線形代数I 演習問題の答え...
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線形代数 I 演習問題の答え (1)
by K. Asai
1. (1) S = (x, y, z) とおく．−−→
PQ =−−→
RS より
4− 1−4 + 21− 3
=
x− 1y
z − 2
．ゆえに x = 4，
y = −2，z = 0． すなわち S = (4,−2, 0)．
(2) 原点をO とする．−−→
OG =1
3
(−−→
OP +−−→
OQ +−−→
OR)=
2−22
．ゆえに G = (2,−2, 2)．
(3)
−−→
GH =−−→
OH −−−→
OG =1
3
(−−→
OQ +−−→
OR +−−→
OS)− 1
3
(−−→
OP +−−→
OQ +−−→
OR)=
1
3
(−−→
OS −−−→
OP)
=1
3
−−→
PS =1
3
30
−3
=
10
−1
.
1.1* △ABC，△OBC の重心をそれぞれE，F とし，−−→
OA= a，−−→
OB= b，−−→
OC = c とおく．
t−−→
OE=−−→
OA + u−−→
AF (1)
となるような，0 ≤ t, u ≤ 1 なる t, u があれば，2つの線分OE とAF は交わる．そこでこのような t, u を見つけてみる．
t−−→
OE= t3(a+ b + c),
−−→
OA +u−−→
AF = a+ u(−−→
OF −−−→
OA)= a + u
[13(b + c)− a
]
なので，(1) より，
t3(a+ b+ c) = a+ u
[13(b+ c)− a
]
⇐⇒(t3− 1 + u
)a+
(t3− u
3
)b+
(t3− u
3
)c = 0
⇐⇒ t3− 1 + u = 0, t
3− u
3= 0 ⇐⇒ t = u = 3
4.
したがって，OE と AF は 1点で交わる．その点をG とすると，−−→
OG= 14(a+ b+ c)．この
式は a, b, c について対称的になっているので，OE と他の（重心と頂点を結ぶ）線分も全く同じ点G で交わることは明らかである．ゆえに題意の線分は 1点G で交わる． (q.e.d.)
2. (1) ||a|| · ||b||− |(a, b)| = ||a|| · ||b||− | ||a|| · ||b|| · cos θ | = ||a|| · ||b||− ||a|| · ||b|| · | cosθ| =||a|| · ||b||(1− | cos θ|) ≥ 0． ∴ |(a, b)| ≤ ||a|| · ||b||． (q.e.d.)(2) ||a+ b||2−||a− b||2 = (a+ b, a+ b)− (a− b, a− b) = (a, a)+ 2(a, b)+ (b, b)− [(a, a)−2(a, b) + (b, b)] = 4(a, b)． (q.e.d.)
(3) ||ka||2 = (ka, ka) = k2(a, a) = k2||a||2. ゆえに ||ka|| = |k| ||a||． (q.e.d.)
1
-
（別解）a =
abc
とおくと，||ka|| =√(ka)2 + (kb)2 + (kc)2 = |k|
√a2 + b2 + c2 = |k| ||a||．
(q.e.d.)
(4) 両辺とも非負なので，両辺を 2乗して ||a+ b||2 ≤ (||a||+ ||b||)2 を示せばよい．
(||a||+ ||b||)2 − ||a+ b||2 = (||a||+ ||b||)2 − (a+ b, a+ b)= ||a||2 + 2||a|| · ||b||+ ||b||2 − [||a||2 + 2(a, b) + ||b||2] = 2[||a|| · ||b|| − (a, b)]= 2 (||a|| · ||b|| − ||a|| · ||b|| cos θ) = 2||a|| · ||b||(1− cos θ) ≥ 0. (q.e.d.)
(5) ||a + b + c||2 − ||a||2 − ||b||2 − ||c||2 = (a + b + c, a + b + c) − ||a||2 − ||b||2 − ||c||2 =||a||2+||b||2+||c||2+2(a, b)+2(b, c)+2(c, a)−||a||2−||b||2−||c||2 = 2[(a, b)+(b, c)+(c, a)]．(q.e.d.)
3. (1)
030
= −3
2
−10
−1
+
1−21
= −3
2
−10
−1
− 3
2
1−21
．
これは，与えられたベクトルが同一平面内にあることを示す．ゆえに線形従属．(2) 与えられたベクトルを a, b, c とする．これらが張る平行 6面体の体積 V を計算する
と，V = (a× b, c) =∣∣∣∣∣∣
−2 1 02 2 13 1 0
∣∣∣∣∣∣= 5 6= 0．ゆえに a, b, c は線形独立．
4. e1 = a+ c，e2 = −b− c，e3 = −b− 2c なので，
(1)
321
= 3(a+ c) + 2(−b− c) + (−b− 2c) = 3a− 3b− c． (2)
1−11
= a．
(3)
1−32
= a+ c− 3(−b− c) + 2(−b− 2c) = a+ b． (4)
000
= 0 (0ベクトル).
4.1
xyz
= t
123
+ u
111
+ v
101
とおくと，t, u, v についての 1次方程式系:
t + u+ v = x2t+ u = y3t+ u+ v = z
が得られる．これを解いて，t = z−x2，u = y − (z − x) = x + y − z，v = x − t − u =
x− z−x2
− (x+ y − z) = x−2y+z2．ゆえに，x = z−x
2a+ (x+ y − z)b + x−2y+z
2c．
（別解）e1 = −12(a − 2(b − c) − 3c)，e2 = b − c，e3 = 12(a − 2(b − c) − c)．これより，
x =
xyz
= xe1 + ye2 + ze3 = −x12(a− 2(b− c)− 3c) + y(b− c) + z 12(a− 2(b− c)− c)
= z−x2a+ (x+ y − z)b + x−2y+z
2c.
5. (1) 与式を変形して 9x = 5− 4y．この式を t とおけば，(
xy
)=
(t9
54− t
4
)=
(054
)+
t
(19
−14
)． (t −→ 36t とおきかえて，
(xy
)=
(054
)+ t
(4
−9
).)
2
-
(2) −x−3 = 2y = z = tとおいて，
xyz
=
−t− 3t2
t
=
−300
+t
−11
2
1
． (t −→ 2t
とおきかえて，
xyz
=
−300
+ t
−212
.)
(3) 4x+3 = 6y+5 = −2z+1 = t とおいて，
xyz
=
t4− 3
4t6− 5
6
− t2+ 1
2
=
− 34
− 561
2
+ t
1
41
6
− 12
．
(t −→ 12t とおきかえて，
xyz
=
− 34
− 561
2
+ t
32
−6
.)
6. 1つ 1つの方程式で表される各平面の法線ベクトルはそれぞれ(
11
−2
)，(
1−13
)であ
り，これらに垂直なベクトル v は，与えられた直線 l の方向ベクトルである．v を求め
ると v =(
11
−2
)×(
1−13
)=
(1
−5−2
)．あとは l 上の点 P を 1つ求めるためにたとえば
P = (x, y, 0)とおけば x = 3，y = 2．よって lのベクトル表示は(
xyz
)=
(320
)+t
(1
−5−2
).
7. 2平面の法線ベクトル u，vの交角 θ に対し，0 ≤ θ ≤ π となるから，sin θ ≥ 0．そこで，sin2 θ を求めると，
sin2 θ = 1− cos2 θ = 1− ||u||2||v||2 cos2 φ||u||2||v||2 = 1−
(u, v)2
||u||2||v||2 =13
28.
∴ sin θ =1
2
√13
7.
8. (1) 平面の法線ベクトルは(
121
)，(
201
)に垂直なので，
(121
)×(
201
)=
(21
−4
)と求
まる．またこの平面は原点を通る．これより平面の方程式は，2x+ y − 4z = 0．
(2) 平面の法線ベクトルは(
223
)，(
52
−1
)に垂直なので，
(223
)×(
52
−1
)=
(−817−6
)．また
この平面は (−1, 1, 3) を通るので，平面の方程式は，−8(x+1)+17(y− 1)− 6(z− 3) = 0．すなわち，−8x+ 17y − 6z = 7．
(3)
(xyz
)=
(−112
)+ t
(214
)=
(−112
)+
(2tt4t
)=
(−1 + 2t1 + t2 + 4t
)．ゆえに t =
x+ 1
2，
t = y − 1，t = z − 24．これより求める方程式は，
x+ 1
2= y − 1 = z − 2
4．
(4)
(xyz
)=
(1
−2−3
)+ t
(109
)=
(1 + t−2
−3 + 9t
)．t を消去して x− 1 = z + 3
9，y = −2．（こ
のように，方向ベクトルに 0が含まれているときは，式が 2つに分かれるので注意）
(5) 平面の法線ベクトルは(
501
)，(
0−32
)に垂直なので，
(501
)×(
0−32
)=
(3
−10−15
)．ま
たこの平面は (3, 4, 5)を通るので，平面の方程式は，3(x− 3)− 10(y− 4)− 15(z− 5) = 0．すなわち，3x− 10y − 15z = −106．
3
-
9. (1) 平面の法線ベクトルは(
12
−1
)で，これに垂直なベクトルとして，たとえば
(2
−10
)，
(101
)を取ることができる．（それらは 1通りには決まらない）またこの平面は (1, 1, 0) を
通る．これらより平面のベクトル表示(
xyz
)=
(110
)+ t
(2
−10
)+ u
(101
)を得る．
(2) 平面の法線ベクトルは(
321
)で，これに垂直なベクトルとして，
(−103
)，(
0−12
)を
取れる．またこの平面は原点を通る．これらより平面のベクトル表示(
xyz
)= t
(−103
)+
u
(0
−12
)を得る．
(3) 平面の法線ベクトルは(
50
−8
)で，これに垂直なベクトルとして，
(805
)，(
010
)を取
れる．またこの平面は (5, 0, 0) を通る．これらより平面のベクトル表示(
xyz
)=
(500
)+
t
(805
)+ u
(010
)を得る．
10. (1)(
5 15 10−2 1 2
)
−1 −12 −1
−2 2
=
(5 00 5
)．
(2)
(0 1 01 0 00 0 1
)(a b cd e fg h i
)=
(d e fa b cg h i
)． （行の入れ替え）
(3)
(a b cd e fg h i
)(0 1 01 0 00 0 1
)=
(b a ce d fh g i
)． （列の入れ替え）
11.* 空間ベクトル a, a′ の張る平行四辺形P の面積 S は，S = ||a× a′|| で表される．したがって
S2 = (bc′ − b′c)2 + (ca′ − c′a)2 + (ab′ − a′b)2 (2)
となる．一方 P の xy 平面への正射影P1 は(
ab0
)，(
a′
b′
0
)で張られる平行四辺形となる．
その面積は S1 = |ab′ − a′b| となる．同様に S2 = |bc′ − b′c|，S3 = |ac′ − a′c| を得る．このことと (2) より S2 = S21 + S
22 + S
23 を得る． (q.e.d.)
