.
Tangencial porque si el cuerpo gira, el punto donde actua la fuerza se
mueve en un crculo, y esta componente es tangente a ese crculo.
Como Ftan =Fsen[] y. =r(Fsen[]) =Ftanr, la componente Frad notiene torque con respecto a O porque su brazo de palanca con respecto aese punto es cero.
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1 Determine el brazo de palanca l y use = F l
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1 Determine el brazo de palanca l y use =F l.
2 Calcule el angulo entre los vectores ry F; el brazo de palanca es
r sen[], e. d., =rFsen[]
3 Represente F en terminos de una componente radial Frad en la direccionde r y una componente tangencial Ftan perpendicular a r.
Tangencial porque si el cuerpo gira, el punto donde actua la fuerza se
mueve en un crculo, y esta componente es tangente a ese crculo.
Como Ftan =Fsen[] y. =r(Fsen[]) =Ftanr, la componente Frad notiene torque con respecto a O porque su brazo de palanca con respecto aese punto es cero.
En resumen:=r(Fsen[]) =F(r sen[])
=r F (2)
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Ejemplo 1. Calcule el torque (magnitud y direccion) alrededor del punto O
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debido a la fuerza Fen cada una de las situaciones mostradas en la figura. Entodos los casos, la fuerza F y la varilla estan en el plano de la pagina, la varillamide 4,00 m de largo y la fuerza tiene magnitud F = 10, 0 N.
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Ejemplo 2. Se aplican tres fuerzas a una rueda con radio de 0,350 m, como se
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indica en la figura. Una fuerza es perpendicular al borde, otra es tangente aeste y la otra forma un angulo de 40, 0 con el radio. Cual es la torca netasobre la rueda debido a estas tres fuerzas para un eje perpendicular a la rueda y
que pasa por su centro?
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Contenido
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1 Logros
2 Introduccion
3 Torque
4 Producto vectorial
5 Centro de masa
6 Torque y aceleracion angular
7 Rotacion de un cuerpo rgido sobre un eje movil
8 Momento angular
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El producto vectorial de dos vectores A y B o producto cruz, sed t
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denota:A B
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El producto vectorial de dos vectores A y B o producto cruz, sed t
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denota:A B
El producto vectorial es un vector, p. ej., describe el torque, la cantidad demomentum angular, campos magneticos, fuerzas magneticas, entre otrasmagnitudes fsicas.
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El producto vectorial de dos vectores A y B o producto cruz, sedenota:
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denota:A B
El producto vectorial es un vector, p. ej., describe el torque, la cantidad demomentum angular, campos magneticos, fuerzas magneticas, entre otrasmagnitudes fsicas.
Para definir el producto vectorial de dos vectores se dibujan los dosvectores con sus colas en el mismo punto, e. .d, los dos vectores estan enun plano
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El producto vectorial de dos vectores A y B o producto cruz, sedenota:
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denota:A B
El producto vectorial es un vector, p. ej., describe el torque, la cantidad demomentum angular, campos magneticos, fuerzas magneticas, entre otrasmagnitudes fsicas.
Para definir el producto vectorial de dos vectores se dibujan los dosvectores con sus colas en el mismo punto, e. .d, los dos vectores estan enun plano
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El producto vectorial de dos vectores A y B o producto cruz, sedenota:
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denota:A B
El producto vectorial es un vector, p. ej., describe el torque, la cantidad demomentum angular, campos magneticos, fuerzas magneticas, entre otrasmagnitudes fsicas.
Para definir el producto vectorial de dos vectores se dibujan los dosvectores con sus colas en el mismo punto, e. .d, los dos vectores estan enun plano
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Se define el producto vectorial como una cantidad vectorial perpendiculara este plano (es decir perpendicular tanto a A como a B) con una
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a este plano (es decir, perpendicular tanto a A como a B) con unamagnitud igual a AB sen[]:
C=AB sen[]
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Se define el producto vectorial como una cantidad vectorial perpendiculara este plano (es decir perpendicular tanto a A como a B) con una
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a este plano (es decir, perpendicular tanto a A como a B) con unamagnitud igual a AB sen[]:
C=AB sen[]
Se mide el angulo de A hacia B tomando el mas pequeno de los dosangulos posibles, de manera que esta entre 0 y .
