4장.

선형방정식의 해법과 응용 (1~3장 까지의 내용 review)

최 윤정

Contents

4.1 가우스 소거법을 이용한 선형방정식의 해법

• 첨가행렬로의 표현

• 가우스-조단 소거법에 의한 선형방정식의 해법

• LU-분해법에 의한 선형방정식의 해법

4.2 선형방정식의 다양한 응용들

• 여러 가지 응용들

• 화학방정식에의 응용

• 교통 흐름에의 응용

• 마르코프 체인에의 응용

• 암호 해독에의 응용

• 키르히호프 법칙에의 응용

4.1.1 첨가행렬로의 표현

3

4.1.1 첨가행렬로의 표현

4

4.1.1 첨가행렬로의 표현

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4.1.2 가우스-조단 소거법에 의한 선형방정식의 해법

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4.1.2 가우스-조단 소거법에 의한 선형방정식의 해법

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4.1.2 가우스-조단 소거법에 의한 선형방정식의 해법

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4.1.2 가우스-조단 소거법에 의한 선형방정식의 해법

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4.1.2 가우스-조단 소거법에 의한 선형방정식의 해법

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4.1.2 가우스-조단 소거법에 의한 선형방정식의 해법

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LU-Decomposition

• Ax = b 에서 A = L U 로 인수분해하여 중간해를 구한 후, 다시 원래의 해를 구하는 방법.

▫ L = 하부삼각행렬, U = 상부삼각행렬

▫ 두리틀(Doolittle method), 촐스키(cholesky), 크라우트(crout)

▫ 조사해보기.

• 진행방법

▫ Step1 : Ax = b 를 LUx = b 로 치환

▫ Step2 : Ux = y 로 두고, Ly = b로 대체

▫ Step3: Ly=b 에 대하여 y를 구하고

▫ Step4 Ux=y를 대입하여 x에 대한 최종해를 구한다.

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예제 4-8

• x1 + x2 + x3 = 7

• x1 + 2x2 + 2x3=7

• x1 + 2x2 + 3x3=5

• Step1 : Ax = b 의 형태로.

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1 1 1 1 2 2 1 2 3

x1

X2

x3 =

7 7 5

1 1 1 1 2 2 1 2 3

a1 0 0 b1 b2 0 c1 c2 c3

a'1 a'2 a'3 0 b'1 b'2 0 0 c'1

• Step2 : A = LU 의 형태로!

a1 0 0 b1 b2 0 c1 c2 c3

a'1 a'2 a'3 0 b'1 b'2 0 0 c'1

x1

X2

x3 =

7 7 5

• Step3 : LUx = b 에서 Ux = y로 치환!

a1 0 0 b1 b2 0 c1 c2 c3

= y1

y2

y3

7 7 5

a1 y1 = 7 b1 y1 + b2 y2 = 7 c1 y3 + c2 y2 + c3 y3 = 5

• Step4 : Ux = y 에 대입하여 x

……..

LU-분해론에 대하여. 좀더 찾아보세요.

• 원 행렬 A를 L과 U 의 두 개의 단순한 문제로 바꾸어 (물론 분해연산은 필요합니다.)

• 순서대로 대입하는 것과 거꾸로 대입하는 방법을 몇 번함으로써 (역행렬의 존재와 상관없이) 너무도 쉽게 풀 수 있게 된다.

• 이것이 Von Neumann과 함께 최초의 stored-program 컴퓨터를 개발한 Alan Turing이 1948 년에 소개한 LU-분해이며 그 후10년만에, 주어진

행렬를 그와 닮음인(similar) block 대각 행렬로 수렴시키는 QR-factorization을 이용한 QR-algorithm이 F. H. Wilkinson과 Householder 등

의 기여로 개발되었으며

• 이러한 분해이론은 그후 Cholesky 분해, Polar Decomposition, Singular Value Decomposition, L D LT Decomposition 등으로 다양한 연구의

한 분야가 되어 오고 있다.

• 실제로, 이 기간동안 행렬이론의 기존의 또, 새로운 지식은 선형계획법, 비선형계획법, Markov Chain, 암호이론, 인구문제, 교통문제, 최적화

이론, 수치해석학등의 다양한 연구분야를 개척하고 발전시키는데 큰 기여를 기여했던 것이다.

• 우리 사회의 여러 문제를 수학적으로 표현하여 수학 문제로 바꾸어 놓은 후, 그 문제를 선형화하여 일차연립방정식과 관련된 문제로 바꾼 후,

행렬에 대한 지식을 이용하여 쉽게 해를 구한 다음 그 해를 원래 사회문제에 대한 답으로 해석하는 것이 바로 수학의 역할 중의 하나이다.

• 이 과정에서 선형성에 근거한 컴퓨터를 만들었으며 그러한 컴퓨터의 발전과 더불어 선형대수학을 포함한 선형대수학의 연구와 이용이 20세

기 후반에 가히 폭발적으로 활발해졌다………

• ( … )

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화학방정식

교통 흐름

마르코프 체인

암호 해독

키르히호프 법칙

실제로는 훨씬 더 많아요

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4.2.1 여러 가지 응용들

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4.2.1 여러 가지 응용들

17

4.2.2 화학방정식에의 응용

18

4.2.2 화학방정식에의 응용

19

4.2.3 교통 흐름에의 응용

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4.2.3 교통 흐름에의 응용

21

4.2.4 마르코프 체인에의 응용

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23

4.2.5 암호 해독에의 응용

24

4.2.5 암호 해독에의 응용

25

4.2.6 키르히호프 법칙에의 응용

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4.2.6 키르히호프 법칙에의 응용

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