Chương 2: Lý thuyết tập hợp · PDF fileBài tập. Chương 2: ......

Giảng viên: ThS. Trần Quang Khải

TOÁN RỜI RẠC

Chương 2:Lý thuyết tập hợp

Toán rời rạc: 2011-2012

Nội dung

1. Giới thiệu tập hợp.

2. Tích Descartes.

3. Các phép toán tập hợp.

4. Hỏi đáp.

5. Bài tập.

Chương 2: Lý thuyết tập hợp 2



Giới thiệu Tập hợp


TOPIC 1


Giới thiệu

Tập hợp (set):

Cấu trúc rời rạc cơ bản các cấu trúc rời rạc khác.

Mục đích:

Nhóm (group) các đối tượng lại với nhau.

Các đối tượng thường có tính chất tương tự nhau.

Ví dụ:

Các sinh viên trong lớp Toán Rời Rạc.

Các con cọp thích ăn chay.



Định nghĩa Tập hợp (set)


Một tập hợp là một “nhóm” (collection)

các đối tượng.

(Discrete Mathematics and Its Applications)

Các đối tượng trong tập hợp: phần tử, hoặc thành viên/thành phần(elements, members)


Biểu diễn

Kiểu liệt kê:

S = {a,b,c,d } : tập hợp các ký tự a,b,c,d.

a S : a là một phần tử S.

e S : e không phải là một phần tử của S.

∅ hoặc {} : tập rỗng.

Kiểu kí hiệu builder (xây dựng tập hợp):

= {x | x là số thực }



Tập hợp “bằng nhau”

Equality: 2 tập hợp A và B là bằng nhau nếu và chỉ nếu chúng có các phần tử giống nhau.

A = B ⇔ ∀x(x ∈A ↔ x ∈B)

Ví dụ:

{1,4,5} = {4,1,5}

{1,3,5,5,1} = {1,3,5}



Biểu đồ Venn

John Venn (1834 - 1923)

Không gian (universe):

Hình chữ nhật.

Thường kí hiệu: U.

Các tập hợp:

Hình tròn, hoặc

Các hình khép kín khác.

Các phần tử:

Điểm.


Tên tập hợp

T


Lượng số (Cardinality)

Nếu tập S có chính xác n (n ≥0, n Z) phần tử phân biệt nhau thì:

S là tập hữu hạn (finite).

Lượng số của S là n.

Kí hiệu: |S| = n.

Ví dụ:A là tập các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 10: |A| = ?

B là tập các sinh viên lớp Toán Rời Rạc: |B| = ?

|∅| = 0.




Tập vô hạn (infinite)?

Ví dụ:



Tập con (Subset)


Tập A là con của tập B nếu mọi phần tửcủa A cũng là phần tử của B.

Kí hiệu: A B

Nếu A B và A là tập con của B thì A B.

Ví dụ:{1,3,5,5,1} {1,3,5}

{a, b, c} {a, x, y, b, d, c, e}


Tập lũy thừa (Power set)


Cho tập S, tập lũy thừa của S là tập tất cả các

tập con của S.

Ký hiệu: P(S) hay 2S.

Power set: tổ hợp tất cả các phần tử.


Tập lũy thừa (Power set)

Lượng số của tập lũy thừa:

|P(S)| = 2|S|




Tích Descartes(Cartesian product)


TOPIC 2


Tập có thứ tự

Ordered n-tuples (n-bộ): A = (a1, a2, …, an)

a1 là phần tử thứ NHẤT.

a2 là phần tử thứ HAI.

…

an là phần tử thứ n.

Nếu thay đổi thứ tự, A không còn là A.

Hai tập có thứ tự bằng nhau?

A = (a1, a2, …, an) và B = (b1, b2, …, bn)



Tích Descartes

René Descartes (1596-1650).

Cartesian Product:

Cho 2 tập A, B. tích Descartes của 2 tập A và B được định nghĩa như sau:

A × B = {(a,b)|a ∈ A, b ∈ B}

Ví dụ: A = {0,1} và B = {a, b, c}

A × B = {(0, a), (0, b), (0, c), (1, a), (1, b),(1, c)}



Tích Descartes

Tích Descartes của n tập hợp:

A1×A2×...×An=

{(a1, a2, …, an)| a1A1, a2A2,…, anAn }

Ví dụ:

A = {0,1}, B = {1, 2}, C = {0,1,2)

A × B × C = ?




Các phép toán tập hợp


TOPIC 3


Union

Phép tuyển: A ∪ B

A ∪ B = {x|x A x B}



Intersection

Phép hội: A ∩ B

A ∩ B = {x|x A x B}



Examples

Ví dụ: Cho 2 tập A = {1,3,5} và B = {1,2,3}.

A ∪ B = {1,2,3,5}

A ∩ B = {3}

Cho tập C = {4,5}.

B ∩ C = ∅


Hai tập hợp được gọi là tách rời nhau (disjoint) nếu Intersection của chúng là ∅.



|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

|A ∩ B| = ?



Tổng quát hóa



Phép hiệu và Phần bù

Phép hiệu (Difference):

A−B = {x|x ∈ A ∧ x ∉ B}

Phần bù (Complement):

A={x|x ∉ A}



Phép hiệu và Phần bù

Ví dụ:

A = {1,3,5} và B = {1,2,3}

Universal set U = {x|x ∈ Z+ ∧ x < 10}

A−B = {1,5}

A = {2,4,6,7,8,9}



Các công thức tập hợp


Công thức Tên

A ∪ ∅=A

A ∩ U=A

Luật đồng nhất

A ∪ U=U

A ∩ ∅=∅Luật trội

A ∪ A=A

A ∩A=A

Luật không đổi

(A) =A Luật bù

Công thức Tên

A∪B=B∪A

A∩B=B∩A

Luật giao hoán

A∪(B∪C) = (A∪B)∪C

A∩(B∩C) = (A∩B)∩C

Luật kết hợp

A∩(B∪C) = (A∪B)∩(A∪C)

A∪(B∩C) = (A∩B)∪(A∩C)

Luật phân phối

A∪B=A∩B

A∩B=A∪B

LuậtDe Morgan


Exercises

1. Cho A = {1,2,3,4,5} và B = {0,3,6}. Tìm:a) A∪B b) A∩B

c) A – B d) B – A

2. Cho A = {a,b,c,d,e} và B = {a,b,c,d,e,f,g,h}. Tìm:a) A∪B b) A∩B

c) A – B d) B – A

3. Liệt kê tất cả các phần tử của A×B×C, với:

A={shirt, pull}, B={jean, trouser, sport}, C={yellow,

blue}


Chương 2: Lý thuyết tập hợp · PDF fileBài tập. Chương 2: ......

Documents

Transcript of Chương 2: Lý thuyết tập hợp · PDF fileBài tập. Chương 2: ......