Chapter 10 무한수열과 무한급수

Chapter 10 무한수열과 무한급수

이문배

건국대학교 수학과

Chapter 10 무한수열과 무한급수

Contents

10.4 비교판정법

10.5 교대급수

10.6 절대수렴과 비판정법 및 근판정법

Chapter 10 무한수열과 무한급수

10.4 비교판정법

Theorem (비교판정법)∞∑

n=1

an과∞∑

n=1

bn의 각 항들이 모두 양인 급수일 때

▶∞∑

n=1

bn이 수렴하고 모든 n에 대하여 an ≤ bn이면,∞∑

n=1

an도 수렴한다.

▶∞∑

n=1

bn이 발산하고 모든 n에 대하여 an ≥ bn이면,∞∑

n=1

an도 발산한다.

▶ p−급수와 기하 급수의 수렴성을 이용하자.

Chapter 10 무한수열과 무한급수

10.4 비교판정법

Example∞∑

n=1

5

2n2 + 4n+ 3의 수렴, 발산을 판정하여라.

풀이.

Example∞∑

n=1

lnn

n의 수렴, 발산을 판정하여라.

풀이.

Chapter 10 무한수열과 무한급수

10.4 비교판정법

Theorem (극한비교판정법)∞∑

n=1

an과∞∑

n=1

bn의 각 항들이 모두 양인 급수일 때

limn→∞

an

bn= c (c > 0)

이면 두 급수는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.

Example∞∑

n=1

1

2n − 1의 수렴, 발산을 판정하여라.

풀이.

Example∞∑

n=1

2n2 + 3n√5 + n5

의 수렴, 발산을 판정하여라.

풀이.

Chapter 10 무한수열과 무한급수

10.5 교대급수

Theorem (교대급수판정법)

교대급수

∞∑n=1

(−1)n−1bn = b1 − b2 + b3 − b4 + b5 − b6 + · · · , bn > 0

이 두 조건

▶ 모든 n에 대하여 bn+1 ≤ bn

▶ limn→∞

bn = 0

을 만족하면 이 급수는 수렴한다.

Chapter 10 무한수열과 무한급수

10.5 교대급수

Example∞∑

n=1

(−1)n−1

n의 수렴, 발산을 판정하여라.

풀이.

Example∞∑

n=1

(−1)n3n

4n− 1의 수렴, 발산을 판정하여라.

풀이.

Chapter 10 무한수열과 무한급수

10.5 교대급수

Example∞∑

n=1

(−1)n+1n2

n3 + 1의 수렴, 발산을 판정하여라.

풀이.

Chapter 10 무한수열과 무한급수

10.6 절대수렴과 비판정법 및 근판정법

Definition

급수∞∑

n=1

|an|이 수렴할 때, 급수∞∑

n=1

an는 절대수렴한다고 한다.

Example∞∑

n=1

(−1)n−1

n2이 절대수렴함을 보여라.

풀이.

Example

교대급수

∞∑n=1

(−1)n−1

n은 수렴한다. 그러나

∞∑n=1

∣∣∣ (−1)n−1

n

∣∣∣ = ∞∑n=1

1

n

은 발산함으로

∞∑n=1

(−1)n−1

n은 절대수렴하지 않는다.

Chapter 10 무한수열과 무한급수

10.6 절대수렴과 비판정법 및 근판정법

Definition

급수∞∑

n=1

an은 수렴하지만 절대수렴하지 않을 대, 급수∞∑

n=1

an는 조건부

수렴한다고 한다.

Theorem

급수∞∑

n=1

an이 절대수렴하면 그 급수는 수렴한다.

Example∞∑

n=1

cosn

n2=cos 1

12+

cos 2

22+

cos 3

32+ · · ·의 수렴, 발산을 판정하여라.

풀이.

Chapter 10 무한수열과 무한급수

10.6 절대수렴과 비판정법 및 근판정법

Theorem (비판정법)

1. limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = L < 1이면,∞∑

n=1

an은 절대수렴한다. (따라서 수렴한다.)

2. limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = L > 1이거나 limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = ∞이면,∞∑

n=1

an은 발산한다.

3. limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = 1이면, 비판정법으로 결론을 이끌어 낼 수 없다.

Remark∞∑

n=1

1

n,

∞∑n=1

1

n2의 경우 비판정법을 사용할 수 없다.

Chapter 10 무한수열과 무한급수

10.6 절대수렴과 비판정법 및 근판정법

Example∞∑

n=1

(−1)nn3

3n의 수렴, 발산을 판정하여라.

풀이.

Example∞∑

n=1

nn

n!의 수렴, 발산을 판정하여라.

풀이.

Chapter 10 무한수열과 무한급수

10.6 절대수렴과 비판정법 및 근판정법

Theorem (근판정법)

1. limn→∞

n√

|an| = L < 1이면,∞∑

n=1

an은 절대수렴한다. (따라서 수렴한다.)

2. limn→∞

n√

|an| = L > 1이거나 limn→∞

n√

|an| = ∞이면,∞∑

n=1

an은 발산한다.

3. limn→∞

n√

|an| = 1이면, 근판정법으로 결론을 이끌어 낼 수 없다.

Example∞∑

n=1

(2n+ 3

3n+ 2

)n

의 수렴, 발산을 판정하여라.

풀이.

Chapter 10 무한수열과 무한급수

10.6 절대수렴과 비판정법 및 근판정법

재배열

▶∞∑

n=1

an이 절대수렴하고 그 합이 s라 하면∞∑

n=1

an의 재배열은 같은 합 s를

갖는다.

▶ 조건부 수렴하는 급수는 재배열에 의해 서로 다른 합을 가질 수 있다.

Example

1 − 1

2+

1

3− 1

4+

1

5− 1

6+

1

7− 1

8+ · · · = s (1)

1

2− 1

4+

1

6− 1

8+

1

10− 1

12+

1

14− 1

16+ · · · = s

2

0 +1

2+ 0 − 1

4+ 0 +

1

6+ 0 − 1

8+ · · · = s

2(2)

(1) + (3) ⇒ 1 +1

3− 1

2+

1

5+

1

7− 1

4+ · · · = 3s

2