CHƯƠNG 1

CHƯƠNG 1CHƯƠNG 1

MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHTRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

----------

Chương 1. Ma trận – Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTTHệ PT ĐSTT

• ija là các phần tử của A ở dòng thứ i và cột thứ j.

• Cặp số (m, n) là kích thước của A.

§1. MA TRẬN (Matrix) 1.1. Định nghĩa a) Ma trận A cấp m n trên là 1 hệ thống gồm m n

số 1, ; 1,ija i m j n và được sắp thành bảng:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

(gồm m dòng và n cột).

Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTTChương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT

• Khi 1m : A = (a11 a12 … a1n) là ma trận dòng;

1n : 11

1

...

m

a

A

a

là ma trận cột;

1m n : 11( )A a là ma trận gồm 1 phần tử.

• Tập hợp các ma trận A là , ( )m nM , để cho gọn ta viết

là ( )ij m nA a .

b) Hai ma trận A và B bằng nhau, ký hiệu A = B khi và chỉ khi chúng cùng kích thước và , ,ij ija b i j .


VD 1. 1 1 0 1

2 2 3

x y

z t u

0; 1; 2; 2; 3x y z u t .

c) Ma trận (0 )ij m nO có tất cả các phần tử đều bằng 0

là ma trận không.

d) Khi m n : A là ma trận vuông cấp n. Ký hiệu ( )ij nA a .

Đường chéo chứa a11, a22, …, ann là đường chéo chính của A, đường chéo còn lại là đường chéo phụ.

11

22

14

23

12 13

21 24

31 34

4

32

4

33

4431 2 4

a

a

a

a a

a a

a a

a a

a

a a

a

a


VD 2.

3 0 0

0 4 0

0 0 6

A

,

1 0 0

0 5 0

0 0 0

B

là MT chéo.

2

1 0

0 1I

, 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

là MT đơn vị.

Các ma trận vuông đặc biệt: • Ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài

đường chéo chính đều bằng 0 là ma trận đường chéo (diagonal matrix). Ký hiệu: dig(a11, a22, …, ann).

• Ma trận chéo cấp n gồm tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1 là ma trận đơn vị cấp n (Identity matrix). Ký hiệu In.


• Ma trận tam giác trên (dưới) cấp n là ma trận có các phần tử nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều bằng 0.

VD 3.

1 0 2

0 1 1

0 0 0

A

là ma trận tam giác trên;

3 0 0

4 1 0

1 5 2

B

là ma trận tam giác dưới.


• Ma trận đối xứng cấp n là ma trận có các phần tử đối xứng qua đường chéo chính bằng nhau (aij = aji). • Ma trận phản đối xứng cấp n là ma trận có các phần tử đối xứng qua đường chéo chính đối nhau và tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 0.

VD 4. 0

0

3

1

2

4 1

1

4A

là ma trận đối xứng;

0

0

0

0

0

1

1

4

4B

là ma trận phản đối xứng.


1.2. Các phép toán trên ma trận a) Phép cộng và trừ Cho ( )ij m nA a , ( )ij m nB b ta có:

( ) .ij ij m nA B a b

VD 5. 1 0 2 2 0 2 1 0 4

2 3 4 5 3 1 7 0 3

;

1 0 2 2 0 2 3 0 0

2 3 4 5 3 1 3 6 5

.

Nhận xét • Phép cộng ma trận có tính giao hoán và kết hợp.


b) Nhân vô hướng Cho ( )ij m nA a , ta có: ( ) .ij m nA a

VD 6. 1 1 0 3 3 0

32 0 4 6 0 12

;

2 6 4 1 3 2

24 0 8 2 0 4

.

Nhận xét

• Phép nhân vô hướng có tính phân phối đối với phép cộng ma trận.

• Ma trận –A là ma trận đối của A.


c) Nhân hai ma trận Cho ( )ij m nA a , ( )jk n pB b ta có:

1

( ) 1, ; 1,, n

ik m p ik ij jkj

AB c c a b i m k p

.

VD 7. Tính a) 1

1 2 3 2

5

; b) 1 0 0 0

4 0 3 2

;

c)

2 0 11 1 1

1 1 22 0 3

1 3 2

.

• 3) Nhân hai ma trận:

;m n n l´ ´Î ÎA BM M


m l mn ln´ ´ ´A B = C

1

n

ij ik kjk

c a b=

=åVí dụ: 1 3

1 22 4

2 35 7

é ùê úé ù-ê úê úê úê ú-ë ûê úë û

11 1.1 3.( 2) 5c = + - =-

5 7

6 8

9 11

é ù-ê úê ú= -ê úê ú-ë û

3 2

22 4

35

1 31

72´

é ùê úé ù-ê úê ú= ê úê úë ûê úë û

-C

21 2.1 4.( 2) 6c = + - =-3 2

12

1 32

35

4

72´


-C

31 5.1 7.( 2) 9c = + - =-3 2

1 32

23

14

25 7

´


-C

3 2

1 31 2

2 42 3

5 7´

é ùê úé ù-ê úê ú= ê úê ú-ë ûê úë û

C


• Tính chất của tích các ma trận:

• Định lý 4:

m n n p p q´ ´ ´A ,B ,C

( ) ( )1. =AB C A BC

( )2. + =C A B CA + CB

( )2 '. + =A B C AC + BC

( ) ( ) ( )3. l l l= =AB A B A B

4. = =AI IA A

vô hướngl


Chứng minh (1)

Ký hiệu: Dmxp=AmxnBnxp, Emxq=(AB)C=DmxpCpxq

Fnxq=BnxpCpxq, Gmxq=A(BC)=AmxnFnxq

Ta cần cm: E=G

Tính : Dmxp?