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Se define el producto vectorial como una cantidad vectorial perpendiculara este plano (es decir, perpendicular tanto a A como a B) con una
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a este plano (es decir, perpendicular tanto a A como a B) con unamagnitud igual a AB sen[]:
C=AB sen[]
Se mide el angulo de A hacia B tomando el mas pequeno de los dosangulos posibles, de manera que esta entre 0 y .
Cuando A y B son paralelos o antiparalelos, C= 0, e. d., el productovectorial de dos vectores paralelos o antiparalelos siempre es cero.
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Se define el producto vectorial como una cantidad vectorial perpendiculara este plano (es decir, perpendicular tanto a A como a B) con una
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p ( , p p )magnitud igual a AB sen[]:
C=AB sen[]
Se mide el angulo de A hacia B tomando el mas pequeno de los dosangulos posibles, de manera que esta entre 0 y .
Cuando A y B son paralelos o antiparalelos, C= 0, e. d., el productovectorial de dos vectores paralelos o antiparalelos siempre es cero.
Siempre hay dos direcciones perpendiculares a un plano dado, una a cadalado del plano.
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Se define el producto vectorial como una cantidad vectorial perpendiculara este plano (es decir, perpendicular tanto a A como a B) con una
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p ( p p )magnitud igual a AB sen[]:
C=AB sen[]
Se mide el angulo de A hacia B tomando el mas pequeno de los dosangulos posibles, de manera que esta entre 0 y .
Cuando A y B son paralelos o antiparalelos, C= 0, e. d., el productovectorial de dos vectores paralelos o antiparalelos siempre es cero.
Siempre hay dos direcciones perpendiculares a un plano dado, una a cadalado del plano.
Se elige la direccion de A B como:
Imagine que gira el vector A sobre la lnea perpendicular hasta alinearlo conB, eligiendo el angulo mas pequeno entre A y B.
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Se define el producto vectorial como una cantidad vectorial perpendiculara este plano (es decir, perpendicular tanto a A como a B) con una
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( )magnitud igual a AB sen[]:
C=AB sen[]
Se mide el angulo de A hacia B tomando el mas pequeno de los dosangulos posibles, de manera que esta entre 0 y .
Cuando A y B son paralelos o antiparalelos, C= 0, e. d., el productovectorial de dos vectores paralelos o antiparalelos siempre es cero.
Siempre hay dos direcciones perpendiculares a un plano dado, una a cadalado del plano.
Se elige la direccion de A B como:
Imagine que gira el vector A sobre la lnea perpendicular hasta alinearlo conB, eligiendo el angulo mas pequeno entre A y B.
Gire los dedos de su mano derecha sobre la perpendicular, con las puntassenalando en la direccion de la rotacion; el pulgar senalara en la direccion deAB.
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Calculo del producto vectorial usando componentes
El producto vectorial de los vectores unitarios es
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p
= = k k= 0
= k k = k =
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Calculo del producto vectorial usando componentes
El producto vectorial de los vectores unitarios es
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= = k k= 0
= k k = k =
Expresando A y B en terminos de sus componentes, se tiene:
A B = (Ax + Ay + Az k) (Bx + By + Bz k)
= Ax Bx + Ax By + Ax Bz k+
= Ay Bx + Ay By + Ay Bz k+
= Azk Bx + Azk By + Az k Bzk
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Calculo del producto vectorial usando componentes
El producto vectorial de los vectores unitarios es
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= = k k= 0
= k k = k =
Expresando A y B en terminos de sus componentes, se tiene:
A B = (Ax + Ay + Az k) (Bx + By + Bz k)
= Ax Bx + Ax By + Ax Bz k+
= Ay Bx + Ay By + Ay Bz k+
= Azk Bx + Azk By + Az k Bzk
En forma compacta:
A B =
k
Ax Ay AzBx By Bz
(3)
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Ejemplo 3. Calcule el producto vectorial de los vectores A= 2, 00 + 6, 00 yB = 7, 00 + 14, 00k.