12. (1)
(yzx
)=
(0 1 00 0 11 0 0
)(xyz
)= A
(xyz
)(*) である． ∴ A =
(0 1 00 0 11 0 0
)． (*) より，
(xyz
)= A
(zxy
)= A2
(yzx
)= A3
(xyz
). (3)
(3) において(
xyz
)は任意のベクトルなので，A3 = E3 であることがわかる．同様にし
4
-
て，A2 =(
0 0 11 0 00 1 0
)を得る．ゆえに，
A3m = E3, A3m+1 =
(0 1 00 0 11 0 0
), A3m+2 =
(0 0 11 0 00 1 0
)(m = 0, 1, 2, . . .).
メモ: A2，A3 を直接計算してももちろんよい．(2)
Tx =
(5x− 2y + 3z3x+ 5y − 2z
−2x+ 3y + 5z
)=
(5 −2 33 5 −2
−2 3 5
)(xyz
)= Ax. ∴ A =
(5 −2 33 5 −2
−2 3 5
).
(3)
Tx =
(2x− y − z
−x+ 2y − z−x− y + 2z
)=
(2 −1 −1
−1 2 −1−1 −1 2
)(xyz
)= Ax. ∴ A =
(2 −1 −1
−1 2 −1−1 −1 2
).
A2 =
(2 −1 −1
−1 2 −1−1 −1 2
)2=
(6 −3 −3
−3 6 −3−3 −3 6
)= 3A.
∴ An = 3An−1 = 32An−2 = · · · = 3n−1A = 3n−1(
2 −1 −1−1 2 −1−1 −1 2
).
13. (1) Tx = Px とおくと，P =(
3 −2 −31 2 22 −1 −3
)となり，Sx = Qx とおくと，
Q =
(2 −2 11 −2 22 2 −1
)となる． ∴ (ST )x = S(Tx) = Q(Px) = (QP )x = Ax．
∴ A = QP =(
2 −2 11 −2 22 2 −1
)(3 −2 −31 2 22 −1 −3
)=
(6 −9 −135 −8 −136 1 1
).
(2) (TS)x = T (Sx) = P (Qx) = (PQ)x = Bx．
∴ B = PQ =(
3 −2 −31 2 22 −1 −3
)(2 −2 11 −2 22 2 −1
)=
(−2 −8 28 −2 3
−3 −8 3
).
14. (1)x
3= −y − 2 = z + 1
2= t とおけば，l のベクトル表示は，
x =
(3t
−t− 22t− 1
)=
(0
−2−1
)+ t
(3
−12
).
ゆえに，l′ のベクトル表示は，
x′ = Ax =
(2 −2 33 1 23 2 1
)[(0
−2−1
)+ t
(3
−12
)]=
(1
−4−5
)+ t
(14129
).
ここから t を消去して，l′ の方程式:x− 114
=y + 4
12=
z + 5
9を得る．
(2) −x+ 210
=y − 33
=z − 312
= t とおけば，l のベクトル表示は，
x =
(−10t− 23t+ 312t + 3
)=
(−233
)+ t
(−10
312
).
5
-
ゆえに，l′ のベクトル表示は，
x′ = Ax =
(2 −2 33 1 23 2 1
)[(−233
)+ t
(−10
312
)]=
(−133
)+ t
(10−3
−12
).
これより l′ の方程式は，x+ 1
10= −y − 3
3= −z − 3
12．
(3) S の法線ベクトルは(
31
−4
)で，これに垂直なベクトルとして，
(−130
)，(
403
)を取
れる．また S は (1,−1, 0) を通る．ゆえに S のベクトル表示は，
x =
(1
−10
)+ t
(−130
)+ u
(403
).
ゆえに，S ′ のベクトル表示は，
x′ = Ax =
(2 −2 33 1 23 2 1
) [(1
−10
)+ t
(−130
)+ u
(403
)]=
(421
)+ t
(−803
)+ u
(171815
).
これを方程式に直す．S ′ の法線ベクトルは(
−803
)×(
171815
)=
(−3× 183× 57
−8× 18
)×(−1/9)−→
(6
−1916
)
とできる．またS ′は (4, 2, 1)を通る．ゆえに，S ′の方程式は 6(x−4)−19(y−2)+16(z−1) =0，すなわち，6x− 19y + 16z = 2．
(4) S の法線ベクトルは(
2−33
)で，これに垂直なベクトルとして，
(320
)，(
−302
)を取
れる．また S は (0, 0, 1) を通る．ゆえに S のベクトル表示は，
x =
(001
)+ t
(320
)+ u
(−302
).
ゆえに，S ′ のベクトル表示は，
x′ = Ax =
(2 −2 33 1 23 2 1
)[(001
)+ t
(320
)+ u
(−302
)]=
(321
)+ t
(2
1113
)+ u
(0
−5−7
).
これを方程式に直す．S ′ の法線ベクトルは，(
21113
)×(
057
)=
(12
−1410
)×1/2−→
(6
−75
)．ま
た S ′ は (3, 2, 1) を通る．ゆえに，S ′ の方程式は 6(x− 3)− 7(y− 2) + 5(z− 1) = 0，すなわち，6x− 7y + 5z = 9．
(5) S の法線ベクトルは(
01
−1
)で，これに垂直なベクトルとして，
(100
)，(
011
)を取れ
る．また S は (0, d, 0) を通る．ゆえに S のベクトル表示は，
x =
(0d0
)+ t
(100
)+ u
(011
).
ゆえに，S ′ のベクトル表示は，
x′ = Ax =
(2 −2 33 1 23 2 1
) [(0d0
)+ t
(100
)+ u
(011
)]=
(−2d
d2d
)+ t
(233
)+ u
(133
).
6
-
これを方程式に直す．S ′ の法線ベクトルは，(
233
)×(
133
)=
(0
−33
)×(−1/3)−→
(01
−1
)．S ′
が (−2d, d, 2d) を通ることに注意すれば，S ′ の方程式は y − d− (z − 2d) = 0，すなわち，y − z = −d．（これは原点に関して S と対称な平面になる）15.メモ: [14.] と同様ですが，本問では直線，平面とも原点を通っているので，これらはどんな行列を使ったとしても必ず原点を通る像に移されることに注意します．また，一般に元の図形が原点を通るかどうかにかかわらず，直線が点に，平面が直線や点に移ってしまうこともあります．(2) 参照．
15. (1) 2x = −y = 3z = t とおいて，直線 l のベクトル表示 x =(
t/2−tt/3
)= t
(1/2−11/3
)を得
る．ここで t を 6t とおき直せば x = t(
3−62
)のように分母を払える．ゆえに，l′ のベク
トル表示は，
x′ = Ax = t
(1 0 1
−1 2 00 2 1
)(3
−62
)= t
(5
−15−10
)= t′
(1
−3−2
). (5t = t′ とおいた)
これより l′ の方程式は， x = −y3= −z
2．
(2) 平面 S の法線ベクトルは(
526
)で，これに垂直なベクトルとして，
(−250
)，(
−605
)
を取れる． また S は原点を通る．これらより S のベクトル表示 x = t(
−250
)+ u
(−605
)
を得る．ゆえに S ′ のベクトル表示は
x′ = Ax =
(1 0 1
−1 2 00 2 1
)[t
(−250
)+ u
(−605
)]= t
(−21210
)+ u
(−165
).
これらのベクトルは平行だから 2t + u = t′ とおくとまとめることができて，
x′ = t′(
−165
)(*)．これより S ′ は直線となることがわかる．(*)を方程式に直すと −x =
y/6 = z/5．
16. 平面 Sd の法線ベクトルは(
111
)で，これに垂直なベクトルとして，
(−110
)，(
−101
)
を取れる．また Sd は (d, 0, 0) を通る．ゆえに Sd のベクトル表示は，
x =
(d00
)+ t
(−110
)+ u
(−101
).
ゆえに，TA(Sd) = S ′d のベクトル表示は，
x′ = Ax = k
(2 1 11 2 11 1 2
)[(d00
)+ t
(−110
)+ u
(−101
)]
= k
(2ddd
)+ kt
(−110
)+ ku
(−101
).
これを方程式に直す．S ′d の法線ベクトルは明らかに(
111
)であり，S ′dが (2kd, kd, kd)を通
7
-
ることに注意すれば，S ′dの方程式は x−2kd+y−kd+z−kd = 0，すなわち x+y+z = 4kd．これが Sd の方程式と一致するので，k = 14 となる．
17. (1)は (2)の特別な場合なので，(2)の解を示す．(2) 特殊な点を TA で移した結果を式にすれば A を求められる．まず TA は l : y = mx に関する折り返しをあらわすの
だから l 上の点の位置ベクトル(
1m
)は TA によって動かない．また
(m−1
)を l に
関して折り返すと(
−m1
)に移る．よって A
(1 mm −1
)=(
1 −mm 1
)．これを解いて
A = 1m2+1
(1−m2 2m2m m2 − 1
)．(1) はm = 2 の場合だから A = 1
5
(−3 44 3
)．
（別解）(2) 平面上の点P の位置ベクトルを x =(
xy
)，l : y = mx に関してP と対称の位
置にある点P ′ の位置ベクトルを x′ =(
x′
y′
)とおく．すると，P と P ′ の中点は l 上にあ
るので，(x + x′)/2 =(
x0y0
)とすれば y0 = mx0．すなわち，
y+y′
2= mx+x
′
2．
∴ y + y′ = m(x + x′) (*)．線分 PP ′ は l と直交するから， y′−y
x′−x= − 1
m(**)． (*)，(**)
を連立させて解くと，x′ = 1
m2+1[(1−m2)x+ 2my]，y′ = 1
m2+1[2mx+ (m2 − 1)y]．すなわち，
x′ = 1m2+1
(1−m2 2m2m m2 − 1
)x．ゆえに，A = 1
m2+1
(1−m2 2m2m m2 − 1
)．
18. (1) 2次行列のときに示す．A =(
a bc d
)，B =
(p qr s
)とおく．
|AB| =∣∣∣∣ap+ br aq + bscp+ dr cq + ds
∣∣∣∣ = (ap+ br)(cq + ds)− (aq + bs)(cp + dr)= apds+ brcq − aqdr − bscp.
|A||B| = (ad− bc)(ps− qr) = adps− adqr − bcps+ bcqr.∴ |AB| = |A||B|.