11 1 11

n

k kk

d a b=

=å

Các phần tử hàng 1 của D: 1 11

, 1...n

j k kjk

d a b j p=

= =å

Phần tử d11?


1 1 1 2 11 1 1

n n n

k k k k k kpk k k

a b a b a b= = =

é ùê úê úê úê úê úë û

å å åL

M L L M

Các phần tử hàng 1 của D:

Tính Emxq?:

Tính e11: 11 1 1 1 11 1 1= = =

æ ö÷ç ÷= = ç ÷ç ÷çè øå å å

p p n

l l k kl ll l k

e d c a b c

11

211 1 1 2 11 1 1

1

= = =

é ùê úé ùê úê úê úê ú= ê úê úê úê ú

ê úê úë ûê úë û

å å åL

MLM M

M L L M L

n n n

k k k k k kpk k k

p

c

ca b a b a b

c

E


Tính eij:

1 1 1= = =

æ ö÷ç ÷= = ç ÷ç ÷çè øå å å

p p n

ij i j i jl l l lk kkl l

e d c a b c

1 1= =

æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè øå å k k

kl l

l

p n

i ja b c

1 1= =

æ ö÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷çè øå å k kl l

l

pn

jk

ia b c

1 1= =

æ ö÷ç ÷ç= =÷ç ÷÷çè øå å

p

k kk

n

i l il

jl ja b c g

Vậy E=G (đpcm)


Chú ý:

1) , Î MnA B Tồn tại AB và BA, trong trường hợp tổng quát AB khác BA (phép nhân 2 ma trận không có tính giao hoán). Ngược lại, nếu AB=BA thì ta nói A và B giao hoán với nhau

2) ,´ ´m n n pA B Giả sử: A khác không và B khác không, thì có thể AB=0.


Ví dụ: 1 0 0 0 0,

0 0 1 1 1

é ù é ùê ú ê ú= =ê ú ê úë û ë û

A B0 0 0

0 0 0

é ùê ú=ê úë û

AB

Ví dụ: 1 2 1 2,

2 3 2 3

é ù é ù-ê ú ê ú= =ê ú ê ú- -ë û ë û

A B

5 4,

8 5

5 8

4 5

é ùê ú=ê ú- -ë ûé ùê ú=ê ú- -ë û

AB

BA

Do đó khẳng định “AB=0 thì A=0 hay B=0” là sai.

Định lý 5: Cho Amxn, Bnxp thì

( ) =T T TAB B A


Chứng minh:

=C AB1=

=ån

ij ik kjk

c a b1=

= =ån

Tji ij ik kj

k

c c a b

1 1 1= = =

= = =å å ån n n

T Tji jk ki kj ik ik kj

k k k

d b a b a a b= T TD B A

Giải

a) 1

1 2 3 2 (1.( 1) 2.2 3.( 5)) ( 12)

5

;

b) 1 0 0 0 0 0

4 0 3 2 0 0

;

c) 1 1 1 4 4

2 0 1

1 1 2

1 3 22 9 8

5

0 3 7

.


VD 8. Tính a)

1 0 1 1 2 1

2 2 0 0 3 1

3 0 3 2 1 0

;

b)

1 2 1 1 0 1

0 3 1 2 2 0

2 1 0 3 0 3

.


b)

1 2 1 1 0 1 2 4 2

0 3 1 2 2 0 3 6 3

2 1 0 3 0 3 0 2 2

.

VD 9. Tính: 1 1 2 0 1 3 2 1 2 1

2 3 0 1 2 1 1 0 2 1

1 1 4 2 1 3 3 1 0 2

A

.

Giải. a)

1 0 1 1 2 1 3 1 1

2 2 0 0 3 1 2 2 0

3 0 3 2 1 0 9 3 3

;


Giải.

1 1 2 0 1 3 7

2 3 0 1 2 1 3

1 1 4 2 1 3 2

A

1 1 2 3 24

2 3 0 1 3

1 1 4 11 42

.


• Lỹ thừa ma trận:

0 1 2 1, , , , -= = = =K k k knA I A A A AA A A A

Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta gọi lũy thừa bậc k (k: số nguyên) của A là một ma trận cấp n (ký hiệu Ak) được xác định một cách quy nạp như sau

• Ma trận lũy linh:

Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n thỏa điều kiện Ak=0 với một số nguyên k nào đó thì A gọi là một ma trận lũy linh.

Ví dụ: 0 1 0

0 0 1

0 0 0

é ùê úê ú= ê úê úë û

A 2

0 0 1

0 0 0

0 0 0

é ùê úê ú= ê úê úë û

A 33=A 0


• Tính chất:

( )1) =rn n0 0

Cho A là ma trận vuông cấp n, r và slà hai số nguyên

( )2) =rn nI I

3) + =r s r sA A A

( )4) =srs rA A



VD 10. Cho 1 1

0 1A

, tính 2009A .

Giải. 2 1 1 1 1 1 2

0 1 0 1 0 1A

,

3 1 1 1 2 1 3

0 1 0 1 0 1A

*1,

0 1n n

A n

(*).