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Ejemplo 3. Calcule el producto vectorial de los vectores A= 2, 00 + 6, 00 yB = 7, 00 + 14, 00k.
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Solucion
A B =
k
2, 00 6, 00 00 7, 00 14, 00
= 84, 00 + 28 14, 00k
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Ejemplo 3. Calcule el producto vectorial de los vectores A= 2, 00 + 6, 00 yB = 7, 00 + 14, 00k.
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Solucion
A B =
k
2, 00 6, 00 00 7, 00 14, 00
= 84, 00 + 28 14, 00k
Ejemplo 4. Le dan los vectores A= 5, 0 6, 5 y B = 3, 5 + 7, 0. Untercer vector B esta en el plano xy y es perpendicular a A, y el productoescalar de C con B es 15,0. Con esta informacion, obtenga las componentesdel vector C.
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Contenido
1 Logros
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Logros
2 Introduccion
3 Torque
4 Producto vectorial
5 Centro de masa
6 Torque y aceleracion angular
7
Rotacion de un cuerpo rgido sobre un eje movil
8 Momento angular
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El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el puntogeometrico que dinamicamente se comporta como si en el estuvieraaplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema
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aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema.
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El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el puntogeometrico que dinamicamente se comporta como si en el estuvieraaplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema
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aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema.
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El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el puntogeometrico que dinamicamente se comporta como si en el estuvieraaplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema
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aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema.
Para un sistema de masas discreto, formado por un conjunto de masas
puntuales, el centro de masas se puede calcular como:
rCM =
PimiriPimi
= 1
M
Xi
miri (4)
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Para un sistema de masas continuo, el centro de masas se calcula como:
rCM = 1Z
r[r]d3r (5)
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rCM =M
ZV
r[r]d r (5)
Experimentalmente se calcula como:
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Para un sistema de masas continuo, el centro de masas se calcula como:
rCM = 1Z
r[r]d3r (5)
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rCM =M
ZV
r[r]d r (5)
Experimentalmente se calcula como:
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Para un sistema de masas continuo, el centro de masas se calcula como:
rCM = 1Z
r[r]d3r (5)
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rCMM
ZV
r[r]d r (5)
Experimentalmente se calcula como:
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Ejemplo 5. Calcule el el centro de masa de una barra de masa My longitud L,suponiendo que la barra tiene una masa uniforme por unidad de longitud.
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Ejemplo 5. Calcule el el centro de masa de una barra de masa My longitud L,suponiendo que la barra tiene una masa uniforme por unidad de longitud.
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Ejemplo 5. Calcule el el centro de masa de una barra de masa My longitud L,suponiendo que la barra tiene una masa uniforme por unidad de longitud.
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Solucion
La barra esta alineado alo largo del eje x, portantoyCM =zCM = 0.
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Ejemplo 5. Calcule el el centro de masa de una barra de masa My longitud L,suponiendo que la barra tiene una masa uniforme por unidad de longitud.
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Solucion
La barra esta alineado alo largo del eje x, portantoyCM =zCM = 0.Sea la masa por uni-dad de longitud, e. d., = M/L (densidad de
masa lineal), por que labarra es uniforme.
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Ejemplo 5. Calcule el el centro de masa de una barra de masa My longitud L,suponiendo que la barra tiene una masa uniforme por unidad de longitud.
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Solucion
La barra esta alineado alo largo del eje x, portantoyCM =zCM = 0.Sea la masa por uni-dad de longitud, e. d., = M/L (densidad de
masa lineal), por que labarra es uniforme.
Al dividir la barra en elementos de longitud dx, la masa de cada elementosera dm= dx.
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Ejemplo 5. Calcule el el centro de masa de una barra de masa My longitud L,suponiendo que la barra tiene una masa uniforme por unidad de longitud.