(2) 3次行列のときに示す．A =(
a b cd e fg h i
)とおく．サラスの公式より，
|A| =∣∣∣∣∣
a b cd e fg h i
∣∣∣∣∣ = aei+ bfg + cdh− afh− bdi− ceg.
|tA| =∣∣∣∣∣
a d gb e hc f i
∣∣∣∣∣ = aei+ dhc+ gbf − ahf − dbi− gec.∴ |A| = |tA|.
メモ: [18.](1)(2)の公式は，n 次行列でもなりたつ．
19.(
1 01 1
)(x yz w
)=(
x yz w
)(1 01 1
)より
(x y
x+ z y + w
)=(
x+ y yz + w w
)．
ゆえに次の 1次方程式系をみたすことが必要十分である:
{y = 0x = w
．この条件より求める
行列は(
x 0z x
)（x, z は任意）．
20. (1)（左辺）= yz2 + zx2 + xy2 − zy2 − xz2 − yx2．（右辺）= −(x− y)(z2−xz− yz+ xy) = −xz2 + x2z+ xyz−x2y+ yz2−xyz− y2z+ xy2= −xz2 + x2z − x2y + yz2 − y2z + xy2． ゆえに （左辺）=（右辺）． (q.e.d.)
8
-
（別解 I）(1)（左辺）= yz2+zx2+xy2−zy2−xz2−yx2 = (z−y)x2+(y2−z2)x+yz2−zy2 =−(y − z)[x2 − (y + z)x+ yz] = −(y − z)(x− y)(x− z) =（右辺）． (q.e.d.)（別解 II）(1) 両辺を x についての多項式と思って等式を示す．まず左辺は x については 2次式であり x2 の係数は (z− y) である．次に左辺において x = y，x = z を各々代入すると 0になる．このことから 因数定理より左辺は (x− y)，(x− z) で割り切れるので，結局（左辺）= (z − y)(x− y)(x− z) =（右辺）． (q.e.d.)(2) ω3 = 1，ω + ω2 = −1 に注意しながら両辺を計算すれば（左辺）= a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b+ c)(a2 + b2 + c2 − ab− bc− ca)，（右辺）= (a+ b+ c)[a2 + (ωb+ ω2c+ ω2b+ ωc)a+ (ωb+ ω2c)(ω2b+ ωc)]= (a + b+ c)[a2 + (−b− c)a+ (b2 − bc+ c2)] = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 − ab− bc− ca)．ゆえに （左辺）=（右辺）． (q.e.d.)
（別解）(2)両辺を aについての多項式と思って等式を示す．まず左辺は aについては 3次式であり a3の係数は1である．次に左辺において a = −b−c，a = −ωb−ω2c，a = −ω2b−ωcを各々代入する．a = −b− c を代入した場合は 2行と 3行を 1行に加えることで 1行が 0ベクトルになり，行列式 = 0 がわかる．a = −ωb− ω2c の場合は ω2 ×（2行）と ω ×（3行）を 1行に加えることで 1行が 0ベクトルになり，行列式 = 0がわかる．a = −ω2b−ωcの場合は ω×（2行）と ω2×（3行）を 1行に加えることで 1行が 0ベクトルになり，行列式 = 0がわかる．したがって，因数定理より行列式は右辺のように分解される． (q.e.d.)
21. (1) xty = (1+2t+3t2+ · · ·+ntn−1) (∗)．ゆえに t 6= 1のとき (∗) = ((t + t2 + · · ·+ tn)′)=(( t−t
n+1
1−t)′)=(1−(n+1)tn+ntn+1
(1−t)2
). t = 1 のとき (∗) =
(n(n+1)
2
)．
(2) txy =
1 t tn−1
2 2t 2tn−1
· · ·n nt ntn−1
． (3) xtx = (12 + 22 + 32 + · · ·+ n2) =
(n(n+1)(2n+1)
6
)．
(4) tyy =
1 t · · · tn−1
t t2 · · · tn
· · · · · ·tn−1 tn · · · t2n−2
．
(5) 素直に計算してもよいが，ここでは以下のように変形する．txyt(txy) = txy(tyx) =
tx(yty)x = (ytyはスカラーゆえ) = (yty)(txx) = (1+ t2+ · · ·+ t2n−2)
1 2 · · · n2 4 · · · 2n
· · ·n 2n · · · n2
(∗)．
t 6= ±1 ならば (∗) = 1− t2n
1− t2
1 2 · · · n2 4 · · · 2n
· · ·n 2n · · · n2
. t = ±1 ならば (∗) = n
1 2 · · · n2 4 · · · 2n
· · ·n 2n · · · n2
．
21.1 (tab)n = (tab)(tab) · · · (tab)︸ ︷︷ ︸n
= ta (bta)(bta) · · · (bta)︸ ︷︷ ︸n−1
b (∗)．ここで (bta) はスカラーだ
から， (∗) = (bta)n−1(tab) = (a1b1 + a2b2 + · · ·+ anbn)n−1
a1b1 a1b2 · · · a1bna2b1 a2b2 · · · a2bn
· · ·anb1 anb2 · · · anbn
.
22. (1)
1 2 03 4 00 0 −1
1 2 03 4 00 0 −1
=
(1 23 4
)(1 23 4
)+
(00
)(0 0
) ( 1 23 4
)(00
)+
(00
)(−1
)
(0 0
)( 1 23 4
)+(
−1)(
0 0) (
0 0)( 0
0
)+(
−1)(
−1)
=
7 10 015 22 00 0 1
.
9
-
(2)
3 2 1 01 0 1 00 0 0 2
2 0 0 10 2 0 20 0 2 11 1 1 2
=
(3 2 11 0 1
)( 2 0 00 2 00 0 2
)+
(00
)(1 1 1
) ( 3 2 11 0 1
)( 121
)+
(00
)(2)
(0 0 0
)(
2 0 00 2 00 0 2
)+(
2)(
1 1 1) (
0 0 0)(
121
)+(
2)(
2)
=
6 4 2 82 0 2 22 2 2 4
.
(3)(
A −EE A−1
)(A−1 E −A−1 −E−E E +A −A
)=
(AA−1 + E A(E −A−1)− (E +A) −A+AA−1 −A−1 E −A−1 +A−1(E +A) −E −A−1A
)=(
2E −2E OO 2E −2E
).
23.* A = (aij)，B = (bij) とする．t(AB) の (i, j) 成分は AB の (j, i) 成分であり，それは
m∑
k=1
ajkbki (4)
で表される．一方，tA = (ãij)，tB = (b̃ij) とおくと，tBtA の (i, j) 成分は
m∑
k=1
b̃ikãkj =m∑
k=1
bkiajk. (5)
(4),(5) より，t(AB) と tBtA の各成分が一致したから，t(AB) = tBtA． (q.e.d.)
24.メモ: [24.] の証明では，“正方行列M に対してX が存在してMX = E またはXM = Eのどちらか一方がなりたてば M は正則になる” という定理をつかっています．
24. （必要性）A =(
P QO S
)が正則であるとすると，逆行列 X =
(X11 X12X21 X22
)を持つ．
（ただし X11，X22 はそれぞれ r, s 次行列とする．） ここで
AX =(
PX11 +QX21 PX12 +QX22SX21 SX22
)= E
より SX22 = Es を得て，S は正則となる．そのことと SX21 = O より，左から S−1 をかけて X21 = O を得る．これを PX11 + QX21 = Er に代入して PX11 = Er を得る．よって P も正則である．ゆえに P, S は共に正則となる．（XA =
(X11P X11Q+X12SX21P X21Q+X22S
)= E を
用いれば X11P = Er，X22S = Es が得られる．）
（十分性）P, S が共に正則とする．このとき X =(
P−1 −P−1QS−1O S−1
)とおくと AX =
XA = E がなりたち，X はA の逆行列となる．ゆえにA は正則となる． (q.e.d.)
25.* ΘθΘφ =(
cos θ − sin θsin θ cos θ
)(cosφ − sinφsinφ cosφ
)=
(cos θ cosφ− sin θ sinφ − cos θ sinφ− sin θ cosφsin θ cosφ+ cos θ sinφ − sin θ sinφ+ cos θ cosφ
)=(
cos(θ + φ) − sin(θ + φ)sin(θ + φ) cos(θ + φ)
)= Θθ+φ
となることに注意すると，
10
-
与式=(
(cosα cosβ)ΘθΘφ − (sinα sinβ)ΘθΘφ −(cosα sinβ)ΘθΘφ − (sinα cosβ)ΘθΘφ(sinα cosβ)ΘθΘφ + (cosα sinβ)ΘθΘφ −(sinα sinβ)ΘθΘφ + (cosα cosβ)ΘθΘφ
)
=(
(cos(α + β))ΘθΘφ −(sin(α+ β))ΘθΘφ(sin(α + β))ΘθΘφ (cos(α+ β))ΘθΘφ
)=(
(cos(α+ β))Θθ+φ −(sin(α+ β))Θθ+φ(sin(α+ β))Θθ+φ (cos(α+ β))Θθ+φ
).
26. 各行列をA とおく．以下，いくらかの基本変形をまとめて行っているところもある．はじめのうちは，変形の内容も簡潔に矢印に付記することが望ましい．
(1)
(6 −1 −11 1 18 1 1
)−→
(1 1 16 −1 −18 1 1
)−→
(1 1 10 −7 −70 −7 −7
)−→
(1 0 00 −7 −70 −7 −7
)−→
(1 0 00 1 10 −7 −7
)−→
(1 0 00 1 10 0 0
)−→
(1 0 00 1 00 0 0
)． ∴ r(A) = 2．
(2)
1 2 1 1
−1 −1 −1 12 3 4 59 8 7 6
−→
1 2 1 10 1 0 20 −1 2 30 −10 −2 −3
−→
1 0 0 00 1 0 20 −1 2 30 −10 −2 −3
−→
1 0 0 00 1 0 20 0 2 50 0 −2 17
−→
1 0 0 00 1 0 00 0 2 50 0 −2 17
−→
1 0 0 00 1 0 00 0 1 50 0 −1 17
−→
1 0 0 00 1 0 00 0 1 50 0 0 22
−→
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 22
−→ E4． ∴ r(A) = 4.
(3)
0 0 1 −10 0 3 52 4 6 81 2 5 5
−→
1 2 5 50 0 3 52 4 6 80 0 1 −1
−→
1 2 5 50 0 3 50 0 −4 −20 0 1 −1
−→
1 0 0 00 0 3 50 0 −4 −20 0 1 −1
−→
1 0 0 00 0 1 −10 0 −4 −20 0 3 5
−→
1 0 0 00 1 0 −10 −4 0 −20 3 0 5
−→
1 0 0 00 1 0 −10 0 0 −60 0 0 8
−→
1 0 0 00 1 0 00 0 0 −60 0 0 8
−→
1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 0 8
−→
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 8 0
−→
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 0
．
∴ r(A) = 3.