Thật vậy, giả sử (*) đúng với n = k: 1

0 1k k

A

.


Khi n = k +1, ta có:

1 1 1 1 1 ( 1)

0 1 0 1 0 1k k k

A

(đúng).

Vậy 2009 1 2009

0 1A

.

VD 11. Cho 2 0

1 0B

, tính 20092( )I B .

Giải. 2

1 0 2 0 1 0

0 1 1 0 1 1I B

22 2

1 0 1 0( )

1 1 1 1I B I


10042008 2 1004

2 2 2 2( ) ( ) ( )I B I B I I .

Vậy 20092 2

1 0 1 0( )

1 1 1 1I B I

.

VD 12. Cho ( )ijA a là ma trận vuông cấp 100 có các

phần tử ở dòng thứ i là (–1)i. Tìm phần tử a36 của A2.

Giải Phần tử a36 của A2 là tích của dòng thứ 3 và cột thứ 6. Các phần tử trên dòng thứ 3 là: (–1 –1 –1 … –1 –1). Các phần tử trên cột thứ 6 là: (–1 1 –1 … –1 1). Vậy 36 0a .


VD 13. Cho ( )ijA a là ma trận vuông cấp 40 có các

phần tử ( 1)i jija . Phần tử a25 của A2 là:

A. 25 0a ; B. 25 40a ; C. 25 40a ; D. 25 1a .

Giải Phần tử a25 của A2 là tích của dòng thứ 2 và cột thứ 5. Các phần tử trên dòng thứ 2 là: (–1 1 –1 … –1 1). Các phần tử trên cột thứ 5 là: (1 –1 1 …1 –1). Vậy 25 40a B .


– (e1): Hoán vị hai dòng cho nhau i kd dA A . – (e2): Nhân 1 dòng với số 0 , i id dA A . – (e3): Thay 1 dòng bởi tổng của dòng đó với λ lần dòng khác i i kd d dA A .

Chú ý 1) Trong thực hành ta thường làm i i kd d dA B . 2) Sau 1 số hữu hạn các PBĐSC dòng ta được ma trận B tương đương với A, ký hiệu B A .

Phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột) của ma trận

3) Tương tự, ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên cột của ma trận.


VD 16. Cho hai ma trận

2 1 1

1 2 3

3 1 2

A

và

1 2 3

0 1 7 / 5

0 0 0

B

. Chứng tỏ A B .


3 3 2

2 21

5

1 2 3

0 1 7 / 5

0 0 0

d d d

d dA B

.

Giải

1 2 2 2 1

3 3 1

23

1 2 3 1 2 3

2 1 1 0 5 7

3 1 2 0 5 7

d d d d dd d d

A


Ma trận dạng bậc thang chính tắc:

1. Nếu một hàng có một số khác không thì số khác không bên trái nhất bằng 1, được gọi là phần tử chính.

2. Những hàng gồm toàn những phần tử không nằm ở dưới cùng.

3. Nếu hai hàng kề nhau có phần tử chính thì phần tử chính của hàng trên nằm bên trái phần tử chính hàng dưới.

4. Mỗi cột có phần tử chính thì các phần tử khác đều bằng không.

Ma trận dạng bậc thang:

1. Ma trận bậc thang có các dòng khác 0 nằm bên trên các dòng 0.

2. Trên hai dòng khác không, phần tử khác không đầu tiên của dòng dưới nằm bên phải phần tử khác không đầu tiên của dòng trên.


Dòng 0 là dòng gồm tất cả các phần tử bằng 0.


VD 18.

1 0 2

0 0 3

0 0 0

A

,

0 1 2 3

0 0 4 5

0 0 0 1

B

, In

là các ma trận bậc thang;

0 2 7

0 3 4

0 0 5

C

,

2 3 5

0 0 0

0 1 3

D

không phải là các ma trận bậc thang.

Định lý • Mọi ma trận đều có thể đưa về bậc thang bằng hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng.

5. Ma trận vuông khả nghịch:

Cho A là ma trận vuông cấp n khác không,ta nói A khả nghịch khi tồn tại ma trận B

cùng cấp với A sao cho: AB=BA=In. Khi đóta nói B là ma trận nghịch đảo của A, kýhiệu: B=A-1.


• Định nghĩa:

• Nếu A không khả nghịch, ta nói A suy biến.

• Nếu B là ma trận nghịch đảo của A thì A cũng là ma trận nghịch đảo của B.

VD 20. 2 5

1 3A

và 3 5

1 2B

là nghịch đảo

của nhau vì AB = BA = I2.


1. Nếu A có một dòng bằng 0 (hay một cột bằng 0) thì A suy biến.

• Tính chất:

2. Ma trận nghịch đảo của A (nếu có) là duy nhất.

3. Nếu A khả nghịch thì AT, αA (α≠0), A-1 cũng khả nghịch và hơn nữa:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 1 11

, , aa

- - -- - -= = =TTA A A A A A

4. Nếu A và B cùng khả nghịch thì AB cũng khả nghịch và (AB)-1=B-1A-1.

5. Nếu A1, A2,…,An cùng khả nghịch thì tích của chúng cũng khả nghịch và (A1A2…An)-1=An

-1An-1-1…A1

-1.


• Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên dòng:

Cho ma trận vuông A cấp n:

Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa [A|I] về dạng [A’|B]. Có 2 trường hợp:

Bước 1: Lập ma trận có dạng [An|In].