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Solucion
La barra esta alineado alo largo del eje x, portantoyCM =zCM = 0.Sea la masa por uni-dad de longitud, e. d., = M/L (densidad de
masa lineal), por que labarra es uniforme.
Al dividir la barra en elementos de longitud dx, la masa de cada elementosera dm= dx.Por tanto
xCM = 1M
Z xdm= 1
M
Z L
0
xdx= M
x2
2
L0
= L2
2M
= L
2
Captulo 9 Dinamica rotacional Logros Introduccion Torque Pro ducto vectorial Centro de masa Torque y aceleracion angular Rotacion de un cuerpo rgido sobre un eje movil Mom
Contenido
1 Logros
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2 Introduccion
3 Torque
4 Producto vectorial
5 Centro de masa
6 Torque y aceleracion angular
7 Rotacion de un cuerpo rgido sobre un eje movil
8 Momento angular
Captulo 9 Dinamica rotacional Logros Introduccion Torque Pro ducto vectorial Centro de masa Torque y aceleracion angular Rotacion de un cuerpo rgido sobre un eje movil Mom
Sea un cuerpo compuesto de un gran numero de partculas y elijamoscomo el eje de rotacion el eje z.
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Sea un cuerpo compuesto de un gran numero de partculas y elijamoscomo el eje de rotacion el eje z.
La primera partcula tiene masa m1 y distancia r1 con respecto a este eje.
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Sea un cuerpo compuesto de un gran numero de partculas y elijamoscomo el eje de rotacion el eje z.
La primera partcula tiene masa m1 y distancia r1 con respecto a este eje.
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Sea un cuerpo compuesto de un gran numero de partculas y elijamoscomo el eje de rotacion el eje z.
La primera partcula tiene masa m1 y distancia r1 con respecto a este eje.
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La fuerza total F1 que
actua sobre esta partculatiene tres componentes:Una en la direccion radial,F1,rad, otra tangente alcrculo de radio r1 en quese mueve la partcula algirar el cuerpo, F1,tan y laultimaF1z sobre el eje derotacion.
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Sea un cuerpo compuesto de un gran numero de partculas y elijamoscomo el eje de rotacion el eje z.
La primera partcula tiene masa m1 y distancia r1 con respecto a este eje.
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La fuerza total F1 que
actua sobre esta partculatiene tres componentes:Una en la direccion radial,F1,rad, otra tangente alcrculo de radio r1 en quese mueve la partcula algirar el cuerpo, F1,tan y laultimaF1z sobre el eje derotacion.
De la segunda ley deNewton para la
componente tangencial:
F1,tan =m1a1,tan (6)
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Pero se puede expresar a1,tan en terminos de la aceleracion angular z,usando a1,tan =r1z.
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Pero se puede expresar a1,tan en terminos de la aceleracion angular z,usando a1,tan =r1z.
Con esta relacion y multiplicando ambos miembros por r1 se obtiene:
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F1,tanr1 =m1r
2
1z (7)
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Pero se puede expresar a1,tan en terminos de la aceleracion angular z,usando a1,tan =r1z.
Con esta relacion y multiplicando ambos miembros por r1 se obtiene:
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F1,tanr1 =m1r
2
1z (7)
PeroF1,tanr1 no es mas que el torque de la fuerza total con respecto al ejede rotacion.
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Pero se puede expresar a1,tan en terminos de la aceleracion angular z,usando a1,tan =r1z.
Con esta relacion y multiplicando ambos miembros por r1 se obtiene:
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F1,tanr1 =m1r
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1z (7)
PeroF1,tanr1 no es mas que el torque de la fuerza total con respecto al ejede rotacion.
Las componentes F1,radr1 y F1z no contribuyen al torque alrededor del ejez, pues ninguna tiende a modificar la rotacion de la partcula alrededor de
ese eje, ademas, m1r2
1 es I1, el momento de inercia de la partculaalrededor del eje de rotacion.
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Pero se puede expresar a1,tan en terminos de la aceleracion angular z,usando a1,tan =r1z.