(4)
(0 1 1 1 0 01 0 1 0 1 01 1 0 0 0 1
)−→
(1 0 0 0 1 10 1 0 1 0 10 0 1 1 1 0
)−→
(E3 O
)． ∴ r(A) = 3.
(5)
3 4 5 1 24 5 1 2 35 1 2 3 41 2 3 4 5
−→
3 4 5 1 24 5 1 2 31 −4 1 1 11 2 3 4 5
−→
3 4 5 1 21 1 −4 1 11 −4 1 1 11 2 3 4 5
−→
1 1 −4 1 13 4 5 1 21 −4 1 1 11 2 3 4 5
−→
1 1 −4 1 10 1 17 −2 −10 −5 5 0 00 1 7 3 4
−→
1 0 0 0 00 1 17 −2 −10 −5 5 0 00 1 7 3 4
−→
1 0 0 0 00 1 17 −2 −10 1 −1 0 00 1 7 3 4
−→
1 0 0 0 00 1 −1 0 00 1 17 −2 −10 1 7 3 4
−→
1 0 0 0 00 1 −1 0 00 0 18 −2 −10 0 8 3 4
−→
1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 18 −2 −10 0 8 3 4
−→
1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 −1 −2 180 0 4 3 8
−→
1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 −2 180 0 −4 3 8
−→
11
-
1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 −2 180 0 0 −5 80
−→
1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 −5 80
−→
1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 80
−→
1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 0
． ∴ r(A) = 4.
(6) (i) x 6= 0 のとき
x 0 0 . . . 10 x 0 . . . 10 0 x . . . 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1 . . . 1 x
−→
1 0 0 . . . 1/x0 1 0 . . . 1/x0 0 1 . . . 1/x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1 . . . 1 x
−→
1 0 0 . . . 1/x0 1 0 . . . 1/x0 0 1 . . . 1/x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 0 x− (n− 1)/x
−→
(En−1 0
t0 x− (n− 1)/x
)．
ここで x− (n− 1)/x = 0 すなわち x = ±√n− 1 のとき，r(A) = n− 1．
x− (n− 1)/x 6= 0 すなわち x 6= ±√n− 1 のとき，r(A) = n．
(ii) x = 0 のとき
0 0 . . . 10 0 . . . 1. . . . . . . . . . . . . .1 1 . . . 0
−→
1 1 . . . 00 0 . . . 1. . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1
−→
1 1 . . . 00 0 . . . 10 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 0
−→
1 0 1 . . . 10 1 0 . . . 00 0 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 0
−→(
E2 OO O
)． ∴ r(A) = 2．
∴ x = ±√n− 1のとき r(A) = n−1，x = 0のとき r(A) = 2，それ以外のとき r(A) = n．
27. (1)
(9 0 00 1 20 3 5
)−1=
(1/9 O
O
(1 23 5
)−1)=
(1/9 0 00 −5 20 3 −1
)．
(2)
(−4 5 0−1 1 00 0 5
)−1=
(
−4 5−1 1
)−1O
O 1/5
=(
1 −5 01 −4 00 0 1/5
)．
(3)
2 1 0 0
−3 −2 0 00 0 3 −50 0 1 −2
−1
=
(2 1
−3 −2
)−1O
O
(3 −51 −2
)−1
=
2 1 0 0
−3 −2 0 00 0 2 −50 0 1 −3
．
(4)(
A BO C
)−1=(
A−1 −A−1BC−1O C−1
)ゆえ，(3) の結果を利用して，
2 1−3 −2
E
O3 −51 −2
−1
=
(2 1
−3 −2
)−1−
(2 1
−3 −2
)−1(3 −51 −2
)−1
O
(3 −51 −2
)−1
=
2 1−3 −2
−
(2 1
−3 −2
)(2 −51 −3
)
O2 −51 −3
=
2 1 −5 13−3 −2 8 −210 0 2 −50 0 1 −3
.
12
-
(5)(
A OB C
)−1=(
A−1 O−C−1BA−1 C−1
)ゆえ，(3) の結果を利用して，
3 −51 −2
O
E2 1
−3 −2
−1
=
(3 −51 −2
)−1O
−
(2 1
−3 −2
)−1(3 −51 −2
)−1 (2 1
−3 −2
)−1
=
2 −51 −3
O
−
(2 1
−3 −2
)(2 −51 −3
)2 1
−3 −2
=
2 −5 0 01 −3 0 0
−5 13 2 18 −21 −3 −2
.
(6)(
E AB O
)−1=(
O B−1
A−1 P
)の形になると予想し計算してみると，
(E AB O
)(O B−1
A−1 P
)=(
E B−1 +APO E
).
これが E =(
Er OO Es
)となればよいので，P = −A−1B−1 を得る．またこのとき，
(O B−1
A−1 −A−1B−1)(
E AB O
)= E となる． ∴
(E AB O
)−1=(
O B−1
A−1 −A−1B−1).
（もちろん，(
E AB O
)−1=(
X11 X12X21 X22
)とおいて解いてもよい）
28. (1)
(1 1 2 1 0 02 1 3 0 1 03 1 2 0 0 1
)−→
(1 1 2 1 0 00 −1 −1 −2 1 00 −2 −4 −3 0 1
)−→
(1 1 2 1 0 00 1 1 2 −1 00 −2 −4 −3 0 1
)
−→(
1 0 1 −1 1 00 1 1 2 −1 00 0 −2 1 −2 1
)−→
(1 0 1 −1 1 00 1 1 2 −1 00 0 1 −1/2 1 −1/2
)−→
(1 0 0 −1/2 0 1/20 1 0 5/2 −2 1/20 0 1 −1/2 1 −1/2
)． ゆえに A−1 =
(−1/2 0 1/25/2 −2 1/2
−1/2 1 −1/2
)．
(2)
0 0 a −1 1 0 0 00 a −1 0 0 1 0 0a −1 0 0 0 0 1 0
−1 0 0 0 0 0 0 1
−→
−1 0 0 0 0 0 0 1a −1 0 0 0 0 1 00 a −1 0 0 1 0 00 0 a −1 1 0 0 0
−→
1 0 0 0 0 0 0 −1a −1 0 0 0 0 1 00 a −1 0 0 1 0 00 0 a −1 1 0 0 0
−→
1 0 0 0 0 0 0 −10 −1 0 0 0 0 1 a0 a −1 0 0 1 0 00 0 a −1 1 0 0 0
−→
1 0 0 0 0 0 0 −10 1 0 0 0 0 −1 −a0 a −1 0 0 1 0 00 0 a −1 1 0 0 0
−→
1 0 0 0 0 0 0 −10 1 0 0 0 0 −1 −a0 0 −1 0 0 1 a a2
0 0 a −1 1 0 0 0
−→
1 0 0 0 0 0 0 −10 1 0 0 0 0 −1 −a0 0 1 0 0 −1 −a −a2
0 0 a −1 1 0 0 0
−→
1 0 0 0 0 0 0 −10 1 0 0 0 0 −1 −a0 0 1 0 0 −1 −a −a2
0 0 0 −1 1 a a2 a3
−→
1 0 0 0 0 0 0 −10 1 0 0 0 0 −1 −a0 0 1 0 0 −1 −a −a2
0 0 0 1 −1 −a −a2 −a3
． ゆえに A−1 =
0 0 0 −10 0 −1 −a0 −1 −a −a2
−1 −a −a2 −a3
．
(3)
(7 −8 8 1 0 0
−4 5 −6 0 1 01 −2 3 0 0 1
)−→
(1 −2 3 0 0 1
−4 5 −6 0 1 07 −8 8 1 0 0
)−→
(1 −2 3 0 0 10 −3 6 0 1 40 6 −13 1 0 −7
)
13
-
−→(
1 −2 3 0 0 10 1 −2 0 −1/3 −4/30 6 −13 1 0 −7
)−→
(1 0 −1 0 −2/3 −5/30 1 −2 0 −1/3 −4/30 0 −1 1 2 1
)−→
(1 0 −1 0 −2/3 −5/30 1 −2 0 −1/3 −4/30 0 1 −1 −2 −1
)−→
(1 0 0 −1 −8/3 −8/30 1 0 −2 −13/3 −10/30 0 1 −1 −2 −1
)．
ゆえに A−1 =(
−1 −8/3 −8/3−2 −13/3 −10/3−1 −2 −1
)．
(4)*
a 0 0 b 1 0 0 00 a b 0 0 1 0 00 b a 0 0 0 1 0b 0 0 a 0 0 0 1
−→
a− b 0 0 b− a 1 0 0 −10 a b 0 0 1 0 00 b a 0 0 0 1 0b 0 0 a 0 0 0 1
−→
a− b 0 0 b− a 1 0 0 −10 a− b b− a 0 0 1 −1 00 b a 0 0 0 1 0b 0 0 a 0 0 0 1
−→
1 0 0 −1 1a−b
0 0 −1a−b
0 1 −1 0 0 1a−b
−1
a−b0
0 b a 0 0 0 1 0b 0 0 a 0 0 0 1
−→
1 0 0 −1 1a−b
0 0 −1a−b
0 1 −1 0 0 1a−b
−1
a−b0
0 b a 0 0 0 1 0
0 0 0 a+ b −ba−b
0 0 aa−b
−→
1 0 0 −1 1a−b
0 0 −1a−b
0 1 −1 0 0 1a−b
−1
a−b0
0 0 a+ b 0 0 −ba−b
aa−b
0
0 0 0 a+ b −ba−b
0 0 aa−b
−→
1 0 0 −1 1a−b
0 0 −1a−b
0 1 −1 0 0 1a−b
−1
a−b0
0 0 1 0 0 −ba2−b2
a
a2−b20
0 0 0 1 −ba2−b2
0 0 aa2−b2
−→
1 0 0 −1 1a−b
0 0 −1a−b
0 1 0 0 0 aa2−b2
−b
a2−b20
0 0 1 0 0 −ba2−b2
a
a2−b20
0 0 0 1 −ba2−b2
0 0 aa2−b2
−→
1 0 0 0 aa2−b2
0 0 −ba2−b2
0 1 0 0 0 aa2−b2
−b
a2−b20
0 0 1 0 0 −ba2−b2
a
a2−b20
0 0 0 1 −ba2−b2
0 0 aa2−b2
．
ゆえに A−1 =1
a2 − b2
a 0 0 −b0 a −b 00 −b a 0−b 0 0 a
．
29. (AB)(B−1A−1) = (B−1A−1)(AB) = E を示せばよい．
(AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AEA−1 = AA−1 = E.(B−1A−1)(AB) = B−1(A−1A)B = B−1EB = B−1B = E. (q.e.d.)
