Chapter 7 Z Transformation - Zhejiang...

1

浙江大学控制科学与工程学系

信号与系统 Signals and Systems

第七章 Z 变换

Chapter 7 Z Transformation

控制系网络课程平台：http://www.cse.zju.edu.cn/eclass/signal_system/

2

主要内容

双边z变换

z变换的收敛域

z变换的性质

常用信号的z变换对

z反变换

单边z变换及其性质

LTI系统的z域分析

3

基本内容

双边z变换

定义

与离散F变换的关系

与拉普拉斯变换的关系

常见信号的z变换

4

双边 z 变换——定义

由第四章可知

LTI系统，h[n]x[n] y[n]

zn

nznx ][

)(][

][][*][][

zHzzkhz

zkhnhnxny

n

k

kn

k

kn

特征函数特征值

)(zHzz nLTIn

k

kzkhzH ][][

H(z)zn

思路与连续系统类似，增长的x[n]的F变换不收敛。为满足收敛条件，引

入衰减的实指数加权信号r-n(r>0) , 乘以x[n]，使x[n]r-n满足收敛条件。

若z=ejω (ω为实数,｜z|=1)，

即为h[n]的离散Fourier变换：

n

njj enheH ][)(

5

双边z变换———与离散Fourier变换的关系（1）

引入衰减的实指数加权因子r-n(r>0) 后的F变换

)(][}{][

}][{}][{)(

nj

n

jnn

n

jnn

n

nj

renxernx

ernxrnxFreX

令z=rejω

一个离散时间信号x[n]的z变换定义为

记为：

][)(

n

nznxzX

X(z)nx

nxZzX

z

][

]}[{)(

或可见，X(z)是z的一个幂级数。

Z-n的系数就是x[n]的值。

信号x[n]的z变换实际上是广义的F变换，当r=1即为F变换。

6

双边z变换——与离散Fourier变换的关系（2）

)}({][ 1 jn reXFrnx

X(z)nx

nxZzX

z

][

]}[{)(

或

jnn

n

nj ernxrnxFreX

}][{}][{)(

)}({][ 1 jn reXFrnx

2

)(2

1][ dereXrnx njjn

设 r 取值满足F变换收敛令z=rejω

dz=jrejωd

d =(1/jz)dz

][)(

n

nznxzX Z变换的正变换因F变换必须考虑收敛问题，

故z变换存在收敛性问题，要给

出ROC。

Z变换的反变换dzzzXj

nx n 1)(2

1][

1 1[ ] ( )

2

n

jx n X z Z dz

jre

7

双边z变换——与离散Fourier变换的关系（3）

在连续的情况下，当 s=j (即实部为0) 时，

虚轴上的Laplace变换就是Fourier变换；而在

离散时间系统，当 z= ejω时(即|z|=1)时，z

变换就演变为离散Fourier变换－－即在复数z

平面上，F变换是在单位圆上的z变换。

Im

0

Re

[z]平面

Z=ejω

1

单位圆

8

抽样信号xs(t)的Laplace变换

( ) ( ) ( )

( ) ( )

s T

n

x t x t t

x nT t nT

( ) { ( )} ( ) ( )

( ) ( )

sT

st

s s

n

z ensT n

n n

X s L x t x nT t nT e dt

x nT e x nT z

令

＝

Z变换与拉普拉斯变换的关系(1)

载波器

脉冲调制器xs(t)

x(t)

)(tp

xs(t)

2T 4Tt

xs(t) x(t)

T ( ) ( )s Tx t t x t

x(t)

t

9

Z变换与L变换的关系(2)

思考：

若连续时间信号x(t)经均匀抽样(间隔T)构成序列x[n]，

且已知L[x(t)]=X(s)，讨论能否借助X(s)写出X(z)=Z[x[n]] ?