Con esta relacion y multiplicando ambos miembros por r1 se obtiene:
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F1,tanr1 =m1r
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1z (7)
PeroF1,tanr1 no es mas que el torque de la fuerza total con respecto al ejede rotacion.
Las componentes F1,radr1 y F1z no contribuyen al torque alrededor del ejez, pues ninguna tiende a modificar la rotacion de la partcula alrededor de
ese eje, ademas, m1r2
1 es I1, el momento de inercia de la partculaalrededor del eje de rotacion.
Por tanto:1,z =I1z (8)
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Pero se puede expresar a1,tan en terminos de la aceleracion angular z,usando a1,tan =r1z.
Con esta relacion y multiplicando ambos miembros por r1 se obtiene:
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F1,tanr1 =m1r
2
1z (7)PeroF1,tanr1 no es mas que el torque de la fuerza total con respecto al ejede rotacion.
Las componentes F1,radr1 y F1z no contribuyen al torque alrededor del ejez, pues ninguna tiende a modificar la rotacion de la partcula alrededor de
ese eje, ademas, m1r2
1 es I1, el momento de inercia de la partculaalrededor del eje de rotacion.
Por tanto:1,z =I1z (8)
Generalizando, para el cuerpo rgido entero, la segunda ley de Newton se
modifica a: CM =ICM (9)
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Ejemplo 6. Una caja de 12.0 kg que descansa sobre una superficie horizontalsin friccion esta unida a un peso de 5.00 kg con un alambre delgado y ligeroque pasa por una polea sin friccion. La polea tiene la forma de un disco solidouniforme con masa de 2.00 km y diametro de 0.500 m. Despues de que el
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sistema se libera, calcule a) la tension en el alambre en ambos lados de lapolea, b) la aceleracion de la caja y c) las componentes horizontal y vertical dela fuerza que el eje ejerce sobre la polea.
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Contenido
1 Logros
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2 Introduccion
3 Torque
4 Producto vectorial
5 Centro de masa
6 Torque y aceleracion angular
7 Rotacion de un cuerpo rgido sobre un eje movil
8 Momento angular
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En general, el movimiento de un cuerpo rgido puede representarse comouna combinacion de un movimiento traslacional del centro de masa y otrode rotacion alrededor de un eje que pasa por el centro de masa:
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En general, el movimiento de un cuerpo rgido puede representarse comouna combinacion de un movimiento traslacional del centro de masa y otrode rotacion alrededor de un eje que pasa por el centro de masa:
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En general, el movimiento de un cuerpo rgido puede representarse comouna combinacion de un movimiento traslacional del centro de masa y otrode rotacion alrededor de un eje que pasa por el centro de masa:
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En general, el movimiento de un cuerpo rgido puede representarse comouna combinacion de un movimiento traslacional del centro de masa y otrode rotacion alrededor de un eje que pasa por el centro de masa:
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Para este caso, la energa cinetica del cuerpo es la suma de una parteasociada al movimiento del centro de masa y una parte asociada a larotacion alrededor de un eje que pasa por el centro de masa:
K= 1
2MvCM+
1
2 ICM
2
(10)
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Rodamiento sin deslizar
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Rodamiento sin deslizar
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Veamos el movimiento en un sistema de referencia inercial, en el cual lasuperficie sobre la que se rueda esta en reposo.
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Veamos el movimiento en un sistema de referencia inercial, en el cual lasuperficie sobre la que se rueda esta en reposo.
El punto de contacto de la rueda con la superficie esta instantaneamenteen reposo para que no resbale.
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Veamos el movimiento en un sistema de referencia inercial, en el cual lasuperficie sobre la que se rueda esta en reposo.
El punto de contacto de la rueda con la superficie esta instantaneamenteen reposo para que no resbale.
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La velocidad v
1 del punto de contacto, relativa al CM, debe tener lamisma magnitud pero direccion opuesta que vCM.
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Veamos el movimiento en un sistema de referencia inercial, en el cual lasuperficie sobre la que se rueda esta en reposo.
El punto de contacto de la rueda con la superficie esta instantaneamenteen reposo para que no resbale.