30. AA−1 = A−1A = E の各辺の転置を取って，t (AA−1) = t (A−1A) = E．∴ t (A−1) tA = tA t (A−1) = E． ∴ (tA)−1 = t (A−1)． (q.e.d.)
31.* 1列から (n− 1) 列までを n 列に加えると，
1 x x . . . xx 1 x . . . xx x 1 . . . x. . . . . . . . . . . . . . . . . .x x x . . . 1
−→
1 x x . . . 1 + (n− 1)xx 1 x . . . 1 + (n− 1)xx x 1 . . . 1 + (n− 1)x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x x x . . . 1 + (n− 1)x
(6)
ここで 1 + (n− 1)x 6= 0，すなわち x 6= − 1n−1のとき，
(6) −→
1 x x . . . 1x 1 x . . . 1x x 1 . . . 1. . . . . . . . . . . . . . . . . .x x x . . . 1
−→
1− x 0 0 . . . 10 1− x 0 . . . 10 0 1− x . . . 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1
(7)
14
-
さらに x 6= 1 のとき，
(7) −→
1 0 0 . . . 10 1 0 . . . 10 0 1 . . . 1. . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1
−→ En. ∴ r(A) = n. (8)
また (7) で x = 1 のとき，
(7) −→
1 0 . . . 01 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . .1 0 . . . 0
−→ Fnn(1). ∴ r(A) = 1. (9)
(6) にもどって，x = − 1n−1のとき，x 6= 1, 0 に注意して，
(6) =
1 x x . . . 0x 1 x . . . 0x x 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .x x x . . . 0
−→
1− x 0 . . . 0 00 1− x . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1− x 0x x . . . x 0
−→
1 0 . . . 0 00 1 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1 01 1 . . . 1 0
−→ Fnn(n− 1)． ∴ r(A) = n− 1．以上まとめて，x = 1 のとき r(A) = 1，x = − 1
n−1のとき r(A) = n− 1，それ以外のとき
r(A) = n.
32. 以下，α, β, γ, α̃, β̃, γ̃ は任意定数である.
(1) 拡大係数行列 Ã =(1 a −a −a a
)は基本変形の必要なし．
xyzw
=
a000
+ α
−a100
+ β
a010
+ γ
a001
．
(2) Ã =x y z w
(a 0 −5 −1 4
) −→w y z x
(−1 0 −5 a 4
) −→(1 0 5 −a −4
)．
∴
wyzx
=
−4000
+ α
0100
+ β
−5010
+ γ
a001
．
∴
xyzw
=
000
−4
+ α
0100
+ β
001
−5
+ γ
100a
．
(3) A =(3 2 −1 −4
)−→
(1 2/3 −1/3 −4/3
)．
∴
xyzw
= α
−2/3100
+ β
1/3010
+ γ
4/3001
= α̃
−2300
+ β̃
1030
+ γ̃
4003
.
33. 以下，α, β, γ, α̃ は任意定数である.
(1) Ã =
(1 1 1 0 40 1 0 −1 51 1 0 1 6
)−→
(1 1 1 0 40 1 0 −1 50 0 −1 1 2
)−→
(1 0 1 1 −10 1 0 −1 50 0 1 −1 −2
)
−→(
1 0 0 2 10 1 0 −1 50 0 1 −1 −2
)． ∴
xyzw
=
15
−20
+ α
−2111
.
15
-
(2) Ã =
(3 2 1 −1 42 1 0 −1 −24 3 2 −1 10
)−→
(1 1 1 0 62 1 0 −1 −24 3 2 −1 10
)−→
(1 1 1 0 60 −1 −2 −1 −140 −1 −2 −1 −14
)
−→(
1 1 1 0 60 −1 −2 −1 −140 0 0 0 0
)−→
(1 1 1 0 60 1 2 1 140 0 0 0 0
)−→
(1 0 −1 −1 −80 1 2 1 140 0 0 0 0
)．
∴
xyzw
=
−81400
+ α
1
−210
+ β
1
−101
.
(3) Ã =
(0 −1 1 −25 −1 −4 31 0 −1 1
)−→
(1 0 −1 15 −1 −4 30 −1 1 −2
)−→
(1 0 −1 10 1 −1 20 −1 1 −2
)−→
(1 0 −1 10 1 −1 20 0 0 0
)． ∴
(xyz
)=
(120
)+ α
(111
).
(4) Ã =
(−3 1 −1 1 −8−2 −2 −2 3 −123 1 1 −2 12
)−→
(−3 1 −1 1 −81 −3 −1 2 −43 1 1 −2 12
)−→
(1 −3 −1 2 −4
−3 1 −1 1 −83 1 1 −2 12
)
−→(
1 −3 −1 2 −4−3 1 −1 1 −80 2 0 −1 4
)−→
(1 −3 −1 2 −40 −8 −4 7 −200 2 0 −1 4
)−→
(1 −3 −1 2 −40 0 −4 3 −40 2 0 −1 4
)
−→(
1 −3 −1 2 −40 2 0 −1 40 0 −4 3 −4
)−→
(1 −3 −1 2 −40 1 0 −1/2 20 0 1 −3/4 1
)−→
(1 0 −1 1/2 20 1 0 −1/2 20 0 1 −3/4 1
)
−→(
1 0 0 −1/4 30 1 0 −1/2 20 0 1 −3/4 1
)．
∴
xyzw
=
3210
+ α
1/41/23/4
1
=
3210
+ α̃
1234
.
(5) x̃ =
vxzuwy
とおくと 与式は
(1 0 0 1 1 00 1 0 0 1 10 0 1 1 0 1
)x̃ =
(abc
)． ゆえに
x̃ =
abc000
+α
−10
−1100
+β
−1−10010
+γ
0−1−1001
．∴
uvwxyz
=
0a0b0c
+α
1−1000
−1
+β
0−11
−100
+
γ
000
−11
−1
.
(6) A =
0 1 1 22 4 6 82 0 2 0
−→
2 0 2 00 1 1 22 4 6 8
−→
2 0 2 00 1 1 20 4 4 8
−→
1 0 1 00 1 1 20 4 4 8
−→
1 0 1 00 1 1 20 0 0 0
． ∴
xyzw
= α
−1−110
+ β
0
−201
.
16
-
(7) A =(
0 0 1 21 2 0 0
)−→
x y z w(
1 2 0 00 0 1 2
) −→x z y w
(1 0 2 00 1 0 2
) ．
∴
xzyw
= α
−2010
+ β
0
−201
． ∴
xyzw
= α
−2100
+ β
00
−21
.
(8) Ã =
2 3 −5 −2 9−2 2 3 −5 −18−5 −2 2 3 −73 −5 −2 2 4
−→
2 3 −5 −2 90 5 −2 −7 −9
−5 −2 2 3 −73 −5 −2 2 4
−→
2 3 −5 −2 90 5 −2 −7 −90 −4 −5 3 63 −5 −2 2 4
−→
2 3 −5 −2 90 5 −2 −7 −90 −4 −5 3 61 −8 3 4 −5
−→
0 19 −11 −10 190 5 −2 −7 −90 −4 −5 3 61 −8 3 4 −5
−→
1 −8 3 4 −50 5 −2 −7 −90 −4 −5 3 60 19 −11 −10 19
−→
1 −8 3 4 −50 5 −2 −7 −90 −4 −5 3 60 4 −5 11 46
−→
1 0 13 −2 −170 1 −7 −4 −30 −4 −5 3 60 0 −10 14 52
−→
1 0 13 −2 −170 1 −7 −4 −30 0 −33 −13 −60 0 −10 14 52
−→
1 0 3 12 350 1 3 −18 −550 0 −3 −55 −1620 0 −10 14 52
−→
1 0 3 12 350 1 3 −18 −550 0 −3 −55 −1620 0 −5 7 26
−→
1 0 0 −43 −1270 1 0 −73 −2170 0 −3 −55 −1620 0 1 117 350
−→
1 0 0 −43 −1270 1 0 −73 −2170 0 0 296 8880 0 1 117 350
−→
1 0 0 −43 −1270 1 0 −73 −2170 0 0 1 30 0 1 117 350
−→
1 0 0 −43 −1270 1 0 −73 −2170 0 1 117 3500 0 0 1 3
−→
1 0 0 0 20 1 0 0 20 0 1 0 −10 0 0 1 3
． ∴
xyzw
=
22
−13
．（この場合は解が 1つに確定する）
(8)（他の変形の例）Ã =
2 3 −5 −2 9
−2 2 3 −5 −18−5 −2 2 3 −73 −5 −2 2 4
(1) + (2) (1) + (3)
−→(1) + (4)
−2 −2 −2 −2 −12−2 2 3 −5 −18−5 −2 2 3 −73 −5 −2 2 4
−→
1 1 1 1 6
−2 2 3 −5 −18−5 −2 2 3 −73 −5 −2 2 4
−→
1 1 1 1 60 4 5 −3 −60 3 7 8 230 −8 −5 −1 −14
−→
1 1 1 1 60 4 5 −3 −60 3 7 8 230 0 5 −7 −26
−→
1 1 1 1 60 1 −2 −11 −290 3 7 8 230 0 5 −7 −26
−→
1 0 3 12 350 1 −2 −11 −290 0 13 41 1100 0 5 −7 −26
−→
1 0 3 12 350 1 −2 −11 −290 0 3 55 1620 0 5 −7 −26
−→
1 0 0 −43 −1270 1 −2 −11 −290 0 3 55 1620 0 −1 −117 −350
−→
1 0 0 −43 −1270 1 0 223 6710 0 0 −296 −8880 0 −1 −117 −350
−→
1 0 0 −43 −1270 1 0 223 6710 0 0 1 30 0 1 117 350
−→
1 0 0 −43 −1270 1 0 223 6710 0 1 117 3500 0 0 1 3
−→
1 0 0 0 20 1 0 0 20 0 1 0 −10 0 0 1 3
． ∴
xyzw
=
22
−13
．
34—35: 解答中の α, β, γ, α̃, β̃ は任意定数である.