1. MT A’ có một dòng (hoặc một cột) bằng 0. Ta dừng lại và kết luận A suy biến.

2. MT A’=In. Ta dừng lại và kết luận A khả nghịch, và ma trận nghịch đảo A-1=B.


VD 21. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận: 1 1 0 1

0 1 1 0

0 0 1 1

0 0 0 1

A

;

1 1 1

1 0 1

2 1 0

B

.

Giải. 4

1 1 0 1 1 0 0 0

0 1 1 0 0 1 0 0

0 0 1 1 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1

A I


3 3 4

2 3 2

1 1 2 4

1 0 0 0 1 1 1 2

0 1 0 0 0 1 1 1

0 0 1 0 0 0 1 1

0 0 0 1 0 0 0 1

d d dd d dd d d d

1

1 1 1 2

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 1

A

.


3

1 1 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0

2 1 0 0 0 1

B I

2 2 1

3 3 12

1 1 1 1 0 0

0 1 2 1 1 0

0 1 2 2 0 1

d d dd d d


3 3 2

0 0 0

1 1 1 1 0 0

0 1 2 1 1 0

1 1 1

d d d

.

Vậy B không khả nghịch.


1.6 Một số ứng dụng của ma trận trong kinh tế

VD 22. Một khách hàng mua tại siêu thị X lượng gạo, thịt, rau (đơn vị: kg) cho bởi ma trận (12; 2; 3)A với giá tương ứng (ngàn đồng / kg) cho bởi (9; 62; 5)B .

Khi đó, 12 2 3 9 62 5 (247)TTAB .

Vậy số tiền khách hàng phải trả là 247.000 đồng.

VD 23. Công ty X có 3 cửa hàng I, II, III cùng bán 4 mặt hàng: tivi, tủ lạnh, máy giặt, máy lạnh với giá bán tương ứng (triệu đồng / chiếc) cho bởi ma trận

3 5 4,5 6,7A .


Lượng hàng bán được trong ngày của 3 cửa hàng

tương ứng 3 dòng của ma trận

2 1 4 5

0 2 6 1

5 2 0 2

B

.

Hãy cho biết ý nghĩa các phần tử của tích TBA ?

Giải.

32 1 4 5 62,5

50 2 6 1 43,7

4,55 2 0 2 38,4

6,7

TBA

.

Vậy số tiền cửa hàng I, II, III bán được trong ngày lần lượt là: 62,5; 43,7; 38,4 (triệu đồng).


Chỉ số giá Laspeyres và Paasche

VD 24. Giả sử bán (ngàn đồng / kg) của gạo, đường và bột mì vào các ngày 1/1 và 1/6 lần lượt cho bởi 2 cột

của ma trận

10 11

20 19

30 32

P

.

Một người A trong hai ngày đó đã mua vào lượng

hàng tương ứng cho bởi 2 cột của ma trận

4 3

2 3

3 4

Q

.


Khi đó, ta có: 10 11

4 2 3 170 17820 19

3 3 4 210 21830 32

TV Q P

.

Từ ma trận V, ta suy ra:

+ 11 170v : tiền mua hàng 1/1 theo giá ngày 1/1.





1) Nếu lấy ngày 1/1 làm cơ sở thì 11v , 12v lần lượt là giá của tổng lượng hàng người A mua tại ngày cơ sở tính tại ngày cơ sở và ngày 1/6. Khi đó:

12

11

1,047v

v được gọi là chỉ số Laspeyres.

2) Nếu lấy ngày 1/6 làm cơ sở thì 21v , 22v lần lượt là giá của tổng lượng hàng người A mua tại ngày cơ sở tính tại ngày 1/1 và ngày cơ sở. Khi đó:

22

21

1,038v

v được gọi là chỉ số Paasche.


5. Hệ phương trình đại số tuyến tính:

Một hệ PT ĐSTT trên R là một hệ gồm m phương trình bậc nhất (n ẩn) có dạng tổng quát:

• Định nghĩa:

111 1 12 2 1

221 1 22 2 2

1 1 2 2

ìï + + + =ïïï + + + =ïïíïïïïï + + + =ïî

L

M O M

L

n n

n n

m m mn n n

a xa x a x b

a xa x a x b

a x a x a x b

trong đó các aij (gọi là các hệ số) và các bi (các hệ số tự do) là các phần tử cho trước, các xj là các ẩn cần tìm.

(*)

• Ta nói (c1,c2,…,cn) là nghiệm của hệ (*) nếu khi thay x1=c1, x2=c2…,xn=cn vào (*) thì tất cả các đẳng thức trong (*) đều thỏa.

• Nếu các hệ số tự do bi=0 thì hệ trở thành hệ PT ĐSTT thuần nhất.


• Hệ PT ĐSTT thuần nhất có ít nhất một nghiệm là (x1,x2,…,xn)=(0,0,…,0): gọi là nghiệm tầm thường.

• Định lý: Đối với một hệ PT ĐSTT thì chỉ có một trong 3 trường hợp nghiệm:

1. Có nghiệm duy nhất,

2. Có vô số nghiệm,

3. Vô nghiệm.

• Hệ quả: Hệ PT ĐSTT thuần nhất chỉ có:

1. Nghiệm tầm thường,

2. Vô số nghiệm.

• Hệ (*) được viết lại dưới dạng ma trận như sau:


=AX B

é ùê úê úê ú= ê úê úê úê úë û

L

M O M

L

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

A

é ùê úê úê ú= ê úê úê úê úë û

M

1

2

n

x

x

x

X

é ùê úê úê ú

= ê úê úê úê úê úë û

M

1

2

n

b

b

b

B

Ma trận hệ số.