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La velocidad v
1 del punto de contacto, relativa al CM, debe tener lamisma magnitud pero direccion opuesta que vCM.
Si el radio de la rueda es R y su rapidez angular alrededor del centro demasa es , la magnitud de v1 es R: tener
vCM =R (11)
La velocidad de un punto en la rueda es la suma vectorial de vCM y lavelocidad del punto relativa al CM.
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Veamos el movimiento en un sistema de referencia inercial, en el cual lasuperficie sobre la que se rueda esta en reposo.
El punto de contacto de la rueda con la superficie esta instantaneamenteen reposo para que no resbale.
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La velocidad v
1 del punto de contacto, relativa al CM, debe tener lamisma magnitud pero direccion opuesta que vCM.
Si el radio de la rueda es R y su rapidez angular alrededor del centro demasa es , la magnitud de v1 es R: tener
vCM =R (11)
La velocidad de un punto en la rueda es la suma vectorial de vCM y lavelocidad del punto relativa al CM.
As, los puntos 1 (de contacto) esta momentaneamente en reposo, el 2(parte superior) se mueve hacia adelante con el doble de la rapidez delCM, 2 y 4 (a los lados) tienen velocidades a 45 con la horizontal.
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Veamos el movimiento en un sistema de referencia inercial, en el cual lasuperficie sobre la que se rueda esta en reposo.
El punto de contacto de la rueda con la superficie esta instantaneamenteen reposo para que no resbale.
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La velocidad v
1 del punto de contacto, relativa al CM, debe tener lamisma magnitud pero direccion opuesta que vCM.
Si el radio de la rueda es R y su rapidez angular alrededor del centro demasa es , la magnitud de v1 es R: tener
vCM =R (11)
La velocidad de un punto en la rueda es la suma vectorial de vCM y lavelocidad del punto relativa al CM.
As, los puntos 1 (de contacto) esta momentaneamente en reposo, el 2(parte superior) se mueve hacia adelante con el doble de la rapidez delCM, 2 y 4 (a los lados) tienen velocidades a 45 con la horizontal.
En un instante dado, se puede pensar que la rueda gira alrededor de uneje de rotacion instantaneo que pasa por el punto de contacto con elsuelo: rodar sin deslizar.
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La velocidad angular es la misma para este eje que para un eje que pasapor el centro de masa; un observador en el CM ve que el borde da elmismo numero de rpm, como un observador en el borde ve que el centrode masa da alrededor de el.
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La velocidad angular es la misma para este eje que para un eje que pasapor el centro de masa; un observador en el CM ve que el borde da elmismo numero de rpm, como un observador en el borde ve que el centrode masa da alrededor de el.
1 2
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La energa cinetica de la rueda es K= 2I1 , donde I1 es el momento deinercia de la rueda alrededor de un eje que pasa por el punto 1.
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La velocidad angular es la misma para este eje que para un eje que pasapor el centro de masa; un observador en el CM ve que el borde da elmismo numero de rpm, como un observador en el borde ve que el centrode masa da alrededor de el.
1 2
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La energa cinetica de la rueda es K= 2I1 , donde I1 es el momento deinercia de la rueda alrededor de un eje que pasa por el punto 1.
Por el teorema de los ejes paralelos, I1 =ICM+ MR2, donde Mes la
masa total de la rueda e ICMes el momento de inercia con respecto a uneje que pasa por el centro de masa.
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La velocidad angular es la misma para este eje que para un eje que pasapor el centro de masa; un observador en el CM ve que el borde da elmismo numero de rpm, como un observador en el borde ve que el centrode masa da alrededor de el.
1 2
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La energa cinetica de la rueda es K= 2I1 , donde I1 es el momento deinercia de la rueda alrededor de un eje que pasa por el punto 1.
Por el teorema de los ejes paralelos, I1 =ICM+ MR2, donde Mes la
masa total de la rueda e ICMes el momento de inercia con respecto a uneje que pasa por el centro de masa.