34. (1) Ã =
(2 5 6 a1 2 1 b3 5 −1 c
)−→
(1 2 1 b2 5 6 a3 5 −1 c
)−→
(1 2 1 b0 1 4 a− 2b0 −1 −4 c− 3b
)−→
(1 0 −7 −2a+ 5b0 1 4 a− 2b0 0 0 a− 5b+ c
)． ゆえに解を持つための必要十分条件は r(Ã) = r(A) より，
17
-
a− 5b+ c = 0．このとき解は(
xyz
)=
(−2a+ 5ba− 2b
0
)+ α
(7
−41
)．
(2) Ã =
(a −b 0 c0 b −c a−a 0 c b
)−→
(a −b 0 c0 b −c a0 −b c b+ c
)−→
(a 0 −c a+ c0 b −c a0 0 0 a+ b+ c
)
−→(
1 0 −c/a a+ca
0 1 −c/b a/b0 0 0 a+ b+ c
)． 解を持つための必要十分条件は r(Ã) = r(A) より，
a+ b+ c = 0．このとき，(
xyz
)=
(a+ca
a/b0
)+ α
(c/ac/b1
)=
(−b/aa/b0
)+ α̃
(1/a1/b1/c
)． (α̃ = cα)
35. (1) Ã =
(0 2 1 1 a1 0 −1 −2 b1 2 0 −1 2
)−→
(1 0 −1 −2 b0 2 1 1 a0 2 1 1 2− b
)−→
(1 0 −1 −2 b0 2 1 1 a0 0 0 0 2− a− b
)
−→(
1 0 −1 −2 b0 1 1/2 1/2 a/20 0 0 0 2− a− b
)．
ゆえに 2− a− b 6= 0 のとき解なし． 2− a− b = 0 のとき
xyzw
=
b
a/200
+ α
1
−1/210
+ β
2
−1/201
=
2− aa/200
+ α̃
2
−120
+ β̃
4
−102
．
(2) Ã =
(2 2 2 1 23 2 2 1 12 1 1 1 4
)−→
(2 2 2 1 21 0 0 0 −12 1 1 1 4
)−→
(1 0 0 0 −12 2 2 1 22 1 1 1 4
)−→
(1 0 0 0 −10 2 2 1 40 1 1 1 6
)−→
(1 0 0 0 −10 1 1 1 60 2 2 1 4
)−→
x y z w(
1 0 0 0 −10 1 1 1 60 0 0 −1 −8
) −→
x y w z(
1 0 0 0 −10 1 1 1 60 0 −1 0 −8
) −→(
1 0 0 0 −10 1 1 1 60 0 1 0 8
)−→
(1 0 0 0 −10 1 0 1 −20 0 1 0 8
)．
∴
xywz
=
−1−280
+ α
0
−101
． ∴
xyzw
=
−1−208
+ α
0
−110
．
(3) Ã =(
1 a 1 −1 31 −1 −1 b 5
)−→
x y z w(
1 a 1 −1 30 −1− a −2 b + 1 2
) −→
x z y w(
1 1 a −1 30 −2 −1− a b+ 1 2
) −→(
1 1 a −1 30 1 a+1
2− b+1
2−1
)−→
(1 0 a−1
2
b−12
4
0 1 a+12
− b+12
−1
). ∴
xzyw
=
4−100
+ α
− a−12
− a+12
10
+ β
− b−12
b+12
01
．
∴
xyzw
=
40
−10
+ α̃
−a+ 12
−a− 10
+ β̃
−b+ 10
b+ 12
．
18
-
(4) x̃ =
vxzuwy
として与方程式を Ax̃ = c とかくと Ã =
Eb c 0 a0 c a bb 0 a c
．
∴ x̃ =
abc000
+ α
−b0−b100
+ β
−c−c0010
+ γ
0−a−a001
．
∴
uvwxyz
=
0a0b0c
+ α
1−b000−b
+ β
0−c1−c00
+ γ
000−a1−a
．
36. Ã の 2列目を 2倍した時点で方程式を変えないためには，変数ベクトルを(
xyz
)−→
(x
y/2z
)と変換すればよい．その後の変形には誤りがないのでひとみの得た解は
(x
y/2z
)=
(246
)+ α
(135
)となる．ゆえに 正しい解は
(xyz
)=
(286
)+ α
(165
)．
37. 以下余因子展開をしているところでは，i 行（j 列）に関する余因子展開を i 行展開（j列展開）と略記する．
(1)
∣∣∣∣∣∣
6 1 87 5 32 9 4
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
15 15 157 5 32 9 4
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
15 15 157 5 32 9 4
∣∣∣∣∣∣= 15
∣∣∣∣∣∣
1 1 17 5 32 9 4
∣∣∣∣∣∣= 15
∣∣∣∣∣∣
1 0 07 −2 −42 7 2
∣∣∣∣∣∣=
15 ·∣∣∣∣∣−2 −47 2
∣∣∣∣∣ = 15 · 24 = 360．
(2)
∣∣∣∣∣∣
2 5 2 22 2 5 22 2 2 55 5 5 5
∣∣∣∣∣∣= 5
∣∣∣∣∣∣
2 5 2 22 2 5 22 2 2 51 1 1 1
∣∣∣∣∣∣= 5
∣∣∣∣∣∣
0 3 0 02 2 5 22 2 2 51 1 1 1
∣∣∣∣∣∣= 5
∣∣∣∣∣∣
0 3 0 00 0 3 00 0 0 31 1 1 1
∣∣∣∣∣∣1 列展開
=
5 · (−1)4+11∣∣∣∣∣∣
3 0 00 3 00 0 3
∣∣∣∣∣∣= −5 · 27 = −135.
(3)
∣∣∣∣∣∣
a 0 0 e0 b f 00 g c 0h 0 0 d
∣∣∣∣∣∣1 行展開
=(−1)1+1a
∣∣∣∣∣∣
b f 0g c 00 0 d
∣∣∣∣∣∣+(−1)1+4e
∣∣∣∣∣∣
0 b f0 g ch 0 0
∣∣∣∣∣∣= a(bcd−dfg)− e(bch−
fgh) = abcd − adfg − ebch + efgh.
（別解 I）与式 = sgn(
1 2 3 41 2 3 4
)abcd+ sgn
(1 2 3 41 3 2 4
)afgd
+ sgn(
1 2 3 44 2 3 1
)ebch + sgn
(1 2 3 44 3 2 1
)efgh = abcd − afgd− ebch + efgh.
（別解 II）与式 = −∣∣∣∣∣∣
a 0 0 eh 0 0 d0 g c 00 b f 0
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
a e 0 0h d 0 00 0 c g0 0 f b
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣a eh d
∣∣∣∣∣ ·∣∣∣∣∣c gf b
∣∣∣∣∣ = (ad− eh)(bc− fg).
19
-
(4)
∣∣∣∣∣∣
a b O0 a b0 0 a bb 0 0 a
∣∣∣∣∣∣1 列展開
=(−1)1+1a
∣∣∣∣∣∣
a b 00 a b0 0 a
∣∣∣∣∣∣+(−1)4+1b
∣∣∣∣∣∣
b 0 0a b 00 a b
∣∣∣∣∣∣= a(a3)−b(b3) = a4−b4.
（別解）与式 = sgn(
1 2 3 41 2 3 4
)aaaa + sgn
(1 2 3 42 3 4 1
)bbbb = a4 − b4.
(5)
∣∣∣∣∣∣
1 3 5 72 4 6 81 2 0 00 0 1 2
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
1 3 5 71 1 1 11 2 0 00 0 1 2
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
0 2 4 61 1 1 10 1 −1 −10 0 1 2
∣∣∣∣∣∣1 列展開
=(−1)2+11
∣∣∣∣∣∣
2 4 61 −1 −10 1 2
∣∣∣∣∣∣=
− (−4 + 6 + 2− 8) = 4.
(6)
∣∣∣∣∣∣
1 2 3 42 3 4 13 4 1 24 1 2 3
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
10 2 3 410 3 4 110 4 1 210 1 2 3
∣∣∣∣∣∣= 10
∣∣∣∣∣∣
1 2 3 41 3 4 11 4 1 21 1 2 3
∣∣∣∣∣∣= 10
∣∣∣∣∣∣
1 1 1 11 2 2 −21 3 −1 −11 0 0 0
∣∣∣∣∣∣4 行展開
=
10 · (−1)4+11∣∣∣∣∣∣
1 1 12 2 −23 −1 −1
∣∣∣∣∣∣= −10
∣∣∣∣∣∣
1 1 10 0 −44 0 0
∣∣∣∣∣∣= 160.
(7)
∣∣∣∣∣∣
1 14 15 412 7 6 98 11 10 5
13 2 3 16
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
34 34 34 3412 7 6 98 11 10 5
13 2 3 16
∣∣∣∣∣∣= 34
∣∣∣∣∣∣
1 1 1 112 7 6 98 11 10 5
13 2 3 16
∣∣∣∣∣∣= 34
∣∣∣∣∣∣
1 1 1 10 −5 −6 −30 3 2 −30 −11 −10 3
∣∣∣∣∣∣
1 列展開
=34 · (−1)1+11
∣∣∣∣∣∣
−5 −6 −33 2 −3
−11 −10 3
∣∣∣∣∣∣= 34 · 3
∣∣∣∣∣∣
−5 −6 −13 2 −1
−11 −10 1
∣∣∣∣∣∣= 34 · 3
∣∣∣∣∣∣
−8 −8 −10 0 −1
−8 −8 1
∣∣∣∣∣∣
2 行展開
=34 · 3 · (−1)2+3(−1)
∣∣∣∣∣−8 −8−8 −8
∣∣∣∣∣ = 0.
38. A が正則でない ⇐⇒ |A| = 0 を用いて解く．
(1)
∣∣∣∣∣c+ 1 −2−1 c
∣∣∣∣∣ = c2 + c− 2 = 0． ∴ c = 1,−2.
(2)
∣∣∣∣∣∣
c −1 10 c 2c 0 1
∣∣∣∣∣∣= c2 − 2c− c2 = 0． ∴ c = 0.
(3)
∣∣∣∣∣c c c+ 9
c+ 1 c+ 2 c+ 120 9 c
∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣
−1 −2 −3c+ 1 c+ 2 c+ 120 9 c
∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣
−1 −2 −3c c c+ 90 9 c
∣∣∣∣∣ = −c2−27c+9c+81+2c2 =
c2 − 18c+ 81 = (c− 9)2 = 0． ∴ c = 9.
(4)
∣∣∣∣∣∣
c 1 2 31 c+ 2 3 02 3 c 13 0 1 c+ 2
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
c+ 6 c+ 6 c+ 6 c+ 61 c+ 2 3 02 3 c 13 0 1 c+ 2
∣∣∣∣∣∣= (c+ 6)
∣∣∣∣∣∣
1 1 1 11 c+ 2 3 02 3 c 13 0 1 c+ 2
∣∣∣∣∣∣=
(c+6)
∣∣∣∣∣∣
1 1 1 10 c+ 1 2 −10 1 c− 2 −10 −3 −2 c− 1
∣∣∣∣∣∣= (c+6) ·1 ·
∣∣∣∣∣c+ 1 2 −11 c− 2 −1−3 −2 c− 1
∣∣∣∣∣ = (c+6)[(c+1)(c−2)(c−1)+
6+2−2(c+1)−2(c−1)−3(c−2)] = (c+6)(c3−2c2−8c+16) = (c+6)(c−2)(c2−8) = 0.∴ c = −6, 2,±2
√2.