Ma trận ẩn số. Ma trận hằng số.

• Ký hiệu:


[ ]

é ùê úê úê úê ú= =ê úê úê úê úë û

L

%M O M M

L

111 12 1

21 22 2 2

1 2

|

n

n

m m mn n

ba a a

a a a b

a a a b

A A B

%A Ma trận hệ số mở rộng của hệ (*).


VD 1. Cho hệ phương trình 1 2 3 4

1 2 3

2 3

2 4 4

2 4 3

2 7 5

x x x x

x x x

x x

.

Ta có:

1 1 2 4

2 1 4 0

0 2 7 0

A

,

4

3

5

B

,

1

2

3

4

x

xX

x

x

Chú ý Ta có thể viết nghiệm dưới dạng (1; –1; –1; 1).

và 1 1 1 1T là 1 nghiệm của hệ.

Hệ 2 PT ĐSTT (có cùng số ẩn) được gọi là tương đương nhau nếu nó có cùng tập nghiệm.

• Định nghĩa:


Cho hai hệ gồm m phương trình tuyến tính n ẩn sao cho ma trận hệ số mở rộng của hai hệ lần lượt là và . Khi đó nếu

thì hai hệ trên tương đương nhau.

• Định lý:

[ ]=% |A A B [ ]=% |C C D % %:A C

3. Đối với hệ PT thuần nhất có cột các hệ số hằng bằng 0, nên khi giải ta không cần lập ma trận hệ số mở rộng mà chỉ cần lấy ma trận hệ số để biến đổi.


1. Hai ma trận tương đương nhau khi và chỉ khi tồn tại một số hữu hạn các phép BĐSC trên dòng biến ma trận này thành ma trận còn lại.

• Lưu ý:

2. Từ hệ PT ĐSTT ban đầu ta sử dụng các phép BĐSC trên dòng tùy ý đối với ma trận hệ số mở rộng của hệ này đưa nó về dạng một hệ PT ĐSTT đơn giản hơn.


• Phương pháp Gauss – Jordan giải hệ PT ĐSTT:

Gồm 3 bước:

Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số mở rộng: [ ]=% |A A B

Bước 2: Sử dụng các phép BĐSC trên dòng rút gọn ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang chính tắc.

Bước 3: Biện luận nghiệm.


VD 2: Giải hệ PT ĐSTT sau:

ìï + + = -ïïïï - + =íïïï - - =ïïî

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 4 10 18

3 2

3 6 25

x x x

x x x

x x x

Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số mở rộng:

é ù-ê úê ú

= -ê úê úê ú- -ê úë û

%4 10 18

1 1 3 2

3 6 1 25

2

A

Bước 2: Tiến hành thuật toán Gauss - Jordan:

é ù-ê úê ú

-ê úê úê ú- -ê úë û

2 5 9

1 3 2

6 1 25

1

1

3

¾¾¾®1/ 2d

é ù-ê úê ú

- -ê úê úê ú- -ê úë û

2 5 9

3 2 11

12 16 2

1

5

0

0

--¾¾¾¾®2

3 1

13d d

d d


é ù-ê úê ú

-ê úê úê ú-ê úë û

-

5 9

2/ 3 11/

2

12

3

16 2

1

0

10

5

( )-¾¾¾¾®2 / 3d

é ù-ê úê ú

-ê úê úê úê úë û

-

11/ 3 5/ 3

2/ 3 1

8

1 0

0 1

0 0

1/ 3

8

-+¾¾¾¾¾®1

3 2

2212d d

d d ( )-¾¾¾¾®3 / 8d

é ù-ê úê ú


5/ 3

11

11/ 3

2/

1 0

0 1

0 0 1

/ 3

1

3

--

¾¾¾¾¾®1

2 3

311 / 32 / 3dd

d d

é ùê úê ú


1 0 0

0 1 0

0 10 1

2

3

Bước 3: Hệ có nghiệm duy nhấtìï =ïïïï = -íïïï = -ïïî

1

2

3

2

3

1

x

x

x

• Phương pháp Gauss giải hệ PT ĐSTT:

Gồm 3 bước:

Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số mở rộng.

Bước 2: Sử dụng các phép BĐSC trên dòng rút gọn ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang.

Bước 3: Biện luận nghiệm.



VD 2: Giải hệ PT ĐSTT sau:

ìï + + = -ïïïï - + =íïïï - - =ïïî

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 5 9

3 2

3 6 25

x x x

x x x

x x x

Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số mở rộng:

é ù-ê úê ú

= -ê úê úê ú- -ê úë û

%2 5 9

1 1 3 2

3 6 1 25

1

A

Bước 2: Tiến hành thuật toán Gauss:

é ù-ê úê ú

- -ê úê úê ú- -ê úë û

2 5 9

3 2 11

12 16 2

1

5

0

0

--¾¾¾¾®2

3 1

13d d

d d


é ù-ê úê ú


-

5 9

2 11

8

1

8

2

0 3

0 0

-¾¾¾¾®

3 24d d

Bước 3: Hệ có nghiệm duy nhấtìï =ïïïï = -íïïï = -ïïî

1

2

3

2

3

1

x

x

x

Nhận xét:

1. Trong quá trình biến đổi nếu:


• Có các dòng bằng 0 thì ta loại dòng đó đi.