STz e1

lns zT

参见Z变换与拉氏变换的关系.pdf

x(t) xs(t) / x[n]

X(s) Xs(s) / X(z)T(t)

1ln

( ) ( )s s zT

X z X s

1( ) ( )s s

n

X s X s jnT

1ln

( ) ( ) ?s z

T

X z X s

0}Re{;1

)}({ ss

tuL

1||;1

1]}[{

1

z

znuZ

0}Re{;1

1)()}()({

00

0

se

edtenTttutLn

sT

nsTst

n

T

10

STz e1

lns zT

T是序列的时间间隔

重复频率2

sT

s j jz re

( )j j Tre e

2

sTr e e

2

s

T

STz e1

lns zT

Z变换与L变换

的关系(3)

11

STz e1

lns zT


重复频率2

sT

s j jz re

( )j j Tre e

2

sTr e e

2

s

T

STz e1

lns zT

Z变换与L变换

的关系(3)

12

STz e1

lns zT


重复频率2

sT

s j jz re

( )j j Tre e

2

sTr e e

2

s

T

STz e1

lns zT

Z变换与L变换

的关系(3)

13

STz e1

lns zT


重复频率2

sT

s j jz re

( )j j Tre e

2

sTr e e

2

s

T

STz e1

lns zT

Z变换与L变换

的关系(3)