20
-
(5)
∣∣∣∣∣∣
c 1 2 3−1 c 1 2−2 −1 c 1−3 −2 −1 c
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
c− 1 1 2 3−1− c c 1 2−1 −1 c 1−1 −2 −1 c
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
c− 1 −1 2 3−1− c c− 1 1 2−1 −1− c c 1−1 −1 −1 c
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
c− 1 −1 −1 3−1− c c− 1 −1 2−1 −1− c c− 1 1−1 −1 −1− c c
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
c− 1 −1 −1 3−1− c c− 1 −1 2−1 −1− c c− 1 1−4 −4 −4 c+ 6
∣∣∣∣∣∣= 4
∣∣∣∣∣∣
c− 1 −1 −1 3−1− c c− 1 −1 2−1 −1− c c− 1 1−1 −1 −1 1
4(c+ 6)
∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
c− 1 −1 −1 12−1− c c− 1 −1 8−1 −1− c c− 1 4−1 −1 −1 c+ 6
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
c 0 0 12− (c+ 6)−c c 0 8− (c+ 6)0 −c c 4− (c+ 6)−1 −1 −1 c+ 6
∣∣∣∣∣∣1 行展開
=
(−1)1+1c∣∣∣∣∣∣
c 0 8− (c+ 6)−c c 4− (c+ 6)−1 −1 c+ 6
∣∣∣∣∣∣+ (−1)1+4(12− (c+ 6))
∣∣∣∣∣∣
−c c 00 −c c−1 −1 −1
∣∣∣∣∣∣=
c[c2(c+ 6) + c[8− (c+ 6)] + c[4− (c+ 6)] + c[8− (c+ 6)]]− [12− (c+ 6)][−c2 − c2 − c2] =c2(c+6)[c−1−1−1−3]+ (8+4+8+12 · 3)c2 = c2[(c+6)(c−6)+56] = c2(c2+20) = 0.∴ c = 0,±2
√5 i.
39. 以下の図によって，置換を互換の積に分解して符号を求めることができる．図の描き方によっては 異なる分解が得られることもあるが，符号は一意的に決まる．
(1)(
1 2 33 1 2
)= (1, 3)(2, 3). ∴ sgn(σ) = 1.
(2)(
1 2 3 42 3 4 1
)= (1, 4)(1, 3)(1, 2). ∴ sgn(σ) = −1.
(3)(
1 2 3 4 54 5 2 1 3
)= (2, 5)(1, 5)(1, 2)(3, 5)(1, 4)(2, 4)(3, 4). ∴ sgn(σ) = −1.
(3)II（別解）(
1 4 2 3 54 1 5 2 3
)= (1, 4)(2, 5)(3, 5). ∴ sgn(σ) = −1.
(1) (2)
(3)
1 4 2 3 5
25 34 1
II
1 2 3 4 5
12 34 5
I (1,4)
(3,4)(2,4)
(1,2)(1,5)(2,5)
(3,5)
(1,4) (2,5)(3,5)
1 2 3 4
2 3 4 1
(1,2)(1,3)
(1,4)
1 2 3
1 23
(2,3)(1,3)
40. (1)*
∣∣∣∣∣∣
a b c db c d ac d a bd a b c
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
a+ b+ c+ d b c da+ b+ c+ d c d aa+ b+ c+ d d a ba+ b+ c+ d a b c
∣∣∣∣∣∣= (a + b+ c+ d)
∣∣∣∣∣∣
1 b c d1 c d a1 d a b1 a b c
∣∣∣∣∣∣=
(a+ b+ c+ d)
∣∣∣∣∣∣
1 0 0 01 c− b d− c a− d1 d− b a− c b− d1 a− b b− c c− d
∣∣∣∣∣∣= (a + b+ c+ d) · 1
∣∣∣∣∣∣
c− b d− c a− dd− b a− c b− da− b b− c c− d
∣∣∣∣∣∣=
(a+ b+ c+ d)
∣∣∣∣∣∣
a− b+ c− d d− c a− d0 a− c b− d
a− b+ c− d b − c c− d
∣∣∣∣∣∣=
21
-
(a+ b+ c+ d)(a− b+ c− d)∣∣∣∣∣∣
1 d− c a− d0 a− c b− d1 b− c c− d
∣∣∣∣∣∣= (a+ b+ c+ d)(a− b+ c− d) ·
[(a− c)(c− d) + (d− c)(b− d)− (a− d)(a− c)− (b− d)(b− c)] = −(a + b+ c + d) ·(a− b+ c− d) [(a− c)(a− d) + (b− c)(b− d) + (c− a)(c− d) + (d− b)(d− c)]= −(a + b+ c + d)(a− b+ c− d) (a2 + b2 + c2 + d2 − 2ac− 2bd).
(2)
∣∣∣∣∣∣
0 a b c−a 0 d e−b −d 0 f−c −e −f 0
∣∣∣∣∣∣1 行展開
=(−1)1+2a
∣∣∣∣∣∣
−a d e−b 0 f−c −f 0
∣∣∣∣∣∣+ (−1)1+3b
∣∣∣∣∣∣
−a 0 e−b −d f−c −e 0
∣∣∣∣∣∣+
(−1)1+4c∣∣∣∣∣∣
−a 0 d−b −d 0−c −e −f
∣∣∣∣∣∣= −a (−dfc+ ebf − af 2) + b (be2 − cde− aef)
− c (−adf + bde− cd2) = a2f 2 + b2e2 + c2d2 + 2acdf − 2abef − 2bcde = (af − be + cd)2．
(2)（別解）a 6= 0 のとき，∣∣∣∣∣∣
0 a b c−a 0 d e−b −d 0 f−c −e −f 0
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣
0 a b c−a 0 d e
−b 0 bda
f + cda
−c 0 −f + bea
cea
∣∣∣∣∣∣∣
2 列展開
=(−1)1+2a
∣∣∣∣∣−a d e
−b bda
f + cda
−c −f + bea
cea
∣∣∣∣∣
= a
∣∣∣∣∣a d e
b bda
f + cda
c −f + bea
cea
∣∣∣∣∣ = a∣∣∣∣∣
a d e
0 0 f + cda
− bea
0 −f + bea
− cda
0
∣∣∣∣∣
= a2∣∣∣∣
0 f + cda− be
a
−f + bea− cd
a0
∣∣∣∣ =∣∣∣∣
0 af + cd− be−af + be− cd 0
∣∣∣∣ = (af − be+ cd)2.(10)
a = 0 のとき，与式 =
∣∣∣∣∣∣
0 0 b c0 0 d e−b −d 0 f−c −e −f 0
∣∣∣∣∣∣= (−1)2
∣∣∣∣∣∣
b c 0 0d e 0 00 f −b −d−f 0 −c −e
∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣b cd e
∣∣∣∣∣∣∣∣−b −d−c −e
∣∣∣∣
= (be− cd)2 = (−be + cd)2． ゆえに (10) は a = 0 のときもなりたつ．
(3)*
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x 1 3 . . . 2n− 11 x 3 . . . 2n− 11 3 x . . . 2n− 1...
.
.....
. . ....
1 3 5 . . . x
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x+ n2 1 3 . . . 2n− 1x+ n2 x 3 . . . 2n− 1x+ n2 3 x . . . 2n− 1
......
.... . .
...x+ n2 3 5 . . . x
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (x+ n2)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 3 . . . 2n− 11 x 3 . . . 2n− 11 3 x . . . 2n− 1...
.
.....
. . ....
1 3 5 . . . x
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (x+ n2)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 3 5 . . . 2n− 10 x− 1 0 0 . . . 00 2 x− 3 0 . . . 00 2 2 x− 5 . . . 0...
......
.... . .
...0 2 2 2 . . . x− 2n+ 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
(x+ n2) · 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x− 1 0 0 . . . 02 x− 3 0 . . . 02 2 x− 5 . . . 0...
..
....
. . ....
2 2 2 . . . x− 2n+ 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (x+ n2)(x− 1)(x− 3) . . . (x− 2n+ 1).
(4)*
∣∣∣∣∣∣∣∣
15 8 1 24 1716 14 7 5 2322 20 13 6 43 21 19 12 109 2 25 18 11
∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣∣
65 65 65 65 6516 14 7 5 2322 20 13 6 43 21 19 12 109 2 25 18 11
∣∣∣∣∣∣∣∣= 65
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 1 116 14 7 5 2322 20 13 6 43 21 19 12 109 2 25 18 11
∣∣∣∣∣∣∣∣=
22
-
65
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0 0 016 −2 −9 −11 722 −2 −9 −16 −183 18 16 9 79 −7 16 9 2
∣∣∣∣∣∣∣∣= 65
∣∣∣∣∣∣
−2 −9 −11 7−2 −9 −16 −1818 16 9 7−7 16 9 2
∣∣∣∣∣∣= 65
∣∣∣∣∣∣
0 0 5 25−2 −9 −16 −1825 0 0 5−7 16 9 2
∣∣∣∣∣∣=
65·25∣∣∣∣∣∣
0 0 1 5−2 −9 −16 −185 0 0 1
−7 16 9 2
∣∣∣∣∣∣1 行展開
=65·25
(−1)1+3∣∣∣∣∣∣
−2 −9 −185 0 1
−7 16 2
∣∣∣∣∣∣+ (−1)1+45
∣∣∣∣∣∣
−2 −9 −165 0 0
−7 16 9
∣∣∣∣∣∣
= 65 · 25 [63− 1440 + 90 + 32− 5 · 5(−1)(−81 + 256)] = 65 · 25(−1255 + 25 · 175)= 65 · 25 · 5(−251 + 875) = 5070000.
(5)** この問題を一般の n で解くには 3項漸化式 pn + apn−1 + bpn−2 = 0 の解法が必要に
なる．まず与式を pn =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
k x Ox k x
x k x
. . .
O x k
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
とおいて 1行に関して展開してみると,
pn = kpn−1 − x
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x x Ok xx k x
. . .
O x k
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
第 2 項を 1 列展開
=kpn−1 − x2pn−2. (11)
ゆえにこの漸化式を解けばよい．それには特性方程式 λ2 − kλ+ x2 = 0 を解くのだが，ここで k = t−1 + tx2 ともどすと λ2 − (t−1 + tx2)λ+ x2 = (λ− t−1)(λ− tx2) = 0．∴ λ = t−1，tx2．これより，C1, C2 を定数として，pn は以下の式で表される．
pn = C1(t−1)n + C2(tx
2)n.