• Có 2 dòng tỉ lệ với nhau thì ta loại một trong 2 dòng đó đi.

2. Nếu một dòng có dạng [0 0 … 0|b] với b khác không thì hệ PT vô nghiệm.

• Giải hệ PT ĐSTT bằng ma trận nghịch đảo:


Xét hệ PT ĐSTT gồm n phương trình và n ẩn số có dạng AX=B.

• Định lý:

Nếu A không suy biến thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất

X=A-1B

VD 3. Giải hệ phương trình

2 1

3 3

2 1

x y z

y z

x y z

.

Giải. 1

2 1 1 1 1 21

0 1 3 3 2 32

2 1 1 1 0 1

A A

.


Hệ 1

1 1 2 1 31

3 2 3 3 62

1 0 1 1 1

X A B

.

Vậy hệ có nghiệm

3

6

1

x

y

z

.



VD 7. Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss: 2 1

3 3

2 1

x y z

y z

x y z

.

Giải

3 3 1

2 1 1 1 2 1 1 1

0 1 3 3 0 1 3 3

2 1 1 1 0 0 2 2

d d dA B

.

Hệ

2 1 3

3 3 6

2 2 1

x y z x

y z y

z z

.


VD 8. Giải hệ phương trình:

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

6 2 5 2 4

2 12 6 18 5 5

3 18 8 23 6 2

x x x x x

x x x x x

x x x x x

.

Giải. 1 6 2 5 2 4

2 12 6 18 5 5

3 18 8 23 6 2

A B

2 2 1

3 3 1

23

1 6 2 5 2 4

0 0 2 8 1 3

0 0 2 8 0 10

d d dd d d


3 3 2

1 6 2 5 2 4

0 0 2 8 1 3

0 0 0 0 1 7

d d d

.

Hệ 1 2 3 4 5

3 4 5

5

6 2 5 2 4

2 8 3

7

x x x x x

x x x

x

1

2

3

4

5

4 6 3

5 4 ( , )

7.

x

x

x

x

x


VD 9. Giải hệ phương trình1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3

5 2 5 3 3

4 3 2 1

2 7 = 1

x x x x

x x x x

x x x

.

Giải. 2 2 1

3 3 1

5 45 2

5 2 5 3 3

0 13 5 2 7

0 39 15 6 11

d d dd d d

A B

3 3 23

5 2 5 3 3

0 13 5 2 7

0 0 0 100

d d d

.

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.


VD 10. Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính: x 4 5 1

2 7 11 2

3 11 6 1

y z

x y z

x y z

.

A.

15

4

0

x

y

z

; B. Hệ có vô số nghiệm;

C.

15 79

4 21

x

y

z

; D.

15 79

4 21

x

y

z

.


Giải. 2 2 1

3 3 1

23

1 4 5 1

0 1 21 4

0 1 21 4

d d dd d d

A B

.

Hệ

15 794 5 1

4 2121 4

xx y z

y Dy z

z

.

Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ ptttChương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt

3.5. Một số mô hình tuyến tính trong phân tích Kinh tế

3.5.1. Mô hình cân bằng thị trường a) Thị trường một loại hàng hóa • Gọi , ,D SP Q Q lần lượt là giá thị trường, lượng cầu

và lượng cung của mặt hàng cần khảo sát. Khi đó, lượng SQ và DQ phụ thuộc vào P . Các mối quan hệ này được gọi là hàm cung và hàm cầu.

• Giả sử ta có các mối quan hệ tuyến tính:

DP aQ b và SP cQ d . Người ta đã chứng minh được rằng:

thông thường lượng cầu giảm khi giá tăng và lượng cung tăng khi giá tăng.


• Thị trường cân bằng khi lượng cung bằng lượng cầu. Giá 0P là giá cân bằng và lượng 0Q là lượng cân bằng.

VD 13. Cho biết hàm cung và hàm cầu của 1 loại hàng hóa: 5 30SP Q , 4 240DP Q . Hãy tìm giá cân bằng và lượng cân bằng?

Giải. Khi thị trường cân bằng, ta có: 0S DQ Q Q .

0 0 0

0 0 0

5 30 30

4 240 120

P Q P

P Q Q

.


VD 14. Cho biết hàm cung và cầu của 1 loại hàng hóa: 1,5 15SP Q , 125DP Q .

1) Hãy tìm giá cân bằng và lượng cân bằng? 2) Giả sử nhà nước đánh thuế 5 đơn vị tiền tệ trên 1 đơn vị sản phẩm. Hãy cho biết người mua hay người bán phải trả thuế này?

Giải 1) Khi thị trường cân bằng, ta có: 0S DQ Q Q .

0 0 0

0 0 0

1,5 15 81

125 44

P Q P

P Q Q

.

2) Khi nhà nước đánh thuế thì hàm cung sẽ bị thay đổi, cụ thể là: 5 1,5 15SP Q .


0 0 0

0 0 0

5 1,5 15 83

125 42

P Q P

P Q Q

.