14

双边z变换——常见信号的 z 变换（1）

例7-1(P250) 设信号 ][][ nuanx n 求X(z)。（右边序列）

解：

00

)(][][)(n

n

n

nn

n

n

z

aznuaznxzX

欲使X(z)收敛，由几何级数收敛定理，须满足|a/z|<1, 即|z|>|a|

||||;1

1][)(

1az

az

z

azznxzX

n

n

特别地，当a=1, x[n]为单位阶跃序列

当0<|a|<1时, 收敛域如图示， ROC包含单位

圆, F变换收敛。

当|a|>1, ROC不包含单位圆，信号的F变换不

收敛。

可用零极点表示

Im

a

Re

[z]平面

1

单位圆

15


例7-2(P250) 设信号 ]1[][ nuanx n 求X(z)。（左边序列）

解：

0

00

01

1

1

)()(

n

nn

n

nn

m

mmnm

n

nn

za

zazazazazX令

欲使X(z)收敛，由几何级数收敛定理，须满足|z/a|<1, 即|z|<|a|

||||;1

11

1

11)(

11az

azza

a

zazX

当0<|a|<1时, 收敛域如图示，F变换不收敛。

当|a|>1, 原信号的F变换收敛。

Im

a

Re

[z]平面

1

单位圆

16


X(z)的代数形式完全一样，但由于收敛域不同，

它们代表的原信号序列是不同的。

结论: (1) 一定要指出ROC。

(2) X(z)是有理分式时可用零极点表示。

][][ nuanx n例7-1 设信号求X(z)。（右边序列）

]1[][ nuanx n例7-2 设信号求X(z)。（左边序列）

az

zzX

)(

Im

a

Re

[z]平面

1

单位圆

Im

a

Re

[z]平面

1

单位圆

17

主要内容

双边z变换

z变换的收敛域

z变换的性质


z反变换



18

z变换的收敛域（1）

][)(

n

nznxzX Z变换的定义式：

只有级数收敛，z变换才有意义, 即要求 x[n]r-n的F变换收敛。

z变换的ROC由这些z=rejω组成，在这些z 值上, x[n]r-n的绝对

可和

|][|

n

nrnx

由上知， z变换的收敛域仅决定于 r=|z|，与ω无关。

19

性质1 X(s)的收敛域在 s 平面上由平行于虚轴 j 的带状区域组成

（即收敛域与S的虚部无关，因为在X(s)的ROC内的这些s值都是绝对可

积的，该条件只与实部有关）。

性质2 对有理Laplace变换来说，

ROC内不包括任何极点(因为若包含一

个极点，则X(s)在该点为无穷大，积

分不收敛）。


性质1 X(z)的收敛域ROC是在 z 平面内以

原点为中心的圆环。

ROC必须仅由一个单一的圆环组成。某

些情况下，ROC的内圆边界向内延伸到原点；

而在另一些情况，外圆边界可以向外延伸到无

限远。

性质2 对有理 z 变换来说，

ROC内不包括任何极点(因为

在极点处，则X(z)为无穷大，

根据定义， z 变换不收敛）。

Im

Re

[z]平面

0 1

单位圆

20

性质3 若 x(t)是时限的，且绝对可积，则其X(s)的ROC是整个s平面。直

观理解：时限信号x(t)(T1t T2)，乘以衰减因子e-t（＞0－指数衰减；

＜0－指数增长）, 因为x(t)是时限的，e-t x(t) 不可能无界，所以一定可积。


性质3 若 x[n]是一个有限长序列（n1<n<n2) ，则X(z)的ROC是整

个z平面。可能除去z=0和z=。

][)(2

1

nn

nn

nznxzX 此为有限项级数，只要其中

每一项有界，级数就收敛。

要求|z-n|<, n1<n<n2, 显然，0<|z|< 均满足。ROC至少除0或

(1)若n1>0, ROC： 0<|z| ，除z=0外z平面

(2)若n2<0, ROC： 0 |z|< ，除z=外z平面

(3)若n1<0, n2>0, ROC： 0 <|z|< ，除z=0,z=外z平面

21

性质4 若x(t)是右边信号，且X(s)存在，则X(s)的ROC一定在其最

右边极点的右边。指t<T1, x(t)=0的信号

T1

t

X(t)

-1

[s]平面

-2

Im

Re

性质4 若x[n]是右边序列信号，且|z|=r0的圆位于ROC内，则

|z|>r0的全部有限的z 值都一定在这个ROC内。

指n<N1, x[n]=0的信号 Im

Re

[z]平面

Rx-

0


22


若|z|=r0位于ROC内, 则x[n]r0-n绝对可和。

考虑：因为|z|=r1> r0，第二项随 n 增加，r1-n衰减比得r0

-n快。

当 N1>0, 第一项不存在；

当 N1<0, 第一项是有限序列，其收敛域是除∞以外的整个Z平面。

1

( ) [ ] ; : | | (n

xn N

X z x n z ROC R z z

不一定包括）

）＝包括 zzRROCx

(||:对于因果序列，因为n<0, x[n]=0

Im

Re

[z]平面

Rx-

0

0

1

][][][)(11 n

n

Nn

n

Nn

n znxznxznxzX

性质4 若x[n]是右边序列信号，且|z|=r0的圆位于ROC内，则

|z|>r0的全部有限的z 值都一定在这个ROC内。

指n<N1, x[n]=0的信号

23

性质5 若x(t)是左边信号，且X(s)存在，则X(s)的ROC一定在其最

左边极点的左边。

T1

X(t)

t

Im

Re

[s]平面指t＞T2, x(t)=0的信号

性质5 若x[n]是左边序列信号，且|z|=r0的圆位于ROC内，则

0<|z|<r0的全部有限的z 值都一定在这个ROC内。

指n>N2, x[n]=0的信号Im

Re

[z]平面

Rx+

0


24


性质5 若x[n]是左边序列信号，且|z|=r0的圆位于ROC内，则

0<|z|<r0的全部有限的z 值都一定在这个ROC内。

指n>N2, x[n]=0的信号

22

1

0

][][][)(N

n

n

n

nN

n

n znxznxznxzX

Im

Re

[z]平面

Rx+

0

当 N2>0, 上式包括z的负幂次项，|z|0, 这些项趋于无穷，所以一

般的ROC不包括z=0

当 N2 0, (即对所有n>0,x[n]=0), ROC包括 z=0

x

Rz ||0

x

Rz ||

25

性质6 若x[n]是双边序列，且|z|=r0的圆位于ROC内，则该ROC

一定是由包含|z|＝r0的圆环组成。


0

1

][][][)(n

n

n

n

n

n znxznxznxzX

双边序列的ROC可以将x[n]表示成一个

右边序列与一个左边序列之和来确定：

整个序列的ROC就是

两部分ROC的相交部分： xx

RzR ||

Im

Re

[z]平面

0

Rx-

Rx+

性质6 若x(t)是双边信号，且X(s)存

在，则X(s)的ROC一定在由s平面的一

条带状域所组成。

Im

-b

Re

[s]平面

b

26

讨论 1）当b>1, 上述ROC无公共区（交集），z变换不收敛。

2）当b<1, 上述ROC有公共区（交集）， z变换收敛。

解:

左边）＜右边）　　 0,(n0,(n

]1[][][

nubnubbnx nnn

bzbz

zX

||;1

1)(

1

例7-1 ZT ZT

例7-2

1

11||;

1

1)(

bz

zbzX

bzb

bzbz

z

zbbzzX

1;

))((1

1

1

1)(

1111

1Re

Im

1/b

b


　 n0,-b,][ n

bnx例7-5(P253) 设双边序列 ,求X(z)及收敛域。

27

解:

平面为全部Z;1][]}[{ ROCznnxZn

n


　 ][][ nnx 例7-6(P253) 求序列的z变换及收敛域。

例7-7(P253) 求序列的z变换及收敛域。][)3

1(]1[)

2

1(][ nununx nn

2

1||

3

1;

)3

1)(

2

1(

6

1

3

11

1

2

11

1

][)3

1(]1[)

2

1(]}[{

11

0

11

1

z

zz

z

zz

nuznuznxZn

n

n

n

左边序列

右边序列

0

[n]

解: 如果x[n]的Z变换将此序列看成是n1=n2=0时有

限长序列的特例

Re

Im

1/2

1/3

28

性质7 若x[n]的z变换X(z)是有理的, 它的ROC就被极点所界定，或

者延伸至无限远。


Im

a

Re

[z]平面

1

右边序列

Im

a

Re

[z]平面

1

左边序列

Re

Im

1/2

1/3

双边序列

性质8（性质7与性质4的结合）若x[n]的z变换X(z)是有理的, 且x[n]是

右边序列，则它的ROC就位于z平面内最外层极点的外边。且如x[n]是因果

序列，ROC包括z=。

性质9（性质7与性质5的结合）若x[n]的z变换X(z)是有理的,且x[n]是

左边序列，则它的ROC就位于z平面内最里层的非零极点的里边。且如x[n]

是反因果序列（x[n]=0当n>0），则ROC也包括z=0。

29

Re

Im

1/2

1/31/2

)(,)(

)()( mn

zD

zNzX

当Z变换式是有理的，即为复变量z的两个多项式之比：

在上式中，除去一个常数因子A外，分子分母多项式都能用它们的

根----零点和极点----来表示，常数因子A只影响X(z)的大小，不影响

X(z)的性质。在 z 平面上可以标出零极点位置－－ X(z)的零极点图。

更常见或更方便

)(

)(

)(

)()(

1

1

j

n

j

i

m

i

pz

zzA

zD

zNzX

z变换的几何表示：零极点图

利用极零点图还可以进行Z变换的几何求值：对ROC中的任一点z1

满足:

)(

2121)(

)()(

j

j

e

e

BB

AK

zD

zNzX

z1B1

21

2111

1

2/1;3/1

;0

jj

j

eBzeBz

Aez

考虑：若|z1|＝1?

30

主要内容

双边z变换

z变换的收敛域

z变换的性质


z反变换



31

z变换的性质（总结）（1）线性

（2）时域平移性质

（3）z域微分

（4） z域尺度变换特性

（5）时域扩展

（6）时域卷积

（7）共轭序列性质

（8）累加性质

),min(||),max();()(][][ 22112211 yxyx

ZT RRzRRzXazXanxanxa

xx

mZT RzRzXzmnx ||),(][当m>0时为延迟；

当m＜0时为超前。

xx

ZT RzRdz

zdXznnx ||;