ここで C2, C2 を決定するために p1, p2 を求めると， p1 = t−1 + tx2，p2 = t−2 + x2 + t2x4．
∴
{C1t
−1 + C2tx2 = t−1 + tx2
C1t−2 + C2t
2x4 = t−2 + x2 + t2x4.
∴(
C1C2
)=
1
tx4 − t−1x2(
t2x4 −tx2−t−2 t−1
)(t−1 + tx2
t−2 + x2 + t2x4
)=
1
1− t2x2(
1−t2x2
).
よって， pn =t−n − tn+2x2n+2
1− t2x2 が求める答えである．
41. 一般に |tA| = |A| (*) であり，また A =(a1 a2 . . . an
)を n 次行列とすると，
| − A| =∣∣∣ −a1 −a2 . . . −an
∣∣∣ = (−1)n∣∣∣ a1 a2 . . . an
∣∣∣ = (−1)n|A|
がなりたつ．ここで n が奇数ならば，| − A| = −|A| (**)．さらにA が交代行列ならば，|tA| = | − A| (***)．(*),(**),(***) より |A| = −|A|． ゆえに |A| = 0．メモ：偶数次の交代行列の行列式は一般には 0ではない．この場合，行列の成分 aij (i < j)の多項式の 2乗の形 [P (a12, a13, . . . , an−1,n)]2 に書けることが知られている．この多項式PをA の Pfaff多項式 という．[40.(2)] 参照．
42. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x y z 1x1 y1 z1 1x2 y2 z2 1x3 y3 z3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0 (12)
23
-
が求める平面の方程式である．なぜならば，これは x, y, zの1次方程式であり，ある平面を表
している．さらに x =(
xyz
)=
(xiyizi
)(i = 1, 2, 3)のときに (12)の左辺は (1行) = (i+1行)
となって 0 になり，(12) がみたされる．よって (12) は 3点 (xi, yi, zi) を通る平面を表している．
43. (1)(A E
)を行変形して
(E A−1
)を得ることができる．
1 2 1 1 0 00 1 1 0 1 01 0 3 0 0 1
−→
1 0 3 0 0 10 1 1 0 1 01 2 1 1 0 0
−→
1 0 3 0 0 10 1 1 0 1 00 2 −2 1 0 −1
−→
1 0 3 0 0 10 1 1 0 1 00 0 −4 1 −2 −1
−→
1 0 3 0 0 10 1 1 0 1 00 0 1 −1/4 1/2 1/4
−→
1 0 0 3/4 −3/2 1/40 1 0 1/4 1/2 −1/40 0 1 −1/4 1/2 1/4
. ∴
1 2 10 1 11 0 3
−1
=1
4
3 −6 11 2 −1
−1 2 1
.
（別解）余因子行列を使って求めることもできる．ただし，この方法は行列の形によっては計算が面倒になることもあるので注意する．4次以上の行列に対してはふつうあまり能率的ではない．
(1)（別解）A−1 = 1|A|
à を用いて，
A−1 =
∣∣∣∣∣∣∣
1 2 10 1 11 0 3
∣∣∣∣∣∣∣
−1
∣∣∣ 1 10 3∣∣∣ −
∣∣∣ 2 10 3∣∣∣
∣∣∣ 2 11 1∣∣∣
−∣∣∣ 0 11 3
∣∣∣∣∣∣ 1 11 3
∣∣∣ −∣∣∣ 1 10 1
∣∣∣∣∣∣ 0 11 0
∣∣∣ −∣∣∣ 1 21 0
∣∣∣∣∣∣ 1 20 1
∣∣∣
=1
4
3 −6 11 2 −1
−1 2 1
.
(2)
1 −2 1 1 1 0 0 0
−1 0 1 1 0 1 0 01 1 0 1 0 0 1 0
−2 1 1 0 0 0 0 1
−→
1 0 −1 −1 0 −1 0 01 1 0 1 0 0 1 0
−2 1 1 0 0 0 0 11 −2 1 1 1 0 0 0
−→
1 0 −1 −1 0 −1 0 00 1 1 2 0 1 1 00 1 −1 −2 0 −2 0 10 −2 2 2 1 1 0 0
−→
1 0 −1 −1 0 −1 0 00 1 1 2 0 1 1 00 0 −2 −4 0 −3 −1 10 0 4 6 1 3 2 0
−→
1 0 −1 −1 0 −1 0 00 1 1 2 0 1 1 00 0 1 2 0 3/2 1/2 −1/20 0 4 6 1 3 2 0
−→
1 0 0 1 0 1/2 1/2 −1/20 1 0 0 0 −1/2 1/2 1/20 0 1 2 0 3/2 1/2 −1/20 0 0 −2 1 −3 0 2
−→
1 0 0 1 0 1/2 1/2 −1/20 1 0 0 0 −1/2 1/2 1/20 0 1 2 0 3/2 1/2 −1/20 0 0 1 −1/2 3/2 0 −1
−→
1 0 0 0 1/2 −1 1/2 1/20 1 0 0 0 −1/2 1/2 1/20 0 1 0 1 −3/2 1/2 3/20 0 0 1 −1/2 3/2 0 −1
．
∴
1 −2 1 1−1 0 1 11 1 0 1
−2 1 1 0
−1
=1
2
1 −2 1 10 −1 1 12 −3 1 3
−1 3 0 −2
．
(3) 素直に計算していけばよいが，ここでは 漸化式を利用して解いてみる．求める行列式を pn とおけば [40.(5)] と同様にして漸化式を求めることができて，[40.(5)]の漸化式 (11) において x = 1 としたものが得られる．すなわち pn = kpn−1 − pn−2．
24
-
ここで p1 = k，p2 = k2−1だから p3 = k(k2−1)−k = k3−2k，p4 = k(k3−2k)−(k2−1) =k4 − 3k2 + 1.
(4)* (与式) = F = F (x1, x2, . . . , xn) とおく．F (x1, x2, . . . , xn) は x1, x2, . . . , xn の多項式である．ここで，F において x2 = x1 とおけば，(1列) = (2列) になるので F = 0 となる．ゆえに剰余定理より，F は x2 − x1 で割り切れる．同様にして，xj = xi (i 6= j) とおけば，(i列) = (j列) になるので F = 0 となり，剰余定理よりF は xj − xi で割り切れる．ゆえに F は xj − xi (i 6= j) たちの最小公倍数
∆ =∏
1≤i
-
|A| =∣∣∣∣∣∣
2 −2 33 1 4
−2 3 −5
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
2 −2 33 1 40 1 −2
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
2 0 13 4 10 1 −2
∣∣∣∣∣∣= −16 + 3− 2 = −15.
|A1| =∣∣∣∣∣∣
0 −2 3−3 1 43 3 −5
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
0 −2 3−3 1 40 4 −1
∣∣∣∣∣∣= −36 + 6 = −30. ∴ x1 = 2.
|A2| =∣∣∣∣∣∣
2 0 33 −3 4
−2 3 −5
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
2 0 33 −3 40 3 −2
∣∣∣∣∣∣= 27− 12 = 15. ∴ x2 = −1.
|A3| =∣∣∣∣∣∣
2 −2 03 1 −3
−2 3 3
∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣
2 0 03 4 −3
−2 1 3
∣∣∣∣∣∣= 2
∣∣∣∣∣4 −31 3
∣∣∣∣∣ = 30. ∴ x3 = −2.
∴ x =
2−1−2
.
(2) クラメルの公式より，xj =|Aj |
|A|．そこで |A| および |Aj| (j = 1, 2, 3) を計算する．
|A| =∣∣∣∣∣∣
a b cc a bb c a
∣∣∣∣∣∣= a3 + b3 + c3 − 3abc.
|A1| =∣∣∣∣∣∣
1 b c1 a b1 c a
∣∣∣∣∣∣= a2 + b2 + c2 − bc− ab− ac.
|A2| =∣∣∣∣∣∣
a 1 cc 1 bb 1 a
∣∣∣∣∣∣= a2 + b2 + c2 − ab− ac− bc.
|A3| =∣∣∣∣∣∣
a b 1c a 1b c 1
∣∣∣∣∣∣= a2 + b2 + c2 − ac− bc− ab.
∴ x1 =a2 + b2 + c2 − ab− bc− ca
a3 + b3 + c3 − 3abc =1
a+ b+ c= x2 = x3.
∴ x =1
a + b+ c
111
.
46. A を整数正方行列とする．A が整数成分の逆行列X を持てば AX = E である．このとき両辺の行列式を取ると，|AX| = |A||X| = |E| = 1 (*)．さて，成分が整数なので |A|，|X| はともに整数である．すると (*) より，|A| = |X| = ±1 を得る．逆に |A| = ±1 ならば逆行列が存在し，公式より A−1 = 1
|A|Ã（Ã は余因子行列）となる．
ここで，整数行列の余因子行列はまた整数行列で， 1|A|
= ±1 なので，A−1 は整数行列となることがわかる． (q.e.d.)
47. エルミート行列とは A∗ = tA = A がなりたつ複素行列である．成分の条件に直すとaij = aji (i, j = 1, . . . , n)．ゆえに対角成分に対しては aii = aii．これは対角成分が実数であることを示す．
48. (1) [[X, Y ]F , Z]F + [[Y, Z]F , X ]F + [[Z,X ]F , Y ]F = (XFY − Y FX)FZ − ZF (XFY −Y FX) + (Y FZ − ZFY )FX − XF (Y FZ − ZFY ) + (ZFX − XFZ)FY − Y F (ZFX −
26
-
XFZ) = XFY FZ−Y FXFZ−ZFXFY +ZFY FX+Y FZFX−ZFY FX−XFY FZ+XFZFY + ZFXFY −XFZFY − Y FZFX + Y FXFZ = O． (q.e.d.)(2) t([X, Y ]F ) =
t(XFY − Y FX) = t(XFY )− t(Y FX) = tY tF tX − tX tF tY =− Y F (−X)− (−X)F (−Y ) = Y FX −XFY = −[X, Y ]F．ゆえに [X, Y ]F は交代行列である． (q.e.d.)
49.* r(A) = r，r(B) = s とする．このときA は行変形することで
QA =r
∗ · · · · · · ∗· · · · · ·
∗ · · · · · · ∗l − r
{O
とでき，またB は列変形によって
BP =
∗ · · · ∗· · ·· · ·· · ·
∗ · · · ∗︸ ︷︷ ︸
s
O
︸ ︷︷ ︸n−s
と変形できる．ここに，Q,P は適当な基本行列の積である．それ
ゆえ AB は基本変形によって，
QABP = r
s︷ ︸︸ ︷∗ · · · ∗
· · ·∗ · · · ∗
l − r { O
n−s︷ ︸︸ ︷
O
O
の形になる．これをさらに基本変形すれば
r(AB) ≤ min(r, s) を得る． (q.e.d.)
27