So sánh 2) và 1) ta thấy giá cân bằng tăng lên 2 đơn vị và đó là phần thuế người mua phải trả; phần còn lại người bán phải trả.

b) Thị trường nhiều loại hàng hóa liên quan • Trong thị trường nhiều hàng hóa, giá của mặt hàng

này có thể ảnh hưởng đến lượng cung – cầu của các mặt hàng khác. Hàm cung – cầu tuyến tính của thị trường n hàng hóa có dạng:

0 1 1 2 2 ...iS i i i in nQ a a P a P a P

0 1 1 2 2 ... ; 1,2,...,iD i i i in nQ b b P b P b P i n .


Trong đó: ,i iS DQ Q và iP tương ứng là lượng cung,

cầu và giá của hàng hóa i.

• Khi thị trường cân bằng thì: ; 1,2,...,i iS DQ Q i n

11 1 12 2 1 10

21 1 22 2 2 20

1 1 2 2 0

...

...,

............................................

...

n n

n nik ik ik

n n nn n n

c P c P c P c

c P c P c P cc a b

c P c P c P c

.

Chú ý • Nếu việc tăng giá mặt hàng 2 khiến người tiêu dùng

chuyển sang chọn mặt hàng 1 làm tăng lượng cầu của mặt hàng 1 thì ta nói mặt hàng 1 và 2 có thể thay thế lẫn nhau.


VD 15. Cho biết hàm cung và cầu của 2 loại hàng hóa:

1 145SQ P ; 1 1 2145 2DQ P P ;

2 240 5SQ P ; 2 1 230 2DQ P P .

1) Hãy tìm giá và lượng cân bằng của hai mặt hàng? 2) Hãy cho biết hai mặt hàng này có thể thay thế lẫn

nhau hay phụ thuộc lẫn nhau?

Giải. 1) Khi thị trường cân bằng, ta có:

1 1

2 2

1 1 2 1

2 1 2 2

145 2 45

30 2 40 5

S D

S D

Q Q Q P P P

Q Q Q P P P

• Nếu việc tăng giá mặt hàng 2 làm giảm lượng cầu mặt hàng 2 và cũng làm lượng cầu của mặt hàng 1 giảm theo thì ta nói 2 mặt hàng phụ thuộc lẫn nhau.


1 1

2 2

70 25

20 60

P Q

P Q

.

2) Từ 1 1 2145 2DQ P P , ta thấy:

12 DP Q hai mặt hàng này có thể thay thế nhau.

VD 16. Cho biết hàm cung và cầu của 3 loại hàng hóa:

1 14SQ P ; 1 1 2 370 2 6DQ P P P ;

2 23SQ P ; 2 1 2 376 3 4DQ P P P ;

3 36 3SQ P ; 3 1 2 370 2 3 2DQ P P P .

1) Hãy tìm giá và lượng cân bằng của ba mặt hàng? 2) Hãy cho biết ba mặt hàng này có thể thay thế lẫn

nhau hay phụ thuộc lẫn nhau?


Giải. 1) Khi thị trường cân bằng, ta có:

1 1

2 2

3 3

1 1 2 3

2 1 2 3

1 2 33

3 37

3 2 4 79

2 3 5 76

S D

S D

S D

Q Q Q P P P

Q Q Q P P P

P P PQ Q Q

1 1

2 2

3 3

15 11

7 4

5 9

P Q

P Q

P Q

.

2) Từ các hàm cầu, ta thấy rằng: bất kỳ mặt hàng nào tăng giá sẽ kéo tất cả lượng cầu giảm theo.

Do đó, ba mặt hàng này là phụ thuộc lẫn nhau.


3.5.2. Mô hình Input – Output Leontief a) Khái niệm chung • Mô hình này còn được gọi là mô hình I/O hay mô

hình cân đối liên ngành, đề cập đến việc xác định mức tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành sản xuất trong tổng thể nền kinh tế.

• Trong mô hình I/O, khái niệm ngành được xét theo nghĩa thuần túy là sản xuất, với các giả thiết sau:

Mỗi ngành sản xuất 1 loại hàng hóa hoặc sản xuất 1 số loại hàng hóa theo tỉ lệ nhất định.

Các yếu tố đầu vào (input – nguyên liệu) của sản xuất trong 1 ngành được sử dụng theo tỉ lệ cố định.


• Tổng cầu đối với đầu ra (output – sản phẩm) của mỗi ngành bao gồm: Cầu trung gian từ phía các nhà sản xuất sử dụng

các loại sản phẩm cho quá trình sản xuất. Cầu cuối cùng từ phía người sử dụng các loại

sản phẩm để tiêu dùng hoặc xuất khẩu.

b) Mô hình I/O tổng quát • Giả sử có m đầu vào được dùng để sản xuất n đầu ra

(m > n). Trong m đầu vào có n đầu vào lấy từ n đầu ra của chính n ngành sản xuất và m – n đầu vào lấy từ m – n đầu ra ngành khác.

Gọi ija : số đơn vị đầu vào i (i = 1, 2,…, m) để

sản xuất 1 đơn vị đầu ra j (j = 1, 2,…, n),


iy : tổng đơn vị đầu vào i,

jx : tổng đơn vị đầu ra j.

ib : giá trị hàng hóa của ngành i cần cho tiêu dùng và xuất khẩu (cầu cuối cùng).

Đặt

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

,

1

2

...

n

x

xX

x

,

1

2

...

m

y

yY

y

.

Ta có phương trình ma trận: AX Y (I).


• Thông thường, bài toán đặt ra là tìm mức n đầu ra để đáp ứng nhu cầu n đầu vào cho n ngành sản xuất. Ngoài ra, phải còn dư một phần khác cho nhu cầu

1( ... )TnD d d của ngành kinh tế mở (ngành không

sản xuất mà chỉ tiêu thụ sản phẩm của n ngành sản xuất trên).