La energa cinetica de la rueda sera:
K = 1
2I1
2 = 1
2ICM
2 +1
2MR22
= 1
2ICM
2 +1
2Mv2CM (12)
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Contenido
1 Logros
2 Introduccion
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3 Torque
4 Producto vectorial
5 Centro de masa
6 Torque y aceleracion angular
7 Rotacion de un cuerpo rgido sobre un eje movil
8 Momento angular
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Los seguidores de Aristoteles crean, como el, en la Tierra como centro deun universo estatico de esferas concentricas en rotacion.
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Los seguidores de Aristoteles crean, como el, en la Tierra como centro deun universo estatico de esferas concentricas en rotacion.
Ptolomeo ideo un sistema de planetas clasicos que se movan en uncrculo (epiciclo) centrado sobre otro crculo (deferente), el cual, a su vez,
t b t d l Ti
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estaba centrado en la Tierra.
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Los seguidores de Aristoteles crean, como el, en la Tierra como centro deun universo estatico de esferas concentricas en rotacion.
Ptolomeo ideo un sistema de planetas clasicos que se movan en uncrculo (epiciclo) centrado sobre otro crculo (deferente), el cual, a su vez,
t b t d l Ti
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estaba centrado en la Tierra.
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Copernico se entero de la noticia del exito de Colon a Las Indias y sabaque la Tierra era redonda.
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Copernico se entero de la noticia del exito de Colon a Las Indias y sabaque la Tierra era redonda.
Hizo una idea revolucionaria: La Tierra gira alrededor del sol.
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Copernico se entero de la noticia del exito de Colon a Las Indias y sabaque la Tierra era redonda.
Hizo una idea revolucionaria: La Tierra gira alrededor del sol.
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Kepler intenta afinar el sistema de Copernico e idea un sistema complicadode esferas centradas.
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Kepler intenta afinar el sistema de Copernico e idea un sistema complicadode esferas centradas.
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Kepler intenta afinar el sistema de Copernico e idea un sistema complicadode esferas centradas.
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Heredo los datos de Tycho Brahe y establece tres leyes:
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1 Todos los planetas se desplazan alrededor del sol siguiendo orbitaselpticas. El sol esta en uno de los focos de la elipse.
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1 Todos los planetas se desplazan alrededor del sol siguiendo orbitaselpticas. El sol esta en uno de los focos de la elipse.
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1 Todos los planetas se desplazan alrededor del sol siguiendo orbitaselpticas. El sol esta en uno de los focos de la elipse.
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2 El radio vector que une un planeta y el sol barre areas iguales en tiemposiguales.
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1 Todos los planetas se desplazan alrededor del sol siguiendo orbitaselpticas. El sol esta en uno de los focos de la elipse.
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2 El radio vector que une un planeta y el sol barre areas iguales en tiemposiguales.
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De la segunda ley, calculemos el area que barre en un determinado tiempo,que es aproximadamente a un triangulo:
A= 1
2r(v sen[])
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De la segunda ley, calculemos el area que barre en un determinado tiempo,que es aproximadamente a un triangulo:
A= 1
2r(v sen[])
Si se tiene en cuenta la masa del planeta, se tiene:
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2Am= r(mv) sen[] =rp sen[] = cte
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De la segunda ley, calculemos el area que barre en un determinado tiempo,que es aproximadamente a un triangulo:
A= 1
2r(v sen[])
Si se tiene en cuenta la masa del planeta, se tiene:
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2Am= r(mv) sen[] =rp sen[] = cte
Definiendo una nueva cantidad fsica como
L=r p (13)
L:cantidad de movimento angularomomentum angular.
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De la segunda ley, calculemos el area que barre en un determinado tiempo,que es aproximadamente a un triangulo:
A= 1
2r(v sen[])
Si se tiene en cuenta la masa del planeta, se tiene:
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2Am= r(mv) sen[] =rp sen[] = cte
Definiendo una nueva cantidad fsica como
L=r p (13)
L:cantidad de movimento angularomomentum angular.
Derivemos esta cantidad:
dL
dt =
d(r p)
dt
= drdt
p + r dpdt
=
Captulo 9 Dinamica rotacional
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