)(][

xx

Zn Ra

zR

a

zXnxa );(][

k

k

k

kZ

k RzRzXnx );(][)(

),min(),,max(;||);()(][][ yxyx

Z

RRRRRRRzRzYzXnynx

xx

ZT RzRzXnx ||);(][ ***

1||R);(1

1][

1

zROCzXz

kx Zn

k

至少包含

RROCzXnx ZT );(][

32

主要内容

双边z变换

z变换的收敛域

z变换的性质

常用信号的z变换对（见P259，表7-2）

z反变换



33

表 7.2 常用 Z 变换

-

34

主要内容

双边z变换

z变换的收敛域

z变换的性质

常用信号的z变换对（见P259，表7-2）

z反变换



35

z反变换(1)

][nx )(zX

z反变换定义

z-transform

Inverse z transform

从给定X(z), 求出原序列x[n]。

n

nznxnxZzX ][]}[{)(

三种方法：

幂级数法展开（又称综合除法或长除法）

部分分式法

围线积分法(留数法)

且由X(z)的ROC收敛域性质考虑x[n]的特性。

dzzzXj

zXZnx n 1

2

1 )(2

1)]([][

36

注意：

1）若X(z)为有理式，可直接用长除法；

2）根据收敛域判别x[n]的特性（左边、右边或双边），再展开为幂级数

如|z|>Rx-，则x[n]是右边（因果）序列－先将X(z)按z -1 的升次幂排列

如|z|＜ Rx+，则x[n]必为左边序列－先将X(z)按z -1 的降次幂排列

进行长除法

3）缺点：不易求得x[n]的闭合式。优点：可普遍适用，如非有理数X(z)。

)(

)()(

zD

zNzX

z反变换(2)

n

nznxnxZzX ][]}[{)(

方法一：幂级数展开法（长除法）－ power-series method (open form)

按定义，只需要将X(z)展开成z-1的

幂级数之和，系数即为序列x[n]的值。

的负次幂（右边序列）左边序列）的正次幂 zz

zxzxzxzxzx 210

(

12 ]2[]1[]0[]1[]2[

37

z反变换(3)

1||;)1(

)(2

zz

zzX例7-13(P260) 已知，求其Z反变换x[n]。

解：因收敛域|z|>1且包含，x[n]必是因果序列－将X(z)按z -1的升幂排列

0

4321

21

1

22432

2112)1()(

n

nnzzzzz zz

z

zz

z

z

zzX

故 ][][ nnunx

2121 1 zz z

43

432

23

242

zz

zzz

32

321

2

2

zz

zzz

54

543

34

363

zz

zzz

4321 432 zzzz

长除法

38

z反变换(4)

例7-14(P261) 已知，求其Z反变换x[n]。1||;)1(

)(2

zz

zzX

解:因|z|＜1且包含0，x[n]必是反因果序列－将X(z)按z -1 的降幂排列

1

432

22432

21)1()(

n

nnzzzzz zz

z

z

zzX

故 ]1[][ nnunx

221 zz z

43

432

23

242

zz

zzz

32

32

2

2

zz

zzz

54

543

34

363

zz

zzz

432 432 zzzz

长除法

39

z反变换(5)

1||;)1(

)(2

zz

zzX例7-13(P260) 已知，求其Z反变换x[n]。

解：因收敛域|z|>1且包含，x[n]必是因果序列－将X(z)按z -1的升幂排列

0

4321

21

1

22432

21

12)1()(

n

nnzzzzzzz

z

zz

z

z

zzX

故 ][][ nnunx

例7-14(P261) 已知，求其Z反变换x[n]。1||;)1(

)(2

zz

zzX

解:因|z|＜1且包含0，x[n]必是反因果序列－将X(z)按z -1 的降幂排列

1

432

22432

21)1()(

n

nnzzzzzzz

z

z

zzX

故 ]1[][ nnunx

X(z)相

同形式，

但ROC

不同，

代表的

是不同

的序列。

40

z反变换(6)