Khi đó, m n và AX Y AX X D ( )I A X D (II).

c) Định lý • Trong (II), nếu tất cả các phần tử của A và D không

âm đồng thời tổng các phần tử trên mỗi cột của A nhỏ hơn 1 thì I A khả nghịch.


Ma trận tổng cầu được xác định: 1( )X I A D . I A được gọi là ma trận Leontief hay ma trận hệ

số công nghệ. Ta có: 1 2( ) ... mI A I A A A , m đủ lớn.

Ý nghĩa 1) Pt(I) dùng để tìm đầu vào Y khi biết đầu ra X. 2) Các số liệu ở cột j trong 1( )I A cho biết lượng

đơn vị phải sản xuất thêm (đầu ra tăng thêm) của mỗi ngành khi nhu cầu của ngành mở đối với ngành j tăng thêm 1 đơn vị.

3) Pt(II) cho phép ta xác định được tổng cầu đối với hàng hóa của tất cả các ngành sản xuất. Giúp cho việc lập kế hoạch sản xuất đảm bảo cho nền kinh tế vận hành tốt, tránh dư thừa hay thiếu hàng hóa.


VD 17. Xét nền kinh tế có 2 ngành: ngành 1 sản xuất điện, ngành 2 sản xuất gas. Giả sử

1 đơn vị đầu ra điện cần số đơn vị đầu vào là: 0,3 điện; 0,1 gas; 1,0 nước.

1 đơn vị đầu ra gas cần số đơn vị đầu vào là: 0,2 điện; 0,4 gas; 1,2 nước.

1) Gọi 1 2

TX x x : số đơn vị đầu ra của 2 ngành,

1 2 3

TY y y y : số đơn vị đầu vào của 3 ngành.

Hãy tìm một phương trình ma trận giữa X và Y ? Giải

Nhu cầu đầu vào lấy từ ngành điện là:

1 2 10,3 0,2x x y .


Nhu cầu đầu vào lấy từ ngành gas là:

1 2 20,1 0,4x x y . Nhu cầu đầu vào lấy từ ngành nước là:

1 2 31,0 1,2x x y .

Vậy, đặt

0,3 0,2

0,1 0,4

1,0 1,2

A AX Y

.

2) Cho biết giá của mỗi đơn vị đầu vào điện, gas và nước lần lượt là 8, 4 và 1. Hãy tìm tổng chi phí để sản xuất 1000 đơn vị đầu ra ngành điện và 900 đơn vị đầu ra ngành gas?


Giải. Tổng chi phí sản xuất là:

0,3 0,2

10008 4 1 0,1 0,4 4408

9001,0 1,2

(đơn vị tiền).

3) Cho biết nhu cầu của ngành kinh tế mở là 40 80D . Hãy tìm lượng đơn vị đầu ra của

ngành điện, gas để đủ đáp ứng nhu cầu của hai ngành đó và ngành kinh tế mở? Tìm lượng đơn vị đầu vào của ngành nước?

Giải. Ta có: 1 1 1

2 2 2

x y d

x y d


1 1 1

2 2 2

0,3 0,2

0,1 0,4

x x d

x x d

.

Đặt 0,3 0,2 7 21

0,1 0,4 1 610A I A

1 6 21( )

1 74I A

.

Vậy 1

2

6 2 40 1001

1 7 80 1504

x

x

(đơn vị).

Lượng đơn vị đầu vào lấy từ ngành nước là:

3 1 21,0 1,2 100 1,2.150 280y x x (đơn vị).


VD 18. Trong mô hình I/O Leontief (3 ngành), cho

ma trận hệ số đầu vào

0,3 0,4 0,1

0,2 0,3 0,2

0,2 0,1 0,4

A

.

1) Nếu nhu cầu của ngành kinh tế mở đối với ngành 2 tăng thêm 1 đơn vị thì đầu ra của mỗi ngành tăng thêm (sản xuất thêm) bao nhiêu đơn vị?

Giải

Ta có:

7 4 11

2 7 210

2 1 6

I A


1

40 25 151

( ) 16 40 1620

16 15 41

I A

.

Từ cột 2 của 1( )I A cho ta biết:

Đầu ra ngành 1 tăng thêm 25

20 đơn vị;


20 đơn vị;


20 đơn vị.


2) Cho biết nhu cầu của ngành mở đối với đối với ngành 1 giảm 1 đơn vị; ngành 2 tăng 2 đơn vị; ngành 3 giảm 1 đơn vị thì mức sản lượng (đầu ra) của 3 ngành tăng hay giảm bao nhiêu? Giải. Từ 3 dòng của 1( )I A cho ta biết: Mức thay đổi sản lượng (theo đơn vị) của ngành 1 là:

1

1 40 2 25 1 15 1

20 4x

(giảm);

Mức thay đổi sản lượng (theo đơn vị) của ngành 2 là:

2

1 16 2 40 1 16 12

20 5x

(tăng);

Mức thay đổi sản lượng (theo đơn vị) của ngành 3 là:

3

1 16 2 15 1 41 27

20 20x

(giảm).

[email protected]

• http://www.math.hcmus.edu.vn/~bxthang/dsc2009

CHƯƠNG 1

Documents

Transcript of CHƯƠNG 1