1( ) ln(1 );| |X z az z a 例7-15(P261) 已知，求其Z反变换x[n]。

解：因|z|>a，x[n]必是因果序列, 因X(z)是非有理数，不能直接应用

长除法－－将X(z)按泰勒级数展开，因公式为

且|z|>a，所以|az-1|＜1，能运用公式

故：1,

0 0

)1(][

1

n

,nn

anx

nn

)11(,)1(432

)1ln( 1432

xn

xxxxxx

nn

1||,)()1(

2

)()1ln()( 1

1

112111

az

n

azazazazzX

n

nn

]1[)1(][ 1 nun

anx

nn

n

nznxnxZzX ][]}[{)(

41

z反变换(7)

方法二：部分分式法－ partial-fractions method (closed form)

0

1

1

)1(

1

0

1

1

)1(

1

)(

)()(

azazaza

bzbzbzb

zD

zNzX

N

n

N

n

M

m

M

m

情况1）X(z)的分母多项式D(z)有N 个互异实根，即

N

k k

kNM

n

n

nzp

AzB

zD

zNzX

11

0 1)(

)()(

当M>N，存在Bn

当M＝N，仅存在B0

当M＜N， Bn＝0

常用公式： aZaz

z

aznua Zn

,

1

1][

1

2||;)2)(1(

10)(

z

zz

zzX例7-16 (P262) 已知，求其Z反变换x[n]。

解：因|z|>2，x[n]必是因果序列)

12(10

)2)(1(

10)(

z

z

z

z

zz

zzX

故： ][)12(10][ nunx n

42

z反变换(8)

情况2）X(z)的分母多项式D(z)包含有重根，即

方法一：与Laplace法类似

方法二：如教材上的待定系数法

2||;)2)(1(

42)(

2

z

zz

zzX例7-17 (P262) 已知，求其Z反变换x[n]。

解：因|z|>2，x[n]必是因果序列

2

2121

2 )2(21)2)(1(

42)(

z

C

z

C

z

A

z

A

zzz

z

z

zX

故： ][22][25][6][][ nunnununnx nn

按前面方法易得 A1＝－1， A2＝6， C2＝4， C1＝？

取不等于极点的一个简单

值代入原式，如：z=32

1

)1(

4

12

6

3

1

6

10

CC1＝－5

N

k k

k

zp

AzX

111

)(

N

k k

k

pZ

A

Z

zX

1

)(

aZaz

z

aznua Zn

,

1

1][

1

aZaz

aznuna Zn

,)1(

][21

1

43

z反变换(9)

方法三：围线积分法(留数法)

由X(z)的反变换的围线积分表示式 dzzzXj

nx n

C

1)(2

1][

当|z|>a，

右边序列

0

1

0

0,

[ ]Res[ ( ) ] ,

m

n

z p

m

n n

x nX z z n n

当|z|＜a，

左边序列

1

0

0

Res[ ( ) ] ,[ ]

0,

m

n

z p

m

X z z n nx n

n n

若X(z)zn-1在z=pm

处为单极点

1 1Res[ ( ) ] [( ) ( ) ]m m

n n

z p m z pX z z z p X z z

若X(z)zn-1在z=pm

处为L重极点

11 1

1

1Res[ ( ) ] [ ( ) ( ) ]

( 1)!m m

Ln L n

z p m z pL

dX z z z p X z z

L dz

C是包围X(z)Zn-1所有极点之逆时

针闭合积分路线，通常选择z平面

收敛域内以原点为中心的圆

X(z)Zn-1沿围线C的积分等于其在围线C

内部各极点的留数之和乘以2πj

1[ ] Res[ ( ) ]m

n

z p

m

x n X z z

44

z反变换(10)

总结：由X(z)x[n]三种方法

（先要由已知的Z变换式的收敛域确定原序列的特性）

（1）幂级数展开法（长除法）（左边序列－－z-1降幂

右边序列－－z-1升幂）

（2）部分分式法（查表法）

（3）留数法

nZ aaz

zzX

)(1

Chapter 7 Z Transformation - Zhejiang...

Documents

Transcript of Chapter 7 Z Transformation - Zhejiang...